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1. 方程$3x^2 + 9 = 0$的根为(
A.3
B.$-3$
C.$\pm 3$
D.无实数根
D
).A.3
B.$-3$
C.$\pm 3$
D.无实数根
答案
1. D
解析
【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，有两种常用的符合学段要求的思路：一是先对等式变形，求出$x^2$的取值，结合实数范围内平方数的非负性判断是否有实根；二是利用一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况。本题既可以通过移项化简得到$x^2$为负数，结合平方非负性直接判断无实根，也可以代入判别式公式计算，通过$\Delta＜0$得出无实根的结论。
【解析】
方法一：
对原方程移项，得$3x^2 = -9$，
两边同时除以3，得$x^2 = -3$，
∵在实数范围内，任意实数的平方均为非负数，即$x^2 ≥ 0$，不可能等于$-3$，
∴原方程无实数根。
方法二：
原方程为标准一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的形式，其中$a=3$，$b=0$，$c=9$，
代入根的判别式公式得$\Delta = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 × 3 × 9 = -108 ＜ 0$，
∴原方程无实数根。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程根的判断的基础题型，两种解题方法都是必须掌握的核心基础方法，解题时不要盲目直接开方忽略平方的非负性，熟练掌握判别式的应用可以快速判断一元二次方程根的情况。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程的根的情况，有两种常用的符合学段要求的思路：一是先对等式变形，求出$x^2$的取值，结合实数范围内平方数的非负性判断是否有实根；二是利用一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况。本题既可以通过移项化简得到$x^2$为负数，结合平方非负性直接判断无实根，也可以代入判别式公式计算，通过$\Delta＜0$得出无实根的结论。
【解析】
方法一：
对原方程移项，得$3x^2 = -9$，
两边同时除以3，得$x^2 = -3$，
∵在实数范围内，任意实数的平方均为非负数，即$x^2 ≥ 0$，不可能等于$-3$，
∴原方程无实数根。
方法二：
原方程为标准一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的形式，其中$a=3$，$b=0$，$c=9$，
代入根的判别式公式得$\Delta = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 × 3 × 9 = -108 ＜ 0$，
∴原方程无实数根。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程根的判断的基础题型，两种解题方法都是必须掌握的核心基础方法，解题时不要盲目直接开方忽略平方的非负性，熟练掌握判别式的应用可以快速判断一元二次方程根的情况。
【难度系数】
0.9
2. 方程$-x^2 + 3x = 1$用公式法求解，先确定$a,b,c$的值，下面正确的是（
A.$a=1,b=-3,c=-1$
B.$a=-1,b=3,c=1$
C.$a=-1,b=-3,c=-1$
D.$a=-1,b=3,c=-1$
D
）.A.$a=1,b=-3,c=-1$
B.$a=-1,b=3,c=1$
C.$a=-1,b=-3,c=-1$
D.$a=-1,b=3,c=-1$
答案
2. D
解析
【分析】
使用公式法解一元二次方程的前提是先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项，解题时需注意移项要变号，再对应匹配系数即可判断正确选项。
【解析】
第一步：将原方程整理为一元二次方程的一般形式，把等号右侧的$1$移到左侧，移项变号后得：
$-x^2 + 3x - 1 = 0$
第二步：对照一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）匹配系数：
二次项系数$a=-1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题为基础题，主要考查一元二次方程一般形式的整理和各项系数的确定，易错点是移项时忘记变号、确定系数时遗漏符号，掌握一般形式的书写要求即可快速解题。
【难度系数】
0.8
使用公式法解一元二次方程的前提是先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项，解题时需注意移项要变号，再对应匹配系数即可判断正确选项。
【解析】
第一步：将原方程整理为一元二次方程的一般形式，把等号右侧的$1$移到左侧，移项变号后得：
$-x^2 + 3x - 1 = 0$
第二步：对照一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）匹配系数：
二次项系数$a=-1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题为基础题，主要考查一元二次方程一般形式的整理和各项系数的确定，易错点是移项时忘记变号、确定系数时遗漏符号，掌握一般形式的书写要求即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 若代数式$x^2 -6x +5$的值等于12，则$x$的值为（
A.1或5
B.7或－1
C.－1或－5
D.－7或1
B
）.A.1或5
B.7或－1
C.－1或－5
D.－7或1
答案
3. B
解析
【分析】
首先根据代数式的值为12的已知条件列出对应的方程，再将方程整理为一元二次方程的标准形式，随后选用适合的方法（如因式分解法）求解方程，最后将得到的解匹配选项即可。
【解析】
根据题意可列方程：
$x^2 - 6x + 5 = 12$
移项整理为一元二次方程标准形式：
$x^2 - 6x - 7 = 0$
用十字相乘法对左侧因式分解：
$(x - 7)(x + 1) = 0$
令每个因式分别为0，可得：
$x - 7 = 0$ 或 $x + 1 = 0$
解得：$x_1=7$，$x_2=-1$
即x的值为7或-1。
【答案】
B
【知识点】
代数式的值；一元二次方程求解；因式分解法解方程
【点评】
本题是基础题型，解题核心是先根据代数式的取值建立方程，再选择合适的方法求解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的常见解法可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
首先根据代数式的值为12的已知条件列出对应的方程，再将方程整理为一元二次方程的标准形式，随后选用适合的方法（如因式分解法）求解方程，最后将得到的解匹配选项即可。
【解析】
根据题意可列方程：
$x^2 - 6x + 5 = 12$
移项整理为一元二次方程标准形式：
$x^2 - 6x - 7 = 0$
用十字相乘法对左侧因式分解：
$(x - 7)(x + 1) = 0$
令每个因式分别为0，可得：
$x - 7 = 0$ 或 $x + 1 = 0$
解得：$x_1=7$，$x_2=-1$
即x的值为7或-1。
【答案】
B
【知识点】
代数式的值；一元二次方程求解；因式分解法解方程
【点评】
本题是基础题型，解题核心是先根据代数式的取值建立方程，再选择合适的方法求解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的常见解法可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
4. 已知$x_1,x_2$是方程$x^2 -20x -25=0$的两个实数根，则$x_1 + x_2 = (\quad)$。
A.$-25$
B.$-20$
C.$20$
D.$25$
A.$-25$
B.$-20$
C.$20$
D.$25$
答案
C
解析
【分析】
本题要求一元二次方程两个实数根的和，无需解方程求出根的具体值，可直接用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先回忆韦达定理内容：对于一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一元二次方程，两根之和为$-\frac{b}{a}$。接下来只需从题干方程中找出对应$a$、$b$的取值，代入公式计算即可，计算时要注意$b$的符号，避免出错。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），若两个实数根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
题干给出的方程为$x^2 -20x -25=0$，对比一般形式可知：$a=1$，$b=-20$。
将$a$、$b$代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-20)}{1}=20$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是基础应用题，核心考查韦达定理的直接运用，解题关键是准确识别一元二次方程的各项系数，代入计算时注意系数的符号即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
本题要求一元二次方程两个实数根的和，无需解方程求出根的具体值，可直接用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先回忆韦达定理内容：对于一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一元二次方程，两根之和为$-\frac{b}{a}$。接下来只需从题干方程中找出对应$a$、$b$的取值，代入公式计算即可，计算时要注意$b$的符号，避免出错。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），若两个实数根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
题干给出的方程为$x^2 -20x -25=0$，对比一般形式可知：$a=1$，$b=-20$。
将$a$、$b$代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-20)}{1}=20$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是基础应用题，核心考查韦达定理的直接运用，解题关键是准确识别一元二次方程的各项系数，代入计算时注意系数的符号即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
5. 某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元.设该书店每月盈利的平均增长率为$x$，根据题意，下列方程正确的是（
A.$6000(1+x)^2=6200$
B.$6000(1-x)^2=6200$
C.$6000(1+2x)=6200$
D.$6000x^2=6200$
A
）.A.$6000(1+x)^2=6200$
B.$6000(1-x)^2=6200$
C.$6000(1+2x)=6200$
D.$6000x^2=6200$
答案
5. A
解析
【分析】
本题属于平均增长率类的一元二次方程应用题，解题时首先要明确增长率问题的基本数量关系：若基期量为a，平均增长率为x，经过n次增长后的现期量为$a(1+x)^n$。本题中基期是3月份盈利6000元，到5月份一共经过2次增长（3月到4月为第一次，4月到5月为第二次），现期量是5月份的盈利6200元，代入公式即可列出对应方程，再排除错误选项即可。
【解析】
设每月盈利的平均增长率为x。
1. 计算4月份盈利：3月份盈利为6000元，因此4月份盈利为$6000(1+x)$元；
2. 计算5月份盈利：5月份在4月份盈利的基础上继续增长x，因此5月份盈利为$6000(1+x) × (1+x) = 6000(1+x)^2$元；
3. 结合已知5月份盈利6200元，可列方程：$6000(1+x)^2 = 6200$。
因此选项A正确。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率问题的基础题型，核心是掌握增长率的计算公式，明确增长的期数，注意不要将复利增长混淆为单利增长，也不要误将下降率公式套用在增长问题中。
【难度系数】
0.8
本题属于平均增长率类的一元二次方程应用题，解题时首先要明确增长率问题的基本数量关系：若基期量为a，平均增长率为x，经过n次增长后的现期量为$a(1+x)^n$。本题中基期是3月份盈利6000元，到5月份一共经过2次增长（3月到4月为第一次，4月到5月为第二次），现期量是5月份的盈利6200元，代入公式即可列出对应方程，再排除错误选项即可。
【解析】
设每月盈利的平均增长率为x。
1. 计算4月份盈利：3月份盈利为6000元，因此4月份盈利为$6000(1+x)$元；
2. 计算5月份盈利：5月份在4月份盈利的基础上继续增长x，因此5月份盈利为$6000(1+x) × (1+x) = 6000(1+x)^2$元；
3. 结合已知5月份盈利6200元，可列方程：$6000(1+x)^2 = 6200$。
因此选项A正确。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率问题的基础题型，核心是掌握增长率的计算公式，明确增长的期数，注意不要将复利增长混淆为单利增长，也不要误将下降率公式套用在增长问题中。
【难度系数】
0.8
6. 一元二次方程 $ x(x-2)=x-2 $ 的根是(
A.$ x_1=x_2=0 $
B.$ x_1=x_2=1 $
C.$ x_1=0,x_2=2 $
D.$ x_1=1,x_2=2 $
D
).A.$ x_1=x_2=0 $
B.$ x_1=x_2=1 $
C.$ x_1=0,x_2=2 $
D.$ x_1=1,x_2=2 $
答案
6. D
解析
【分析】
解本题时要注意不可直接在方程两边同时除以(x-2)，否则会漏掉x=2这个根。正确解题思路为：先将等号右侧的(x-2)移到左侧，再提取公因式(x-2)，将原方程转化为两个一次式乘积为0的形式，最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，分别求解两个一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
第一步：移项，将右侧的x-2移到等号左侧，得：
$x(x-2)-(x-2)=0$
第二步：提取公因式$(x-2)$，因式分解得：
$(x-2)(x-1)=0$
第三步：令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程：
$x-2=0$ 或 $x-1=0$
第四步：分别解两个一次方程，得：
$x_1=2$，$x_2=1$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程求解注意事项
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查因式分解法解方程的应用，需注意解方程时不可随意在等式两边除以含未知数的整式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.8
解本题时要注意不可直接在方程两边同时除以(x-2)，否则会漏掉x=2这个根。正确解题思路为：先将等号右侧的(x-2)移到左侧，再提取公因式(x-2)，将原方程转化为两个一次式乘积为0的形式，最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，分别求解两个一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
第一步：移项，将右侧的x-2移到等号左侧，得：
$x(x-2)-(x-2)=0$
第二步：提取公因式$(x-2)$，因式分解得：
$(x-2)(x-1)=0$
第三步：令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程：
$x-2=0$ 或 $x-1=0$
第四步：分别解两个一次方程，得：
$x_1=2$，$x_2=1$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程求解注意事项
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查因式分解法解方程的应用，需注意解方程时不可随意在等式两边除以含未知数的整式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.8
7. 关于x的一元二次方程$kx^2 -4x +1=0$有两个实数根，则k的取值范围是(
A.$k＞4$
B.$k≤4$
C.$k＜4$且$k≠0$
D.$k≤4$且$k≠0$
D
).A.$k＞4$
B.$k≤4$
C.$k＜4$且$k≠0$
D.$k≤4$且$k≠0$
答案
7. D
解析
【分析】
要解决这个问题，需结合两个核心条件推导：首先，题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；其次，方程有两个实数根，说明根的判别式大于等于0。分别列出对应约束条件求解后，合并两个条件就能得到k的取值范围。
【解析】
1. 由一元二次方程的定义可知，二次项系数不为0，因此可得：$k≠0$。
2. 一元二次方程有两个实数根，需满足根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$。在方程$kx^2 -4x +1=0$中，$a=k$，$b=-4$，$c=1$，代入判别式得：
$\Delta = (-4)^2 - 4× k ×1 = 16 - 4k ≥ 0$
解不等式$16-4k≥0$，移项得$4k≤16$，解得$k≤4$。
3. 合并两个约束条件，可得k的取值范围是$k≤4$且$k≠0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程定义
2. 根的判别式
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是典型的易错题，解题时很容易忽略“一元二次方程”的限定条件，仅通过判别式求出$k≤4$就误选B，因此审题时要注意抓取题干的关键限定，结合所有约束条件综合判断取值范围。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需结合两个核心条件推导：首先，题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；其次，方程有两个实数根，说明根的判别式大于等于0。分别列出对应约束条件求解后，合并两个条件就能得到k的取值范围。
【解析】
1. 由一元二次方程的定义可知，二次项系数不为0，因此可得：$k≠0$。
2. 一元二次方程有两个实数根，需满足根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$。在方程$kx^2 -4x +1=0$中，$a=k$，$b=-4$，$c=1$，代入判别式得：
$\Delta = (-4)^2 - 4× k ×1 = 16 - 4k ≥ 0$
解不等式$16-4k≥0$，移项得$4k≤16$，解得$k≤4$。
3. 合并两个约束条件，可得k的取值范围是$k≤4$且$k≠0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程定义
2. 根的判别式
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是典型的易错题，解题时很容易忽略“一元二次方程”的限定条件，仅通过判别式求出$k≤4$就误选B，因此审题时要注意抓取题干的关键限定，结合所有约束条件综合判断取值范围。
【难度系数】
0.6
8. 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是(
A.$\frac{1}{2}x(x+1)=110$
B.$\frac{1}{2}x(x-1)=110$
C.$x(x+1)=110$
D.$x(x-1)=110$
D
).A.$\frac{1}{2}x(x+1)=110$
B.$\frac{1}{2}x(x-1)=110$
C.$x(x+1)=110$
D.$x(x-1)=110$
答案
8. D
解析
【分析】
这是一道比赛场次类的一元二次方程应用题，解题时先明确赛制：题目要求每两支球队之间进行两场比赛，属于双循环赛制。首先思考：若有x支球队，每支球队需和除自身外的(x-1)支球队交手；单循环赛制（每两队赛1场）中，每场比赛会被两支球队各统计1次，因此总场次需除以2，即$\frac{1}{2}x(x-1)$；双循环赛制是单循环场次的2倍，乘2后与原有的除以2抵消，总场次即为$x(x-1)$，再结合总比赛场数110即可列出对应方程。
【解析】
设参加比赛的球队有x支。
1. 每支球队需与除自身外的$(x-1)$支球队比赛；
2. 每两队之间进行2场比赛，属于双循环赛制，总比赛场次为$x(x-1)$（若为单循环赛制需除以2，双循环乘2后抵消除法，无需再除）；
3. 已知总比赛场数为110场，因此可列方程：$x(x-1)=110$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 双循环赛制计数
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题核心是区分单循环和双循环的计数规则，避免出现多除以2或者漏乘2的错误，掌握赛制规则就能快速求解。
【难度系数】
0.7
这是一道比赛场次类的一元二次方程应用题，解题时先明确赛制：题目要求每两支球队之间进行两场比赛，属于双循环赛制。首先思考：若有x支球队，每支球队需和除自身外的(x-1)支球队交手；单循环赛制（每两队赛1场）中，每场比赛会被两支球队各统计1次，因此总场次需除以2，即$\frac{1}{2}x(x-1)$；双循环赛制是单循环场次的2倍，乘2后与原有的除以2抵消，总场次即为$x(x-1)$，再结合总比赛场数110即可列出对应方程。
【解析】
设参加比赛的球队有x支。
1. 每支球队需与除自身外的$(x-1)$支球队比赛；
2. 每两队之间进行2场比赛，属于双循环赛制，总比赛场次为$x(x-1)$（若为单循环赛制需除以2，双循环乘2后抵消除法，无需再除）；
3. 已知总比赛场数为110场，因此可列方程：$x(x-1)=110$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 双循环赛制计数
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题核心是区分单循环和双循环的计数规则，避免出现多除以2或者漏乘2的错误，掌握赛制规则就能快速求解。
【难度系数】
0.7
9. 已知关于$x$的一元二次方程$a(x+m)^2 + n = 0(a≠0)$的两个根分别为－3,1,则方程$a(x+m-2)^2 + n = 0(a≠0)$的两个根分别为(
A.1,5
B.－1,3
C.－3,1
D.－1,5
B
).A.1,5
B.－1,3
C.－3,1
D.－1,5
答案
9. B
解析
【分析】
观察两个方程的结构，发现形式高度相似，可通过整体代换的思路解题，无需计算未知参数a、m、n的值。已知第一个方程$a(x+m)^2+n=0$的根为-3和1，说明当括号内$(x+m)$对应的整体取值满足方程时等式成立；第二个方程可变形为$a[(x-2)+m]^2+n=0$，将$(x-2)$看作整体，该整体的取值就等于第一个方程中$x$的取值，由此列一元一次方程求解即可。也可结合二次函数图像平移的性质：方程的根是对应抛物线与x轴交点的横坐标，第二个抛物线是第一个向右平移2个单位得到，交点横坐标同步右移2即可得到新方程的根。
【解析】
方法一（整体代换法）：
∵ 方程$a(x+m)^2 +n=0(a≠0)$的两根为-3、1
∴ 对于方程$a(x+m-2)^2 +n=0$，令$t = x-2$，原方程转化为$a(t+m)^2 +n=0$
由已知可得$t = -3$ 或 $t = 1$
即$x-2 = -3$ 或 $x-2 = 1$
解得：$x_1 = -3+2 = -1$，$x_2 = 1+2 = 3$
∴ 方程的两根为-1、3
方法二（图像平移法）：
一元二次方程的根对应二次函数$y=a(x+h)^2+k$与x轴交点的横坐标
$y=a(x+m-2)^2+n$是将$y=a(x+m)^2+n$的图像向右平移2个单位得到的
原函数与x轴交点为$(-3,0)$、$(1,0)$，平移后交点横坐标分别加2：
$-3+2=-1$，$1+2=3$，即新方程的两根为-1、3
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 整体代入思想
3. 二次函数图像平移
【点评】
本题不需要求解未知参数，重点考察对一元二次方程根的理解和灵活应用能力，用整体代换或图像平移的方法都能快速求解，避免了繁琐的展开计算，是考察转化思想的典型基础题。
【难度系数】
0.7
观察两个方程的结构，发现形式高度相似，可通过整体代换的思路解题，无需计算未知参数a、m、n的值。已知第一个方程$a(x+m)^2+n=0$的根为-3和1，说明当括号内$(x+m)$对应的整体取值满足方程时等式成立；第二个方程可变形为$a[(x-2)+m]^2+n=0$，将$(x-2)$看作整体，该整体的取值就等于第一个方程中$x$的取值，由此列一元一次方程求解即可。也可结合二次函数图像平移的性质：方程的根是对应抛物线与x轴交点的横坐标，第二个抛物线是第一个向右平移2个单位得到，交点横坐标同步右移2即可得到新方程的根。
【解析】
方法一（整体代换法）：
∵ 方程$a(x+m)^2 +n=0(a≠0)$的两根为-3、1
∴ 对于方程$a(x+m-2)^2 +n=0$，令$t = x-2$，原方程转化为$a(t+m)^2 +n=0$
由已知可得$t = -3$ 或 $t = 1$
即$x-2 = -3$ 或 $x-2 = 1$
解得：$x_1 = -3+2 = -1$，$x_2 = 1+2 = 3$
∴ 方程的两根为-1、3
方法二（图像平移法）：
一元二次方程的根对应二次函数$y=a(x+h)^2+k$与x轴交点的横坐标
$y=a(x+m-2)^2+n$是将$y=a(x+m)^2+n$的图像向右平移2个单位得到的
原函数与x轴交点为$(-3,0)$、$(1,0)$，平移后交点横坐标分别加2：
$-3+2=-1$，$1+2=3$，即新方程的两根为-1、3
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 整体代入思想
3. 二次函数图像平移
【点评】
本题不需要求解未知参数，重点考察对一元二次方程根的理解和灵活应用能力，用整体代换或图像平移的方法都能快速求解，避免了繁琐的展开计算，是考察转化思想的典型基础题。
【难度系数】
0.7
10. 如图1，在矩形ABCD中，以点D为圆心，AD的长为半径作弧与BD交于点E，以点B为圆心，AB的长为半径作弧与BD交于点F。设AB=a，AD=b，则方程$x^2 + 2ax = b^2$的一个正根是(
A.DF 的长
B.BE 的长
C.EF 的长
D.BD 的长
A
)。A.DF 的长
B.BE 的长
C.EF 的长
D.BD 的长
答案
10. A
解析
【分析】
解题时先结合矩形性质和勾股定理求出对角线BD的长度，再根据圆弧半径的条件表示出各选项对应线段的代数式；随后用配方法求解给定一元二次方程的正根，将根的表达式与各线段代数式对比，即可匹配得到答案。
【解析】
1. 计算BD长度：在矩形ABCD中，$∠ BAD=90°$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{a^2+b^2}$
2. 表示各线段长度：
由题意得，$DE=AD=b$，$BF=AB=a$
$DF=BD-BF=\sqrt{a^2+b^2}-a$
$BE=BD-DE=\sqrt{a^2+b^2}-b$
$EF=BF+DE-BD=a+b-\sqrt{a^2+b^2}$
$BD=\sqrt{a^2+b^2}$
3. 求解一元二次方程：
对$x^2+2ax=b^2$配方得：
$x^2+2ax+a^2=a^2+b^2$
即$(x+a)^2=a^2+b^2$
开方得$x+a=\pm\sqrt{a^2+b^2}$，取正根得$x=\sqrt{a^2+b^2}-a$
对比可知该正根为DF的长。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；一元二次方程的解法
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，考查数形结合思想，需要学生分别完成几何线段的代数表示和一元二次方程的求解，再通过表达式匹配得到结果，难度不大但需要细心推导。
【难度系数】
0.6
解题时先结合矩形性质和勾股定理求出对角线BD的长度，再根据圆弧半径的条件表示出各选项对应线段的代数式；随后用配方法求解给定一元二次方程的正根，将根的表达式与各线段代数式对比，即可匹配得到答案。
【解析】
1. 计算BD长度：在矩形ABCD中，$∠ BAD=90°$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{a^2+b^2}$
2. 表示各线段长度：
由题意得，$DE=AD=b$，$BF=AB=a$
$DF=BD-BF=\sqrt{a^2+b^2}-a$
$BE=BD-DE=\sqrt{a^2+b^2}-b$
$EF=BF+DE-BD=a+b-\sqrt{a^2+b^2}$
$BD=\sqrt{a^2+b^2}$
3. 求解一元二次方程：
对$x^2+2ax=b^2$配方得：
$x^2+2ax+a^2=a^2+b^2$
即$(x+a)^2=a^2+b^2$
开方得$x+a=\pm\sqrt{a^2+b^2}$，取正根得$x=\sqrt{a^2+b^2}-a$
对比可知该正根为DF的长。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；一元二次方程的解法
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，考查数形结合思想，需要学生分别完成几何线段的代数表示和一元二次方程的求解，再通过表达式匹配得到结果，难度不大但需要细心推导。
【难度系数】
0.6
