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反证法:先提出与结论相反的假设,再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果,然后由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.这种方法叫作.
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答案
解：反证法
解析
【分析】
这道题考查数学证明方法的定义识别，解题时只需将题干描述的方法特征和已学的证明方法定义对应即可。题干完整描述了某证明方法的操作流程：先提出和结论相反的假设，推导得到矛盾结果，再否定假设、确认原命题成立，匹配对应的方法名称即可得到答案。
【解析】
根据所学的证明方法相关概念，题干中描述的“先提出与结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立”的方法，恰好是反证法的定义，因此横线处应填写反证法。
【答案】
反证法
【知识点】
反证法的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，侧重考查对基础证明方法概念的掌握情况，熟练记忆相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
这道题考查数学证明方法的定义识别，解题时只需将题干描述的方法特征和已学的证明方法定义对应即可。题干完整描述了某证明方法的操作流程：先提出和结论相反的假设，推导得到矛盾结果，再否定假设、确认原命题成立，匹配对应的方法名称即可得到答案。
【解析】
根据所学的证明方法相关概念，题干中描述的“先提出与结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立”的方法，恰好是反证法的定义，因此横线处应填写反证法。
【答案】
反证法
【知识点】
反证法的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，侧重考查对基础证明方法概念的掌握情况，熟练记忆相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
例 用反证法求证:在三角形的内角中,至少有一个角大于或等于 $60°$,请将下面的过程补充完整.
已知: $∠ A$, $∠ B$, $∠ C$ 是 $△ ABC$ 的内角.
求证: $∠ A$, $∠ B$, $∠ C$ 中至少有一个角大于或等于 $60°$.
证明:假设$∠ A$, $∠ B$, $∠ C$都 $60°$,即$∠ A$ $60°$,$∠ B$ $60°$, $∠ C$ $60°$,
则$∠ A+∠ B+∠ C$ $180°$.
这与三角形内角和等于矛盾,所以假设不正确.
所以原命题成立,即$∠ A$, $∠ B$, $∠ C$中至少有一个角大于或等于 $60°$.
解 首先,我们提出与原命题结论相反的假设:假设三角形的三个内角都小于 $60°$.
接着,我们根据这个假设进行推理,如果三个角都小于 $60°$,那么它们的和就会小于 $180°$.但我们知道,任意三角形的内角和都等于 $180°$,这就产生了矛盾.这个矛盾说明假设是不正确的,因此原命题"在三角形的内角中,至少有一个角大于或等于 $60°$"是成立的.
故正确答案为:小于 $＜$ $＜$ $＜$ $＜$ $180°$
方法感悟 反证法的证明步骤如下:
1. 反设:提出与原命题结论相反的假设;
2. 归谬:推理后得出与定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果;
3. 结论:由矛盾断定假设不成立,从而得到原命题成立.
已知: $∠ A$, $∠ B$, $∠ C$ 是 $△ ABC$ 的内角.
求证: $∠ A$, $∠ B$, $∠ C$ 中至少有一个角大于或等于 $60°$.
证明:假设$∠ A$, $∠ B$, $∠ C$都 $60°$,即$∠ A$ $60°$,$∠ B$ $60°$, $∠ C$ $60°$,
则$∠ A+∠ B+∠ C$ $180°$.
这与三角形内角和等于矛盾,所以假设不正确.
所以原命题成立,即$∠ A$, $∠ B$, $∠ C$中至少有一个角大于或等于 $60°$.
解 首先,我们提出与原命题结论相反的假设:假设三角形的三个内角都小于 $60°$.
接着,我们根据这个假设进行推理,如果三个角都小于 $60°$,那么它们的和就会小于 $180°$.但我们知道,任意三角形的内角和都等于 $180°$,这就产生了矛盾.这个矛盾说明假设是不正确的,因此原命题"在三角形的内角中,至少有一个角大于或等于 $60°$"是成立的.
故正确答案为:小于 $＜$ $＜$ $＜$ $＜$ $180°$
方法感悟 反证法的证明步骤如下:
1. 反设:提出与原命题结论相反的假设;
2. 归谬:推理后得出与定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果;
3. 结论:由矛盾断定假设不成立,从而得到原命题成立.
答案
证明:假设$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$都小于$60°$，即$∠ A ＜ 60°$，$∠ B ＜ 60°$，$∠ C ＜ 60°$，
则$∠ A+∠ B+∠ C ＜ 180°$。
这与三角形内角和等于$180°$矛盾，所以假设不正确。
所以原命题成立，即$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$中至少有一个角大于或等于 $60°$。
则$∠ A+∠ B+∠ C ＜ 180°$。
这与三角形内角和等于$180°$矛盾，所以假设不正确。
所以原命题成立，即$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$中至少有一个角大于或等于 $60°$。
解析
【分析】
本题需用反证法证明，解题思路严格遵循反证法的三个步骤展开：第一步反设，先明确原命题的结论是“三角形三个内角中至少有一个角大于或等于60°”，对结论进行否定即可得到假设内容；第二步归谬，根据假设推导三个内角的和，会得到和已知三角形内角和定理冲突的结果；第三步结论，由矛盾判定假设不成立，即可证明原命题正确。
【解析】
1. 反设：原命题结论的反面为三个内角都小于60°，因此首先假设$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$都小于$60°$，即$∠ A＜60°$，$∠ B＜60°$，$∠ C＜60°$；
2. 归谬：对三个角求和可得$∠ A+∠ B+∠ C＜60°×3=180°$，这与“三角形内角和等于$180°$”的定理矛盾，说明假设不成立；
3. 结论：假设错误，因此原命题成立。
【答案】
证明:假设$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$都小于$60°$，即$∠ A ＜ 60°$，$∠ B ＜ 60°$，$∠ C ＜ 60°$，
则$∠ A+∠ B+∠ C ＜ 180°$。
这与三角形内角和等于$180°$矛盾，所以假设不正确。
所以原命题成立，即$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$中至少有一个角大于或等于 $60°$。
【知识点】
反证法；三角形内角和定理
【点评】
本题是反证法的基础应用题型，解题核心是正确否定原命题结论作出反设，再结合已学定理推导矛盾，能够帮助学生理解反证法的逻辑推理思路。
【难度系数】
0.8
本题需用反证法证明，解题思路严格遵循反证法的三个步骤展开：第一步反设，先明确原命题的结论是“三角形三个内角中至少有一个角大于或等于60°”，对结论进行否定即可得到假设内容；第二步归谬，根据假设推导三个内角的和，会得到和已知三角形内角和定理冲突的结果；第三步结论，由矛盾判定假设不成立，即可证明原命题正确。
【解析】
1. 反设：原命题结论的反面为三个内角都小于60°，因此首先假设$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$都小于$60°$，即$∠ A＜60°$，$∠ B＜60°$，$∠ C＜60°$；
2. 归谬：对三个角求和可得$∠ A+∠ B+∠ C＜60°×3=180°$，这与“三角形内角和等于$180°$”的定理矛盾，说明假设不成立；
3. 结论：假设错误，因此原命题成立。
【答案】
证明:假设$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$都小于$60°$，即$∠ A ＜ 60°$，$∠ B ＜ 60°$，$∠ C ＜ 60°$，
则$∠ A+∠ B+∠ C ＜ 180°$。
这与三角形内角和等于$180°$矛盾，所以假设不正确。
所以原命题成立，即$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$中至少有一个角大于或等于 $60°$。
【知识点】
反证法；三角形内角和定理
【点评】
本题是反证法的基础应用题型，解题核心是正确否定原命题结论作出反设，再结合已学定理推导矛盾，能够帮助学生理解反证法的逻辑推理思路。
【难度系数】
0.8
1. 用反证法证明“在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$的对边分别是$a$，$b$，若$∠ A＞∠ B$，则$a＞b$.”第一步应假设(
A.$a＜b$
B.$a=b$
C.$a≤ b$
D.$a≥ b$
C
).A.$a＜b$
B.$a=b$
C.$a≤ b$
D.$a≥ b$
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确反证法的第一步要求：假设原命题的结论不成立，也就是要找出原命题结论的全部否定情况。本题原命题的结论是“a＞b”，我们需要思考“a＞b”不成立的所有可能：除了a＜b之外，还有a=b的情况，因此完整的否定就是a≤b，这就是反证法第一步要做的假设。
【解析】
解：根据反证法的证明规则，证明命题的第一步为假设命题的结论不成立，即否定结论。
本题要证明的结论是$a＞b$，“$a＞b$”的否定是“$a$不大于$b$”，也就是$a≤ b$，因此第一步应假设$a≤ b$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基础操作，解题核心是准确写出原结论的否定形式，要注意不等关系的否定需要涵盖所有不成立的情况，不能遗漏“等于”的情形，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确反证法的第一步要求：假设原命题的结论不成立，也就是要找出原命题结论的全部否定情况。本题原命题的结论是“a＞b”，我们需要思考“a＞b”不成立的所有可能：除了a＜b之外，还有a=b的情况，因此完整的否定就是a≤b，这就是反证法第一步要做的假设。
【解析】
解：根据反证法的证明规则，证明命题的第一步为假设命题的结论不成立，即否定结论。
本题要证明的结论是$a＞b$，“$a＞b$”的否定是“$a$不大于$b$”，也就是$a≤ b$，因此第一步应假设$a≤ b$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基础操作，解题核心是准确写出原结论的否定形式，要注意不等关系的否定需要涵盖所有不成立的情况，不能遗漏“等于”的情形，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.7
2. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精当的武器之一.”用反证法证明命题“三角形中不能有两个直角”，先假设(
A.三角形中有一个内角是直角
B.三角形中有两个内角是直角
C.三角形中有三个内角是直角
D.三角形中不能有内角是直角
B
).A.三角形中有一个内角是直角
B.三角形中有两个内角是直角
C.三角形中有三个内角是直角
D.三角形中不能有内角是直角
答案
2. B
解析
【分析】
解这道题首先要明确反证法的第一步操作是反设，即假设原命题的结论不成立，也就是原结论的反面成立。我们先提取原命题的结论：“三角形中不能有两个内角是直角”，只需要找到这个结论的否定表述，就能得到正确的假设内容。
【解析】
反证法证明命题的第一步是对原命题的结论进行否定，即假设结论不成立。
本题中原命题的结论为“三角形中不能有两个内角是直角”，对该结论进行否定，得到“三角形中有两个内角是直角”，因此先假设的内容就是三角形中有两个内角是直角，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基础步骤，解题核心是准确把握原命题结论的否定形式，属于对基础概念的考查，熟练掌握反证法的基本逻辑就能快速作答。
【难度系数】
0.9
解这道题首先要明确反证法的第一步操作是反设，即假设原命题的结论不成立，也就是原结论的反面成立。我们先提取原命题的结论：“三角形中不能有两个内角是直角”，只需要找到这个结论的否定表述，就能得到正确的假设内容。
【解析】
反证法证明命题的第一步是对原命题的结论进行否定，即假设结论不成立。
本题中原命题的结论为“三角形中不能有两个内角是直角”，对该结论进行否定，得到“三角形中有两个内角是直角”，因此先假设的内容就是三角形中有两个内角是直角，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基础步骤，解题核心是准确把握原命题结论的否定形式，属于对基础概念的考查，熟练掌握反证法的基本逻辑就能快速作答。
【难度系数】
0.9
3. 下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角互余”是假命题的反例是(
A.∠1=30°, ∠2=80°
B.∠1=0°, ∠2=50°
C.∠1=20°, ∠2=70°
D.∠1=20°, ∠2=120°
A
).A.∠1=30°, ∠2=80°
B.∠1=0°, ∠2=50°
C.∠1=20°, ∠2=70°
D.∠1=20°, ∠2=120°
答案
3. A
解析
【分析】
要判断能说明命题为假的反例，首先明确反例的要求：满足命题的条件，但是不满足命题的结论。本题中命题“两个锐角互余”的条件是“两个角都是锐角”，结论是“两个角互余”，因此反例需要同时满足：①两个角都是锐角（大于0°且小于90°）；②两个角的和不等于90°。接下来结合锐角、互余的定义，逐个排查选项即可。
【解析】
首先明确相关定义：
1. 锐角：大于0°且小于90°的角；
2. 互余：若两个角的度数之和为90°，则这两个角互余。
我们需要找的反例需满足：两个角都是锐角，且度数和≠90°，逐一分析选项：
选项A：∠1=30°，∠2=80°，均满足0°＜角＜90°，都是锐角，两角和为30°+80°=110°≠90°，不互余，符合反例要求；
选项B：∠1=0°，不符合锐角的定义，排除；
选项C：∠1=20°，∠2=70°，都是锐角，且和为20°+70°=90°，满足互余，是符合原命题的例子，不是反例，排除；
选项D：∠2=120°＞90°，属于钝角，不符合“两个锐角”的条件，排除。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
锐角的定义；余角的定义；假命题的判断
【点评】
本题考查假命题反例的选取，解题的核心是明确反例的特征：符合命题的题设，但不满足命题的结论，同时要准确掌握锐角、互余的基本定义，逐一核对选项就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要判断能说明命题为假的反例，首先明确反例的要求：满足命题的条件，但是不满足命题的结论。本题中命题“两个锐角互余”的条件是“两个角都是锐角”，结论是“两个角互余”，因此反例需要同时满足：①两个角都是锐角（大于0°且小于90°）；②两个角的和不等于90°。接下来结合锐角、互余的定义，逐个排查选项即可。
【解析】
首先明确相关定义：
1. 锐角：大于0°且小于90°的角；
2. 互余：若两个角的度数之和为90°，则这两个角互余。
我们需要找的反例需满足：两个角都是锐角，且度数和≠90°，逐一分析选项：
选项A：∠1=30°，∠2=80°，均满足0°＜角＜90°，都是锐角，两角和为30°+80°=110°≠90°，不互余，符合反例要求；
选项B：∠1=0°，不符合锐角的定义，排除；
选项C：∠1=20°，∠2=70°，都是锐角，且和为20°+70°=90°，满足互余，是符合原命题的例子，不是反例，排除；
选项D：∠2=120°＞90°，属于钝角，不符合“两个锐角”的条件，排除。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
锐角的定义；余角的定义；假命题的判断
【点评】
本题考查假命题反例的选取，解题的核心是明确反例的特征：符合命题的题设，但不满足命题的结论，同时要准确掌握锐角、互余的基本定义，逐一核对选项就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
