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1. 顶点在
圆心
的角叫作圆心角。答案
1. 圆心
解析
【分析】
这道题考查圆心角的基础定义，解题时直接回忆圆心角的定义内容即可，圆心角是圆相关角中的基础概念，定义明确规定了其顶点的位置，对应空缺内容直接填空即可。
【解析】
根据圆心角的定义：顶点在圆心，两边均与圆相交的角叫作圆心角，因此空缺处应填写“圆心”。
【答案】
圆心
【知识点】
圆心角的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，难度较低，主要考查对基础概念的掌握情况，牢记相关定义即可快速得分。
【难度系数】
0.95
这道题考查圆心角的基础定义，解题时直接回忆圆心角的定义内容即可，圆心角是圆相关角中的基础概念，定义明确规定了其顶点的位置，对应空缺内容直接填空即可。
【解析】
根据圆心角的定义：顶点在圆心，两边均与圆相交的角叫作圆心角，因此空缺处应填写“圆心”。
【答案】
圆心
【知识点】
圆心角的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，难度较低，主要考查对基础概念的掌握情况，牢记相关定义即可快速得分。
【难度系数】
0.95
•练习1 下面图中的角是圆心角的是（
D
）. 答案
练习1 D
解析
【分析】
要判断哪个角是圆心角，首先需明确圆心角的判定条件：一是角的顶点必须在圆的圆心位置，二是角的两条边都要与圆相交（即两边都是圆的半径）。解题时按照这两个条件逐一排查四个选项即可得到正确答案。
【解析】
根据圆心角的定义：顶点在圆心，且两边都与圆相交的角叫做圆心角。
选项A：角的顶点P在圆外，不满足顶点在圆心的要求，不是圆心角；
选项B：角的顶点P在圆周上，属于圆周角，不是圆心角；
选项C：角的顶点P在圆内但不是圆心O，不满足顶点在圆心的要求，不是圆心角；
选项D：角的顶点是圆心O，两条边OM、ON均与圆相交，符合圆心角的定义。
【答案】
D
【知识点】
圆心角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点在于对圆心角判定要素的掌握，只要牢记圆心角顶点在圆心、两边为圆的半径这两个特征，就能快速完成判断，注意不要和圆周角、圆内角等概念混淆。
【难度系数】
0.9
要判断哪个角是圆心角，首先需明确圆心角的判定条件：一是角的顶点必须在圆的圆心位置，二是角的两条边都要与圆相交（即两边都是圆的半径）。解题时按照这两个条件逐一排查四个选项即可得到正确答案。
【解析】
根据圆心角的定义：顶点在圆心，且两边都与圆相交的角叫做圆心角。
选项A：角的顶点P在圆外，不满足顶点在圆心的要求，不是圆心角；
选项B：角的顶点P在圆周上，属于圆周角，不是圆心角；
选项C：角的顶点P在圆内但不是圆心O，不满足顶点在圆心的要求，不是圆心角；
选项D：角的顶点是圆心O，两条边OM、ON均与圆相交，符合圆心角的定义。
【答案】
D
【知识点】
圆心角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点在于对圆心角判定要素的掌握，只要牢记圆心角顶点在圆心、两边为圆的半径这两个特征，就能快速完成判断，注意不要和圆周角、圆内角等概念混淆。
【难度系数】
0.9
知识点二 弧、弦、圆心角之间的关系
2.(1)在
(2)在
(3)在
2.(1)在
同圆或等圆
中，相等的圆心角所对的弧
相等，所对的弦
也相等；(2)在
同圆或等圆
中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角
相等，所对的弦
相等；(3)在
同圆或等圆
中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角
相等，所对的优弧
和劣弧
分别相等。答案
2.(1) 同圆或等圆 弧 弦
(2) 同圆或等圆 圆心角 弦
(3) 同圆或等圆 圆心角 优弧 劣弧
(2) 同圆或等圆 圆心角 弦
(3) 同圆或等圆 圆心角 优弧 劣弧
解析
【分析】
本题考查弧、弦、圆心角三者的关系定理，解题关键是准确记忆定理内容及成立的前提条件：①所有对应关系成立的前提都是“同圆或等圆”，若不在同圆或等圆中，相等的圆心角对应的弧、弦长度均不相等，对应关系不成立；②三组关系分别从“相等的圆心角”“相等的弧”“相等的弦”三个已知条件出发推导其余量的相等关系，另外需注意一条弦对应两条弧（优弧、劣弧），因此弦相等时对应的两条弧分别相等。
【解析】
根据人教版教材中弧、弦、圆心角的关系定理内容填写：
(1) 定理的第一部分：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；
(2) 定理的第二部分：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
(3) 定理的第三部分：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
【答案】
(1) 同圆或等圆 弧 弦
(2) 同圆或等圆 圆心角 弦
(3) 同圆或等圆 圆心角 优弧 劣弧
【知识点】
弧、弦、圆心角的关系
【点评】
本题属于基础概念识记题，核心考察对弧、弦、圆心角关系定理的准确记忆，需特别注意不要遗漏定理成立的前提条件，同时明确一条弦对应两条弧的特点，这类基础概念是解决圆相关证明、计算问题的核心基础，需牢固掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查弧、弦、圆心角三者的关系定理，解题关键是准确记忆定理内容及成立的前提条件：①所有对应关系成立的前提都是“同圆或等圆”，若不在同圆或等圆中，相等的圆心角对应的弧、弦长度均不相等，对应关系不成立；②三组关系分别从“相等的圆心角”“相等的弧”“相等的弦”三个已知条件出发推导其余量的相等关系，另外需注意一条弦对应两条弧（优弧、劣弧），因此弦相等时对应的两条弧分别相等。
【解析】
根据人教版教材中弧、弦、圆心角的关系定理内容填写：
(1) 定理的第一部分：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；
(2) 定理的第二部分：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
(3) 定理的第三部分：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
【答案】
(1) 同圆或等圆 弧 弦
(2) 同圆或等圆 圆心角 弦
(3) 同圆或等圆 圆心角 优弧 劣弧
【知识点】
弧、弦、圆心角的关系
【点评】
本题属于基础概念识记题，核心考察对弧、弦、圆心角关系定理的准确记忆，需特别注意不要遗漏定理成立的前提条件，同时明确一条弦对应两条弧的特点，这类基础概念是解决圆相关证明、计算问题的核心基础，需牢固掌握。
【难度系数】
0.9
•练习2 如图，AB，CD是$\odot O$的两条直径，$CE// AB$，求证：$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AE}$。
温馨提示 弧、弦、圆心角之间的关系定理及其推论成立的前提条件是“在同圆或等圆中”，否则不成立。
温馨提示 弧、弦、圆心角之间的关系定理及其推论成立的前提条件是“在同圆或等圆中”，否则不成立。
答案
证明：连接OE。
∵ OE=OC，
∴ ∠OEC=∠OCE。
∵ CE//AB，
∴ ∠OCE=∠BOC，∠OEC=∠AOE。
∴ ∠BOC=∠AOE。
又∵ 在⊙O中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AE}$。
∵ OE=OC，
∴ ∠OEC=∠OCE。
∵ CE//AB，
∴ ∠OCE=∠BOC，∠OEC=∠AOE。
∴ ∠BOC=∠AOE。
又∵ 在⊙O中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AE}$。
解析
【分析】
要证明同圆中两条弧相等，根据同圆中圆心角与对应弧的关系，只需证明两条弧所对的圆心角相等。首先连接OE，得到$\overset{\frown}{AE}$对应的圆心角∠AOE，$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角为∠BOC；接下来利用OE=OC得到等腰△OEC的两底角相等，再结合CE//AB的平行线内错角相等的性质，通过等量代换即可证明∠BOC=∠AOE，最后根据圆心角相等则对应弧相等的定理即可得证。
【解析】
证明：连接OE。
∵ OE、OC均为$\odot O$的半径，
∴ OE=OC，
∴ ∠OEC=∠OCE。
∵ CE//AB，
∴ ∠OCE=∠BOC，∠OEC=∠AOE。
∴ ∠BOC=∠AOE。
又
∵ 在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AE}$。
【答案】
证明：连接OE。
∵ OE=OC，
∴ ∠OEC=∠OCE。
∵ CE//AB，
∴ ∠OCE=∠BOC，∠OEC=∠AOE。
∴ ∠BOC=∠AOE。
又
∵ 在$\odot O$中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AE}$。
【知识点】
圆心角与弧的关系；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆基础性质的典型应用，解题关键是将弧相等的证明转化为圆心角相等的证明，同时结合了等腰三角形和平行线的基础性质，有助于巩固圆的相关基础定理。
【难度系数】
0.8
要证明同圆中两条弧相等，根据同圆中圆心角与对应弧的关系，只需证明两条弧所对的圆心角相等。首先连接OE，得到$\overset{\frown}{AE}$对应的圆心角∠AOE，$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角为∠BOC；接下来利用OE=OC得到等腰△OEC的两底角相等，再结合CE//AB的平行线内错角相等的性质，通过等量代换即可证明∠BOC=∠AOE，最后根据圆心角相等则对应弧相等的定理即可得证。
【解析】
证明：连接OE。
∵ OE、OC均为$\odot O$的半径，
∴ OE=OC，
∴ ∠OEC=∠OCE。
∵ CE//AB，
∴ ∠OCE=∠BOC，∠OEC=∠AOE。
∴ ∠BOC=∠AOE。
又
∵ 在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AE}$。
【答案】
证明：连接OE。
∵ OE=OC，
∴ ∠OEC=∠OCE。
∵ CE//AB，
∴ ∠OCE=∠BOC，∠OEC=∠AOE。
∴ ∠BOC=∠AOE。
又
∵ 在$\odot O$中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AE}$。
【知识点】
圆心角与弧的关系；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆基础性质的典型应用，解题关键是将弧相等的证明转化为圆心角相等的证明，同时结合了等腰三角形和平行线的基础性质，有助于巩固圆的相关基础定理。
【难度系数】
0.8
1.下列说法中,正确的是(
A.等弦所对的弧相等
B.在同圆或等圆中,等弧所对的弦相等
C.圆心角相等,所对的弦也相等
D.弦相等,所对的圆心角也相等
B
).A.等弦所对的弧相等
B.在同圆或等圆中,等弧所对的弦相等
C.圆心角相等,所对的弦也相等
D.弦相等,所对的圆心角也相等
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，解题的关键是明确相关定理的适用前提：除等弧外，所有关于圆心角、弧、弦相等的推导，都需要满足“在同圆或等圆中”这个条件，而等弧的定义本身就隐含了在同圆或等圆中能够完全重合的要求。我们可以逐个分析选项，判断每个说法是否符合定理的适用条件，从而选出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A选项：等弦所对的弧相等。首先未说明是在同圆或等圆中，半径不同的圆里长度相等的弦对应的弧长并不相等；其次即使在同圆中，一条弦对应优弧、劣弧两条弧，二者也不一定相等，因此A错误。
B选项：在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等。等弧指能够完全重合的弧，本身就满足同圆或等圆的前提，根据圆心角、弧、弦的关系定理，等弧对应的弦一定相等，因此B正确。
C选项：圆心角相等，所对的弦也相等。未说明是在同圆或等圆中，半径不同的圆里，即使圆心角度数相同，对应的弦长也不相等，因此C错误。
D选项：弦相等，所对的圆心角也相等。未说明是在同圆或等圆中，半径不同的圆里长度相等的弦对应的圆心角不相等；且同圆中一条弦对应两个分别对应优弧、劣弧的圆心角，二者也不一定相等，因此D错误。
【答案】
B
【知识点】
1.圆心角、弧、弦的关系
2.等弧的概念
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是容易忽略“同圆或等圆”这个定理的适用前提，误选A、C、D选项。学习相关定理时要记清适用条件，同时明确等弧的概念本身就包含了同圆或等圆的要求。
【难度系数】
0.7
本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，解题的关键是明确相关定理的适用前提：除等弧外，所有关于圆心角、弧、弦相等的推导，都需要满足“在同圆或等圆中”这个条件，而等弧的定义本身就隐含了在同圆或等圆中能够完全重合的要求。我们可以逐个分析选项，判断每个说法是否符合定理的适用条件，从而选出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A选项：等弦所对的弧相等。首先未说明是在同圆或等圆中，半径不同的圆里长度相等的弦对应的弧长并不相等；其次即使在同圆中，一条弦对应优弧、劣弧两条弧，二者也不一定相等，因此A错误。
B选项：在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等。等弧指能够完全重合的弧，本身就满足同圆或等圆的前提，根据圆心角、弧、弦的关系定理，等弧对应的弦一定相等，因此B正确。
C选项：圆心角相等，所对的弦也相等。未说明是在同圆或等圆中，半径不同的圆里，即使圆心角度数相同，对应的弦长也不相等，因此C错误。
D选项：弦相等，所对的圆心角也相等。未说明是在同圆或等圆中，半径不同的圆里长度相等的弦对应的圆心角不相等；且同圆中一条弦对应两个分别对应优弧、劣弧的圆心角，二者也不一定相等，因此D错误。
【答案】
B
【知识点】
1.圆心角、弧、弦的关系
2.等弧的概念
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是容易忽略“同圆或等圆”这个定理的适用前提，误选A、C、D选项。学习相关定理时要记清适用条件，同时明确等弧的概念本身就包含了同圆或等圆的要求。
【难度系数】
0.7
2.(教材 P133 习题 T11变式)如图，A,B,C,D 是$\odot O$上的四个点，且$AD=BC$，则AB与CD的大小关系为(
A.$AB＞CD$
B.$AB=CD$
C.$AB＜CD$
D.不能确定
B
).A.$AB＞CD$
B.$AB=CD$
C.$AB＜CD$
D.不能确定
答案
2. B
解析
【分析】
解题时先回忆同圆中弦与弧的对应关系：同圆内相等的弦所对的弧相等。首先根据已知AD=BC，得到弧AD和弧BC相等；再观察AB、CD对应的弧，发现两段弧都包含公共部分弧AC，将弧AD和弧BC同时加上公共弧AC，即可得到弧AB和弧CD相等；最后根据同圆内相等的弧所对的弦相等，就能判断AB与CD的大小关系。
【解析】
解：
∵在$\odot O$中，$AD=BC$，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$（同圆中，相等的弦所对的劣弧相等），
∴$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AC}$，即$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}$，
∴$AB=CD$（同圆中，相等的弧所对的弦相等）。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等弦对等弧；等弧对等弦
【点评】
本题是基础题型，核心考查同圆中弦与弧的等量转化，解题的关键是利用公共弧完成弧的等量代换，进而得到对应弦的关系，属于圆的性质的常规考查题。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆同圆中弦与弧的对应关系：同圆内相等的弦所对的弧相等。首先根据已知AD=BC，得到弧AD和弧BC相等；再观察AB、CD对应的弧，发现两段弧都包含公共部分弧AC，将弧AD和弧BC同时加上公共弧AC，即可得到弧AB和弧CD相等；最后根据同圆内相等的弧所对的弦相等，就能判断AB与CD的大小关系。
【解析】
解：
∵在$\odot O$中，$AD=BC$，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$（同圆中，相等的弦所对的劣弧相等），
∴$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AC}$，即$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}$，
∴$AB=CD$（同圆中，相等的弧所对的弦相等）。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等弦对等弧；等弧对等弦
【点评】
本题是基础题型，核心考查同圆中弦与弧的等量转化，解题的关键是利用公共弧完成弧的等量代换，进而得到对应弦的关系，属于圆的性质的常规考查题。
【难度系数】
0.9
3.如图，在$\odot O$中，若C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，$∠ A=50°$，则$∠ BOC$的度数为(
A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$60°$
A
).A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
3. A
解析
【分析】
解题时先观察图形，OA、OB都是圆的半径，因此长度相等，可得△OAB是等腰三角形，结合已知∠A的度数可先求出∠AOB的度数；再根据C是弧AB的中点，可知弧AC和弧BC相等，依据等弧所对的圆心角相等，可得∠BOC是∠AOB的一半，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ OA、OB是⊙O的半径
∴ OA=OB，即△OAB为等腰三角形
∴ ∠B=∠A=50°
根据三角形内角和为180°，得：
∠AOB=180°-∠A-∠B=180°-50°-50°=80°
∵ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
∵ 同圆中相等的弧所对的圆心角相等
∴ ∠BOC=∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×80°=40°
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 圆的半径相等 2. 等腰三角形性质 3. 圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于基础题型，主要考查圆的基本性质和等腰三角形的结合应用，解题的关键是明确弧中点的性质，结合等腰三角形内角和求出对应圆心角即可。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形，OA、OB都是圆的半径，因此长度相等，可得△OAB是等腰三角形，结合已知∠A的度数可先求出∠AOB的度数；再根据C是弧AB的中点，可知弧AC和弧BC相等，依据等弧所对的圆心角相等，可得∠BOC是∠AOB的一半，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ OA、OB是⊙O的半径
∴ OA=OB，即△OAB为等腰三角形
∴ ∠B=∠A=50°
根据三角形内角和为180°，得：
∠AOB=180°-∠A-∠B=180°-50°-50°=80°
∵ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
∵ 同圆中相等的弧所对的圆心角相等
∴ ∠BOC=∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×80°=40°
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 圆的半径相等 2. 等腰三角形性质 3. 圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于基础题型，主要考查圆的基本性质和等腰三角形的结合应用，解题的关键是明确弧中点的性质，结合等腰三角形内角和求出对应圆心角即可。
【难度系数】
0.8
4.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ C=67.5°$,以$AB$为直径的半圆与$BC$,$AC$分别相交于点$D$,$E$,则$\overset{\frown}{AE}$所对圆心角的度数为(
A.$40°$
B.$50°$
C.$90°$
D.$100°$
C
).A.$40°$
B.$50°$
C.$90°$
D.$100°$
答案
4. C
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{AE}$所对圆心角的度数，首先明确弧对应的圆心角顶点在圆心，因此先连接OE得到待求角$∠ AOE$。第一步，利用等腰三角形$AB=AC$的性质，结合已知$∠ C=67.5°$，先求出$△ ABC$的顶角$∠ BAC$的度数；第二步，根据同圆的半径相等，可知$OA=OE$，即$△ AOE$为等腰三角形，两个底角与$∠ BAC$相等；第三步，利用三角形内角和定理即可算出$∠ AOE$的度数，也就是所求圆心角的度数。
【解析】
解：连接$OE$。
$\because AB=AC$，$∠ C=67.5°$
$\therefore ∠ ABC=∠ C=67.5°$
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ C=180°-67.5°×2=45°$
$\because OA$、$OE$都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OE$
$\therefore △ AOE$为等腰三角形，$∠ OEA=∠ OAE=∠ BAC=45°$
$\therefore ∠ AOE=180°-∠ OAE-∠ OEA=180°-45°-45°=90°$
即$\overset{\frown}{AE}$所对圆心角的度数为$90°$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆心角的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是正确作出辅助线构造圆心角，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理逐步推导即可，能够考察学生对基础几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要计算$\overset{\frown}{AE}$所对圆心角的度数，首先明确弧对应的圆心角顶点在圆心，因此先连接OE得到待求角$∠ AOE$。第一步，利用等腰三角形$AB=AC$的性质，结合已知$∠ C=67.5°$，先求出$△ ABC$的顶角$∠ BAC$的度数；第二步，根据同圆的半径相等，可知$OA=OE$，即$△ AOE$为等腰三角形，两个底角与$∠ BAC$相等；第三步，利用三角形内角和定理即可算出$∠ AOE$的度数，也就是所求圆心角的度数。
【解析】
解：连接$OE$。
$\because AB=AC$，$∠ C=67.5°$
$\therefore ∠ ABC=∠ C=67.5°$
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ C=180°-67.5°×2=45°$
$\because OA$、$OE$都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OE$
$\therefore △ AOE$为等腰三角形，$∠ OEA=∠ OAE=∠ BAC=45°$
$\therefore ∠ AOE=180°-∠ OAE-∠ OEA=180°-45°-45°=90°$
即$\overset{\frown}{AE}$所对圆心角的度数为$90°$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆心角的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是正确作出辅助线构造圆心角，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理逐步推导即可，能够考察学生对基础几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
