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5.如图，点E在y轴上，$\odot E$与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D。若$C(0,9)$，$D(0,-1)$，则线段AB的长为(
A.3
B.4
C.6
D.8
C
)。A.3
B.4
C.6
D.8
答案
5. C
解析
【分析】
解题可按三步展开：第一步，根据C、D两点在y轴上的坐标，先求出圆的直径、半径，同时算出圆心E的坐标；第二步，结合垂径定理，因为圆心E在y轴上，y轴与x轴互相垂直，因此y轴垂直平分弦AB，可得AB=2AO；第三步，连接AE构造直角三角形，借助勾股定理求出AO的长度，即可算出AB的长。
【解析】
已知$C(0,9)$，$D(0,-1)$，则CD的长度为$9-(-1)=10$，因此$\odot E$的半径为$10÷2=5$。
因为点E是CD的中点，所以E点的纵坐标为$\frac{9+(-1)}{2}=4$，即$E(0,4)$，因此$OE=4$。
连接AE，由于E在y轴上，y轴$⊥$x轴，根据垂径定理可知y轴垂直平分AB，即$AB=2AO$。
在$Rt△ AOE$中，$AE=5$，$OE=4$，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AE^2-OE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
因此$AB=2×3=6$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，坐标与图形性质
【点评】
本题是圆中求弦长的典型题型，核心考查垂径定理与勾股定理的结合应用，解题的关键是先确定圆心坐标和圆的半径，再构造直角三角形求解，难度适中。
【难度系数】
0.7
解题可按三步展开：第一步，根据C、D两点在y轴上的坐标，先求出圆的直径、半径，同时算出圆心E的坐标；第二步，结合垂径定理，因为圆心E在y轴上，y轴与x轴互相垂直，因此y轴垂直平分弦AB，可得AB=2AO；第三步，连接AE构造直角三角形，借助勾股定理求出AO的长度，即可算出AB的长。
【解析】
已知$C(0,9)$，$D(0,-1)$，则CD的长度为$9-(-1)=10$，因此$\odot E$的半径为$10÷2=5$。
因为点E是CD的中点，所以E点的纵坐标为$\frac{9+(-1)}{2}=4$，即$E(0,4)$，因此$OE=4$。
连接AE，由于E在y轴上，y轴$⊥$x轴，根据垂径定理可知y轴垂直平分AB，即$AB=2AO$。
在$Rt△ AOE$中，$AE=5$，$OE=4$，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AE^2-OE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
因此$AB=2×3=6$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，坐标与图形性质
【点评】
本题是圆中求弦长的典型题型，核心考查垂径定理与勾股定理的结合应用，解题的关键是先确定圆心坐标和圆的半径，再构造直角三角形求解，难度适中。
【难度系数】
0.7
6.在$\odot O$中,直径$AB=15$,弦$DE⊥ AB$,垂足为$C$.若$OC:OB=3:5$,则$DE$的长为(
A.$6$
B.$9$
C.$12$
D.$15$
C
).A.$6$
B.$9$
C.$12$
D.$15$
答案
6. C
解析
【分析】
解题思路：本题考查垂径定理的应用，要求弦DE被直径AB垂直平分，因此只需求出DE的一半长度即可推出DE全长。第一步先根据直径长度求出圆的半径，得到OD、OB均为半径；第二步根据OC与OB的比例关系求出OC的长度；第三步连接OD构造直角三角形OCD，用勾股定理求出半弦长DC；第四步利用垂径定理得DE=2DC，即可求出最终结果。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=15$
∴半径$OB=OD=\frac{1}{2}AB=7.5$
∵$OC:OB=3:5$
∴$OC=\frac{3}{5}× OB=\frac{3}{5}×7.5=4.5$
∵$DE⊥ AB$，AB为$\odot O$的直径
根据垂径定理可得：$DC=CE=\frac{1}{2}DE$
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{OD^2-OC^2}=\sqrt{7.5^2-4.5^2}=\sqrt{36}=6$
∴$DE=2DC=2×6=12$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是垂径定理的基础应用题型，解题核心是通过垂直于弦的直径构造直角三角形，结合勾股定理求解弦长，是圆章节的高频基础考点，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
解题思路：本题考查垂径定理的应用，要求弦DE被直径AB垂直平分，因此只需求出DE的一半长度即可推出DE全长。第一步先根据直径长度求出圆的半径，得到OD、OB均为半径；第二步根据OC与OB的比例关系求出OC的长度；第三步连接OD构造直角三角形OCD，用勾股定理求出半弦长DC；第四步利用垂径定理得DE=2DC，即可求出最终结果。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=15$
∴半径$OB=OD=\frac{1}{2}AB=7.5$
∵$OC:OB=3:5$
∴$OC=\frac{3}{5}× OB=\frac{3}{5}×7.5=4.5$
∵$DE⊥ AB$，AB为$\odot O$的直径
根据垂径定理可得：$DC=CE=\frac{1}{2}DE$
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{OD^2-OC^2}=\sqrt{7.5^2-4.5^2}=\sqrt{36}=6$
∴$DE=2DC=2×6=12$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是垂径定理的基础应用题型，解题核心是通过垂直于弦的直径构造直角三角形，结合勾股定理求解弦长，是圆章节的高频基础考点，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
7.已知$\odot O$的直径为10，弦$AB=6$，$P$是弦$AB$上一动点，则$OP$的取值范围是
$4≤ OP≤ 5$
。答案
7. $4≤ OP≤ 5$
解析
【分析】
要确定OP的取值范围，需分别求出OP的最小值和最大值：①最大值：圆心到弦端点的距离为半径，即当P与A或B重合时，OP最长；②最小值：根据垂线段最短，圆心到弦AB的垂线段长度是OP的最小值，可利用垂径定理结合勾股定理求出该垂线段长度，最终就能得到OP的取值范围。
【解析】
∵$\odot O$的直径为10，
∴$\odot O$的半径$OA=OB=5$。
过点O作$OC⊥AB$于点C，根据垂径定理可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
在$Rt△AOC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4$。
∵P是弦AB上一动点，根据垂线段最短可知：
当P与点C重合时，OP最短，最小值为4；
当P与点A（或B）重合时，OP最长，最大值为5。
∴OP的取值范围是$4≤OP≤5$。
【答案】
$4≤ OP≤ 5$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；垂线段最短
【点评】
本题是圆中求线段取值范围的基础题，核心是结合几何最值规律确定OP的临界值，解题关键是利用垂径定理和勾股定理求出弦心距，属于圆章节的常见基础考点。
【难度系数】
0.8
要确定OP的取值范围，需分别求出OP的最小值和最大值：①最大值：圆心到弦端点的距离为半径，即当P与A或B重合时，OP最长；②最小值：根据垂线段最短，圆心到弦AB的垂线段长度是OP的最小值，可利用垂径定理结合勾股定理求出该垂线段长度，最终就能得到OP的取值范围。
【解析】
∵$\odot O$的直径为10，
∴$\odot O$的半径$OA=OB=5$。
过点O作$OC⊥AB$于点C，根据垂径定理可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
在$Rt△AOC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4$。
∵P是弦AB上一动点，根据垂线段最短可知：
当P与点C重合时，OP最短，最小值为4；
当P与点A（或B）重合时，OP最长，最大值为5。
∴OP的取值范围是$4≤OP≤5$。
【答案】
$4≤ OP≤ 5$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；垂线段最短
【点评】
本题是圆中求线段取值范围的基础题，核心是结合几何最值规律确定OP的临界值，解题关键是利用垂径定理和勾股定理求出弦心距，属于圆章节的常见基础考点。
【难度系数】
0.8
8.已知$\odot O$的半径是2，$P$为$\odot O$内一定点，且$PO=1$.过点$P$作$\odot O$的弦，其中最短的弦的长度是（
A.4
B.$\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.2
C
）.A.4
B.$\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.2
答案
8. C
解析
【分析】
要解决过圆内定点的最短弦长问题，首先需明确圆内弦长的变化规律：过圆内一点的弦中，最长弦为直径，最短弦是与该点和圆心的连线垂直的弦。原因是弦长公式为$l=2\sqrt{r^2-d^2}$（$r$为圆半径，$d$为圆心到弦的距离），半径固定时，$d$越大弦长越短，当过点$P$的弦与$OP$垂直时，圆心到弦的距离$d$最大（等于$OP$的长度），此时弦长最短。确定最短弦位置后，结合垂径定理和勾股定理即可计算弦长。
【解析】
过点$P$作弦$AB⊥ OP$，交$\odot O$于$A、B$两点，此时$AB$为过点$P$的最短弦。
连接$OA$，由垂径定理可知：点$P$是$AB$的中点，即$AB=2AP$。
已知$\odot O$半径$OA=2$，$OP=1$，在$Rt△ OPA$中，由勾股定理得：
$AP=\sqrt{OA^2-OP^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
因此最短弦长$AB=2AP=2\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆内弦长性质
【点评】
本题是圆的弦长计算的基础题型，解题关键是准确判断过圆内定点的最短弦的位置，再结合垂径定理和勾股定理计算即可，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决过圆内定点的最短弦长问题，首先需明确圆内弦长的变化规律：过圆内一点的弦中，最长弦为直径，最短弦是与该点和圆心的连线垂直的弦。原因是弦长公式为$l=2\sqrt{r^2-d^2}$（$r$为圆半径，$d$为圆心到弦的距离），半径固定时，$d$越大弦长越短，当过点$P$的弦与$OP$垂直时，圆心到弦的距离$d$最大（等于$OP$的长度），此时弦长最短。确定最短弦位置后，结合垂径定理和勾股定理即可计算弦长。
【解析】
过点$P$作弦$AB⊥ OP$，交$\odot O$于$A、B$两点，此时$AB$为过点$P$的最短弦。
连接$OA$，由垂径定理可知：点$P$是$AB$的中点，即$AB=2AP$。
已知$\odot O$半径$OA=2$，$OP=1$，在$Rt△ OPA$中，由勾股定理得：
$AP=\sqrt{OA^2-OP^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
因此最短弦长$AB=2AP=2\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆内弦长性质
【点评】
本题是圆的弦长计算的基础题型，解题关键是准确判断过圆内定点的最短弦的位置，再结合垂径定理和勾股定理计算即可，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
9. 如图，在$△ ABC$ 中，已知$∠ ACB = 130°$，$∠ BAC = 20°$，$BC = 2$，以点 C 为圆心，CB 为半径的圆交 AB 于点 D，则 BD 的长为
$2\sqrt{3}$
。答案
9. $2\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠B的度数；由于CD、CB均为圆C的半径，可得CD=CB，△CBD为等腰三角形；要求弦BD的长，结合垂径定理，过圆心C作CE⊥BD于E，可知E为BD中点，即BD=2BE；最后在Rt△BCE中利用30°直角三角形的性质和勾股定理求出BE的长度，即可得到BD的长。
【解析】
1. 在△ABC中，根据三角形内角和为180°，计算∠B的度数：
$∠ B = 180° - ∠ BAC - ∠ ACB = 180° - 20° - 130° = 30°$
2. 过点C作$CE⊥ BD$于点E，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$BD=2BE$。
3. 在$Rt△ BCE$中，$∠ B=30°$，斜边$BC=2$，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$CE=\frac{1}{2}BC=1$。
4. 根据勾股定理计算$BE$：
$BE=\sqrt{BC^2 - CE^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$
5. 因此$BD=2BE=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理，三角形内角和定理，勾股定理
【点评】
本题结合圆的性质与三角形知识考查弦长计算，解题的核心是通过作垂线构造直角三角形，将弦长求解转化为直角三角形的边长计算，是垂径定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠B的度数；由于CD、CB均为圆C的半径，可得CD=CB，△CBD为等腰三角形；要求弦BD的长，结合垂径定理，过圆心C作CE⊥BD于E，可知E为BD中点，即BD=2BE；最后在Rt△BCE中利用30°直角三角形的性质和勾股定理求出BE的长度，即可得到BD的长。
【解析】
1. 在△ABC中，根据三角形内角和为180°，计算∠B的度数：
$∠ B = 180° - ∠ BAC - ∠ ACB = 180° - 20° - 130° = 30°$
2. 过点C作$CE⊥ BD$于点E，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$BD=2BE$。
3. 在$Rt△ BCE$中，$∠ B=30°$，斜边$BC=2$，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$CE=\frac{1}{2}BC=1$。
4. 根据勾股定理计算$BE$：
$BE=\sqrt{BC^2 - CE^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$
5. 因此$BD=2BE=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理，三角形内角和定理，勾股定理
【点评】
本题结合圆的性质与三角形知识考查弦长计算，解题的核心是通过作垂线构造直角三角形，将弦长求解转化为直角三角形的边长计算，是垂径定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
10.如图，$\odot O$的直径$AB$和弦$CD$相交于点$M$.已知$AM=5$，$BM=1$，$∠ CMB=60°$，则$CD$的长为
$2\sqrt{6}$
.答案
10. $2\sqrt{6}$
解析
【分析】
要求弦CD的长度，可利用垂径定理求解，首先过圆心O作CD的垂线，将CD转化为两段等长的线段，只需计算单段长度再乘2即可。第一步先计算圆的半径与线段OM的长度，再结合∠CMB=60°求出圆心到CD的距离，最后连接半径，用勾股定理求出半弦长，即可得到CD的总长。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，AM=5，BM=1
∴AB=AM+BM=6，⊙O的半径OC=OB=3
∴OM=OB-BM=3-1=2
过点O作OE⊥CD于点E，由垂径定理得：$CE=DE=\frac{1}{2}CD$
∵∠CMB=60°，
∴在Rt△OME中，∠OME=60°
∴$OE=OM·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
连接OC，在Rt△OCE中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2 - OE^2}=\sqrt{3^2 - (\sqrt{3})^2}=\sqrt{9-3}=\sqrt{6}$
∴$CD=2CE=2\sqrt{6}$
【答案】
$2\sqrt{6}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题型，核心解题思路是过圆心作弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握该类辅助线的做法是解题的关键。
【难度系数】
0.6
要求弦CD的长度，可利用垂径定理求解，首先过圆心O作CD的垂线，将CD转化为两段等长的线段，只需计算单段长度再乘2即可。第一步先计算圆的半径与线段OM的长度，再结合∠CMB=60°求出圆心到CD的距离，最后连接半径，用勾股定理求出半弦长，即可得到CD的总长。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，AM=5，BM=1
∴AB=AM+BM=6，⊙O的半径OC=OB=3
∴OM=OB-BM=3-1=2
过点O作OE⊥CD于点E，由垂径定理得：$CE=DE=\frac{1}{2}CD$
∵∠CMB=60°，
∴在Rt△OME中，∠OME=60°
∴$OE=OM·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
连接OC，在Rt△OCE中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2 - OE^2}=\sqrt{3^2 - (\sqrt{3})^2}=\sqrt{9-3}=\sqrt{6}$
∴$CD=2CE=2\sqrt{6}$
【答案】
$2\sqrt{6}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题型，核心解题思路是过圆心作弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握该类辅助线的做法是解题的关键。
【难度系数】
0.6
11.已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图).求证:AC=BD.
答案
证明：
过点O作OE⊥AB于点E。
∵ OE⊥AB，AB是大圆的弦，
∴ 由垂径定理可得：AE = BE。
∵ OE⊥CD，CD是小圆的弦，
∴ 由垂径定理可得：CE = DE。
∴ AE - CE = BE - DE，
即 AC = BD。
过点O作OE⊥AB于点E。
∵ OE⊥AB，AB是大圆的弦，
∴ 由垂径定理可得：AE = BE。
∵ OE⊥CD，CD是小圆的弦，
∴ 由垂径定理可得：CE = DE。
∴ AE - CE = BE - DE，
即 AC = BD。
解析
【分析】
要证明AC=BD，观察可知线段AC、BD均在弦AB上，AB为大圆的弦，线段CD为小圆的弦。涉及圆中弦的线段相等问题，优先使用垂径定理求解，圆中弦类问题的常用辅助线是过圆心作弦的垂线，因此我们过点O作AB的垂线，借助垂径定理分别得到AB、CD的平分线段，再通过线段的差运算即可推出结论。
【解析】
证明：过点O作OE⊥AB于点E。
∵ OE⊥AB，AB是大圆的弦，
∴ 由垂径定理可得：AE = BE。
∵ OE⊥CD，CD是小圆的弦，
∴ 由垂径定理可得：CE = DE。
∴ AE - CE = BE - DE，
即 AC = BD。
【答案】
证明：过点O作OE⊥AB于点E。
∵ OE⊥AB，AB是大圆的弦，
∴ 由垂径定理可得：AE = BE。
∵ OE⊥CD，CD是小圆的弦，
∴ 由垂径定理可得：CE = DE。
∴ AE - CE = BE - DE，
即 AC = BD。
【知识点】
垂径定理；线段和差运算
【点评】
本题是圆章节的基础题型，重点考察垂径定理的应用，解题的核心是掌握弦类问题的常用辅助线作法：过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到等线段后，结合线段和差关系即可快速推导结论。
【难度系数】
0.8
要证明AC=BD，观察可知线段AC、BD均在弦AB上，AB为大圆的弦，线段CD为小圆的弦。涉及圆中弦的线段相等问题，优先使用垂径定理求解，圆中弦类问题的常用辅助线是过圆心作弦的垂线，因此我们过点O作AB的垂线，借助垂径定理分别得到AB、CD的平分线段，再通过线段的差运算即可推出结论。
【解析】
证明：过点O作OE⊥AB于点E。
∵ OE⊥AB，AB是大圆的弦，
∴ 由垂径定理可得：AE = BE。
∵ OE⊥CD，CD是小圆的弦，
∴ 由垂径定理可得：CE = DE。
∴ AE - CE = BE - DE，
即 AC = BD。
【答案】
证明：过点O作OE⊥AB于点E。
∵ OE⊥AB，AB是大圆的弦，
∴ 由垂径定理可得：AE = BE。
∵ OE⊥CD，CD是小圆的弦，
∴ 由垂径定理可得：CE = DE。
∴ AE - CE = BE - DE，
即 AC = BD。
【知识点】
垂径定理；线段和差运算
【点评】
本题是圆章节的基础题型，重点考察垂径定理的应用，解题的核心是掌握弦类问题的常用辅助线作法：过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到等线段后，结合线段和差关系即可快速推导结论。
【难度系数】
0.8
12.如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2 m，净高CD为5 m，求圆拱形门所在圆的半径长.
答案
12. 2.6 m
解析
【分析】
解决这类圆拱形的计算问题，首先想到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦。我们可以通过连接圆心和弦的端点，构造出直角三角形，将圆的半径、半弦长、弦心距放到直角三角形中，再利用勾股定理列方程求解未知的半径，这是圆中弦长相关计算的常用思路。
【解析】
解：连接OA，设圆拱形门所在圆的半径为$ r \, \mathrm{m} $，则$ OA = OC = r \, \mathrm{m} $。
由题意可知$ CD ⊥ AB $，$ CD = 5 \, \mathrm{m} $，$ AB = 2 \, \mathrm{m} $。
根据垂径定理，$ AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 2 = 1 \, \mathrm{m} $，
且$ OD = CD - OC = (5 - r) \, \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，由勾股定理得：
$ OA^2 = AD^2 + OD^2 $
代入数据得：$ r^2 = 1^2 + (5 - r)^2 $
展开计算：$ r^2 = 1 + 25 - 10r + r^2 $
消去$ r^2 $后整理得：$ 10r = 26 $
解得：$ r = 2.6 $
【答案】
2.6 m
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型基础题，解题关键是利用垂径定理构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，熟练掌握该模型即可轻松解决同类问题。
【难度系数】
0.7
解决这类圆拱形的计算问题，首先想到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦。我们可以通过连接圆心和弦的端点，构造出直角三角形，将圆的半径、半弦长、弦心距放到直角三角形中，再利用勾股定理列方程求解未知的半径，这是圆中弦长相关计算的常用思路。
【解析】
解：连接OA，设圆拱形门所在圆的半径为$ r \, \mathrm{m} $，则$ OA = OC = r \, \mathrm{m} $。
由题意可知$ CD ⊥ AB $，$ CD = 5 \, \mathrm{m} $，$ AB = 2 \, \mathrm{m} $。
根据垂径定理，$ AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 2 = 1 \, \mathrm{m} $，
且$ OD = CD - OC = (5 - r) \, \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，由勾股定理得：
$ OA^2 = AD^2 + OD^2 $
代入数据得：$ r^2 = 1^2 + (5 - r)^2 $
展开计算：$ r^2 = 1 + 25 - 10r + r^2 $
消去$ r^2 $后整理得：$ 10r = 26 $
解得：$ r = 2.6 $
【答案】
2.6 m
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型基础题，解题关键是利用垂径定理构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，熟练掌握该模型即可轻松解决同类问题。
【难度系数】
0.7
13.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧$\overset{\frown}{AB}$,点$O$是这段弧所在圆的圆心,$AB=30\ \mathrm{m}$,$C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点,$D$是$AB$的中点,$CD ⊥ AB$,垂足为$D$,且$CD=5\ \mathrm{m}$,求这段弯路所在圆的半径长.
答案
25 m
解析
【分析】
本题考查圆中半径的求解，解题思路如下：①根据垂径定理的推论，弧的中点、弦的中点的连线垂直于弦且过圆心，因此O、D、C三点共线；②连接OA，将已知的弦长、CD的长度转化到直角三角形OAD中，设圆的半径为r，分别用含r的式子表示出直角三角形的各边长；③利用勾股定理列方程求解即可得到半径长度。
【解析】
连接OA，设这段弯路所在圆的半径为$ r\ \mathrm{m} $。
∵ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，D是AB的中点，$ CD ⊥ AB $，
根据垂径定理可知，O、D、C三点在同一条直线上，
∴ $ OD = OC - CD = (r - 5)\ \mathrm{m} $，$ AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 30 = 15\ \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，由勾股定理得：
$ OA^2 = OD^2 + AD^2 $
代入数据得：
$ r^2 = (r - 5)^2 + 15^2 $
展开并整理方程：
$ r^2 = r^2 - 10r + 25 + 225 $
移项得：$ 10r = 250 $
解得：$ r = 25 $
【答案】
25 m
【知识点】
垂径定理，勾股定理，方程思想
【点评】
本题是圆的基础应用题型，解题的核心是利用垂径定理构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，考查了学生对基础定理的应用和数形结合的能力。
【难度系数】
0.7
本题考查圆中半径的求解，解题思路如下：①根据垂径定理的推论，弧的中点、弦的中点的连线垂直于弦且过圆心，因此O、D、C三点共线；②连接OA，将已知的弦长、CD的长度转化到直角三角形OAD中，设圆的半径为r，分别用含r的式子表示出直角三角形的各边长；③利用勾股定理列方程求解即可得到半径长度。
【解析】
连接OA，设这段弯路所在圆的半径为$ r\ \mathrm{m} $。
∵ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，D是AB的中点，$ CD ⊥ AB $，
根据垂径定理可知，O、D、C三点在同一条直线上，
∴ $ OD = OC - CD = (r - 5)\ \mathrm{m} $，$ AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 30 = 15\ \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，由勾股定理得：
$ OA^2 = OD^2 + AD^2 $
代入数据得：
$ r^2 = (r - 5)^2 + 15^2 $
展开并整理方程：
$ r^2 = r^2 - 10r + 25 + 225 $
移项得：$ 10r = 250 $
解得：$ r = 25 $
【答案】
25 m
【知识点】
垂径定理，勾股定理，方程思想
【点评】
本题是圆的基础应用题型，解题的核心是利用垂径定理构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，考查了学生对基础定理的应用和数形结合的能力。
【难度系数】
0.7
