5.如图,点A,B,C在$\odot O$上,且$\overset{\frown}{AB}$的长等于$\overset{\frown}{AC}$长的2倍,则下列结论正确的是().


A.$AB=2AC$
B.$AB＞2AC$
C.$AB＜2AC$
D.以上结论都不对

5. C

【分析】
要解决本题，首先不能直接认为弧长为2倍则对应弦长也为2倍，需将弧的数量关系转化为弦的关系：先取弧AB的中点，把弧AB拆分为两条和弧AC长度相等的弧，根据同圆中等弧对等弦得到相等的弦，再借助三角形三边关系即可比较AB和2AC的大小。
【解析】
取$\overset{\frown}{AB}$的中点D，连接$AD$、$BD$。
∵ $\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$，
∵ 同圆中等弧对等弦，
∴ $AD=BD=AC$。
在$△ ABD$中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得$AD+BD＞AB$，
代入$AD=BD=AC$，得$AC+AC＞AB$，即$2AC＞AB$，也就是$AB＜2AC$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 同圆中弧与弦的关系
2. 三角形三边关系
【点评】
本题的易错点是直接根据弧长的倍数关系判定弦长也为相同倍数，解题关键是通过作辅助线拆分弧长，将弧的关系转化为弦的关系，再结合三角形三边关系判断大小，能很好地考查对圆的基本性质和三角形性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6

6.如图，A，B，C，D都是$\odot O$上的点.若$CD=BD$，$∠ AOC=108°$，则$∠ AOD$的度数为。

6. 144°

【分析】
解题时首先回忆同圆中圆心角与弦的关系定理：同圆内相等的弦所对的圆心角相等。第一步，AB是圆的直径，对应平角180°，结合已知∠AOC=108°，先求出∠COB的度数；第二步，由CD=BD，可得这两条弦对应的圆心角∠COD和∠BOD相等，据此求出∠BOD的度数；第三步，用平角180°减去∠BOD的度数，即可得到∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB=180°$，
∵$∠ AOC=108°$，
∴$∠ COB=∠ AOB-∠ AOC=180°-108°=72°$，
∵在$\odot O$中，$CD=BD$，
∴$∠ COD=∠ BOD$（同圆中相等的弦所对的圆心角相等），
∴$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ COB=\frac{1}{2}×72°=36°$，
∴$∠ AOD=∠ AOB-∠ BOD=180°-36°=144°$。
【答案】
$144°$
【知识点】
圆心角与弦的关系；平角的定义
【点评】
本题考查同圆内圆心角与弦的对应关系，解题核心是利用等弦对等圆心角的性质求出∠BOD的度数，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

7.如图，点A在半圆O上，BC是直径，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$。若$BC=3\sqrt{2}$，则AB的长为。

7. 3

【分析】
解题时首先结合直径的性质推导角的度数：BC是半圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得∠BAC=90°；再根据弧与弦的对应关系：同圆中等弧对等弦，由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$可推出AB=AC，即△ABC是等腰直角三角形；最后已知斜边BC的长度，利用勾股定理即可计算出AB的长。
【解析】
解：
∵BC是半圆O的直径，点A在半圆O上
∴∠BAC=90°（直径所对的圆周角是直角）
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$
∴AB=AC（同圆中，相等的弧所对的弦相等）
∴△ABC为等腰直角三角形
设AB=AC=x，由勾股定理得：
$AB^2+AC^2=BC^2$
代入$BC=3\sqrt{2}$，得：
$x^2+x^2=(3\sqrt{2})^2$
$2x^2=18$
$x^2=9$
解得$x=3$（线段长度为正，舍去负根）
即AB的长为3。
【答案】
3
【知识点】
圆周角定理推论；弧弦的关系；勾股定理
【点评】
本题属于基础题，主要结合圆的基本性质考查等腰直角三角形的判定与计算，解题的关键是利用圆的性质快速判断出△ABC的形状，再结合勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.8

8.如图,AB是$\odot O$的直径,$∠ BOD=120°$,C为$\overset{\frown}{BD}$的中点,AC交OD于点E.若$DE=1$,则AE的长为().

A.$2\sqrt{5}$
B.$\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$

8. D

【分析】
解题时先连接辅助线OC，结合已知条件逐步推导：首先根据平角定义求出∠AOD的度数，再利用弧与圆心角的对应关系得到∠COD的度数，接着通过等腰三角形内角和求出∠OAC的度数，判断出△AEO是直角三角形，最后结合30°直角三角形的性质和勾股定理计算AE的长度。
【解析】
连接OC，步骤如下：
1. 因为AB是$\odot O$的直径，$∠ BOD=120°$，所以$∠ AOD=180° - ∠ BOD=60°$。
2. 因为C为$\overset{\frown}{BD}$的中点，所以$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}$，对应圆心角相等，即$∠ COD=∠ COB=\frac{1}{2}∠ BOD=60°$。
3. 可得$∠ AOC=∠ AOD+∠ COD=120°$，又$OA=OC$（都是$\odot O$的半径），所以$△ AOC$为等腰三角形，$∠ OAC=\frac{180° - 120°}{2}=30°$。
4. 在$△ AEO$中，$∠ AEO=180° - ∠ OAC - ∠ AOD=180° - 30° - 60°=90°$，即$OD⊥ AC$。
5. 设$\odot O$半径为$r$，则$OA=OD=r$，$OE=OD-DE=r-1$。在$Rt△ AEO$中，30°角对的直角边等于斜边的一半，即$OE=\frac{1}{2}OA$，代入得$r-1=\frac{1}{2}r$，解得$r=2$。
6. 由勾股定理得$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】D
【知识点】
圆心角与弧的关系，直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质与特殊三角形性质的综合应用题，解题的关键是正确作出辅助线，通过圆心角的度数关系推导出直角三角形，再结合特殊角的性质求解边长。
【难度系数】
0.6

9.如图，已知点A，B，C，D在$\odot O$上，$AB = CD$.求证：$∠ AOC = ∠ BOD$.

证明：
∵ 点A，B，C，D在⊙O上，AB=CD，
∴ 在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等，即∠AOB = ∠COD，
∴ ∠AOB - ∠COB = ∠COD - ∠COB，
即∠AOC = ∠BOD。

【分析】
要证明∠AOC=∠BOD，首先从已知条件入手：A、B、C、D都在同一个圆⊙O上，且弦AB=CD，根据同圆中弦和圆心角的对应关系，相等的弦所对的圆心角相等，可先推出∠AOB=∠COD；再观察图形可知∠AOB和∠COD都包含公共角∠COB，根据等式的性质，两个相等的角同时减去同一个公共角，剩余的角仍然相等，即可推导出待证结论。
【解析】
证明：
∵ 点A，B，C，D在⊙O上，AB=CD，
∴ 在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等，即∠AOB = ∠COD，
∴ ∠AOB - ∠COB = ∠COD - ∠COB，
即∠AOC = ∠BOD。
【答案】
证明：
∵ 点A，B，C，D在⊙O上，AB=CD，
∴ 在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等，即∠AOB = ∠COD，
∴ ∠AOB - ∠COB = ∠COD - ∠COB，
即∠AOC = ∠BOD。
【知识点】
1. 圆心角与弦的关系
2. 角的和差计算
【点评】
本题属于基础类证明题，核心是对同圆中弦与圆心角对应性质的应用，熟练掌握相关基础性质，结合图形的角的和差关系即可快速解题，主要考查对基础定理的掌握和简单应用能力。
【难度系数】
0.8

10.如图,在$\odot O$中,半径OC,OD分别交弦AB于点E,F,且$OE=OF$.求证:

(1)$AE=BF$;
(2)$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.

证明：
(1) 过点O作$OG ⊥ AB$于点G，
由垂径定理得：$AG = BG$。
∵ $OE = OF$，$OG ⊥ EF$，
∴ $EG = FG$。
∴ $AG - EG = BG - FG$，
即 $AE = BF$。
(2) 连接$OA$、$OB$，
∵ $OA = OB$，
∴ $∠ A = ∠ B$。
∵ $OE = OF$，
∴ $∠ OEF = ∠ OFE$，
∴ $180° - ∠ A - ∠ OEF = 180° - ∠ B - ∠ OFE$，
即 $∠ AOC = ∠ BOD$。
∵ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。

【分析】
本题为圆的基础证明题，可拆分两小问梳理思路：
(1)要证$AE=BF$，首先想到利用垂径定理处理弦的等分关系：过圆心$O$作$AB$的垂线，即可得到$AG=BG$；再结合已知$OE=OF$，可知$△ OEF$为等腰三角形，所作的垂线$OG$同时垂直于$EF$，根据等腰三角形三线合一可得$EG=FG$，两组相等线段对应相减即可推出$AE=BF$。
(2)要证$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，根据同圆中“相等的圆心角所对的弧相等”的性质，只需证明两段弧对应的圆心角$∠ AOC=∠ BOD$即可。连接半径$OA$、$OB$，可得$OA=OB$，进而得到$∠ A=∠ B$；再结合$OE=OF$推出$∠ OEF=∠ OFE$，利用三角形内角和的性质推导即可得到两个圆心角相等，最终推出弧相等。
【解析】
(1) 过点$O$作$OG ⊥ AB$于点G，
由垂径定理得：$AG = BG$。
$\because OE = OF$，$OG ⊥ EF$，
$\therefore$ 由等腰三角形三线合一性质得$EG = FG$。
$\therefore AG - EG = BG - FG$，即$AE = BF$。
(2) 连接$OA$、$OB$，
$\because OA$、$OB$均为$\odot O$的半径，$\therefore OA = OB$，
$\therefore ∠ A = ∠ B$。
$\because OE = OF$，$\therefore ∠ OEF = ∠ OFE$，
$\therefore 180° - ∠ A - ∠ OEF = 180° - ∠ B - ∠ OFE$，即$∠ AOC = ∠ BOD$。
$\because$ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
【答案】
(1) $AE=BF$，证明见上述过程；
(2) $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，证明见上述过程。
【知识点】
垂径定理；等腰三角形的性质；圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆的性质的基础考查题，解题的关键是合理添加辅助线，将待证的线段、弧相等关系转化为熟悉的角度、线段相等问题，熟练掌握垂径定理和圆心角与弧的对应关系是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.75

11. 如图，已知$\odot O$的直径$CD$为4，$∠ AOD$的度数为$60°$，B是$\overset{\frown}{AD}$的中点，在直径$CD$上找一点$P$，使$BP+AP$的值最小，则$BP+AP$的最小值是().


A.$2\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.$2$
D.$4$

11. A

【分析】
本题属于圆背景下的最短路径问题，解题核心是利用轴对称转化线段，结合两点之间线段最短求最小值。首先我们需要将其中一个点沿直径CD作对称点，把BP+AP转化为共线时的线段长度；再结合圆心角的性质求出对应夹角，最后用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
1. 作点A关于直径CD的对称点A'，连接A'B交CD于点P，此时BP+AP取得最小值，最小值为线段A'B的长度。
原理：由轴对称性质得AP=A'P，因此BP+AP=BP+A'P，根据两点之间线段最短，当B、P、A'三点共线时和最小，即为A'B的长。
2. 连接OA'、OB：
已知∠AOD=60°，由轴对称性质可得∠A'OD=∠AOD=60°；
因为B是$\overset{\frown}{AD}$的中点，同圆中等弧对应的圆心角相等，因此$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ AOD=30°$；
因此$∠ A'OB=∠ A'OD+∠ BOD=60°+30°=90°$。
3. 已知$\odot O$的直径CD=4，因此半径OA'=OB=2。
在$Rt△ A'OB$中，由勾股定理得：
$A'B=\sqrt{OA'^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
因此BP+AP的最小值为$2\sqrt{2}$。
【答案】
A
【知识点】
轴对称最短路径；圆心角的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何最值的典型考法，解题的关键是熟练掌握“将军饮马”模型的对称转化思路，结合圆的圆心角性质构造直角三角形计算线段长度，同时要注意对称点的选择不影响最终结果，也可通过作B的对称点进行求解。
【难度系数】
0.6