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1. 下列从左到右的变形中,属于因式分解的是(
A.$(x+3)(x-3)=x^2 -9$
B.$x^2 -9 +x=(x+3)(x-3)-x$
C.$xy^2 -x^2 y=xy(y -x)$
D.$x^2 +5x +4=x(x+5)+4$
C
).A.$(x+3)(x-3)=x^2 -9$
B.$x^2 -9 +x=(x+3)(x-3)-x$
C.$xy^2 -x^2 y=xy(y -x)$
D.$x^2 +5x +4=x(x+5)+4$
答案
1. C
解析
【分析】
要判断是否属于因式分解，首先需明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，叫做因式分解。判断时需抓住三个核心要点：1. 左边的原式是多项式；2. 右边的结果必须是几个整式相乘的形式，不能是加减运算的和/差形式；3. 左右两边是恒等变形，值相等。接下来带着这三个标准逐一排查选项即可得到答案。
【解析】
根据因式分解的定义逐个分析选项：
A选项：左边是两个整式$(x+3)$和$(x-3)$的乘积，右边是多项式$x^2-9$，属于整式乘法运算，是因式分解的逆运算，不属于因式分解，排除；
B选项：右边的结果是$(x+3)(x-3)-x$，是乘积与$x$的差的形式，不是几个整式的乘积形式，不属于因式分解，排除；
C选项：左边是多项式$xy^2 -x^2 y$，右边提取公因式$xy$后得到$xy(y-x)$，是两个整式$xy$和$(y-x)$的乘积形式，且左右两边恒等，符合因式分解的定义，当选；
D选项：右边的结果是$x(x+5)+4$，是乘积与4的和的形式，不是几个整式的乘积形式，不属于因式分解，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 整式乘法的概念
【点评】
本题属于基础概念考察题，解题的关键是准确掌握因式分解的定义，牢记因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式，这类题型是因式分解章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
要判断是否属于因式分解，首先需明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，叫做因式分解。判断时需抓住三个核心要点：1. 左边的原式是多项式；2. 右边的结果必须是几个整式相乘的形式，不能是加减运算的和/差形式；3. 左右两边是恒等变形，值相等。接下来带着这三个标准逐一排查选项即可得到答案。
【解析】
根据因式分解的定义逐个分析选项：
A选项：左边是两个整式$(x+3)$和$(x-3)$的乘积，右边是多项式$x^2-9$，属于整式乘法运算，是因式分解的逆运算，不属于因式分解，排除；
B选项：右边的结果是$(x+3)(x-3)-x$，是乘积与$x$的差的形式，不是几个整式的乘积形式，不属于因式分解，排除；
C选项：左边是多项式$xy^2 -x^2 y$，右边提取公因式$xy$后得到$xy(y-x)$，是两个整式$xy$和$(y-x)$的乘积形式，且左右两边恒等，符合因式分解的定义，当选；
D选项：右边的结果是$x(x+5)+4$，是乘积与4的和的形式，不是几个整式的乘积形式，不属于因式分解，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 整式乘法的概念
【点评】
本题属于基础概念考察题，解题的关键是准确掌握因式分解的定义，牢记因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式，这类题型是因式分解章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
2. 下列因式分解正确的是(
A.$a^2b - 2ab = a(ab - 2b)$
B.$-a^2b + 2ab = -ab(a + 2)$
C.$ab - ab^2 = ab(1 - b^2)$
D.$-a^2b + ab^2 = -ab(a - b)$
D
).A.$a^2b - 2ab = a(ab - 2b)$
B.$-a^2b + 2ab = -ab(a + 2)$
C.$ab - ab^2 = ab(1 - b^2)$
D.$-a^2b + ab^2 = -ab(a - b)$
答案
2. D
解析
【分析】
要判断因式分解是否正确，需结合提公因式法的规则逐个验证选项：首先确定多项式各项的公因式（系数取最大公约数，相同字母取最低次幂），再提取公因式，注意提取负号时括号内每一项都要变号，最后检查结果是否分解彻底、展开后是否与原式一致。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：多项式$a^2b - 2ab$的公因式为$ab$，提取公因式后应为$ab(a-2)$，选项中公因式未提取完整，分解错误。
选项B：多项式$-a^2b + 2ab$的公因式为$-ab$，提取公因式后应为$-ab(a-2)$，选项中括号内第二项符号错误，分解错误。
选项C：多项式$ab - ab^2$的公因式为$ab$，提取公因式后应为$ab(1-b)$，选项中括号内第二项次数错误，分解错误。
选项D：多项式$-a^2b + ab^2$的公因式为$-ab$，提取公因式后为$-ab(a - b)$，展开后与原式一致，分解正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定；符号变化规则
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题的关键是准确找到公因式，特别注意提取负号时括号内各项需要变号，同时要保证因式分解的结果不能再继续分解。
【难度系数】
0.8
要判断因式分解是否正确，需结合提公因式法的规则逐个验证选项：首先确定多项式各项的公因式（系数取最大公约数，相同字母取最低次幂），再提取公因式，注意提取负号时括号内每一项都要变号，最后检查结果是否分解彻底、展开后是否与原式一致。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：多项式$a^2b - 2ab$的公因式为$ab$，提取公因式后应为$ab(a-2)$，选项中公因式未提取完整，分解错误。
选项B：多项式$-a^2b + 2ab$的公因式为$-ab$，提取公因式后应为$-ab(a-2)$，选项中括号内第二项符号错误，分解错误。
选项C：多项式$ab - ab^2$的公因式为$ab$，提取公因式后应为$ab(1-b)$，选项中括号内第二项次数错误，分解错误。
选项D：多项式$-a^2b + ab^2$的公因式为$-ab$，提取公因式后为$-ab(a - b)$，展开后与原式一致，分解正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定；符号变化规则
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题的关键是准确找到公因式，特别注意提取负号时括号内各项需要变号，同时要保证因式分解的结果不能再继续分解。
【难度系数】
0.8
3. 下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是(
A.$x^2 - 2xy - y^2$
B.$-9x^2 + y^2$
C.$x^2 + 4y^2$
D.$x^2 - 4y^2 + 4yx$
B
).A.$x^2 - 2xy - y^2$
B.$-9x^2 + y^2$
C.$x^2 + 4y^2$
D.$x^2 - 4y^2 + 4yx$
答案
3. B
解析
【分析】
要判断多项式能否用公式法因式分解，首先需牢记初中常用的两个因式分解公式的结构特征：1. 平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，适用特征为：多项式共两项，两项均为平方项，且符号相反；2. 完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，适用特征为：多项式共三项，其中两项为同号的平方项，第三项是两个平方项底数乘积的2倍（符号可正可负）。接下来逐一对比各选项是否符合上述特征即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$x^2 - 2xy - y^2$，两个平方项$x^2$和$-y^2$符号相反，不符合完全平方公式的平方项同号要求，且不是两项式，不符合平方差公式特征，不能用公式法分解，排除；
B选项：$-9x^2 + y^2$，可变形为$y^2 - (3x)^2$，是两项的平方差，符合平方差公式特征，可分解为$(y+3x)(y-3x)$，符合要求；
C选项：$x^2 + 4y^2$，是两个平方项的和，无中间项不符合完全平方公式，也不符合平方差的“差”的特征，不能用公式法分解，排除；
D选项：$x^2 - 4y^2 + 4yx$，整理为$x^2 + 4xy - 4y^2$，两个平方项$x^2$和$-4y^2$符号相反，不符合完全平方公式要求，也不是两项的平方差，不能用公式法分解，排除。
【答案】
B
【知识点】
公式法因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题核心考查对因式分解常用公式结构特征的识别，解题关键是准确掌握平方差公式和完全平方公式的特点，逐一核对选项即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
要判断多项式能否用公式法因式分解，首先需牢记初中常用的两个因式分解公式的结构特征：1. 平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，适用特征为：多项式共两项，两项均为平方项，且符号相反；2. 完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，适用特征为：多项式共三项，其中两项为同号的平方项，第三项是两个平方项底数乘积的2倍（符号可正可负）。接下来逐一对比各选项是否符合上述特征即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$x^2 - 2xy - y^2$，两个平方项$x^2$和$-y^2$符号相反，不符合完全平方公式的平方项同号要求，且不是两项式，不符合平方差公式特征，不能用公式法分解，排除；
B选项：$-9x^2 + y^2$，可变形为$y^2 - (3x)^2$，是两项的平方差，符合平方差公式特征，可分解为$(y+3x)(y-3x)$，符合要求；
C选项：$x^2 + 4y^2$，是两个平方项的和，无中间项不符合完全平方公式，也不符合平方差的“差”的特征，不能用公式法分解，排除；
D选项：$x^2 - 4y^2 + 4yx$，整理为$x^2 + 4xy - 4y^2$，两个平方项$x^2$和$-4y^2$符号相反，不符合完全平方公式要求，也不是两项的平方差，不能用公式法分解，排除。
【答案】
B
【知识点】
公式法因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题核心考查对因式分解常用公式结构特征的识别，解题关键是准确掌握平方差公式和完全平方公式的特点，逐一核对选项即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
4. 多项式$m^2 - m$与$2m^2 - 4m + 2$的公因式是(
A.$m - 1$
B.$m + 1$
C.$m^2 - 1$
D.$(m - 1)^2$
A
).A.$m - 1$
B.$m + 1$
C.$m^2 - 1$
D.$(m - 1)^2$
答案
4. A
解析
【分析】
要确定两个多项式的公因式，需先将两个多项式分别因式分解，再提取二者共有的因式即可。解题时先对第一个多项式用提公因式法分解，再对第二个多项式先提公因式、再用完全平方公式完成分解，最后对比两个分解结果找出公共因式。
【解析】
1. 分解第一个多项式：
$m^2 - m = m(m - 1)$
2. 分解第二个多项式：
先提取公因式2，得$2m^2 - 4m + 2 = 2(m^2 - 2m + 1)$
再利用完全平方公式分解剩余部分，得$2(m - 1)^2$
3. 找公共因式：两个分解结果中都含有的因式是$m - 1$，即两个多项式的公因式为$m - 1$。
【答案】
A
【知识点】
公因式、提公因式法因式分解、完全平方公式
【点评】
本题考查公因式的判定，核心是熟练掌握因式分解的常用方法，注意因式分解要分解到不能再分解为止，是因式分解模块的基础题型，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.8
要确定两个多项式的公因式，需先将两个多项式分别因式分解，再提取二者共有的因式即可。解题时先对第一个多项式用提公因式法分解，再对第二个多项式先提公因式、再用完全平方公式完成分解，最后对比两个分解结果找出公共因式。
【解析】
1. 分解第一个多项式：
$m^2 - m = m(m - 1)$
2. 分解第二个多项式：
先提取公因式2，得$2m^2 - 4m + 2 = 2(m^2 - 2m + 1)$
再利用完全平方公式分解剩余部分，得$2(m - 1)^2$
3. 找公共因式：两个分解结果中都含有的因式是$m - 1$，即两个多项式的公因式为$m - 1$。
【答案】
A
【知识点】
公因式、提公因式法因式分解、完全平方公式
【点评】
本题考查公因式的判定，核心是熟练掌握因式分解的常用方法，注意因式分解要分解到不能再分解为止，是因式分解模块的基础题型，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.8
5.若$x^2 +kx +81$是一个完全平方式，则k等于（
A.－18
B.9
C.18或－18
D.18
C
）.A.－18
B.9
C.18或－18
D.18
答案
5. C
解析
【分析】
首先要明确完全平方式的结构特征：完全平方公式包含两种形式，分别是$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，即完全平方式的中间项系数可正可负，解题时两种情况都要考虑。接下来对应题目中的式子$x^2+kx+81$，先确定两个平方项对应的量：首项$x^2$对应$a^2$，可得$a=x$；常数项81是$9^2$，对应$b^2$，可得$b=9$。最后根据中间项等于$\pm2ab$的关系，就能求出k的取值，注意不要遗漏负系数的情况。
【解析】
解：
∵$x^2+kx+81$是完全平方式，符合完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2$的结构。
其中$a^2=x^2$，解得$a=x$；$b^2=81=9^2$，解得$b=9$。
∴中间项$kx=\pm2· x·9=\pm18x$，
等式两边同时除以非零的$x$（若$x=0$，原式为81仍是完全平方式，不影响k的取值），可得$k=\pm18$，即k为18或-18。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，完全平方式的特征
【点评】
本题的易错点是容易只考虑“和的平方”这一种形式，漏掉“差的平方”对应的负系数情况，解题时要注意全面分析两种可能的完全平方式结构。
【难度系数】
0.7
首先要明确完全平方式的结构特征：完全平方公式包含两种形式，分别是$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，即完全平方式的中间项系数可正可负，解题时两种情况都要考虑。接下来对应题目中的式子$x^2+kx+81$，先确定两个平方项对应的量：首项$x^2$对应$a^2$，可得$a=x$；常数项81是$9^2$，对应$b^2$，可得$b=9$。最后根据中间项等于$\pm2ab$的关系，就能求出k的取值，注意不要遗漏负系数的情况。
【解析】
解：
∵$x^2+kx+81$是完全平方式，符合完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2$的结构。
其中$a^2=x^2$，解得$a=x$；$b^2=81=9^2$，解得$b=9$。
∴中间项$kx=\pm2· x·9=\pm18x$，
等式两边同时除以非零的$x$（若$x=0$，原式为81仍是完全平方式，不影响k的取值），可得$k=\pm18$，即k为18或-18。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，完全平方式的特征
【点评】
本题的易错点是容易只考虑“和的平方”这一种形式，漏掉“差的平方”对应的负系数情况，解题时要注意全面分析两种可能的完全平方式结构。
【难度系数】
0.7
6. 对任意整数$n$，$(2n+3)^2 -1$都(
A.能被2整除，不能被4整除
B.能被3整除
C.既能被2整除，又能被4整除
D.能被5整除
C
).A.能被2整除，不能被4整除
B.能被3整除
C.既能被2整除，又能被4整除
D.能被5整除
答案
6. C
解析
【分析】
解题可从两种思路入手：1. 公式推导法：观察到原式是“平方减1”的结构，符合平方差公式的特征，优先用平方差公式对原式因式分解，化简后分析结果的整除特性即可得出结论；2. 特殊值排除法：取简单的整数n代入计算原式的值，逐一排除错误选项，快速锁定正确答案。
【解析】
方法一：因式分解法（严谨推导）
根据平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，对原式变形化简：
$\begin{aligned}(2n+3)^2 -1&=(2n+3)^2 -1^2\\&=(2n+3-1)(2n+3+1)\\&=(2n+2)(2n+4)\\&=2(n+1)×2(n+2)\\&=4(n+1)(n+2)\end{aligned}$
因为$n$是整数，所以$(n+1)(n+2)$为整数，因此$4(n+1)(n+2)$是4的倍数，同时也必然是2的倍数，即原式既能被2整除，又能被4整除。
方法二：特殊值排除法（快速解题）
取$n=0$代入原式，得$(0+3)^2-1=8$，8不能被3、5整除，直接排除B、D选项；
取$n=1$代入原式，得$(2+3)^2-1=24$，24能被4整除，排除A选项。
综上答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，因式分解的应用，整除判定
【点评】
本题属于整式乘法的基础应用题型，既可以通过因式分解严谨推导结论，也可以用特殊值代入法快速排除错误选项，侧重考查对公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
解题可从两种思路入手：1. 公式推导法：观察到原式是“平方减1”的结构，符合平方差公式的特征，优先用平方差公式对原式因式分解，化简后分析结果的整除特性即可得出结论；2. 特殊值排除法：取简单的整数n代入计算原式的值，逐一排除错误选项，快速锁定正确答案。
【解析】
方法一：因式分解法（严谨推导）
根据平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，对原式变形化简：
$\begin{aligned}(2n+3)^2 -1&=(2n+3)^2 -1^2\\&=(2n+3-1)(2n+3+1)\\&=(2n+2)(2n+4)\\&=2(n+1)×2(n+2)\\&=4(n+1)(n+2)\end{aligned}$
因为$n$是整数，所以$(n+1)(n+2)$为整数，因此$4(n+1)(n+2)$是4的倍数，同时也必然是2的倍数，即原式既能被2整除，又能被4整除。
方法二：特殊值排除法（快速解题）
取$n=0$代入原式，得$(0+3)^2-1=8$，8不能被3、5整除，直接排除B、D选项；
取$n=1$代入原式，得$(2+3)^2-1=24$，24能被4整除，排除A选项。
综上答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，因式分解的应用，整除判定
【点评】
本题属于整式乘法的基础应用题型，既可以通过因式分解严谨推导结论，也可以用特殊值代入法快速排除错误选项，侧重考查对公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
7. 关于$x$的代数式$2x^2 + mx -15$分解因式得$(x+3)(nx -5)$，则$n^m$的值为(
A.1
B.2
C.$-1$
D.$-2$
B
).A.1
B.2
C.$-1$
D.$-2$
答案
7. B
解析
【分析】
本题可利用因式分解与整式乘法的互逆关系求解。首先将等式右边的整式乘积展开为多项式形式，再根据两个多项式相等时，对应同类项的系数相等，即可列出等式求出m、n的值，最后代入计算$n^m$即可。
【解析】
先将等式右侧的式子展开并合并同类项：
$\begin{aligned}(x+3)(nx -5)&=x· nx + x· (-5) + 3· nx + 3×(-5)\\&=nx^2 -5x +3nx -15\\&=nx^2 + (3n -5)x -15\end{aligned}$
已知该式与左侧代数式$2x^2 + mx -15$相等，因此对应同类项的系数相等：
1. 二次项系数相等：$n=2$
2. 一次项系数相等：$3n -5 = m$
将$n=2$代入$3n -5 = m$，得$m=3×2 -5 =1$
最后计算$n^m = 2^1 = 2$
【答案】
B
【知识点】
整式乘法运算，多项式系数对应相等，代数式求值
【点评】
本题考查因式分解与整式乘法的互逆关系，解题核心是利用多项式相等时同类项系数对应相等求解未知参数，属于基础常规题型，熟练掌握整式乘法的运算法则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
本题可利用因式分解与整式乘法的互逆关系求解。首先将等式右边的整式乘积展开为多项式形式，再根据两个多项式相等时，对应同类项的系数相等，即可列出等式求出m、n的值，最后代入计算$n^m$即可。
【解析】
先将等式右侧的式子展开并合并同类项：
$\begin{aligned}(x+3)(nx -5)&=x· nx + x· (-5) + 3· nx + 3×(-5)\\&=nx^2 -5x +3nx -15\\&=nx^2 + (3n -5)x -15\end{aligned}$
已知该式与左侧代数式$2x^2 + mx -15$相等，因此对应同类项的系数相等：
1. 二次项系数相等：$n=2$
2. 一次项系数相等：$3n -5 = m$
将$n=2$代入$3n -5 = m$，得$m=3×2 -5 =1$
最后计算$n^m = 2^1 = 2$
【答案】
B
【知识点】
整式乘法运算，多项式系数对应相等，代数式求值
【点评】
本题考查因式分解与整式乘法的互逆关系，解题核心是利用多项式相等时同类项系数对应相等求解未知参数，属于基础常规题型，熟练掌握整式乘法的运算法则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
8. 已知$a,b,c$是三角形的三条边，那么代数式$(a-b)^2 - c^2$的值（
A.大于 0
B.等于 0
C.小于 0
D.无法确定
C
）.A.大于 0
B.等于 0
C.小于 0
D.无法确定
答案
8. C
解析
【分析】
首先观察代数式$(a-b)^2 - c^2$符合平方差公式的结构特征，第一步可利用平方差公式对其因式分解，再结合三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，分别判断分解后两个因式的正负性，最后根据有理数乘法的符号规律即可确定代数式的正负。
【解析】
先利用平方差公式对代数式因式分解：
$(a-b)^2 - c^2=(a-b+c)(a-b-c)$
已知$a,b,c$是三角形的三条边，根据三角形三边关系：
三角形任意两边之和大于第三边，可得$a+c＞b$，即$a-b+c＞0$；
同时$b+c＞a$，移项得$a-(b+c)＜0$，即$a-b-c＜0$。
根据有理数乘法的符号法则：正数乘负数的积为负数，因此$(a-b+c)(a-b-c)＜0$，即$(a-b)^2 - c^2＜0$。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式因式分解、三角形三边关系、有理数乘法法则
【点评】
本题是基础应用类题型，解题的核心是先通过因式分解将代数式转化为两个整式乘积的形式，再结合三角形三边性质判断各因式的正负，这类题型是因式分解和三角形性质结合的典型考法，熟练掌握相关基础知识点就能快速求解。
【难度系数】
0.7
首先观察代数式$(a-b)^2 - c^2$符合平方差公式的结构特征，第一步可利用平方差公式对其因式分解，再结合三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，分别判断分解后两个因式的正负性，最后根据有理数乘法的符号规律即可确定代数式的正负。
【解析】
先利用平方差公式对代数式因式分解：
$(a-b)^2 - c^2=(a-b+c)(a-b-c)$
已知$a,b,c$是三角形的三条边，根据三角形三边关系：
三角形任意两边之和大于第三边，可得$a+c＞b$，即$a-b+c＞0$；
同时$b+c＞a$，移项得$a-(b+c)＜0$，即$a-b-c＜0$。
根据有理数乘法的符号法则：正数乘负数的积为负数，因此$(a-b+c)(a-b-c)＜0$，即$(a-b)^2 - c^2＜0$。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式因式分解、三角形三边关系、有理数乘法法则
【点评】
本题是基础应用类题型，解题的核心是先通过因式分解将代数式转化为两个整式乘积的形式，再结合三角形三边性质判断各因式的正负，这类题型是因式分解和三角形性质结合的典型考法，熟练掌握相关基础知识点就能快速求解。
【难度系数】
0.7
二、填空题(共4小题,每小题3分,共12分)
9.分解因式:$a^2 -7a =$
9.分解因式:$a^2 -7a =$
$a(a-7)$
.答案
9. $a(a-7)$
解析
【分析】
解题时首先观察多项式的结构特征，该多项式为两项式，先判断是否存在公因式：两项中都含有因式a，因此可采用提公因式法分解因式。接下来确定公因式为a，将公因式提取出来后，用原多项式的每一项除以公因式，得到剩下的因式，最后确认分解后的因式不能再继续分解即可。
【解析】
对多项式$a^2 -7a$提取公因式$a$：
$a^2 -7a = a· a - a·7 = a(a-7)$
【答案】
$a(a-7)$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 公因式的识别
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，难度较低，只要熟练掌握公因式的确定方法，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察多项式的结构特征，该多项式为两项式，先判断是否存在公因式：两项中都含有因式a，因此可采用提公因式法分解因式。接下来确定公因式为a，将公因式提取出来后，用原多项式的每一项除以公因式，得到剩下的因式，最后确认分解后的因式不能再继续分解即可。
【解析】
对多项式$a^2 -7a$提取公因式$a$：
$a^2 -7a = a· a - a·7 = a(a-7)$
【答案】
$a(a-7)$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 公因式的识别
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，难度较低，只要熟练掌握公因式的确定方法，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
10. 已知$x^2 - 2x -1 =0$，则$3x^3 -10x^2 +5x +2027$的值为
$2023$
.答案
10. 2023
解析
【分析】
本题已知二次方程，直接求解x的值再代入三次多项式计算过程繁琐，因此采用整体降次的思路解题：首先从已知方程推导出$x^2$的表达式，将三次多项式中的高次项（$x^3$、$x^2$）逐步用低次式替换，化简后即可消去含x的项，最终求出数值。
【解析】
已知$x^2 - 2x -1 =0$，移项可得：
$x^2 = 2x + 1$ ①
先对三次项降次：
$x^3 = x · x^2$，将①代入得：
$x^3 = x(2x + 1) = 2x^2 + x$ ②
将②代入所求代数式$3x^3 -10x^2 +5x +2027$：
$\begin{aligned}原式&=3(2x^2 + x) - 10x^2 +5x +2027\\&=6x^2 + 3x -10x^2 +5x +2027\\&=-4x^2 +8x +2027\end{aligned}$
再将①代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-4(2x + 1) +8x +2027\\&=-8x -4 +8x +2027\\&=2023\end{aligned}$
【答案】
2023
【知识点】
代数式求值；整体代入思想；整式的运算
【点评】
本题是整式运算中的典型题型，核心考查整体降次的代入技巧，避免了求解一元二次方程根的繁琐步骤，要求学生熟练掌握整式的化简方法和整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
本题已知二次方程，直接求解x的值再代入三次多项式计算过程繁琐，因此采用整体降次的思路解题：首先从已知方程推导出$x^2$的表达式，将三次多项式中的高次项（$x^3$、$x^2$）逐步用低次式替换，化简后即可消去含x的项，最终求出数值。
【解析】
已知$x^2 - 2x -1 =0$，移项可得：
$x^2 = 2x + 1$ ①
先对三次项降次：
$x^3 = x · x^2$，将①代入得：
$x^3 = x(2x + 1) = 2x^2 + x$ ②
将②代入所求代数式$3x^3 -10x^2 +5x +2027$：
$\begin{aligned}原式&=3(2x^2 + x) - 10x^2 +5x +2027\\&=6x^2 + 3x -10x^2 +5x +2027\\&=-4x^2 +8x +2027\end{aligned}$
再将①代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-4(2x + 1) +8x +2027\\&=-8x -4 +8x +2027\\&=2023\end{aligned}$
【答案】
2023
【知识点】
代数式求值；整体代入思想；整式的运算
【点评】
本题是整式运算中的典型题型，核心考查整体降次的代入技巧，避免了求解一元二次方程根的繁琐步骤，要求学生熟练掌握整式的化简方法和整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
11.计算：$(1-\dfrac{1}{2^2})×(1-\dfrac{1}{3^2})×(1-\dfrac{1}{4^2})×···×(1-\dfrac{1}{2025^2})=\_\_\_\_\_\_.$
答案
$\dfrac{1013}{2025}$
解析
【分析】
观察算式中每个因式的结构，均符合平方差公式的形式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，因此首先考虑利用平方差公式将每个因式拆分为两个分数的乘积；拆分后可以发现相邻项存在互为倒数的分数，通过约分可以大幅简化计算，最后保留的首尾项相乘即可得到结果。
【解析】
利用平方差公式拆分每个因式：
$1-\dfrac{1}{n^2}=(1-\dfrac{1}{n})(1+\dfrac{1}{n})$
则原式可变形为：
$\begin{aligned}&(1-\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2})×(1-\dfrac{1}{3})(1+\dfrac{1}{3})×(1-\dfrac{1}{4})(1+\dfrac{1}{4})×···×(1-\dfrac{1}{2025})(1+\dfrac{1}{2025})\\=&\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}×···×\dfrac{2024}{2025}×\dfrac{2026}{2025}\end{aligned}$
观察发现中间的分数两两互为倒数，约分后仅剩首项的$\dfrac{1}{2}$和末项的$\dfrac{2026}{2025}$，因此：
原式$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2026}{2025}=\dfrac{1013}{2025}$
【答案】
$\dfrac{1013}{2025}$
【知识点】
平方差公式，分数约分，有理数乘法
【点评】
本题核心是平方差公式的灵活运用，通过拆分因式构造可约分的项，简化了复杂的连乘计算，解题时需要先观察算式特征，再选择合适的运算律或公式简化运算，避免盲目计算。
【难度系数】
0.6
观察算式中每个因式的结构，均符合平方差公式的形式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，因此首先考虑利用平方差公式将每个因式拆分为两个分数的乘积；拆分后可以发现相邻项存在互为倒数的分数，通过约分可以大幅简化计算，最后保留的首尾项相乘即可得到结果。
【解析】
利用平方差公式拆分每个因式：
$1-\dfrac{1}{n^2}=(1-\dfrac{1}{n})(1+\dfrac{1}{n})$
则原式可变形为：
$\begin{aligned}&(1-\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2})×(1-\dfrac{1}{3})(1+\dfrac{1}{3})×(1-\dfrac{1}{4})(1+\dfrac{1}{4})×···×(1-\dfrac{1}{2025})(1+\dfrac{1}{2025})\\=&\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}×···×\dfrac{2024}{2025}×\dfrac{2026}{2025}\end{aligned}$
观察发现中间的分数两两互为倒数，约分后仅剩首项的$\dfrac{1}{2}$和末项的$\dfrac{2026}{2025}$，因此：
原式$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2026}{2025}=\dfrac{1013}{2025}$
【答案】
$\dfrac{1013}{2025}$
【知识点】
平方差公式，分数约分，有理数乘法
【点评】
本题核心是平方差公式的灵活运用，通过拆分因式构造可约分的项，简化了复杂的连乘计算，解题时需要先观察算式特征，再选择合适的运算律或公式简化运算，避免盲目计算。
【难度系数】
0.6
12. 在日常生活中，取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理：对于多项式$x^4 - y^4$，因式分解的结果是$(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)$，当$x=9,y=9$时，$x - y=0,x + y=18,x^2 + y^2=162$，于是就可以把“018162”作为一个密码.对于多项式$4x^3 - xy^2$，当$x=11,y=12$时，用上述方法产生的密码可能是
$113410$(答案不唯一)
.(写出一个即可)答案
12. 113410(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要按照题目给出的“因式分解产生密码”的规则思考：第一步先对多项式$4x^3 - xy^2$进行因式分解，得到几个因式的乘积形式；第二步将$x=11,y=12$分别代入每个因式，计算出各因式的值；最后将几个因式的结果按照任意顺序拼接，即可得到符合要求的密码，由于拼接顺序不固定，所以答案不唯一。
【解析】
第一步：对多项式$4x^3 - xy^2$因式分解
先提取公因式$x$，可得：
$4x^3 - xy^2 = x(4x^2 - y^2)$
再利用平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$分解$4x^2 - y^2$（其中$a=2x,b=y$）：
$x(4x^2 - y^2)=x(2x - y)(2x + y)$
第二步：代入$x=11,y=12$计算各因式的值
$x=11$
$2x - y=2×11 - 12=22-12=10$
$2x + y=2×11 + 12=22+12=34$
第三步：拼接密码
将三个因式的结果按任意顺序拼接即可，比如按$x、2x+y、2x-y$的顺序拼接，得到密码113410。
【答案】
113410（答案不唯一）
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题结合生活中的密码设置场景考查因式分解的实际应用，解题关键是正确对多项式进行因式分解并准确计算各因式的值，拼接时顺序可自由调整，只要由三个因式的结果组成即可。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要按照题目给出的“因式分解产生密码”的规则思考：第一步先对多项式$4x^3 - xy^2$进行因式分解，得到几个因式的乘积形式；第二步将$x=11,y=12$分别代入每个因式，计算出各因式的值；最后将几个因式的结果按照任意顺序拼接，即可得到符合要求的密码，由于拼接顺序不固定，所以答案不唯一。
【解析】
第一步：对多项式$4x^3 - xy^2$因式分解
先提取公因式$x$，可得：
$4x^3 - xy^2 = x(4x^2 - y^2)$
再利用平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$分解$4x^2 - y^2$（其中$a=2x,b=y$）：
$x(4x^2 - y^2)=x(2x - y)(2x + y)$
第二步：代入$x=11,y=12$计算各因式的值
$x=11$
$2x - y=2×11 - 12=22-12=10$
$2x + y=2×11 + 12=22+12=34$
第三步：拼接密码
将三个因式的结果按任意顺序拼接即可，比如按$x、2x+y、2x-y$的顺序拼接，得到密码113410。
【答案】
113410（答案不唯一）
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题结合生活中的密码设置场景考查因式分解的实际应用，解题关键是正确对多项式进行因式分解并准确计算各因式的值，拼接时顺序可自由调整，只要由三个因式的结果组成即可。
【难度系数】
0.8
