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[典例3]分解因式：
(1)$25(x-2y)^2 - 4(y-2x)^2$；
典例解析
(1)$25(x-2y)^2 - 4(y-2x)^2$；
典例解析
答案
解：
原式$=[5(x-2y)]^2 - [2(y-2x)]^2$
$=[5(x-2y)+2(y-2x)][5(x-2y)-2(y-2x)]$
$=(5x-10y+2y-4x)(5x-10y-2y+4x)$
$=(x-8y)(9x-12y)$
$=3(x-8y)(3x-4y)$
原式$=[5(x-2y)]^2 - [2(y-2x)]^2$
$=[5(x-2y)+2(y-2x)][5(x-2y)-2(y-2x)]$
$=(5x-10y+2y-4x)(5x-10y-2y+4x)$
$=(x-8y)(9x-12y)$
$=3(x-8y)(3x-4y)$
解析
【分析】
观察待分解的式子，两项均为整式的平方且符号相反，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征。解题思路如下：第一步先将两项分别改写为某个整式的平方，确定公式中对应的$a$和$b$；第二步套用平方差公式分解为两个整式的乘积形式；第三步对得到的两个整式分别去括号、合并同类项化简；第四步检查化简后的因式是否含有公因式，若有则提取公因式，保证因式分解彻底。
【解析】
原式$=[5(x-2y)]^2 - [2(y-2x)]^2$
$=[5(x-2y)+2(y-2x)][5(x-2y)-2(y-2x)]$
$=(5x-10y+2y-4x)(5x-10y-2y+4x)$
$=(x-8y)(9x-12y)$
$=3(x-8y)(3x-4y)$
【答案】
$3(x-8y)(3x-4y)$
【知识点】
平方差公式分解因式，提公因式法分解因式，整式加减运算
【点评】
本题是因式分解的基础综合题型，解题核心是准确识别式子结构匹配对应的分解方法，需注意因式分解必须进行到每个多项式因式都无法再分解为止，避免遗漏提取公因式的步骤。
【难度系数】
0.7
观察待分解的式子，两项均为整式的平方且符号相反，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征。解题思路如下：第一步先将两项分别改写为某个整式的平方，确定公式中对应的$a$和$b$；第二步套用平方差公式分解为两个整式的乘积形式；第三步对得到的两个整式分别去括号、合并同类项化简；第四步检查化简后的因式是否含有公因式，若有则提取公因式，保证因式分解彻底。
【解析】
原式$=[5(x-2y)]^2 - [2(y-2x)]^2$
$=[5(x-2y)+2(y-2x)][5(x-2y)-2(y-2x)]$
$=(5x-10y+2y-4x)(5x-10y-2y+4x)$
$=(x-8y)(9x-12y)$
$=3(x-8y)(3x-4y)$
【答案】
$3(x-8y)(3x-4y)$
【知识点】
平方差公式分解因式，提公因式法分解因式，整式加减运算
【点评】
本题是因式分解的基础综合题型，解题核心是准确识别式子结构匹配对应的分解方法，需注意因式分解必须进行到每个多项式因式都无法再分解为止，避免遗漏提取公因式的步骤。
【难度系数】
0.7
典例1
解 设另一个因式为$(x+a)$，
则$(x+3)(x+a)=x^2+(3+a)x+3a$，
$\because x^2 -4x +m=(x+3)(x+a)=x^2+(3+a)x+3a$，
$\therefore 3+a=-4,3a=m$，
$\therefore a=-7,m=-21$，
即另一个因式为$(x-7),m=-21$。
典例2
解 $6x(x-y)^2 +3(y-x)^3$
$=6x(x-y)^2 -3(x-y)^3$
$=3(x-y)^2[2x-(x-y)]$
$=3(x-y)^2(x+y)$。
(2)$2(x^2 - \frac{1}{2})-x^4$。
典例3
解 设另一个因式为$(x+a)$，
则$(x+3)(x+a)=x^2+(3+a)x+3a$，
$\because x^2 -4x +m=(x+3)(x+a)=x^2+(3+a)x+3a$，
$\therefore 3+a=-4,3a=m$，
$\therefore a=-7,m=-21$，
即另一个因式为$(x-7),m=-21$。
典例2
解 $6x(x-y)^2 +3(y-x)^3$
$=6x(x-y)^2 -3(x-y)^3$
$=3(x-y)^2[2x-(x-y)]$
$=3(x-y)^2(x+y)$。
(2)$2(x^2 - \frac{1}{2})-x^4$。
典例3
答案
解：
$2(x^2 - \dfrac{1}{2}) - x^4$
$=2x^2 - 1 - x^4$
$= -x^4 + 2x^2 - 1$
$= -(x^4 - 2x^2 + 1)$
$= -(x^2 - 1)^2$
$= -[(x+1)(x-1)]^2$
$= -(x+1)^2(x-1)^2$
$2(x^2 - \dfrac{1}{2}) - x^4$
$=2x^2 - 1 - x^4$
$= -x^4 + 2x^2 - 1$
$= -(x^4 - 2x^2 + 1)$
$= -(x^2 - 1)^2$
$= -[(x+1)(x-1)]^2$
$= -(x+1)^2(x-1)^2$
解析
【分析】
解决这道因式分解题，我们按照常规解题思路逐步推导：首先对原式去括号化简，整理为按x降幂排列的多项式；观察化简后的式子，发现其结构符合完全平方公式特征，先提取负号后套用完全平方公式分解；分解后得到的因式$x^2-1$仍可继续分解，再套用平方差公式分解，直到所有因式都不能再分解为止，过程中要注意符号处理和分解的彻底性。
【解析】
解：
$\begin{aligned}&2(x^2 - \dfrac{1}{2}) - x^4\\=&2x^2 - 1 - x^4 \quad \mathrm{（去括号完成整式化简）}\\=& -x^4 + 2x^2 - 1 \quad \mathrm{（按x的降幂排列，便于观察公式结构）}\\=& -(x^4 - 2x^2 + 1) \quad \mathrm{（提取负号，将最高次项系数化为正）}\\=& -(x^2 - 1)^2 \quad \mathrm{（逆用完全平方公式分解）}\\=& -[(x+1)(x-1)]^2 \quad \mathrm{（逆用平方差公式继续分解可分解因式）}\\=& -(x+1)^2(x-1)^2 \quad \mathrm{（利用积的乘方法则整理得到最终结果）}\end{aligned}$
【答案】
$-(x+1)^2(x-1)^2$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、因式分解
【点评】
本题考查因式分解的综合应用，解题时要遵循“先化简、再分解、分解彻底”的原则，要注意符号的正确处理，避免出现分解到$(x^2-1)^2$就停止的不彻底错误。
【难度系数】
0.7
解决这道因式分解题，我们按照常规解题思路逐步推导：首先对原式去括号化简，整理为按x降幂排列的多项式；观察化简后的式子，发现其结构符合完全平方公式特征，先提取负号后套用完全平方公式分解；分解后得到的因式$x^2-1$仍可继续分解，再套用平方差公式分解，直到所有因式都不能再分解为止，过程中要注意符号处理和分解的彻底性。
【解析】
解：
$\begin{aligned}&2(x^2 - \dfrac{1}{2}) - x^4\\=&2x^2 - 1 - x^4 \quad \mathrm{（去括号完成整式化简）}\\=& -x^4 + 2x^2 - 1 \quad \mathrm{（按x的降幂排列，便于观察公式结构）}\\=& -(x^4 - 2x^2 + 1) \quad \mathrm{（提取负号，将最高次项系数化为正）}\\=& -(x^2 - 1)^2 \quad \mathrm{（逆用完全平方公式分解）}\\=& -[(x+1)(x-1)]^2 \quad \mathrm{（逆用平方差公式继续分解可分解因式）}\\=& -(x+1)^2(x-1)^2 \quad \mathrm{（利用积的乘方法则整理得到最终结果）}\end{aligned}$
【答案】
$-(x+1)^2(x-1)^2$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、因式分解
【点评】
本题考查因式分解的综合应用，解题时要遵循“先化简、再分解、分解彻底”的原则，要注意符号的正确处理，避免出现分解到$(x^2-1)^2$就停止的不彻底错误。
【难度系数】
0.7
解 (1)$25(x-2y)^2 - 4(y-2x)^2$
$=[5(x-2y)+2(y-2x)][5(x-2y)-2(y-2x)]$
$=(5x-10y+2y-4x)(5x-10y-2y+4x)$
$=(x-8y)(9x-12y)$
$=3(x-8y)(3x-4y).$
(2)$2(x^2 - \frac{1}{2}) - x^4$
$=2x^2 -1 -x^4$
$=-(x^4 -2x^2 +1)$
$=-(x^2 -1)^2$
$=-(x+1)^2(x-1)^2.$
$=[5(x-2y)+2(y-2x)][5(x-2y)-2(y-2x)]$
$=(5x-10y+2y-4x)(5x-10y-2y+4x)$
$=(x-8y)(9x-12y)$
$=3(x-8y)(3x-4y).$
(2)$2(x^2 - \frac{1}{2}) - x^4$
$=2x^2 -1 -x^4$
$=-(x^4 -2x^2 +1)$
$=-(x^2 -1)^2$
$=-(x+1)^2(x-1)^2.$
答案
解：
(1)
$25(x-2y)^2 - 4(y-2x)^2$
$=[5(x-2y)+2(y-2x)][5(x-2y)-2(y-2x)]$
$=(5x-10y+2y-4x)(5x-10y-2y+4x)$
$=(x-8y)(9x-12y)$
$=3(x-8y)(3x-4y)$
(2)
$2(x^2 - \frac{1}{2}) - x^4$
$=2x^2 - 1 - x^4$
$=-(x^4 - 2x^2 + 1)$
$=-(x^2 - 1)^2$
$=-(x+1)^2(x-1)^2$
(1)
$25(x-2y)^2 - 4(y-2x)^2$
$=[5(x-2y)+2(y-2x)][5(x-2y)-2(y-2x)]$
$=(5x-10y+2y-4x)(5x-10y-2y+4x)$
$=(x-8y)(9x-12y)$
$=3(x-8y)(3x-4y)$
(2)
$2(x^2 - \frac{1}{2}) - x^4$
$=2x^2 - 1 - x^4$
$=-(x^4 - 2x^2 + 1)$
$=-(x^2 - 1)^2$
$=-(x+1)^2(x-1)^2$
解析
【分析】
这两道题均为因式分解类题目，解题思路如下：
(1) 先观察式子特征：$25(x-2y)^2$可转化为$[5(x-2y)]^2$，$4(y-2x)^2$可转化为$[2(y-2x)]^2$，两项符号相反，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，先套用平方差公式展开；再对展开后的括号去括号、合并同类项；最后提取公因式，保证分解彻底。
(2) 先对原式去括号整理，按降幂排列后发现式子符合完全平方公式的变形，先提取负号，将括号内的式子凑成完全平方形式套用公式；再检查得到的因式$x^2-1$仍可套用平方差公式继续分解，直到所有因式都不能再分解为止。
【解析】
(1)
$25(x-2y)^2 - 4(y-2x)^2$
$=[5(x-2y)+2(y-2x)][5(x-2y)-2(y-2x)]$
$=(5x-10y+2y-4x)(5x-10y-2y+4x)$
$=(x-8y)(9x-12y)$
$=3(x-8y)(3x-4y)$
(2)
$2(x^2 - \frac{1}{2}) - x^4$
$=2x^2 - 1 - x^4$
$=-(x^4 -2x^2 +1)$
$=-(x^2 -1)^2$
$=-(x+1)^2(x-1)^2$
【答案】
(1) $3(x-8y)(3x-4y)$
(2) $-(x+1)^2(x-1)^2$
【知识点】
因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
这两道题是因式分解的典型基础题型，重点考察公式法在因式分解中的综合运用，解题时要先观察式子结构选择对应方法，牢记因式分解要进行到每个多项式因式都不能再分解为止，同时注意运算过程中的符号变化。
【难度系数】
0.8
这两道题均为因式分解类题目，解题思路如下：
(1) 先观察式子特征：$25(x-2y)^2$可转化为$[5(x-2y)]^2$，$4(y-2x)^2$可转化为$[2(y-2x)]^2$，两项符号相反，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，先套用平方差公式展开；再对展开后的括号去括号、合并同类项；最后提取公因式，保证分解彻底。
(2) 先对原式去括号整理，按降幂排列后发现式子符合完全平方公式的变形，先提取负号，将括号内的式子凑成完全平方形式套用公式；再检查得到的因式$x^2-1$仍可套用平方差公式继续分解，直到所有因式都不能再分解为止。
【解析】
(1)
$25(x-2y)^2 - 4(y-2x)^2$
$=[5(x-2y)+2(y-2x)][5(x-2y)-2(y-2x)]$
$=(5x-10y+2y-4x)(5x-10y-2y+4x)$
$=(x-8y)(9x-12y)$
$=3(x-8y)(3x-4y)$
(2)
$2(x^2 - \frac{1}{2}) - x^4$
$=2x^2 - 1 - x^4$
$=-(x^4 -2x^2 +1)$
$=-(x^2 -1)^2$
$=-(x+1)^2(x-1)^2$
【答案】
(1) $3(x-8y)(3x-4y)$
(2) $-(x+1)^2(x-1)^2$
【知识点】
因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
这两道题是因式分解的典型基础题型，重点考察公式法在因式分解中的综合运用，解题时要先观察式子结构选择对应方法，牢记因式分解要进行到每个多项式因式都不能再分解为止，同时注意运算过程中的符号变化。
【难度系数】
0.8
