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三、解答题(共6小题,共64分)
13.(本小题满分12分)分解因式:
(1)$5ax^2 + 20axy + 20ay^2$; (2)$(3x-4y)^2 - (4x+3y)^2$;
(3)$(x^2+25)^2 - 100x^2$; (4)$(x^2-7)^2 + 18(7-x^2)+81$.
13.(本小题满分12分)分解因式:
(1)$5ax^2 + 20axy + 20ay^2$; (2)$(3x-4y)^2 - (4x+3y)^2$;
(3)$(x^2+25)^2 - 100x^2$; (4)$(x^2-7)^2 + 18(7-x^2)+81$.
答案
13. 解 (1)原式$=5a(x^2 +4xy +4y^2)=5a(x+2y)^2$.
(2)原式$=(3x-4y+4x+3y)·(3x-4y-4x-3y)$
$=(7x-y)(-x-7y)$
$=-(7x-y)(x+7y)$.
(3)原式$=(x^2 +25 +10x)(x^2 +25 -10x)=(x+5)^2(x-5)^2$.
(4)原式$=(x^2 -7 -9)^2$
$=(x^2 -16)^2$
$=(x+4)^2(x-4)^2$.
(2)原式$=(3x-4y+4x+3y)·(3x-4y-4x-3y)$
$=(7x-y)(-x-7y)$
$=-(7x-y)(x+7y)$.
(3)原式$=(x^2 +25 +10x)(x^2 +25 -10x)=(x+5)^2(x-5)^2$.
(4)原式$=(x^2 -7 -9)^2$
$=(x^2 -16)^2$
$=(x+4)^2(x-4)^2$.
解析
【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的解题思路：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；第二步观察提取公因式后的式子是否符合平方差公式或完全平方公式的结构特征，对应套用公式分解；第三步检查分解后的因式是否还能继续分解，直到每个因式都不能再分解为止。
(1) 先提取公因式5a，剩余部分符合完全平方公式特征，套用公式即可；
(2) 原式是两个整式平方的差，直接套用平方差公式分解，再化简每个因式即可；
(3) 原式符合平方差公式特征，先套用平方差公式分解，得到的两个因式均符合完全平方公式特征，继续套用完全平方公式分解；
(4) 先将式子变形为符合完全平方公式的结构，套用完全平方公式分解后，得到的因式还符合平方差公式特征，继续分解即可。
【解析】
(1) 先提取公因式$5a$，再套用完全平方公式：
原式$=5a(x^2 +4xy +4y^2)=5a(x+2y)^2$
(2) 直接套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=3x-4y$，$b=4x+3y$：
原式$=(3x-4y+4x+3y)(3x-4y-4x-3y)$
$=(7x-y)(-x-7y)$
$=-(7x-y)(x+7y)$
(3) 先套用平方差公式，再分别套用完全平方公式：
原式$=(x^2 +25 +10x)(x^2 +25 -10x)=(x+5)^2(x-5)^2$
(4) 先变形后套用完全平方公式，再套用平方差公式：
原式$=(x^2 -7)^2 - 18(x^2 -7) + 9^2=(x^2 -7 -9)^2$
$=(x^2 -16)^2$
$=[(x+4)(x-4)]^2=(x+4)^2(x-4)^2$
【答案】
(1)$5a(x+2y)^2$；(2)$-(7x-y)(x+7y)$；(3)$(x+5)^2(x-5)^2$；(4)$(x+4)^2(x-4)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的常规应用，解题时要严格按照“先提公因式、再套公式、最后检查是否分解彻底”的步骤操作，熟练掌握平方差和完全平方公式的结构特征是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
因式分解遵循“一提二套三查”的解题思路：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；第二步观察提取公因式后的式子是否符合平方差公式或完全平方公式的结构特征，对应套用公式分解；第三步检查分解后的因式是否还能继续分解，直到每个因式都不能再分解为止。
(1) 先提取公因式5a，剩余部分符合完全平方公式特征，套用公式即可；
(2) 原式是两个整式平方的差，直接套用平方差公式分解，再化简每个因式即可；
(3) 原式符合平方差公式特征，先套用平方差公式分解，得到的两个因式均符合完全平方公式特征，继续套用完全平方公式分解；
(4) 先将式子变形为符合完全平方公式的结构，套用完全平方公式分解后，得到的因式还符合平方差公式特征，继续分解即可。
【解析】
(1) 先提取公因式$5a$，再套用完全平方公式：
原式$=5a(x^2 +4xy +4y^2)=5a(x+2y)^2$
(2) 直接套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=3x-4y$，$b=4x+3y$：
原式$=(3x-4y+4x+3y)(3x-4y-4x-3y)$
$=(7x-y)(-x-7y)$
$=-(7x-y)(x+7y)$
(3) 先套用平方差公式，再分别套用完全平方公式：
原式$=(x^2 +25 +10x)(x^2 +25 -10x)=(x+5)^2(x-5)^2$
(4) 先变形后套用完全平方公式，再套用平方差公式：
原式$=(x^2 -7)^2 - 18(x^2 -7) + 9^2=(x^2 -7 -9)^2$
$=(x^2 -16)^2$
$=[(x+4)(x-4)]^2=(x+4)^2(x-4)^2$
【答案】
(1)$5a(x+2y)^2$；(2)$-(7x-y)(x+7y)$；(3)$(x+5)^2(x-5)^2$；(4)$(x+4)^2(x-4)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的常规应用，解题时要严格按照“先提公因式、再套公式、最后检查是否分解彻底”的步骤操作，熟练掌握平方差和完全平方公式的结构特征是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
14.(本小题满分8分)简便运算:
(1)$93^2 +14×93 +49$; (2)$9×1.2^2 -16×1.4^2$.
(1)$93^2 +14×93 +49$; (2)$9×1.2^2 -16×1.4^2$.
答案
14. 解 (1)原式$=93^2 +2×7×93 +7^2$
$=(93+7)^2$
$=100^2$
$=10\ 000$.
(2)原式$=3^2×1.2^2 -4^2×1.4^2$
$=3.6^2 -5.6^2$
$=(3.6-5.6)×(3.6+5.6)$
$=-2×9.2$
$=-18.4$.
$=(93+7)^2$
$=100^2$
$=10\ 000$.
(2)原式$=3^2×1.2^2 -4^2×1.4^2$
$=3.6^2 -5.6^2$
$=(3.6-5.6)×(3.6+5.6)$
$=-2×9.2$
$=-18.4$.
解析
【分析】
本题考查利用乘法公式进行简便运算，解题思路如下：
(1)观察第一小题的式子，发现$93^2$是平方项，$49=7^2$，中间项$14×93=2×7×93$，完全符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，因此可以套用公式计算，无需直接计算$93^2$，大幅简化运算。
(2)观察第二小题的式子，$9=3^2$，$16=4^2$，先利用积的乘方的逆运算，将原式变形为两个数的平方差的形式，再套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$计算，避免复杂的乘方和乘法运算，降低出错概率。
【解析】
(1)原式$=93^2 +2×7×93 +7^2$
$=(93+7)^2$
$=100^2$
$=10\ 000$
(2)原式$=3^2×1.2^2 -4^2×1.4^2$
$=3.6^2 -5.6^2$
$=(3.6-5.6)×(3.6+5.6)$
$=-2×9.2$
$=-18.4$
【答案】
(1) $\boxed{10000}$；(2) $\boxed{-18.4}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，简便运算
【点评】
本题是整式乘法公式在有理数运算中的典型应用，解题核心是熟练掌握乘法公式的结构特征，通过观察对原式进行合理变形，从而简化运算过程，提升计算的准确率和效率。
【难度系数】
0.75
本题考查利用乘法公式进行简便运算，解题思路如下：
(1)观察第一小题的式子，发现$93^2$是平方项，$49=7^2$，中间项$14×93=2×7×93$，完全符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，因此可以套用公式计算，无需直接计算$93^2$，大幅简化运算。
(2)观察第二小题的式子，$9=3^2$，$16=4^2$，先利用积的乘方的逆运算，将原式变形为两个数的平方差的形式，再套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$计算，避免复杂的乘方和乘法运算，降低出错概率。
【解析】
(1)原式$=93^2 +2×7×93 +7^2$
$=(93+7)^2$
$=100^2$
$=10\ 000$
(2)原式$=3^2×1.2^2 -4^2×1.4^2$
$=3.6^2 -5.6^2$
$=(3.6-5.6)×(3.6+5.6)$
$=-2×9.2$
$=-18.4$
【答案】
(1) $\boxed{10000}$；(2) $\boxed{-18.4}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，简便运算
【点评】
本题是整式乘法公式在有理数运算中的典型应用，解题核心是熟练掌握乘法公式的结构特征，通过观察对原式进行合理变形，从而简化运算过程，提升计算的准确率和效率。
【难度系数】
0.75
15.(本小题满分7分)已知$4m+n=40$，$2m-3n=5$，求$(m+2n)^2-(3m-n)^2$的值.
答案
15. 解 $(m+2n)^2-(3m-n)^2$
$=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)$
$=(4m+n)(3n-2m)$
$=-(4m+n)(2m-3n)$.
当$4m+n=40,2m-3n=5$时，
原式$=-40×5=-200$.
$=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)$
$=(4m+n)(3n-2m)$
$=-(4m+n)(2m-3n)$.
当$4m+n=40,2m-3n=5$时，
原式$=-40×5=-200$.
解析
【分析】
本题要求代数式的值，若先通过解二元一次方程组求出m、n的值再代入计算，步骤较繁琐。观察待求式的结构，是两个整式的平方差的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，因此优先考虑用平方差公式对待求式进行因式分解，分解后整理可得到与已知条件相关的式子，再整体代入已知数值计算即可，能大幅简化计算过程。
【解析】
首先利用平方差公式分解因式：
$(m+2n)^2-(3m-n)^2$
$=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)$
合并同类项得：
$=(4m+n)(-2m+3n)$
提取负号变形为与已知条件匹配的形式：
$=-(4m+n)(2m-3n)$
将已知$4m+n=40$，$2m-3n=5$整体代入上式：
原式$=-40×5=-200$
【答案】
$-200$
【知识点】
1.平方差公式 2.因式分解 3.整体代入求值
【点评】
本题解题的关键是观察待求式的结构特征，选择合适的因式分解方法简化运算，避免直接求解方程组的繁琐计算，变形过程中要注意符号处理，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
本题要求代数式的值，若先通过解二元一次方程组求出m、n的值再代入计算，步骤较繁琐。观察待求式的结构，是两个整式的平方差的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，因此优先考虑用平方差公式对待求式进行因式分解，分解后整理可得到与已知条件相关的式子，再整体代入已知数值计算即可，能大幅简化计算过程。
【解析】
首先利用平方差公式分解因式：
$(m+2n)^2-(3m-n)^2$
$=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)$
合并同类项得：
$=(4m+n)(-2m+3n)$
提取负号变形为与已知条件匹配的形式：
$=-(4m+n)(2m-3n)$
将已知$4m+n=40$，$2m-3n=5$整体代入上式：
原式$=-40×5=-200$
【答案】
$-200$
【知识点】
1.平方差公式 2.因式分解 3.整体代入求值
【点评】
本题解题的关键是观察待求式的结构特征，选择合适的因式分解方法简化运算，避免直接求解方程组的繁琐计算，变形过程中要注意符号处理，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
16.(本小题满分12分)聪聪和江江在将一个二次三项式分解因式时,聪聪因看错了一次项而分解成$3(x-1)(x-9)$,江江因看错了常数项而分解成$3(x-2)(x-4)$,请写出这个二次三项式,并对其进行因式分解.
答案
16. 解 根据题意,$3(x-1)(x-9)=3x^2-30x+27$,则该二次三项式的常数项为27,
$3(x-2)(x-4)=3x^2-18x+24$,则该二次三项式的一次项为$-18x$,
∴该二次三项式为$3x^2-18x+27$,因式分解为原式$=3(x^2-6x+9)=3(x-3)^2$.
$3(x-2)(x-4)=3x^2-18x+24$,则该二次三项式的一次项为$-18x$,
∴该二次三项式为$3x^2-18x+27$,因式分解为原式$=3(x^2-6x+9)=3(x-3)^2$.
解析
【分析】
解题的核心逻辑是：因式分解与整式乘法是互逆运算，聪聪仅看错一次项，说明他的分解结果展开后二次项、常数项都是正确的；江江仅看错常数项，说明他的分解结果展开后二次项、一次项都是正确的。我们只需要分别将两人的分解结果展开，提取对应正确的项组合得到原二次三项式，再用提公因式法和公式法完成因式分解即可。
【解析】
1. 展开聪聪的分解结果，提取正确项：
$3(x-1)(x-9)=3(x^2-10x+9)=3x^2-30x+27$
因聪聪仅看错一次项，故原二次三项式的二次项为$3x^2$，常数项为$27$。
2. 展开江江的分解结果，提取正确项：
$3(x-2)(x-4)=3(x^2-6x+8)=3x^2-18x+24$
因江江仅看错常数项，故原二次三项式的一次项为$-18x$。
3. 组合得到原二次三项式：$3x^2-18x+27$。
4. 对原式因式分解：
先提取公因式3：$3x^2-18x+27=3(x^2-6x+9)$
再用完全平方公式分解：$x^2-6x+9=(x-3)^2$，因此最终分解结果为$3(x-3)^2$。
【答案】
这个二次三项式是$3x^2-18x+27$，因式分解结果为$3(x-3)^2$。
【知识点】
整式乘法运算，因式分解，完全平方公式
【点评】
本题考查整式乘法与因式分解的互逆关系，解题关键是明确看错某一项时其余两项的结果正确，计算展开式时要注意系数准确性，因式分解需分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
解题的核心逻辑是：因式分解与整式乘法是互逆运算，聪聪仅看错一次项，说明他的分解结果展开后二次项、常数项都是正确的；江江仅看错常数项，说明他的分解结果展开后二次项、一次项都是正确的。我们只需要分别将两人的分解结果展开，提取对应正确的项组合得到原二次三项式，再用提公因式法和公式法完成因式分解即可。
【解析】
1. 展开聪聪的分解结果，提取正确项：
$3(x-1)(x-9)=3(x^2-10x+9)=3x^2-30x+27$
因聪聪仅看错一次项，故原二次三项式的二次项为$3x^2$，常数项为$27$。
2. 展开江江的分解结果，提取正确项：
$3(x-2)(x-4)=3(x^2-6x+8)=3x^2-18x+24$
因江江仅看错常数项，故原二次三项式的一次项为$-18x$。
3. 组合得到原二次三项式：$3x^2-18x+27$。
4. 对原式因式分解：
先提取公因式3：$3x^2-18x+27=3(x^2-6x+9)$
再用完全平方公式分解：$x^2-6x+9=(x-3)^2$，因此最终分解结果为$3(x-3)^2$。
【答案】
这个二次三项式是$3x^2-18x+27$，因式分解结果为$3(x-3)^2$。
【知识点】
整式乘法运算，因式分解，完全平方公式
【点评】
本题考查整式乘法与因式分解的互逆关系，解题关键是明确看错某一项时其余两项的结果正确，计算展开式时要注意系数准确性，因式分解需分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
