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17.(本小题满分12分)如图,小刚家门口的商店在装修,他发现工人师傅在一块半径为R的圆形板材上剪出四个半径为r的小圆,小刚测得$R=6.8\ \mathrm{dm},r=1.6\ \mathrm{dm}$,他想知道剩余部分(阴影部分)的面积,你能利用学过的因式分解的知识帮助小刚吗?请写出求解过程.(结果保留π)
答案
17. 解 根据题意,得剩余部分的面积为$π R^2 -4π r^2 =π(R^2 -4r^2)=π(R+2r)(R-2r)$.
当$R=6.8,r=1.6$时,原式$=π×(6.8+3.2)×(6.8-3.2)=36π$.
即剩余部分的面积为$36π\ \mathrm{dm}^2$.
当$R=6.8,r=1.6$时,原式$=π×(6.8+3.2)×(6.8-3.2)=36π$.
即剩余部分的面积为$36π\ \mathrm{dm}^2$.
解析
【分析】
要计算剩余阴影部分的面积，首先明确剩余面积等于大圆的面积减去4个小圆的面积，先据此列出面积表达式。题目要求用因式分解的知识求解，因此先提取公因式π，再对剩余的多项式利用平方差公式因式分解，最后代入数值计算即可，这样计算更简便，能减少运算量。
【解析】
解：根据题意，剩余部分的面积为大圆面积减去4个小圆的面积，即：
$S = π R^2 - 4π r^2$
先提取公因式$π$，再利用平方差公式因式分解：
$S = π(R^2 - 4r^2) = π(R + 2r)(R - 2r)$
将$R=6.8\ \mathrm{dm}$，$r=1.6\ \mathrm{dm}$代入上式：
$S = π × (6.8 + 2×1.6) × (6.8 - 2×1.6)$
$= π × (6.8 + 3.2) × (6.8 - 3.2)$
$= π × 10 × 3.6$
$= 36π\ (\mathrm{dm}^2)$
【答案】
$36π\ \mathrm{dm}^2$
【知识点】
1. 圆的面积计算
2. 因式分解
3. 平方差公式
【点评】
本题将几何面积计算与代数因式分解知识结合，通过因式分解可简化数值运算，避免直接计算平方带来的复杂运算，有助于提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
要计算剩余阴影部分的面积，首先明确剩余面积等于大圆的面积减去4个小圆的面积，先据此列出面积表达式。题目要求用因式分解的知识求解，因此先提取公因式π，再对剩余的多项式利用平方差公式因式分解，最后代入数值计算即可，这样计算更简便，能减少运算量。
【解析】
解：根据题意，剩余部分的面积为大圆面积减去4个小圆的面积，即：
$S = π R^2 - 4π r^2$
先提取公因式$π$，再利用平方差公式因式分解：
$S = π(R^2 - 4r^2) = π(R + 2r)(R - 2r)$
将$R=6.8\ \mathrm{dm}$，$r=1.6\ \mathrm{dm}$代入上式：
$S = π × (6.8 + 2×1.6) × (6.8 - 2×1.6)$
$= π × (6.8 + 3.2) × (6.8 - 3.2)$
$= π × 10 × 3.6$
$= 36π\ (\mathrm{dm}^2)$
【答案】
$36π\ \mathrm{dm}^2$
【知识点】
1. 圆的面积计算
2. 因式分解
3. 平方差公式
【点评】
本题将几何面积计算与代数因式分解知识结合，通过因式分解可简化数值运算，避免直接计算平方带来的复杂运算，有助于提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
18. (本小题满分13分)阅读材料:利用公式法,可以将一些形如$ax^2+bx+c(a≠0)$的多项式变形为$a(x+m)^2+n$的形式,我们把这样的变形方法叫作多项式$ax^2+bx+c(a≠0)$的配方法,运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解.例如$x^2+4x-5=x^2+4x+(\frac{4}{2})^2-(\frac{4}{2})^2-5=(x+2)^2-9=(x+2+3)(x+2-3)=(x+5)(x-1)$.根据以上材料,解答下列问题:
(1)分解因式(利用配方法):$x^2-4x-12$;
(2)求多项式$x^2+4x-3$的最小值;
(3)已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长,且满足$a^2+b^2+c^2+50=6a+8b+10c$,求$△ ABC$的周长.
(1)分解因式(利用配方法):$x^2-4x-12$;
(2)求多项式$x^2+4x-3$的最小值;
(3)已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长,且满足$a^2+b^2+c^2+50=6a+8b+10c$,求$△ ABC$的周长.
答案
18. 解 (1)原式$=x^2-4x+4-4-12$
$=(x-2)^2-16$
$=(x-2+4)(x-2-4)$
$=(x+2)(x-6)$.
(2)原式$=x^2+4x+4-4-3=(x+2)^2-7$.
$\because (x+2)^2≥ 0$,
$\therefore (x+2)^2-7≥ -7$,
∴多项式$x^2+4x-3$的最小值为$-7$.
(3)由题意可得$a^2+b^2+c^2+50-6a-8b-10c=0$,
$\therefore a^2-6a+9+b^2-8b+16+c^2-10c+25-9-16-25+50=0$,
$\therefore (a-3)^2+(b-4)^2+(c-5)^2=0$,
$\therefore a-3=0,b-4=0,c-5=0$,
$\therefore a=3,b=4,c=5$,
$\therefore a+b+c=3+4+5=12$,
即$△ ABC$的周长为12.
$=(x-2)^2-16$
$=(x-2+4)(x-2-4)$
$=(x+2)(x-6)$.
(2)原式$=x^2+4x+4-4-3=(x+2)^2-7$.
$\because (x+2)^2≥ 0$,
$\therefore (x+2)^2-7≥ -7$,
∴多项式$x^2+4x-3$的最小值为$-7$.
(3)由题意可得$a^2+b^2+c^2+50-6a-8b-10c=0$,
$\therefore a^2-6a+9+b^2-8b+16+c^2-10c+25-9-16-25+50=0$,
$\therefore (a-3)^2+(b-4)^2+(c-5)^2=0$,
$\therefore a-3=0,b-4=0,c-5=0$,
$\therefore a=3,b=4,c=5$,
$\therefore a+b+c=3+4+5=12$,
即$△ ABC$的周长为12.
解析
【分析】
本题是基于配方法的材料阅读题，解题思路如下：
(1) 分解因式：按照材料给出的配方法步骤，先对二次项和一次项凑完全平方，即加上一次项系数一半的平方，为保证原式值不变再减去这个数，将多项式变形为完全平方减常数的形式，再利用平方差公式分解即可。
(2) 求多项式最小值：先对多项式配方，变形为$(x+m)^2+n$的形式，根据平方的非负性，$(x+m)^2≥0$，所以当$(x+m)^2=0$时，整个式子取得最小值$n$。
(3) 求三角形周长：先将等式右侧的项全部移到左侧，然后分别对$a$、$b$、$c$凑完全平方，得到三个完全平方式相加等于0的形式，根据非负数的性质，几个非负数相加为0则每个非负数都为0，求出三边长度后相加即为周长。
【解析】
(1) 对$x^2-4x-12$因式分解：
原式$=x^2-4x+4-4-12$
$=(x-2)^2-16$
$=(x-2+4)(x-2-4)$
$=(x+2)(x-6)$
(2) 求$x^2+4x-3$的最小值：
原式$=x^2+4x+4-4-3=(x+2)^2-7$
$\because (x+2)^2≥ 0$
$\therefore (x+2)^2-7≥ -7$
因此多项式$x^2+4x-3$的最小值为$-7$。
(3) 对$a^2+b^2+c^2+50=6a+8b+10c$变形：
移项得$a^2+b^2+c^2+50-6a-8b-10c=0$
分组配方：$a^2-6a+9+b^2-8b+16+c^2-10c+25-9-16-25+50=0$
整理得$(a-3)^2+(b-4)^2+(c-5)^2=0$
由平方的非负性可得$a-3=0,b-4=0,c-5=0$
解得$a=3,b=4,c=5$
$\therefore △ ABC$的周长为$3+4+5=12$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x+2)(x-6)}$
(2) $\boldsymbol{-7}$
(3) $\boldsymbol{12}$
【知识点】
配方法的应用；因式分解；非负数的性质
【点评】
本题为材料阅读类题型，考查对配方法的理解和迁移运用能力，从基础的因式分解、代数式求最值，到结合几何的综合应用，需要熟练掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征，以及偶次方的非负性，能很好地检验学生的知识灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
本题是基于配方法的材料阅读题，解题思路如下：
(1) 分解因式：按照材料给出的配方法步骤，先对二次项和一次项凑完全平方，即加上一次项系数一半的平方，为保证原式值不变再减去这个数，将多项式变形为完全平方减常数的形式，再利用平方差公式分解即可。
(2) 求多项式最小值：先对多项式配方，变形为$(x+m)^2+n$的形式，根据平方的非负性，$(x+m)^2≥0$，所以当$(x+m)^2=0$时，整个式子取得最小值$n$。
(3) 求三角形周长：先将等式右侧的项全部移到左侧，然后分别对$a$、$b$、$c$凑完全平方，得到三个完全平方式相加等于0的形式，根据非负数的性质，几个非负数相加为0则每个非负数都为0，求出三边长度后相加即为周长。
【解析】
(1) 对$x^2-4x-12$因式分解：
原式$=x^2-4x+4-4-12$
$=(x-2)^2-16$
$=(x-2+4)(x-2-4)$
$=(x+2)(x-6)$
(2) 求$x^2+4x-3$的最小值：
原式$=x^2+4x+4-4-3=(x+2)^2-7$
$\because (x+2)^2≥ 0$
$\therefore (x+2)^2-7≥ -7$
因此多项式$x^2+4x-3$的最小值为$-7$。
(3) 对$a^2+b^2+c^2+50=6a+8b+10c$变形：
移项得$a^2+b^2+c^2+50-6a-8b-10c=0$
分组配方：$a^2-6a+9+b^2-8b+16+c^2-10c+25-9-16-25+50=0$
整理得$(a-3)^2+(b-4)^2+(c-5)^2=0$
由平方的非负性可得$a-3=0,b-4=0,c-5=0$
解得$a=3,b=4,c=5$
$\therefore △ ABC$的周长为$3+4+5=12$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x+2)(x-6)}$
(2) $\boldsymbol{-7}$
(3) $\boldsymbol{12}$
【知识点】
配方法的应用；因式分解；非负数的性质
【点评】
本题为材料阅读类题型，考查对配方法的理解和迁移运用能力，从基础的因式分解、代数式求最值，到结合几何的综合应用，需要熟练掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征，以及偶次方的非负性，能很好地检验学生的知识灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
