11.(河南)如图3-3-11,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中$∠ C=90°,∠ B=∠ E=30°$.
★操作发现
如图3-3-12,固定$△ ABC$,使$△ DEC$绕点$C$旋转.当点$D$恰好落在$AB$边上时,填空:
(1)线段$DE$与线段$AC$的位置关系是.
(2)设$△ BDC$的面积为$S_1$,$△ AEC$的面积为$S_2$.则$S_1$与$S_2$的数量关系是.


★猜想论证
(3)当$△ DEC$绕点$C$旋转到图3-3-13的位置时,小明猜想(2)中$S_1$与$S_2$的数量关系仍然成立,尝试分别作出了$△ BDC$和$△ AEC$中$BC,CE$边上的高,请你证明小明的猜想.

11. (1) $DE // AC$。
(2) $S_1 = S_2$。
(3) 过点 $D$ 作 $DM ⊥ BC$，垂足为点 $M$，过点 $A$ 作 $AN ⊥ EC$ 的延长线，垂足为点 $N$。
$\because ∠ ACB = ∠ DCE = ∠ DCN = 90°$，
$\therefore ∠ ACN + ∠ BCN = ∠ DCM + ∠ BCN$。
$\therefore ∠ ACN = ∠ DCM$。
又 $\because ∠ CNA = ∠ CMD = 90°,AC = CD$。
$\therefore △ ANC ≌ △ DMC(\mathrm{AAS})$。$\therefore AN = DM$。
又 $\because CE = CB$，$\therefore S_1 = S_2$。

12.(泰安)如图3-3-14，$∠ ABC = 90°$，点D，E分别在BC，AC上，$AD ⊥ DE$，且$AD = DE$，点F是AE的中点，FD与AB的延长线相交于点M.
（1）求证：$∠ FMC = ∠ FCM$.
（2）AD与MC垂直吗？并说明理由.

图3-3-14

提示:(1) 由 $AD ⊥ DE,AD = DE$,点 $F$ 是 $AE$ 的中点可得 $DF$ 垂直平分 $AE,AF = DF$。
由 $∠ MBC = ∠ MFC$ 可得 $∠ BMD = ∠ DCF$。
$\therefore △ AMF ≌ △ DCF (\mathrm{AAS})$。
$\therefore MF = CF$。$\therefore ∠ FMC = ∠ FCM$。
(2) 易知 $△ DEF$ 和 $△ MCF$ 是等腰直角三角形，
$\therefore ∠ DEF = ∠ MCF = 45°$。
$\therefore DE // MC$。
$\because AD ⊥ DE$，
$\therefore AD ⊥ MC$。