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1[2026浙江衢州期末]如图,点O是正方形网格中的格点,点$P,P_1,P_2,P_3,P_4$是以O为圆心的圆与网格线的交点,直线$m$经过点O与点$P_2$,则点$P$关于直线$m$的对称点是 (
A.$P_1$
B.$P_2$
C.$P_3$
D.$P_4$
(第1题图)
(第2题图)
D
)A.$P_1$
B.$P_2$
C.$P_3$
D.$P_4$
(第1题图)
(第2题图)
答案
1.D 【解析】由网格线可知直线 $m ⊥ PP_4$,
∵ 直线 $m$ 经过圆心,
∴ 直线 $m$ 平分线段 $PP_4$,
∴ 点 $P$ 关于直线 $m$ 的对称点是 $P_4$,故选 D.
∵ 直线 $m$ 经过圆心,
∴ 直线 $m$ 平分线段 $PP_4$,
∴ 点 $P$ 关于直线 $m$ 的对称点是 $P_4$,故选 D.
解析
【分析】
解题时先回忆两个核心依据：①成轴对称的两个点的连线被对称轴垂直平分；②圆是轴对称图形，过圆心的直线都是圆的对称轴，圆上点的对称点仍在圆上。首先明确直线m是过圆心的水平直线，接下来只需判断哪个点与点P的连线被直线m垂直平分即可。
【解析】
观察网格图形可得：
1. 点P与点$P_4$的连线为竖直线段，与水平的直线m互相垂直；
2. 直线m过圆心O，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此直线m平分线段$PP_4$，即直线m是线段$PP_4$的垂直平分线。
因此点P关于直线m的对称点是$P_4$。
【答案】
D
【知识点】
轴对称的性质，垂径定理，圆的对称性
【点评】
本题属于基础题，结合网格和圆的背景考查对称点的判定，熟练掌握轴对称的性质和垂径定理是解题的关键，借助网格的特征可直观判断线段的位置和长度关系，降低解题难度。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆两个核心依据：①成轴对称的两个点的连线被对称轴垂直平分；②圆是轴对称图形，过圆心的直线都是圆的对称轴，圆上点的对称点仍在圆上。首先明确直线m是过圆心的水平直线，接下来只需判断哪个点与点P的连线被直线m垂直平分即可。
【解析】
观察网格图形可得：
1. 点P与点$P_4$的连线为竖直线段，与水平的直线m互相垂直；
2. 直线m过圆心O，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此直线m平分线段$PP_4$，即直线m是线段$PP_4$的垂直平分线。
因此点P关于直线m的对称点是$P_4$。
【答案】
D
【知识点】
轴对称的性质，垂径定理，圆的对称性
【点评】
本题属于基础题，结合网格和圆的背景考查对称点的判定，熟练掌握轴对称的性质和垂径定理是解题的关键，借助网格的特征可直观判断线段的位置和长度关系，降低解题难度。
【难度系数】
0.8
2[2025江苏南通调研]如图,在$\odot O$中,弦AB的长为4,圆心到弦AB的距离OC为2,则$\odot O$的半径长是 (
A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}$
D.4
C
)A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}$
D.4
答案
2.C 【解析】
∵ 圆心到弦 AB 的距离 OC 为 2,
∴ $OC ⊥$ AB.
∵ 弦 AB 的长为 4,
∴ $AC = \frac{1}{2}AB = 2$,
∴ $OA = \sqrt{AC^2+OC^2} = 2\sqrt{2}$,即$\odot O$ 的半径长是 $2\sqrt{2}$,故选 C.
∵ 圆心到弦 AB 的距离 OC 为 2,
∴ $OC ⊥$ AB.
∵ 弦 AB 的长为 4,
∴ $AC = \frac{1}{2}AB = 2$,
∴ $OA = \sqrt{AC^2+OC^2} = 2\sqrt{2}$,即$\odot O$ 的半径长是 $2\sqrt{2}$,故选 C.
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，已知圆心到弦的距离OC垂直于弦AB，首先联想到垂径定理，可得到弦AB被OC平分，从而算出AC的长度；此时△OAC为直角三角形，已知两条直角边AC、OC的长度，利用勾股定理即可求出斜边OA的长度，也就是⊙O的半径。
【解析】
∵ OC是圆心O到弦AB的距离，
∴ OC⊥AB，
根据垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB$，
∵ AB=4，
∴ $AC=\frac{1}{2}×4=2$，
在Rt△OAC中，AC=2，OC=2，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AC^2+OC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
即⊙O的半径长为$2\sqrt{2}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，主要考查垂径定理与勾股定理的结合应用，这类问题通常构造以半径、弦长的一半、圆心到弦的距离为三边的直角三角形，利用勾股定理求解未知量。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征，已知圆心到弦的距离OC垂直于弦AB，首先联想到垂径定理，可得到弦AB被OC平分，从而算出AC的长度；此时△OAC为直角三角形，已知两条直角边AC、OC的长度，利用勾股定理即可求出斜边OA的长度，也就是⊙O的半径。
【解析】
∵ OC是圆心O到弦AB的距离，
∴ OC⊥AB，
根据垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB$，
∵ AB=4，
∴ $AC=\frac{1}{2}×4=2$，
在Rt△OAC中，AC=2，OC=2，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AC^2+OC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
即⊙O的半径长为$2\sqrt{2}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，主要考查垂径定理与勾股定理的结合应用，这类问题通常构造以半径、弦长的一半、圆心到弦的距离为三边的直角三角形，利用勾股定理求解未知量。
【难度系数】
0.8
3 如图，$∠ ABC=30°$,边$BA$上有一点$D$,$DB=6$,以点$D$为圆心,$DB$长为半径作弧交$BC$于点$E$,则$BE$的长是 (
A.$3\sqrt{3}$
B.$6$
C.$6\sqrt{3}$
D.$12$
(第3题图)
(第4题图)
C
)A.$3\sqrt{3}$
B.$6$
C.$6\sqrt{3}$
D.$12$
(第3题图)
(第4题图)
答案
3.C 【解析】如图,过点 D 作 $DF ⊥ BC$ 于 F,则 $BE = 2BF$, $∠ BFD = 90°$. 在Rt$△ BFD$ 中, $∠ ABC = 30°$, $BD = 6$,
∴ $DF = \frac{1}{2}BD = 3$,
∴ $BF = \sqrt{BD^2-DF^2} = 3\sqrt{3}$,
∴ $BE=2BF=6\sqrt{3}$. 故选 C.
解析
【分析】
求解本题时，首先明确BE是⊙D的弦，要求弦长可借助垂径定理转化问题：过圆心D作弦BE的垂线DF，即可得到BE=2BF，只需算出BF的长度即可求出BE。已知∠B=30°，BD=6，在构造出的Rt△BFD中，先利用30°角直角三角形的性质求出DF，再通过勾股定理计算BF，最终可得BE的长度。
【解析】
过点D作$DF ⊥ BC$于F，根据垂径定理可得$BE = 2BF$，$∠ BFD = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BFD$中，$∠ ABC = 30°$，$BD = 6$，
由30°角所对的直角边等于斜边的一半，得$DF = \frac{1}{2}BD = 3$，
根据勾股定理：$BF = \sqrt{BD^2 - DF^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}$，
因此$BE = 2BF = 2× 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型基础题，将垂径定理与直角三角形的性质结合考查，解题的关键是正确作出辅助线，把弦长求解转化为直角三角形的边长计算，难度较低。
【难度系数】
0.7
求解本题时，首先明确BE是⊙D的弦，要求弦长可借助垂径定理转化问题：过圆心D作弦BE的垂线DF，即可得到BE=2BF，只需算出BF的长度即可求出BE。已知∠B=30°，BD=6，在构造出的Rt△BFD中，先利用30°角直角三角形的性质求出DF，再通过勾股定理计算BF，最终可得BE的长度。
【解析】
过点D作$DF ⊥ BC$于F，根据垂径定理可得$BE = 2BF$，$∠ BFD = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BFD$中，$∠ ABC = 30°$，$BD = 6$，
由30°角所对的直角边等于斜边的一半，得$DF = \frac{1}{2}BD = 3$，
根据勾股定理：$BF = \sqrt{BD^2 - DF^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}$，
因此$BE = 2BF = 2× 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型基础题，将垂径定理与直角三角形的性质结合考查，解题的关键是正确作出辅助线，把弦长求解转化为直角三角形的边长计算，难度较低。
【难度系数】
0.7
4 如图，AB是$\odot O$的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，$∠ AEC = 30°$，则CD的长为
$4\sqrt{2}$
。答案
4.$4\sqrt{2}$ 【解析】如图,过 O 作 $OF ⊥ DC$ 于 F,连接 OC,则 $∠ OFE = ∠ OFC = 90°$.
∵ $BE = 1$,$AE = 5$,
∴ $AB = BE+AE = 6$,
∴ $OB=OA=OC=3$,
∴ $OE=3-1= 2$.
∵ $∠ AEC = 30°$,
∴ $OF = \frac{1}{2}OE = 1$,
∴ $CF=\sqrt{OC^2-OF^2} = \sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$.
∵ $OF ⊥ CD$,$OF$ 过圆心 $O$,
∴ $DF=CF=2\sqrt{2}$,
∴ $CD = CF+DF = 4\sqrt{2}$,故答案为 $4\sqrt{2}$.
解析
【分析】
要求弦CD的长度，我们优先想到垂径定理：过圆心作弦的垂线可平分弦，因此我们可以先作辅助线：过O作OF⊥CD于F，连接OC，将求CD的问题转化为求CF的长度，再乘2即可得到CD。第一步先根据已知的BE、AE长度求出圆的直径，进而得到半径OC和OE的长度；第二步利用∠AEC=30°的直角三角形性质求出OF的长度；第三步在Rt△OFC中用勾股定理求出CF，最终即可得到CD的长。
【解析】
过O作$OF ⊥ DC$于F，连接OC，则$∠ OFE = ∠ OFC = 90°$。
$\because BE = 1$，$AE = 5$，
$\therefore AB = BE + AE = 6$，
$\because$AB是$\odot O$的直径，
$\therefore OB = OA = OC = \frac{1}{2}AB = 3$，
$\therefore OE = OB - BE = 3 - 1 = 2$。
$\because ∠ AEC = 30°$，$∠ OFE = 90°$，
$\therefore$在$Rt△ OEF$中，$OF = \frac{1}{2}OE = 1$。
在$Rt△ OFC$中，由勾股定理得：
$CF = \sqrt{OC^2 - OF^2} = \sqrt{3^2 - 1^2} = 2\sqrt{2}$。
$\because OF ⊥ CD$，且OF过圆心O，根据垂径定理，
$\therefore DF = CF = 2\sqrt{2}$，
$\therefore CD = CF + DF = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理；含30°角的直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合特殊直角三角形的性质和勾股定理求解，需要熟练掌握垂径定理的应用场景。
【难度系数】
0.7
要求弦CD的长度，我们优先想到垂径定理：过圆心作弦的垂线可平分弦，因此我们可以先作辅助线：过O作OF⊥CD于F，连接OC，将求CD的问题转化为求CF的长度，再乘2即可得到CD。第一步先根据已知的BE、AE长度求出圆的直径，进而得到半径OC和OE的长度；第二步利用∠AEC=30°的直角三角形性质求出OF的长度；第三步在Rt△OFC中用勾股定理求出CF，最终即可得到CD的长。
【解析】
过O作$OF ⊥ DC$于F，连接OC，则$∠ OFE = ∠ OFC = 90°$。
$\because BE = 1$，$AE = 5$，
$\therefore AB = BE + AE = 6$，
$\because$AB是$\odot O$的直径，
$\therefore OB = OA = OC = \frac{1}{2}AB = 3$，
$\therefore OE = OB - BE = 3 - 1 = 2$。
$\because ∠ AEC = 30°$，$∠ OFE = 90°$，
$\therefore$在$Rt△ OEF$中，$OF = \frac{1}{2}OE = 1$。
在$Rt△ OFC$中，由勾股定理得：
$CF = \sqrt{OC^2 - OF^2} = \sqrt{3^2 - 1^2} = 2\sqrt{2}$。
$\because OF ⊥ CD$，且OF过圆心O，根据垂径定理，
$\therefore DF = CF = 2\sqrt{2}$，
$\therefore CD = CF + DF = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理；含30°角的直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合特殊直角三角形的性质和勾股定理求解，需要熟练掌握垂径定理的应用场景。
【难度系数】
0.7
5[2026江苏苏州调研]如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接DE.
(1)若点B是$\overset{\frown}{DE}$的中点，求证：AB=DE；
(2)若$CD=4$，$AB=16$，求⊙O的半径$r$.
(1)若点B是$\overset{\frown}{DE}$的中点，求证：AB=DE；
(2)若$CD=4$，$AB=16$，求⊙O的半径$r$.
答案
5.(1)【证明】
∵ $OD ⊥ AB$,
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$.
∵ 点 B 是 $\overset{\frown}{DE}$ 的中点,
∴ $\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BD}$,
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BD}$,
∴ $\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{AB}$,
∴ $DE=AB$.
(2)【解】如图,连接 OA.
∵ $\odot O$ 的半径为 $r$, $CD = 4$,
∴ $OC = OD-CD = r-4$.
∵ $OD ⊥ AB$, $AB = 16$,
∴ $AC = BC = \frac{1}{2}AB = 8$. 在Rt$△ AOC$ 中, $OA^2 = AC^2 + OC^2$,
∴ $r^2=8^2+(r-4)^2$, 解得 $r=10$,
∴ $\odot O$ 的半径为 10.
解析
【分析】
(1) 本题要证明两条弦相等，根据同圆的性质：等弧对等弦，因此只需证明两条弦对应的弧相等即可。首先由OD⊥AB，根据垂径定理可推出$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$；再结合点B是$\overset{\frown}{DE}$的中点，可得$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BE}$，进一步推导可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DE}$，即可证得AB=DE。
(2) 求圆的半径，通常结合垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理求解。首先连接半径OA，将所求半径设为r，可表示出OC=r-4；再由垂径定理得到AC为AB的一半即8；最后在Rt△AOC中，利用勾股定理列关于r的方程，解方程即可得到半径长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ $OD ⊥ AB$，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。
∵ 点B是$\overset{\frown}{DE}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{AB}$，
∴ $DE=AB$。
(2) 解：如图，连接OA。
∵ $\odot O$的半径为$r$，$CD = 4$，
∴ $OC = OD-CD = r-4$。
∵ $OD ⊥ AB$，$AB = 16$，
∴ $AC = BC = \frac{1}{2}AB = 8$。
在Rt$△ AOC$中，$OA^2 = AC^2 + OC^2$，
∴ $r^2=8^2+(r-4)^2$，
解得 $r=10$。
【答案】
(1) 证明如上；
(2) $\odot O$的半径为10。
【知识点】
垂径定理；弧弦关系；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础题型，第一问考查同圆中弧、弦的对应关系，结合垂径定理即可快速推导；第二问是垂径定理的典型应用，通过构造直角三角形结合方程思想求半径，是圆中求线段长度的常用方法，需要熟练掌握该类辅助线的做法。
【难度系数】
0.75
(1) 本题要证明两条弦相等，根据同圆的性质：等弧对等弦，因此只需证明两条弦对应的弧相等即可。首先由OD⊥AB，根据垂径定理可推出$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$；再结合点B是$\overset{\frown}{DE}$的中点，可得$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BE}$，进一步推导可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DE}$，即可证得AB=DE。
(2) 求圆的半径，通常结合垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理求解。首先连接半径OA，将所求半径设为r，可表示出OC=r-4；再由垂径定理得到AC为AB的一半即8；最后在Rt△AOC中，利用勾股定理列关于r的方程，解方程即可得到半径长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ $OD ⊥ AB$，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。
∵ 点B是$\overset{\frown}{DE}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{AB}$，
∴ $DE=AB$。
(2) 解：如图，连接OA。
∵ $\odot O$的半径为$r$，$CD = 4$，
∴ $OC = OD-CD = r-4$。
∵ $OD ⊥ AB$，$AB = 16$，
∴ $AC = BC = \frac{1}{2}AB = 8$。
在Rt$△ AOC$中，$OA^2 = AC^2 + OC^2$，
∴ $r^2=8^2+(r-4)^2$，
解得 $r=10$。
【答案】
(1) 证明如上；
(2) $\odot O$的半径为10。
【知识点】
垂径定理；弧弦关系；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础题型，第一问考查同圆中弧、弦的对应关系，结合垂径定理即可快速推导；第二问是垂径定理的典型应用，通过构造直角三角形结合方程思想求半径，是圆中求线段长度的常用方法，需要熟练掌握该类辅助线的做法。
【难度系数】
0.75
6 新考向 传统文化 [2026江苏南通质检]我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”意思是如图，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小（O为圆心，连接OA，OE，OE与AB交于点D）.用锯去锯这根木材，锯口深ED=1寸，锯道长AB=1尺（1尺=10寸），那么这根圆柱形木材的直径是 （
）
A.6寸
B.$\sqrt{26}$寸
C.13寸
D.26寸
）A.6寸
B.$\sqrt{26}$寸
C.13寸
D.26寸
答案
6.D 【解析】根据题意可得 $OE ⊥ AB$.
∵ $OE$ 是 $\odot O$ 的半径, $AB=1$ 尺 $=10$ 寸,
∴ $AD=BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 10=5$(寸). 设半径 $OA=OE=r$ 寸.
∵ $ED=1$ 寸,
∴ $OD=OE-ED=(r-1)$ 寸. 在Rt$△ ADO$ 中, $OA^2=AD^2+OD^2$, 即 $r^2=5^2+(r-1)^2$, 解得 $r=13$,
∴ 木材的直径为 $2 × 13=26$(寸). 故选 D.
∵ $OE$ 是 $\odot O$ 的半径, $AB=1$ 尺 $=10$ 寸,
∴ $AD=BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 10=5$(寸). 设半径 $OA=OE=r$ 寸.
∵ $ED=1$ 寸,
∴ $OD=OE-ED=(r-1)$ 寸. 在Rt$△ ADO$ 中, $OA^2=AD^2+OD^2$, 即 $r^2=5^2+(r-1)^2$, 解得 $r=13$,
∴ 木材的直径为 $2 × 13=26$(寸). 故选 D.
解析
【分析】
这是结合古代数学问题的圆的计算题型，解题时先把实际问题转化为几何模型：已知圆O中弦AB长10寸，过圆心O的线段OE垂直AB于点D，ED=1寸，求圆的直径。首先想到用垂径定理得到AB的一半AD的长度；再设圆的半径为r寸，可表示出弦心距OD的长度为(r-1)寸；最后在直角三角形ADO中用勾股定理列方程求解半径，半径乘2即为所求直径。
【解析】
由题意可得$OE ⊥ AB$。
∵ $OE$是$\odot O$的半径，$AB=1$尺$=10$寸，
∴ 根据垂径定理得$AD=BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 10=5$(寸)。
设半径$OA=OE=r$寸，
∵ $ED=1$寸，
∴ $OD=OE-ED=(r-1)$寸。
在Rt$△ ADO$中，由勾股定理得$OA^2=AD^2+OD^2$，
代入数据得：$r^2=5^2+(r-1)^2$，
展开化简得$2r=26$，解得$r=13$，
∴ 木材的直径为 $2 × 13=26$(寸)。
故选D。
【答案】D
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题结合传统数学文化考查圆的相关计算，是垂径定理应用的典型题型，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，再通过勾股定理列方程求解未知量，能很好地考查学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.8
这是结合古代数学问题的圆的计算题型，解题时先把实际问题转化为几何模型：已知圆O中弦AB长10寸，过圆心O的线段OE垂直AB于点D，ED=1寸，求圆的直径。首先想到用垂径定理得到AB的一半AD的长度；再设圆的半径为r寸，可表示出弦心距OD的长度为(r-1)寸；最后在直角三角形ADO中用勾股定理列方程求解半径，半径乘2即为所求直径。
【解析】
由题意可得$OE ⊥ AB$。
∵ $OE$是$\odot O$的半径，$AB=1$尺$=10$寸，
∴ 根据垂径定理得$AD=BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 10=5$(寸)。
设半径$OA=OE=r$寸，
∵ $ED=1$寸，
∴ $OD=OE-ED=(r-1)$寸。
在Rt$△ ADO$中，由勾股定理得$OA^2=AD^2+OD^2$，
代入数据得：$r^2=5^2+(r-1)^2$，
展开化简得$2r=26$，解得$r=13$，
∴ 木材的直径为 $2 × 13=26$(寸)。
故选D。
【答案】D
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题结合传统数学文化考查圆的相关计算，是垂径定理应用的典型题型，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，再通过勾股定理列方程求解未知量，能很好地考查学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.8
7[2025浙江杭州期中]如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，连接OD，CD//AB，AB=10米，OE⊥CD于点E，OE:CD=3:8.
(1)求CD的长；
(2)若水位以0.4米/时的速度上升，则经过多长时间桥洞会被灌满？
刷易错 ............小心有坑~
(1)求CD的长；
(2)若水位以0.4米/时的速度上升，则经过多长时间桥洞会被灌满？
刷易错 ............小心有坑~
答案
7.【解】(1)
∵ $AB = 10$ 米,
∴ $OD = OB = \frac{1}{2}AB = 5$ 米.
∵ $OE ⊥ CD$,
∴ $DE = \frac{1}{2}CD$.
∵ $OE:CD = 3:8$,
∴ $OE:DE = 3:4$. 设 $OE=3x$ 米,则 $DE=4x$ 米. 在Rt$△ ODE$中,由勾股定理得 $(3x)^2+(4x)^2=5^2$, 解得 $x=1$(负值已舍去),
∴ $DE=4$ 米,
∴ $CD=2DE=8$ 米.
(2)由(1)得 $OE=3$ 米. 如图,延长 $OE$ 交半圆 $O$ 于点 $F$,
∴ $EF = OF - OE = 5 - 3 = 2$(米),
∴ $2 ÷ 0.4=5$(时). 答:经过 5 小时桥洞会被灌满.
解析
【分析】
(1)求解CD的长度，首先根据直径AB的长度得到半圆半径OD的长度；再利用垂径定理，由OE⊥CD可得DE是CD的一半，结合OE:CD=3:8推出OE与DE的比例关系；最后在Rt△ODE中利用勾股定理设未知数列方程，即可求出DE的长度，进而得到CD的长。
(2)桥洞被灌满时水位上升到半圆的最高点，延长OE交半圆于点F，上升的水位高度为EF的长度，即半径OF与OE的差，再用上升高度除以水位上升速度，即可得到所需时间。
【解析】
(1)已知AB=10米，AB是半圆的直径，因此半圆半径$OD = OB = \frac{1}{2}AB = 5$米。
因为$OE ⊥ CD$，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得$DE = \frac{1}{2}CD$。
已知$OE:CD = 3:8$，结合$DE=\frac{1}{2}CD$，可得$OE:DE = 3:4$。
设$OE=3x$米，$DE=4x$米，在Rt△ODE中，由勾股定理得：
$(3x)^2+(4x)^2=5^2$
化简得$25x^2=25$，解得$x=1$（负值不符合实际，舍去）。
因此$DE=4×1=4$米，$CD=2DE=8$米。
(2)由(1)可得$OE=3×1=3$米，延长OE交半圆O于点F，OF为半圆的半径，即$OF=5$米。
则水位需要上升的高度$EF = OF - OE = 5 - 3 = 2$米。
已知水位上升速度为0.4米/时，因此所需时间为$2 ÷ 0.4 = 5$小时。
【答案】
(1)CD的长为8米；
(2)经过5小时桥洞会被灌满。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合实际生活中的桥洞水位问题考查几何知识的应用，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，通过勾股定理建立方程求解线段长度，同时要准确理解实际情景中水位上升高度对应的几何线段，是垂径定理应用的典型习题。
【难度系数】
0.7
(1)求解CD的长度，首先根据直径AB的长度得到半圆半径OD的长度；再利用垂径定理，由OE⊥CD可得DE是CD的一半，结合OE:CD=3:8推出OE与DE的比例关系；最后在Rt△ODE中利用勾股定理设未知数列方程，即可求出DE的长度，进而得到CD的长。
(2)桥洞被灌满时水位上升到半圆的最高点，延长OE交半圆于点F，上升的水位高度为EF的长度，即半径OF与OE的差，再用上升高度除以水位上升速度，即可得到所需时间。
【解析】
(1)已知AB=10米，AB是半圆的直径，因此半圆半径$OD = OB = \frac{1}{2}AB = 5$米。
因为$OE ⊥ CD$，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得$DE = \frac{1}{2}CD$。
已知$OE:CD = 3:8$，结合$DE=\frac{1}{2}CD$，可得$OE:DE = 3:4$。
设$OE=3x$米，$DE=4x$米，在Rt△ODE中，由勾股定理得：
$(3x)^2+(4x)^2=5^2$
化简得$25x^2=25$，解得$x=1$（负值不符合实际，舍去）。
因此$DE=4×1=4$米，$CD=2DE=8$米。
(2)由(1)可得$OE=3×1=3$米，延长OE交半圆O于点F，OF为半圆的半径，即$OF=5$米。
则水位需要上升的高度$EF = OF - OE = 5 - 3 = 2$米。
已知水位上升速度为0.4米/时，因此所需时间为$2 ÷ 0.4 = 5$小时。
【答案】
(1)CD的长为8米；
(2)经过5小时桥洞会被灌满。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合实际生活中的桥洞水位问题考查几何知识的应用，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，通过勾股定理建立方程求解线段长度，同时要准确理解实际情景中水位上升高度对应的几何线段，是垂径定理应用的典型习题。
【难度系数】
0.7
8⊙O的半径是13，弦AB//CD，AB=24，CD=10，
则AB与CD之间的距离是
则AB与CD之间的距离是
17或7
。答案
8.17或7 【解析】作 $OE ⊥ AB$ 于 $E$, $OF ⊥ CD$ 于 $F$, 则 $AE=\frac{1}{2}AB=12$, $CF=\frac{1}{2}CD=5$. 连接 $OA,OC$,
∴ $OA=OC=13$.
∵ $AB // CD$,
∴ $E,O,F$ 三点共线. 在Rt$△ AOE$中, $OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$. 在Rt$△ OCF$中, $OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$. 如图(1),当弦 $AB$ 与 $CD$ 在圆心 $O$ 异侧时, $AB$ 与 $CD$ 之间的距离为 $OF+OE=12+5=17$; 如图(2),当弦 $AB$ 与 $CD$ 在圆心 $O$ 同侧时, $AB$ 与 $CD$ 之间的距离为 $OF-OE=12-5=7$. 综上, $AB$ 与 $CD$ 之间的距离是 17 或 7.
解析
【分析】
遇到求圆内两条平行弦的距离问题，首先考虑用垂径定理求解：①先过圆心分别作两条弦的垂线，利用垂径定理得到两条弦的半弦长；②连接半径，构造直角三角形，用勾股定理分别算出两条弦到圆心的弦心距；③注意分类讨论两条弦的位置：分两条弦在圆心的异侧、同侧两种情况分别计算距离，避免漏解。
【解析】
作 $OE ⊥ AB$ 于 $E$, $OF ⊥ CD$ 于 $F$,
根据垂径定理，得 $AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12$, $CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×10=5$.
连接 $OA,OC$, 由⊙O半径为13得 $OA=OC=13$.
∵ $AB // CD$,
∴ $E,O,F$ 三点共线.
在Rt$△ AOE$中，由勾股定理得 $OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$.
在Rt$△ OCF$中，由勾股定理得 $OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$.
分两种情况讨论：
1. 如图(1)，当弦 $AB$ 与 $CD$ 在圆心 $O$ 异侧时，$AB$ 与 $CD$ 之间的距离为 $OF+OE=12+5=17$；
2. 如图(2)，当弦 $AB$ 与 $CD$ 在圆心 $O$ 同侧时，$AB$ 与 $CD$ 之间的距离为 $OF-OE=12-5=7$.
综上，$AB$ 与 $CD$ 之间的距离是 17 或 7.
【答案】
17或7
【知识点】
垂径定理、勾股定理、分类讨论
【点评】
本题是垂径定理应用的常见题型，核心是通过作垂线构造直角三角形求解，易错点是忽略两条弦和圆心的位置关系的两种可能性，造成漏解，解题时要注意结合图形分类讨论。
【难度系数】
0.6
遇到求圆内两条平行弦的距离问题，首先考虑用垂径定理求解：①先过圆心分别作两条弦的垂线，利用垂径定理得到两条弦的半弦长；②连接半径，构造直角三角形，用勾股定理分别算出两条弦到圆心的弦心距；③注意分类讨论两条弦的位置：分两条弦在圆心的异侧、同侧两种情况分别计算距离，避免漏解。
【解析】
作 $OE ⊥ AB$ 于 $E$, $OF ⊥ CD$ 于 $F$,
根据垂径定理，得 $AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12$, $CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×10=5$.
连接 $OA,OC$, 由⊙O半径为13得 $OA=OC=13$.
∵ $AB // CD$,
∴ $E,O,F$ 三点共线.
在Rt$△ AOE$中，由勾股定理得 $OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$.
在Rt$△ OCF$中，由勾股定理得 $OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$.
分两种情况讨论：
1. 如图(1)，当弦 $AB$ 与 $CD$ 在圆心 $O$ 异侧时，$AB$ 与 $CD$ 之间的距离为 $OF+OE=12+5=17$；
2. 如图(2)，当弦 $AB$ 与 $CD$ 在圆心 $O$ 同侧时，$AB$ 与 $CD$ 之间的距离为 $OF-OE=12-5=7$.
综上，$AB$ 与 $CD$ 之间的距离是 17 或 7.
【答案】
17或7
【知识点】
垂径定理、勾股定理、分类讨论
【点评】
本题是垂径定理应用的常见题型，核心是通过作垂线构造直角三角形求解，易错点是忽略两条弦和圆心的位置关系的两种可能性，造成漏解，解题时要注意结合图形分类讨论。
【难度系数】
0.6
