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1[2026江苏宿迁调研,中]如图,A,B,C为⊙O上三点,$\overset{\frown}{BC}:\overset{\frown}{BA}:\overset{\frown}{AC}=3:4:5$,OB是⊙O的半径,连接BC,则∠OBC的度数为 (
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$45°$
D
)A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$45°$
答案
1.D 【解析】连接OC. $\because \overset{\frown}{BC}:\overset{\frown}{BA}:\overset{\frown}{AC}=3:4:5$,$\therefore ∠COB= 360° × \frac{3}{3+4+5} = 90°$. $\because OC = OB$,$\therefore ∠OBC=∠OCB=\frac{1}{2}(180°-∠COB)=\frac{1}{2}×(180°-90°)=45°$,故选D.
解析
【分析】
解题时先从已知的弧长比例入手，同圆中弧的度数比等于其所对圆心角的度数比，结合圆周的总度数为360°，可先求出弧BC对应的圆心角∠COB的度数；再结合圆的半径相等，可知△OBC是等腰三角形，最后利用等腰三角形底角相等和三角形内角和定理，即可求出∠OBC的度数。
【解析】
连接OC。
∵$\overset{\frown}{BC}:\overset{\frown}{BA}:\overset{\frown}{AC}=3:4:5$，同圆中弧的比等于对应圆心角的比，
∴$∠ COB=360°× \frac{3}{3+4+5}=90°$。
又
∵OC、OB都是⊙O的半径，
∴OC=OB，即△OBC为等腰三角形，
∴$∠ OBC=∠ OCB=\frac{1}{2}(180°-∠ COB)=\frac{1}{2}×(180°-90°)=45°$。
【答案】D
【知识点】
弧与圆心角的关系；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的核心是将弧的比例关系转化为圆心角的度数，再结合等腰三角形的性质求解，考查了基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的弧长比例入手，同圆中弧的度数比等于其所对圆心角的度数比，结合圆周的总度数为360°，可先求出弧BC对应的圆心角∠COB的度数；再结合圆的半径相等，可知△OBC是等腰三角形，最后利用等腰三角形底角相等和三角形内角和定理，即可求出∠OBC的度数。
【解析】
连接OC。
∵$\overset{\frown}{BC}:\overset{\frown}{BA}:\overset{\frown}{AC}=3:4:5$，同圆中弧的比等于对应圆心角的比，
∴$∠ COB=360°× \frac{3}{3+4+5}=90°$。
又
∵OC、OB都是⊙O的半径，
∴OC=OB，即△OBC为等腰三角形，
∴$∠ OBC=∠ OCB=\frac{1}{2}(180°-∠ COB)=\frac{1}{2}×(180°-90°)=45°$。
【答案】D
【知识点】
弧与圆心角的关系；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的核心是将弧的比例关系转化为圆心角的度数，再结合等腰三角形的性质求解，考查了基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
2[中]计算机处理任务时,经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比.下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：
若圆的半径为1,当任务完成的百分比为$x$时,线段$MN$的长度记为$d(x)$.下列描述正确的是 (
A.$d(25\%)=1$
B.当$x＞50\%$时,$d(x)＞1$
C.当$x_1＞x_2$时,$d(x_1)＞d(x_2)$
D.当$x_1+x_2=100\%$时,$d(x_1)=d(x_2)$
若圆的半径为1,当任务完成的百分比为$x$时,线段$MN$的长度记为$d(x)$.下列描述正确的是 (
D
)A.$d(25\%)=1$
B.当$x＞50\%$时,$d(x)＞1$
C.当$x_1＞x_2$时,$d(x_1)＞d(x_2)$
D.当$x_1+x_2=100\%$时,$d(x_1)=d(x_2)$
答案
2.D 【解析】
A 当$x=25\%$时,弧MN等于四分之一圆,故N,M两点与圆心连线的夹角为90°,故$d(25\%)=\sqrt{2}$,本选项不符合题意
B 当$x＞50\%$时,$0≤d(x)＜2$,本选项不符合题意
C 当$x_1＞x_2$时,$d(x_1)$与$d(x_2)$可能相等,可能不等,本选项不符合题意
D 当$x_1+x_2=100\%$时,$d(x_1)=d(x_2)$,本选项符合题意
A 当$x=25\%$时,弧MN等于四分之一圆,故N,M两点与圆心连线的夹角为90°,故$d(25\%)=\sqrt{2}$,本选项不符合题意
B 当$x＞50\%$时,$0≤d(x)＜2$,本选项不符合题意
C 当$x_1＞x_2$时,$d(x_1)$与$d(x_2)$可能相等,可能不等,本选项不符合题意
D 当$x_1+x_2=100\%$时,$d(x_1)=d(x_2)$,本选项符合题意
解析
【分析】
解题时首先明确题意：任务完成百分比x对应弧MN占整圆周长的比例，d(x)为弦MN的长度，已知圆半径为1。解题思路如下：第一步，将百分比x转化为弧MN对应的圆心角（圆心角度数=x×360°）；第二步，结合弦长与圆心角的关系，逐个分析选项：计算A选项的弦长判断正误；举反例验证B、C选项是否成立；通过角度的对称性推导D选项的正确性。
【解析】
设圆的圆心为O，半径OM=ON=1，当任务完成百分比为x时，弧MN对应的圆心角∠MON=x×360°，弦长d(x)为线段MN的长度。
对选项A：当x=25%时，∠MON=25%×360°=90°，△MON为等腰直角三角形，由勾股定理得$MN=\sqrt{OM^2+ON^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，即$d(25\%)=\sqrt{2}≠1$，A不符合题意。
对选项B：当x＞50%时，∠MON＞180°，例如x=100%时M、N重合，$d(x)=0＜1$，故B不符合题意。
对选项C：例如取$x_1=75\%$，$x_2=25\%$，满足$x_1＞x_2$，但$d(75\%)=\sqrt{2}$，$d(25\%)=\sqrt{2}$，二者相等，故$d(x_1)$不一定大于$d(x_2)$，C不符合题意。
对选项D：当$x_1+x_2=100\%$时，两个进度对应的M、N两点的相对位置仅优弧、劣弧互换，弦长只和两点相对圆心的夹角有关，因此$d(x_1)=d(x_2)$，D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
弧与圆心角关系；弦长计算；圆的对称性
【点评】
本题结合生活中的圆形进度条场景考查圆的相关性质，解题的核心是明确完成百分比对应圆心角的比例，再结合弦长与圆心角的关系分析选项，易错点是误认为进度百分比越大弦长越大，忽略x超过50%后弦长会逐渐减小。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题意：任务完成百分比x对应弧MN占整圆周长的比例，d(x)为弦MN的长度，已知圆半径为1。解题思路如下：第一步，将百分比x转化为弧MN对应的圆心角（圆心角度数=x×360°）；第二步，结合弦长与圆心角的关系，逐个分析选项：计算A选项的弦长判断正误；举反例验证B、C选项是否成立；通过角度的对称性推导D选项的正确性。
【解析】
设圆的圆心为O，半径OM=ON=1，当任务完成百分比为x时，弧MN对应的圆心角∠MON=x×360°，弦长d(x)为线段MN的长度。
对选项A：当x=25%时，∠MON=25%×360°=90°，△MON为等腰直角三角形，由勾股定理得$MN=\sqrt{OM^2+ON^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，即$d(25\%)=\sqrt{2}≠1$，A不符合题意。
对选项B：当x＞50%时，∠MON＞180°，例如x=100%时M、N重合，$d(x)=0＜1$，故B不符合题意。
对选项C：例如取$x_1=75\%$，$x_2=25\%$，满足$x_1＞x_2$，但$d(75\%)=\sqrt{2}$，$d(25\%)=\sqrt{2}$，二者相等，故$d(x_1)$不一定大于$d(x_2)$，C不符合题意。
对选项D：当$x_1+x_2=100\%$时，两个进度对应的M、N两点的相对位置仅优弧、劣弧互换，弦长只和两点相对圆心的夹角有关，因此$d(x_1)=d(x_2)$，D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
弧与圆心角关系；弦长计算；圆的对称性
【点评】
本题结合生活中的圆形进度条场景考查圆的相关性质，解题的核心是明确完成百分比对应圆心角的比例，再结合弦长与圆心角的关系分析选项，易错点是误认为进度百分比越大弦长越大，忽略x超过50%后弦长会逐渐减小。
【难度系数】
0.7
3[中]如图,在扇形OAB中,∠AOB=110°,将扇形OAB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上的点D处,折痕交OA于点C,则$\overset{\frown}{AD}$的度数为 (
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
(第3题图)
(第4题图)
B
)A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
(第3题图)
(第4题图)
答案
3.B 【解析】连接OD. $\because$ 将扇形OAB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上的点D处,折痕交OA于点C,$\therefore BC$垂直平分OD,$\therefore BD=BO$. $\because OB=OD$,$\therefore BD = BO = DO$,$\therefore △ OBD$ 为等边三角形,$\therefore ∠DOB=60°$,$\therefore ∠AOD=∠AOB-∠DOB=110°-60°=50°$,$\therefore \overset{\frown}{AD}$的度数为50°. 故选B.
解析
【分析】
解决本题首先结合折叠性质分析：折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分，因此可得BD=BO；其次扇形半径均相等，作辅助线连接OD后可知OB=OD，即可判断△OBD的形状，得到∠DOB的度数；最后用∠AOB的总度数减去∠DOB的度数，得到$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角∠AOD的度数，结合“弧的度数等于其所对圆心角的度数”即可得到结果，解题核心是正确作出辅助线OD。
【解析】
解：连接OD。
∵ 将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上的点D处，折痕交OA于点C，
∴ BC垂直平分OD，$\therefore BD=BO$。
又
∵ OB、OD都是扇形OAB的半径，$\therefore OB=OD$，
$\therefore BD = BO = DO$，即$△ OBD$为等边三角形，
$\therefore ∠DOB=60°$。
$\because ∠AOB=110°$，
$\therefore ∠AOD=∠AOB-∠DOB=110°-60°=50°$，
∵ 弧的度数等于它所对圆心角的度数，
$\therefore \overset{\frown}{AD}$的度数为$50°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.折叠的性质 2.等边三角形判定 3.弧与圆心角关系
【点评】
本题属于基础综合题，解题关键是正确作出辅助线OD，结合折叠性质和扇形半径相等的特征推导出等边三角形，再利用圆心角和弧的度数的对应关系求解，熟练掌握几何基本性质和常用辅助线作法可快速解决这类问题。
【难度系数】
0.6
解决本题首先结合折叠性质分析：折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分，因此可得BD=BO；其次扇形半径均相等，作辅助线连接OD后可知OB=OD，即可判断△OBD的形状，得到∠DOB的度数；最后用∠AOB的总度数减去∠DOB的度数，得到$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角∠AOD的度数，结合“弧的度数等于其所对圆心角的度数”即可得到结果，解题核心是正确作出辅助线OD。
【解析】
解：连接OD。
∵ 将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上的点D处，折痕交OA于点C，
∴ BC垂直平分OD，$\therefore BD=BO$。
又
∵ OB、OD都是扇形OAB的半径，$\therefore OB=OD$，
$\therefore BD = BO = DO$，即$△ OBD$为等边三角形，
$\therefore ∠DOB=60°$。
$\because ∠AOB=110°$，
$\therefore ∠AOD=∠AOB-∠DOB=110°-60°=50°$，
∵ 弧的度数等于它所对圆心角的度数，
$\therefore \overset{\frown}{AD}$的度数为$50°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.折叠的性质 2.等边三角形判定 3.弧与圆心角关系
【点评】
本题属于基础综合题，解题关键是正确作出辅助线OD，结合折叠性质和扇形半径相等的特征推导出等边三角形，再利用圆心角和弧的度数的对应关系求解，熟练掌握几何基本性质和常用辅助线作法可快速解决这类问题。
【难度系数】
0.6
4[中]如图,点C是直径AB的三等分点(AC＜CB),点D是弧ADB的三等分点(弧BD＜弧AD).若直径AB=12,则DC的长为
$2\sqrt{13}$
.答案
4.$\boldsymbol{2\sqrt{13}}$ 【解析】如图,过D作$DE⊥AB$于E,则$∠DEC=90°$. $\because$ 点C是直径AB的三等分点$(AC＜CB)$,直径$AB=12$,$\therefore AC=4$,$BC=8$,$OD=OA=OB=6$,$\therefore CO=2$. $\because$ 点D是弧ADB的三等分点(弧BD＜弧AD),$\therefore ∠DOB=\frac{1}{3}×180°=60°$,$\therefore ∠ODE=30°$,$\therefore OE=\frac{1}{2}OD=3$,$\therefore DE=\sqrt{DO^2-OE^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$,$\therefore CE=OE+CO=3+2=5$,$\therefore DC=\sqrt{DE^2+CE^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+5^2}=2\sqrt{13}$,故答案为$2\sqrt{13}$.
思路分析
过D作$DE⊥AB$于E. 求出$∠DOB=60°$,通过含30°角的直角三角形的性质及勾股定理求出OE,DE的长度,再求出CE的长度,最后根据勾股定理求出DC的长度即可.
解析
【分析】
要求线段DC的长度，可通过作垂线构造直角三角形，借助勾股定理求解。第一步先根据直径长度和点C是AB三等分点的条件，算出圆的半径、线段CO的长度；第二步根据点D是弧ADB三等分点的条件，求出圆心角∠DOB的度数；第三步在构造的直角三角形中，利用含30°角的直角三角形性质和勾股定理求出DE、OE的长度，进而得到CE的长度；最后在Rt△CDE中用勾股定理即可算出DC的长。
【解析】
过D作$DE⊥AB$于E，则$∠DEC=90°$。
∵ 点C是直径AB的三等分点$(AC＜CB)$，直径$AB=12$，
∴ $AC=\frac{1}{3}AB=4$，圆的半径$OD=OA=OB=\frac{1}{2}AB=6$，
∴ $CO=AO-AC=6-4=2$。
∵ 点D是弧ADB的三等分点（弧$BD＜$弧$AD$），弧ADB为半圆，对应角度为$180°$，
∴ $∠DOB=\frac{1}{3}×180°=60°$。
在$Rt△ODE$中，$∠ODE=90°-∠DOB=30°$，
∴ $OE=\frac{1}{2}OD=3$，
由勾股定理得：$DE=\sqrt{OD^2-OE^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$。
∴ $CE=CO+OE=2+3=5$，
在$Rt△CDE$中，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{DE^2+CE^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+5^2}=\sqrt{27+25}=2\sqrt{13}$。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
圆心角与弧的关系；含30°角的直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的常见题型，解题关键是通过作垂线构造直角三角形，将圆的性质和直角三角形的计算结合起来，能有效考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要求线段DC的长度，可通过作垂线构造直角三角形，借助勾股定理求解。第一步先根据直径长度和点C是AB三等分点的条件，算出圆的半径、线段CO的长度；第二步根据点D是弧ADB三等分点的条件，求出圆心角∠DOB的度数；第三步在构造的直角三角形中，利用含30°角的直角三角形性质和勾股定理求出DE、OE的长度，进而得到CE的长度；最后在Rt△CDE中用勾股定理即可算出DC的长。
【解析】
过D作$DE⊥AB$于E，则$∠DEC=90°$。
∵ 点C是直径AB的三等分点$(AC＜CB)$，直径$AB=12$，
∴ $AC=\frac{1}{3}AB=4$，圆的半径$OD=OA=OB=\frac{1}{2}AB=6$，
∴ $CO=AO-AC=6-4=2$。
∵ 点D是弧ADB的三等分点（弧$BD＜$弧$AD$），弧ADB为半圆，对应角度为$180°$，
∴ $∠DOB=\frac{1}{3}×180°=60°$。
在$Rt△ODE$中，$∠ODE=90°-∠DOB=30°$，
∴ $OE=\frac{1}{2}OD=3$，
由勾股定理得：$DE=\sqrt{OD^2-OE^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$。
∴ $CE=CO+OE=2+3=5$，
在$Rt△CDE$中，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{DE^2+CE^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+5^2}=\sqrt{27+25}=2\sqrt{13}$。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
圆心角与弧的关系；含30°角的直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的常见题型，解题关键是通过作垂线构造直角三角形，将圆的性质和直角三角形的计算结合起来，能有效考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
5[2025江苏南京调研,较难]如图,在半圆O中,C是半圆上的一个点,将$\overset{\frown}{AC}$沿弦AC折叠交直径AB于点D,点E是$\overset{\frown}{AD}$的中点,连接OE.若OE长的最小值为$\sqrt{2}-1$,则AB=
2
.答案
5.$\boldsymbol{2}$ 【解析】如图,补全弧AEC所在的圆及圆心,连接CE,OC,$O'E$,$O'C$. 由三角形三边关系可知,当O,C,E共线时OE的长取最小值,即$OE=\sqrt{2}-1$.
设$\overset{\frown}{AC}$的度数为$x°$,$\therefore \overset{\frown}{BC}$的度数为$(180-x)°$. $\because ∠CAD=∠CAB$,$\therefore \overset{\frown}{CD}$的度数为$(180-x)°$. 由折叠得,$\overset{\frown}{CDA}$的度数为$x°$,$\therefore \overset{\frown}{AD}$的度数为$x°-(180-x)°=(2x-180)°$. $\because$ 点E为$\overset{\frown}{AD}$的中点,$\therefore \overset{\frown}{DE}$的度数为$\frac{1}{2}(2x-180)°=(x-90)°$,$\therefore \overset{\frown}{CE}$的度数为$(180-x)°+(x-90)°=90°$,即$\overset{\frown}{CE}$所对圆心角$∠CO'E=90°$. 设半圆O的半径为r,则易得$O'C=O'E=r$. $\because OE=\sqrt{2}-1$,$\therefore CE=r+\sqrt{2}-1$,$\therefore r^2+r^2=(r+\sqrt{2}-1)^2$,解得$r_1=1$,$r_2=2\sqrt{2}-3$(不符合题意,舍去),$\therefore AB=2$,故答案为2.
解析
【分析】
本题是圆的折叠与最值结合的问题，解题可按以下思路展开：1. 折叠前后对应弧、对应角大小不变，先补全折叠后$\overset{\frown}{AC}$所在的圆，确定其圆心$O'$；2. 求线段最小值可结合两点之间线段最短判断，当$O$、$C$、$E$三点共线时，$OE$取得最小值；3. 利用圆周角与弧的对应关系，推导各段弧的度数，得到$\overset{\frown}{CE}$对应的圆心角为$90°$；4. 设半圆$O$的半径为$r$，结合等腰直角三角形的边长关系和勾股定理列方程求解半径，即可得到$AB$的长度。
【解析】
如图，补全弧AEC所在的圆及圆心$O'$，连接$CE$，$OC$，$O'E$，$O'C$。
根据两点之间线段最短，当$O$、$C$、$E$三点共线时，$OE$的长取最小值，此时$OE=\sqrt{2}-1$。
设$\overset{\frown}{AC}$的度数为$x°$，则$\overset{\frown}{BC}$的度数为$(180-x)°$。
$\because ∠CAD=∠CAB$，相等的圆周角所对弧的度数相等，$\therefore \overset{\frown}{CD}$的度数为$(180-x)°$。
由折叠的性质可得$\overset{\frown}{CDA}$的度数为$x°$，$\therefore \overset{\frown}{AD}$的度数为$x°-(180-x)°=(2x-180)°$。
$\because$点$E$是$\overset{\frown}{AD}$的中点，$\therefore \overset{\frown}{DE}$的度数为$\frac{1}{2}(2x-180)°=(x-90)°$。
$\therefore \overset{\frown}{CE}$的度数为$(180-x)°+(x-90)°=90°$，即$\overset{\frown}{CE}$所对的圆心角$∠CO'E=90°$。
设半圆$O$的半径为$r$，折叠前后圆的半径不变，因此$O'C=O'E=r$。
当$O$、$C$、$E$共线时，$CE=OC+OE=r+\sqrt{2}-1$。
在$Rt△CO'E$中，由勾股定理得：$O'C^2+O'E^2=CE^2$，即$r^2+r^2=(r+\sqrt{2}-1)^2$。
解方程得$r_1=1$，$r_2=2\sqrt{2}-3$（为负数，不符合题意，舍去）。
$\therefore AB=2r=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
折叠的性质，圆心角与弧的关系，勾股定理
【点评】
本题综合了圆的折叠性质、弧与圆心角的对应关系、最短路径判断和勾股定理的应用，解题的关键是判断出OE取最小值的三点共线状态，同时准确推导弧的度数得到直角，对逻辑推理能力和知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
本题是圆的折叠与最值结合的问题，解题可按以下思路展开：1. 折叠前后对应弧、对应角大小不变，先补全折叠后$\overset{\frown}{AC}$所在的圆，确定其圆心$O'$；2. 求线段最小值可结合两点之间线段最短判断，当$O$、$C$、$E$三点共线时，$OE$取得最小值；3. 利用圆周角与弧的对应关系，推导各段弧的度数，得到$\overset{\frown}{CE}$对应的圆心角为$90°$；4. 设半圆$O$的半径为$r$，结合等腰直角三角形的边长关系和勾股定理列方程求解半径，即可得到$AB$的长度。
【解析】
如图，补全弧AEC所在的圆及圆心$O'$，连接$CE$，$OC$，$O'E$，$O'C$。
根据两点之间线段最短，当$O$、$C$、$E$三点共线时，$OE$的长取最小值，此时$OE=\sqrt{2}-1$。
设$\overset{\frown}{AC}$的度数为$x°$，则$\overset{\frown}{BC}$的度数为$(180-x)°$。
$\because ∠CAD=∠CAB$，相等的圆周角所对弧的度数相等，$\therefore \overset{\frown}{CD}$的度数为$(180-x)°$。
由折叠的性质可得$\overset{\frown}{CDA}$的度数为$x°$，$\therefore \overset{\frown}{AD}$的度数为$x°-(180-x)°=(2x-180)°$。
$\because$点$E$是$\overset{\frown}{AD}$的中点，$\therefore \overset{\frown}{DE}$的度数为$\frac{1}{2}(2x-180)°=(x-90)°$。
$\therefore \overset{\frown}{CE}$的度数为$(180-x)°+(x-90)°=90°$，即$\overset{\frown}{CE}$所对的圆心角$∠CO'E=90°$。
设半圆$O$的半径为$r$，折叠前后圆的半径不变，因此$O'C=O'E=r$。
当$O$、$C$、$E$共线时，$CE=OC+OE=r+\sqrt{2}-1$。
在$Rt△CO'E$中，由勾股定理得：$O'C^2+O'E^2=CE^2$，即$r^2+r^2=(r+\sqrt{2}-1)^2$。
解方程得$r_1=1$，$r_2=2\sqrt{2}-3$（为负数，不符合题意，舍去）。
$\therefore AB=2r=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
折叠的性质，圆心角与弧的关系，勾股定理
【点评】
本题综合了圆的折叠性质、弧与圆心角的对应关系、最短路径判断和勾股定理的应用，解题的关键是判断出OE取最小值的三点共线状态，同时准确推导弧的度数得到直角，对逻辑推理能力和知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
6[较难]如图(1),PC是$\odot O$的直径,PA与PB是弦,且$∠ APC=∠ BPC$.
(1)求证:PA,PB与圆O相交形成的弧相等;
(2)若点P由圆上运动到圆外,PC过圆心,如图(2),(1)中的结论是否仍然成立?为什么?
刷素养 走向重高
(1)求证:PA,PB与圆O相交形成的弧相等;
(2)若点P由圆上运动到圆外,PC过圆心,如图(2),(1)中的结论是否仍然成立?为什么?
刷素养 走向重高
答案
6.(1)【证明】如图(1),作$OE⊥PA$于点E,$OF⊥PB$于点F,连接AO,BO. $\because ∠APC = ∠BPC$,$\therefore OE=OF$. 又$\because OP = OP$,$\therefore \mathrm{Rt}△ POE ≌ \mathrm{Rt}△ POF$ (HL),$\therefore PE=PF$. $\because AO=BO$,$OE=OF$,$∠AEO=∠BFO=90°$,$\therefore \mathrm{Rt}△ AOE ≌ \mathrm{Rt}△ BOF$(HL),$\therefore AE = BF$,$\therefore PE+AE=PF+BF$,即$PA=PB$,$\therefore \overset{\frown}{PA}=\overset{\frown}{PB}$.
(2)【解】仍然成立. 理由如下:如图(2),作$OE⊥PA$于点E,$OF⊥PB$于点F,设AP,BP与$\odot O$分别交于点D,G. 连接AO,BO,DO,GO. $\because ∠APC = ∠BPC$,$\therefore OE = OF$. 由(1)可知,$AE=BF$,同理可得$DE=GF$,$\therefore AD=BG$,$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BG}$,故(1)中的结论仍然成立.
解析
【分析】
(1) 要证明PA、PB与圆相交形成的弧相等，根据圆心角、弧、弦的对应关系，可先证明两条弧对应的弦相等。已知∠APC=∠BPC，可利用角平分线的性质，过圆心O向PA、PB作垂线，得到两条垂线段相等，再通过HL定理证明直角三角形全等，推导出PA=PB，即可得到对应弧相等。
(2) 当点P运动到圆外时，证明思路和第一问一致：同样过O作PA、PB的垂线，利用角平分线性质得两条垂线段相等，再通过全等证明PA、PB被圆截得的弦长相等，即可得到对应弧相等，判断结论仍然成立。
【解析】
(1) 证明：如图(1)，作$OE⊥PA$于点E，$OF⊥PB$于点F，连接AO，BO。
$\because ∠APC = ∠BPC$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$OE=OF$。
又$\because OP = OP$，$\therefore \mathrm{Rt}△ POE ≌ \mathrm{Rt}△ POF$ (HL)，$\therefore PE=PF$。
$\because AO=BO$，$OE=OF$，$∠AEO=∠BFO=90°$，$\therefore \mathrm{Rt}△ AOE ≌ \mathrm{Rt}△ BOF$(HL)，$\therefore AE = BF$，
$\therefore PE+AE=PF+BF$，即$PA=PB$，根据同圆中相等的弦对应相等的弧，可得$\overset{\frown}{PA}=\overset{\frown}{PB}$。
(2) 解：仍然成立。理由如下：
如图(2)，作$OE⊥PA$于点E，$OF⊥PB$于点F，设AP，BP与$\odot O$分别交于点D，G，连接AO，BO，DO，GO。
$\because ∠APC = ∠BPC$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$OE = OF$。
参照(1)的证明方法可推得$AE=BF$，同理可证$\mathrm{Rt}△ DOE ≌ \mathrm{Rt}△ GOF$，得$DE=GF$，
$\therefore AE-DE=BF-GF$，即$AD=BG$，根据同圆中相等的弦对应相等的弧，可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BG}$，故(1)中的结论仍然成立。
【答案】
(1) 证明：如图(1),作$OE⊥PA$于点E,$OF⊥PB$于点F,连接AO,BO. $\because ∠APC = ∠BPC$,$\therefore OE=OF$. 又$\because OP = OP$,$\therefore \mathrm{Rt}△ POE ≌ \mathrm{Rt}△ POF$ (HL),$\therefore PE=PF$. $\because AO=BO$,$OE=OF$,$∠AEO=∠BFO=90°$,$\therefore \mathrm{Rt}△ AOE ≌ \mathrm{Rt}△ BOF$(HL),$\therefore AE = BF$,$\therefore PE+AE=PF+BF$,即$PA=PB$,$\therefore \overset{\frown}{PA}=\overset{\frown}{PB}$.
(2) 仍然成立. 理由如下:如图(2),作$OE⊥PA$于点E,$OF⊥PB$于点F,设AP,BP与$\odot O$分别交于点D,G. 连接AO,BO,DO,GO. $\because ∠APC = ∠BPC$,$\therefore OE = OF$. 由(1)可知,$AE=BF$,同理可得$DE=GF$,$\therefore AD=BG$,$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BG}$,故(1)中的结论仍然成立.
【知识点】
1. 圆心角、弧、弦的关系
2. 角平分线的性质
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查圆中弧相等的证明，核心是利用“同圆中相等的弦对应相等的弧”将弧相等的证明转化为弦相等的证明，解题关键是构造“过圆心作弦的垂线”这一常见辅助线，结合角平分线性质和全等三角形判定完成推导，两种位置下的证明思路具有一致性，要掌握这类辅助线的构造技巧。
【难度系数】
0.5
(1) 要证明PA、PB与圆相交形成的弧相等，根据圆心角、弧、弦的对应关系，可先证明两条弧对应的弦相等。已知∠APC=∠BPC，可利用角平分线的性质，过圆心O向PA、PB作垂线，得到两条垂线段相等，再通过HL定理证明直角三角形全等，推导出PA=PB，即可得到对应弧相等。
(2) 当点P运动到圆外时，证明思路和第一问一致：同样过O作PA、PB的垂线，利用角平分线性质得两条垂线段相等，再通过全等证明PA、PB被圆截得的弦长相等，即可得到对应弧相等，判断结论仍然成立。
【解析】
(1) 证明：如图(1)，作$OE⊥PA$于点E，$OF⊥PB$于点F，连接AO，BO。
$\because ∠APC = ∠BPC$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$OE=OF$。
又$\because OP = OP$，$\therefore \mathrm{Rt}△ POE ≌ \mathrm{Rt}△ POF$ (HL)，$\therefore PE=PF$。
$\because AO=BO$，$OE=OF$，$∠AEO=∠BFO=90°$，$\therefore \mathrm{Rt}△ AOE ≌ \mathrm{Rt}△ BOF$(HL)，$\therefore AE = BF$，
$\therefore PE+AE=PF+BF$，即$PA=PB$，根据同圆中相等的弦对应相等的弧，可得$\overset{\frown}{PA}=\overset{\frown}{PB}$。
(2) 解：仍然成立。理由如下：
如图(2)，作$OE⊥PA$于点E，$OF⊥PB$于点F，设AP，BP与$\odot O$分别交于点D，G，连接AO，BO，DO，GO。
$\because ∠APC = ∠BPC$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$OE = OF$。
参照(1)的证明方法可推得$AE=BF$，同理可证$\mathrm{Rt}△ DOE ≌ \mathrm{Rt}△ GOF$，得$DE=GF$，
$\therefore AE-DE=BF-GF$，即$AD=BG$，根据同圆中相等的弦对应相等的弧，可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BG}$，故(1)中的结论仍然成立。
【答案】
(1) 证明：如图(1),作$OE⊥PA$于点E,$OF⊥PB$于点F,连接AO,BO. $\because ∠APC = ∠BPC$,$\therefore OE=OF$. 又$\because OP = OP$,$\therefore \mathrm{Rt}△ POE ≌ \mathrm{Rt}△ POF$ (HL),$\therefore PE=PF$. $\because AO=BO$,$OE=OF$,$∠AEO=∠BFO=90°$,$\therefore \mathrm{Rt}△ AOE ≌ \mathrm{Rt}△ BOF$(HL),$\therefore AE = BF$,$\therefore PE+AE=PF+BF$,即$PA=PB$,$\therefore \overset{\frown}{PA}=\overset{\frown}{PB}$.
(2) 仍然成立. 理由如下:如图(2),作$OE⊥PA$于点E,$OF⊥PB$于点F,设AP,BP与$\odot O$分别交于点D,G. 连接AO,BO,DO,GO. $\because ∠APC = ∠BPC$,$\therefore OE = OF$. 由(1)可知,$AE=BF$,同理可得$DE=GF$,$\therefore AD=BG$,$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BG}$,故(1)中的结论仍然成立.
【知识点】
1. 圆心角、弧、弦的关系
2. 角平分线的性质
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查圆中弧相等的证明，核心是利用“同圆中相等的弦对应相等的弧”将弧相等的证明转化为弦相等的证明，解题关键是构造“过圆心作弦的垂线”这一常见辅助线，结合角平分线性质和全等三角形判定完成推导，两种位置下的证明思路具有一致性，要掌握这类辅助线的构造技巧。
【难度系数】
0.5
7 核心素养 推理能力 [难]小明在完成作业“$∠ AOB=90°$,$C,D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,弦$AB$分别交$OC$,$OD$于点$E,F$,求证:$AE=BF=CD$”的基础上,做了如下尝试,把$∠ AOB=90°$改为$∠ AOB=120°$,其他不变,证明成功后,大胆猜想“如图,$∠ AOB=n°$,$C,D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,弦$AB$分别交$OC$,$OD$于点$E,F$,求证:$AE=BF=CD$”.请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程.
答案
7.【解】尝试:连接AC,BD. $\because$ 在$\odot O$中,$∠AOB=120°$,C,D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,$\therefore ∠AOC=\frac{1}{3}∠AOB=\frac{1}{3}×120°=40°$. $\because OA=OB$,$\therefore ∠OAB=∠OBA=30°$,$\therefore ∠AEC=∠OAB+∠AOC=30°+40°=70°$. $\because OA=OC$,$∠AOC=40°$,$\therefore ∠ACE=70°$,$\therefore ∠ACE=∠AEC$,$\therefore AC=AE$. 同理,$BF=BD$. $\because C,D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,$\therefore AC=CD=BD$,$\therefore AE=BF=CD$.
猜想:连接AC,BD. $\because$ 在$\odot O$中,$∠AOB=n°$,C,D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,$\therefore ∠AOC=\frac{1}{3}∠AOB=\frac{1}{3}×n°=(\frac{n}{3})°$. $\because OA=OB$,$\therefore ∠OAB=∠OBA=(\frac{180-n}{2})°$,$\therefore ∠AEC = ∠OAB + ∠AOC = (\frac{180-n}{2}+\frac{n}{3})°=(90-\frac{n}{6})°$. $\because OA=OC$,$∠AOC=(\frac{n}{3})°$,$\therefore ∠ACE=(\frac{180-\frac{n}{3}}{2})°=(90-\frac{n}{6})°$,$\therefore ∠ACE=∠AEC$,$\therefore AC=AE$. 同理,$BF=BD$. $\because C,D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,$\therefore AC=CD=BD$,$\therefore AE=BF=CD$.
刷有所得
本题“尝试”中的结论和$∠AOB$的度数没有关系,只要C,D还是弧AB的三等分点,那么$AE=BF=CD$的结论就一直成立.
猜想:连接AC,BD. $\because$ 在$\odot O$中,$∠AOB=n°$,C,D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,$\therefore ∠AOC=\frac{1}{3}∠AOB=\frac{1}{3}×n°=(\frac{n}{3})°$. $\because OA=OB$,$\therefore ∠OAB=∠OBA=(\frac{180-n}{2})°$,$\therefore ∠AEC = ∠OAB + ∠AOC = (\frac{180-n}{2}+\frac{n}{3})°=(90-\frac{n}{6})°$. $\because OA=OC$,$∠AOC=(\frac{n}{3})°$,$\therefore ∠ACE=(\frac{180-\frac{n}{3}}{2})°=(90-\frac{n}{6})°$,$\therefore ∠ACE=∠AEC$,$\therefore AC=AE$. 同理,$BF=BD$. $\because C,D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,$\therefore AC=CD=BD$,$\therefore AE=BF=CD$.
刷有所得
本题“尝试”中的结论和$∠AOB$的度数没有关系,只要C,D还是弧AB的三等分点,那么$AE=BF=CD$的结论就一直成立.
解析
【分析】
要证明$AE=BF=CD$，首先利用同圆中弧与弦的对应关系：由C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，可得$AC=CD=BD$，因此只需证明$AE=AC$、$BF=BD$即可。证明两条线段相等可转化为证明线段所对的角相等：先根据圆心角和弧的对应关系求出$∠ AOC$的度数，再结合等腰$△ OAB$、等腰$△ OAC$的内角性质，分别计算$∠ AEC$和$∠ ACE$的度数，若二者相等即可由等角对等边得到$AE=AC$，同理可得$BF=BD$，最终推出三条线段相等，该思路对$∠ AOB=120°$和任意度数$n°$均适用。
【解析】
尝试（$∠ AOB=120°$的证明）：
连接$AC$、$BD$。
1. 因为C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，因此$∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}×120°=40°$，且$AC=CD=BD$。
2. 因为$OA=OB$，$∠ AOB=120°$，所以$∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
3. $∠ AEC$是$△ AEO$的外角，因此$∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=30°+40°=70°$。
4. 因为$OA=OC$，$∠ AOC=40°$，所以$∠ ACE=∠ OAC=\frac{180°-40°}{2}=70°$，因此$∠ ACE=∠ AEC$，由等角对等边得$AC=AE$。
5. 同理可证$BF=BD$，结合$AC=CD=BD$，得$AE=BF=CD$。
猜想（$∠ AOB=n°$的证明）：
连接$AC$、$BD$。
1. 因为C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，因此$∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB=(\frac{n}{3})°$，且$AC=CD=BD$。
2. 因为$OA=OB$，$∠ AOB=n°$，所以$∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-n°}{2}=(\frac{180-n}{2})°$。
3. $∠ AEC$是$△ AEO$的外角，因此$∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=(\frac{180-n}{2}+\frac{n}{3})°=(90-\frac{n}{6})°$。
4. 因为$OA=OC$，$∠ AOC=(\frac{n}{3})°$，所以$∠ ACE=∠ OAC=\frac{180°-(\frac{n}{3})°}{2}=(90-\frac{n}{6})°$，因此$∠ ACE=∠ AEC$，由等角对等边得$AC=AE$。
5. 同理可证$BF=BD$，结合$AC=CD=BD$，得$AE=BF=CD$。
【答案】
尝试和猜想均成立，$AE=BF=CD$。
【知识点】
圆心角弧弦的关系、等腰三角形的判定与性质、三角形外角性质
【点评】
本题通过构造辅助线将线段相等的证明转化为角相等的推导，体现了转化的数学思想，同时从特殊角度到一般角度的探究过程，也体现了从特殊到一般的推理方法，结论不受$∠ AOB$具体度数限制，只要C、D为$\overset{\frown}{AB}$的三等分点就成立。
【难度系数】
0.4
要证明$AE=BF=CD$，首先利用同圆中弧与弦的对应关系：由C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，可得$AC=CD=BD$，因此只需证明$AE=AC$、$BF=BD$即可。证明两条线段相等可转化为证明线段所对的角相等：先根据圆心角和弧的对应关系求出$∠ AOC$的度数，再结合等腰$△ OAB$、等腰$△ OAC$的内角性质，分别计算$∠ AEC$和$∠ ACE$的度数，若二者相等即可由等角对等边得到$AE=AC$，同理可得$BF=BD$，最终推出三条线段相等，该思路对$∠ AOB=120°$和任意度数$n°$均适用。
【解析】
尝试（$∠ AOB=120°$的证明）：
连接$AC$、$BD$。
1. 因为C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，因此$∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}×120°=40°$，且$AC=CD=BD$。
2. 因为$OA=OB$，$∠ AOB=120°$，所以$∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
3. $∠ AEC$是$△ AEO$的外角，因此$∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=30°+40°=70°$。
4. 因为$OA=OC$，$∠ AOC=40°$，所以$∠ ACE=∠ OAC=\frac{180°-40°}{2}=70°$，因此$∠ ACE=∠ AEC$，由等角对等边得$AC=AE$。
5. 同理可证$BF=BD$，结合$AC=CD=BD$，得$AE=BF=CD$。
猜想（$∠ AOB=n°$的证明）：
连接$AC$、$BD$。
1. 因为C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，因此$∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB=(\frac{n}{3})°$，且$AC=CD=BD$。
2. 因为$OA=OB$，$∠ AOB=n°$，所以$∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-n°}{2}=(\frac{180-n}{2})°$。
3. $∠ AEC$是$△ AEO$的外角，因此$∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=(\frac{180-n}{2}+\frac{n}{3})°=(90-\frac{n}{6})°$。
4. 因为$OA=OC$，$∠ AOC=(\frac{n}{3})°$，所以$∠ ACE=∠ OAC=\frac{180°-(\frac{n}{3})°}{2}=(90-\frac{n}{6})°$，因此$∠ ACE=∠ AEC$，由等角对等边得$AC=AE$。
5. 同理可证$BF=BD$，结合$AC=CD=BD$，得$AE=BF=CD$。
【答案】
尝试和猜想均成立，$AE=BF=CD$。
【知识点】
圆心角弧弦的关系、等腰三角形的判定与性质、三角形外角性质
【点评】
本题通过构造辅助线将线段相等的证明转化为角相等的推导，体现了转化的数学思想，同时从特殊角度到一般角度的探究过程，也体现了从特殊到一般的推理方法，结论不受$∠ AOB$具体度数限制，只要C、D为$\overset{\frown}{AB}$的三等分点就成立。
【难度系数】
0.4
