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1 下列命题正确的是 （
A.相等的圆心角所对的弦相等
B.圆是中心对称图形
C.在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等
D.在同圆中,较长的弧所对的弦较长
B
）A.相等的圆心角所对的弦相等
B.圆是中心对称图形
C.在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等
D.在同圆中,较长的弧所对的弦较长
答案
1.B 【解析】A选项,同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,故原命题错误,不符合题意;B选项,圆是中心对称图形,正确,符合题意;C选项,同一条弦对应着两条弧,它们不一定相等,故在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧不一定相等,故原命题错误,不符合题意;D选项,在同圆中,半圆弧所对的弦最长,其他非半圆弧所对的弦均小于半圆弧所对的弦(直径),故原命题错误,不符合题意.故选B.
解析
【分析】
本题是圆相关概念的辨析题，解题时需逐个分析选项，结合各定理的适用前提、圆的基本性质判断命题正误：首先要明确涉及圆心角、弧、弦相等关系的命题，大多需满足“同圆或等圆”的前提；其次要注意一条弦对应优弧、劣弧两条弧，以及优弧、劣弧与对应弦长的关系误区，还要掌握中心对称图形的判定方法。
【解析】
对各选项逐一判断：
A选项：只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦才相等，原命题缺少适用前提，表述错误，不符合题意；
B选项：圆绕圆心旋转180°后能与自身完全重合，符合中心对称图形的定义，因此圆是中心对称图形，表述正确，符合题意；
C选项：在同圆或等圆中，一条弦对应优弧、劣弧两条弧，因此相等的弦所对的弧不一定相等，原命题表述错误，不符合题意；
D选项：在同圆中，直径是最长的弦，它所对的弧是半圆，长度大于半圆的优弧所对的弦长度小于直径，因此较长的弧所对的弦不一定更长，原命题表述错误，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆的对称性
2. 圆心角、弧、弦的关系
3. 中心对称图形
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于忽略圆心角、弧、弦相等关系的适用前提，以及忽略一条弦对应两条弧的特点，熟记圆的基础性质即可准确解题。
【难度系数】
0.7
本题是圆相关概念的辨析题，解题时需逐个分析选项，结合各定理的适用前提、圆的基本性质判断命题正误：首先要明确涉及圆心角、弧、弦相等关系的命题，大多需满足“同圆或等圆”的前提；其次要注意一条弦对应优弧、劣弧两条弧，以及优弧、劣弧与对应弦长的关系误区，还要掌握中心对称图形的判定方法。
【解析】
对各选项逐一判断：
A选项：只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦才相等，原命题缺少适用前提，表述错误，不符合题意；
B选项：圆绕圆心旋转180°后能与自身完全重合，符合中心对称图形的定义，因此圆是中心对称图形，表述正确，符合题意；
C选项：在同圆或等圆中，一条弦对应优弧、劣弧两条弧，因此相等的弦所对的弧不一定相等，原命题表述错误，不符合题意；
D选项：在同圆中，直径是最长的弦，它所对的弧是半圆，长度大于半圆的优弧所对的弦长度小于直径，因此较长的弧所对的弦不一定更长，原命题表述错误，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆的对称性
2. 圆心角、弧、弦的关系
3. 中心对称图形
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于忽略圆心角、弧、弦相等关系的适用前提，以及忽略一条弦对应两条弧的特点，熟记圆的基础性质即可准确解题。
【难度系数】
0.7
2[2026 江苏南京鼓楼区模拟]在$\odot O$中,若$∠ AOB=2∠ COD$,则$\overset{\frown}{AB}$与$2\overset{\frown}{CD}$的大小关系是 (
A.$\overset{\frown}{AB}＞2\overset{\frown}{CD}$
B.$\overset{\frown}{AB}＜2\overset{\frown}{CD}$
C.$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$
D.不能确定
C
)A.$\overset{\frown}{AB}＞2\overset{\frown}{CD}$
B.$\overset{\frown}{AB}＜2\overset{\frown}{CD}$
C.$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$
D.不能确定
答案
2.C 【解析】如图,取$\overset{\frown}{AB}$的中点E,连接OE,则$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$,$\therefore ∠AOE=∠BOE=\frac{1}{2}∠AOB$. $\because ∠AOB=2∠COD$,$\therefore ∠AOE=∠BOE=∠COD$,$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}$,$\therefore \overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$. 故选C.
解析
【分析】
在同圆中，弧的长度与它所对的圆心角大小成正比，相等的圆心角对应的弧长度相等。要判断$\overset{\frown}{AB}$和$2\overset{\frown}{CD}$的大小关系，可借助已知的角度关系$∠AOB=2∠COD$，将$\overset{\frown}{AB}$拆分为两个相等的小弧，只需证明每个小弧都与$\overset{\frown}{CD}$相等即可：先取$\overset{\frown}{AB}$的中点，得到两个等弧及对应相等的圆心角，再和$∠COD$对比推导。
【解析】
解：取$\overset{\frown}{AB}$的中点E，连接OE。
∵E为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，$∠AOE=∠BOE=\frac{1}{2}∠AOB$。
∵$∠AOB=2∠COD$，
∴$∠AOE=∠BOE=∠COD$。
在同圆$\odot O$中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}+\overset{\frown}{BE}=2\overset{\frown}{CD}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
同圆中圆心角与弧的对应关系、弧的中点性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆心角和弧的对应关系，通过作弧的中点拆分大弧的方法，结合已知角度关系即可快速推导弧的数量关系，熟练掌握同圆内圆心角和弧的对应规律是解题的关键。
【难度系数】
0.8
在同圆中，弧的长度与它所对的圆心角大小成正比，相等的圆心角对应的弧长度相等。要判断$\overset{\frown}{AB}$和$2\overset{\frown}{CD}$的大小关系，可借助已知的角度关系$∠AOB=2∠COD$，将$\overset{\frown}{AB}$拆分为两个相等的小弧，只需证明每个小弧都与$\overset{\frown}{CD}$相等即可：先取$\overset{\frown}{AB}$的中点，得到两个等弧及对应相等的圆心角，再和$∠COD$对比推导。
【解析】
解：取$\overset{\frown}{AB}$的中点E，连接OE。
∵E为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，$∠AOE=∠BOE=\frac{1}{2}∠AOB$。
∵$∠AOB=2∠COD$，
∴$∠AOE=∠BOE=∠COD$。
在同圆$\odot O$中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}+\overset{\frown}{BE}=2\overset{\frown}{CD}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
同圆中圆心角与弧的对应关系、弧的中点性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆心角和弧的对应关系，通过作弧的中点拆分大弧的方法，结合已知角度关系即可快速推导弧的数量关系，熟练掌握同圆内圆心角和弧的对应规律是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3 把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则$\overset{\frown}{AC}$的度数是（
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
A
）A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
3.A 【解析】如图,过点O作$OF⊥AB$于点F,交$\odot O$于点E,连接AO. 由折叠的性质得到$OF=EF=\frac{1}{2}OE$. $\because OA=OE$,$\therefore OF=\frac{1}{2}OA$,$\therefore ∠OAF=30°$.
$\because AB// CD$,$\therefore ∠AOC=30°$,$\therefore \overset{\frown}{AC}$的度数是30°. 故选A.
思路分析
作辅助线$OF⊥AB$,利用折叠的性质得出$OF=\frac{1}{2}OE=\frac{1}{2}AO$,再根据直角三角形的性质及平行线的性质得出$∠AOC=30°$,最后利用弧的度数与圆心角度数的关系得出结论.
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{AC}$的度数，根据弧的度数等于它所对圆心角的度数，可知只需计算圆心角$∠AOC$的度数即可。首先结合折叠的性质，可得到圆心O到折痕AB的距离是半径的一半，通过作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出相关角度，再结合平行线的性质就能得到$∠AOC$的度数，进而得到对应弧的度数。
【解析】
如图，过点O作$OF⊥AB$于点F，交$\odot O$于点E，连接AO。
由折叠的性质可得：$OF=EF=\frac{1}{2}OE$。
∵OA、OE都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OE$，因此$OF=\frac{1}{2}OA$。
在$Rt△ AOF$中，直角边$OF$等于斜边$OA$的一半，
∴$∠OAF=30°$，则$∠AOF=60°$。
由折叠可知折痕$CD$为过圆心的直径，且$AB// CD$，$CD⊥EO$，因此$∠AOC=90°-∠AOF=30°$。
根据弧的度数等于其对应圆心角的度数，可得$\overset{\frown}{AC}$的度数是$30°$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质；直角三角形的性质；圆心角与弧的关系
【点评】
本题结合圆形折叠操作考查圆的基础性质，解题突破口是通过折叠性质得到线段的倍半关系，再关联直角三角形、平行线的性质求出圆心角，需要学生具备一定的数形结合能力和知识点迁移应用能力。
【难度系数】
0.6
要计算$\overset{\frown}{AC}$的度数，根据弧的度数等于它所对圆心角的度数，可知只需计算圆心角$∠AOC$的度数即可。首先结合折叠的性质，可得到圆心O到折痕AB的距离是半径的一半，通过作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出相关角度，再结合平行线的性质就能得到$∠AOC$的度数，进而得到对应弧的度数。
【解析】
如图，过点O作$OF⊥AB$于点F，交$\odot O$于点E，连接AO。
由折叠的性质可得：$OF=EF=\frac{1}{2}OE$。
∵OA、OE都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OE$，因此$OF=\frac{1}{2}OA$。
在$Rt△ AOF$中，直角边$OF$等于斜边$OA$的一半，
∴$∠OAF=30°$，则$∠AOF=60°$。
由折叠可知折痕$CD$为过圆心的直径，且$AB// CD$，$CD⊥EO$，因此$∠AOC=90°-∠AOF=30°$。
根据弧的度数等于其对应圆心角的度数，可得$\overset{\frown}{AC}$的度数是$30°$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质；直角三角形的性质；圆心角与弧的关系
【点评】
本题结合圆形折叠操作考查圆的基础性质，解题突破口是通过折叠性质得到线段的倍半关系，再关联直角三角形、平行线的性质求出圆心角，需要学生具备一定的数形结合能力和知识点迁移应用能力。
【难度系数】
0.6
4 在$\odot O$中，弦$AB$的长恰好等于半径，则弦$AB$所对圆心角的度数为
60°
.答案
4.$60°$ 【解析】如图.$\because AB=OA=OB$,$\therefore △ AOB$为等边三角形,$\therefore ∠AOB=60°$. 故答案为$60°$.
解析
【分析】
要求弦AB所对圆心角的度数，首先确定该圆心角为∠AOB。根据圆的基本性质，同圆的所有半径相等，因此OA=OB；结合题目给出的“弦AB的长等于半径”，可推出△AOB的三条边长度相等，由此判定△AOB是等边三角形，再根据等边三角形的内角均为60°，即可求出∠AOB的度数。
【解析】
∵ OA、OB都是⊙O的半径，
∴ OA=OB，
又
∵ 弦AB的长等于半径，
∴ AB=OA=OB，
∴ △AOB为等边三角形，
∴ ∠AOB=60°。
【答案】
60°
【知识点】
圆的半径性质；等边三角形的判定与性质；圆心角的定义
【点评】
本题属于基础题，主要结合圆的基本性质和等边三角形的相关知识进行考察，解题的关键是发现△AOB的三边相等，熟练掌握对应基础知识点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要求弦AB所对圆心角的度数，首先确定该圆心角为∠AOB。根据圆的基本性质，同圆的所有半径相等，因此OA=OB；结合题目给出的“弦AB的长等于半径”，可推出△AOB的三条边长度相等，由此判定△AOB是等边三角形，再根据等边三角形的内角均为60°，即可求出∠AOB的度数。
【解析】
∵ OA、OB都是⊙O的半径，
∴ OA=OB，
又
∵ 弦AB的长等于半径，
∴ AB=OA=OB，
∴ △AOB为等边三角形，
∴ ∠AOB=60°。
【答案】
60°
【知识点】
圆的半径性质；等边三角形的判定与性质；圆心角的定义
【点评】
本题属于基础题，主要结合圆的基本性质和等边三角形的相关知识进行考察，解题的关键是发现△AOB的三边相等，熟练掌握对应基础知识点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
5 如图，AB是圆O的直径，BC，CD，DA是圆O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD=
（第5题图）（第6题图）
120°
。（第5题图）（第6题图）
答案
5.$120°$ 【解析】如图,连接OC,OD. $\because BC=CD=DA$,$\therefore ∠COB=∠COD=∠DOA$. $\because ∠COB + ∠COD + ∠DOA = 180°$,$\therefore ∠COB=∠COD=∠DOA = 60°$. $\because OB=OC=OD$,$\therefore △ OCD$,$△ BOC$是等边三角形,$\therefore ∠OCD=∠OCB=60°$,$\therefore ∠BCD=∠OCD+∠OCB=120°$,故答案为$120°$.
关键点拨
连接OC,OD,得出$△ OCD$,$△ BOC$是等边三角形是解题的关键.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆的弦且三条弦长度相等。首先根据同圆中相等的弦所对的圆心角相等，可得三条弦对应的圆心角∠COB、∠COD、∠DOA相等；再结合AB是直径，三个圆心角之和为平角180°，即可求出每个圆心角的度数；连接OC、OD后，圆的半径都相等，可判定△OCD和△BOC为等边三角形，得到对应内角的度数，最后将两个相邻角相加即可求出∠BCD的度数。
【解析】
如图，连接OC、OD。
∵ BC=CD=DA，
∴ 同圆中相等的弦所对的圆心角相等，即∠COB=∠COD=∠DOA。
∵ AB为圆O的直径，
∴ ∠COB + ∠COD + ∠DOA = 180°，
代入得3∠COB=180°，解得∠COB=∠COD=∠DOA = 60°。
又
∵ OB=OC=OD（圆的半径相等），
∴ △OCD、△BOC都是含60°内角的等腰三角形，即等边三角形，
∴ ∠OCD=60°，∠OCB=60°，
∴ ∠BCD=∠OCD+∠OCB=60°+60°=120°。
【答案】
120°
【知识点】
弦与圆心角的关系；等边三角形的性质；平角的性质
【点评】
本题的解题核心是通过连接半径构造辅助线，利用同圆中弦和圆心角的对应关系推出等边三角形，侧重考查圆的基础性质，掌握常见的圆内辅助线构造方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆的弦且三条弦长度相等。首先根据同圆中相等的弦所对的圆心角相等，可得三条弦对应的圆心角∠COB、∠COD、∠DOA相等；再结合AB是直径，三个圆心角之和为平角180°，即可求出每个圆心角的度数；连接OC、OD后，圆的半径都相等，可判定△OCD和△BOC为等边三角形，得到对应内角的度数，最后将两个相邻角相加即可求出∠BCD的度数。
【解析】
如图，连接OC、OD。
∵ BC=CD=DA，
∴ 同圆中相等的弦所对的圆心角相等，即∠COB=∠COD=∠DOA。
∵ AB为圆O的直径，
∴ ∠COB + ∠COD + ∠DOA = 180°，
代入得3∠COB=180°，解得∠COB=∠COD=∠DOA = 60°。
又
∵ OB=OC=OD（圆的半径相等），
∴ △OCD、△BOC都是含60°内角的等腰三角形，即等边三角形，
∴ ∠OCD=60°，∠OCB=60°，
∴ ∠BCD=∠OCD+∠OCB=60°+60°=120°。
【答案】
120°
【知识点】
弦与圆心角的关系；等边三角形的性质；平角的性质
【点评】
本题的解题核心是通过连接半径构造辅助线，利用同圆中弦和圆心角的对应关系推出等边三角形，侧重考查圆的基础性质，掌握常见的圆内辅助线构造方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
6 如图, 已知 AB 是$\odot O$的直径, $PA=PB, ∠ P=60°$, 则弧 CD 所对的圆心角等于
60
度.答案
6.$\boldsymbol{60}$ 【解析】如图,连接OC,OD. $\because PA=PB$,$∠P=60°$,$\therefore △ PAB$是等边三角形,$\therefore ∠A=∠B=60°$. $\because OA=OC=OD=OB$,$\therefore △ COA$,$△ DOB$都是等边三角形,$\therefore ∠COA=∠DOB=60°$,$\therefore ∠COD=180°-∠COA-∠DOB=60°$,即弧CD所对的圆心角的度数为60°. 故答案为60.
解析
【分析】
拿到这道题我们可以按以下思路思考：首先看到已知条件PA=PB且∠P=60°，首先想到“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，先判定△PAB为等边三角形，得到∠A、∠B的度数；接下来要求弧CD的圆心角，我们可以连接OC、OD构造圆心角，结合圆的半径都相等，可得△OAC和△OBD都是等腰三角形，再结合∠A、∠B为60°，可判定这两个三角形也是等边三角形，得到∠AOC和∠BOD的度数；最后AB是直径，∠AOB是平角为180°，用180°减去∠AOC和∠BOD的度数，就能得到弧CD所对的圆心角的度数。
【解析】
解：如图，连接OC、OD。
∵ PA=PB，∠P=60°，
∴ △PAB是等边三角形，
∴ ∠A=∠B=60°。
又
∵ OA=OC=OD=OB（圆的半径相等），
∴ △COA、△DOB都是等边三角形，
∴ ∠COA=∠DOB=60°，
∴ ∠COD=180°-∠COA-∠DOB=180°-60°-60°=60°，
即弧CD所对的圆心角的度数为60°。
【答案】
60
【知识点】
等边三角形的判定与性质，圆的基本性质，圆心角计算
【点评】
本题是基础几何题，解题的关键是合理作出辅助线OC、OD，将所求圆心角与已知条件建立关联，需要同学们熟练掌握等边三角形的判定规则以及圆半径相等的性质，整体解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
拿到这道题我们可以按以下思路思考：首先看到已知条件PA=PB且∠P=60°，首先想到“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，先判定△PAB为等边三角形，得到∠A、∠B的度数；接下来要求弧CD的圆心角，我们可以连接OC、OD构造圆心角，结合圆的半径都相等，可得△OAC和△OBD都是等腰三角形，再结合∠A、∠B为60°，可判定这两个三角形也是等边三角形，得到∠AOC和∠BOD的度数；最后AB是直径，∠AOB是平角为180°，用180°减去∠AOC和∠BOD的度数，就能得到弧CD所对的圆心角的度数。
【解析】
解：如图，连接OC、OD。
∵ PA=PB，∠P=60°，
∴ △PAB是等边三角形，
∴ ∠A=∠B=60°。
又
∵ OA=OC=OD=OB（圆的半径相等），
∴ △COA、△DOB都是等边三角形，
∴ ∠COA=∠DOB=60°，
∴ ∠COD=180°-∠COA-∠DOB=180°-60°-60°=60°，
即弧CD所对的圆心角的度数为60°。
【答案】
60
【知识点】
等边三角形的判定与性质，圆的基本性质，圆心角计算
【点评】
本题是基础几何题，解题的关键是合理作出辅助线OC、OD，将所求圆心角与已知条件建立关联，需要同学们熟练掌握等边三角形的判定规则以及圆半径相等的性质，整体解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
7[2026江苏苏州期末]如图,在$\odot O$中,点C是优弧ACB的中点,D,E分别是OA,OB上的点,且$AD=BE$,弦CM,CN分别过点D,E.
(1)求证:$CD=CE$.
(2)求证:$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.
(1)求证:$CD=CE$.
(2)求证:$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.
答案
7.【证明】(1)如图,连接OC. $\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$\therefore ∠COD=∠COE$. $\because OA=OB$,$AD=BE$,$\therefore OD=OE$.
$\because OC=OC$,$\therefore △ COD ≌ △ COE$(SAS),$\therefore CD=CE$.
(2)连接OM,ON,如图. $\because △ COD ≌ △ COE$,$\therefore ∠CDO=∠CEO$,$∠OCD=∠OCE$.
$\because OC=OM=ON$,$\therefore ∠OCM=∠OMC$,$∠OCN=∠ONC$,$\therefore ∠OMD=∠ONE$.
$\because ∠ODC=∠DMO+∠MOD$,$∠CEO=∠CNO+∠EON$,$\therefore ∠MOD=∠NOE$,$\therefore \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.
解析
【分析】
(1) 要证CD=CE，可通过证明CD、CE所在的三角形全等实现。首先连接辅助线OC，由点C是优弧ACB的中点，可得两段等弧对应的圆心角∠COD=∠COE；再结合OA=OB、AD=BE，可推出OD=OE，加上公共边OC，即可用SAS判定△COD≌△COE，从而得到对应边CD=CE。
(2) 要证$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$，根据圆心角与弧的对应关系，只需证明两段弧对应的圆心角∠AOM和∠BON相等即可。先连接OM、ON，由(1)的全等结论可得∠CDO=∠CEO、∠OCD=∠OCE；再结合半径相等得到的等腰三角形底角相等，推导得出∠OMD=∠ONE，最后利用三角形外角的性质即可推出∠MOD=∠NOE，进而得到对应弧相等。
【解析】
(1) 证明：如图，连接OC。
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ ∠COD=∠COE。
∵ OA=OB，AD=BE，
∴ OA-AD=OB-BE，即OD=OE。
在△COD和△COE中：
$\begin{cases} OD=OE \\ ∠COD=∠COE \\ OC=OC \end{cases}$
∴ △COD ≌ △COE（SAS），
∴ CD=CE。
(2) 证明：连接OM、ON，如图。
∵ △COD ≌ △COE，
∴ ∠CDO=∠CEO，∠OCD=∠OCE。
∵ OC=OM=ON，
∴ ∠OCM=∠OMC，∠OCN=∠ONC，
∴ ∠OMD=∠ONE。
∵ ∠ODC=∠DMO+∠MOD，∠CEO=∠CNO+∠EON，
∴ ∠MOD=∠NOE，
∴ $\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$。
【答案】
(1) CD=CE得证；
(2) $\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$得证。
【知识点】
圆心角与弧的关系，全等三角形判定与性质，等腰三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题核心是通过连接半径构造全等三角形，结合圆的基本性质和三角形外角性质推导角的等量关系，掌握圆心角与弧的对应转换规则是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 要证CD=CE，可通过证明CD、CE所在的三角形全等实现。首先连接辅助线OC，由点C是优弧ACB的中点，可得两段等弧对应的圆心角∠COD=∠COE；再结合OA=OB、AD=BE，可推出OD=OE，加上公共边OC，即可用SAS判定△COD≌△COE，从而得到对应边CD=CE。
(2) 要证$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$，根据圆心角与弧的对应关系，只需证明两段弧对应的圆心角∠AOM和∠BON相等即可。先连接OM、ON，由(1)的全等结论可得∠CDO=∠CEO、∠OCD=∠OCE；再结合半径相等得到的等腰三角形底角相等，推导得出∠OMD=∠ONE，最后利用三角形外角的性质即可推出∠MOD=∠NOE，进而得到对应弧相等。
【解析】
(1) 证明：如图，连接OC。
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ ∠COD=∠COE。
∵ OA=OB，AD=BE，
∴ OA-AD=OB-BE，即OD=OE。
在△COD和△COE中：
$\begin{cases} OD=OE \\ ∠COD=∠COE \\ OC=OC \end{cases}$
∴ △COD ≌ △COE（SAS），
∴ CD=CE。
(2) 证明：连接OM、ON，如图。
∵ △COD ≌ △COE，
∴ ∠CDO=∠CEO，∠OCD=∠OCE。
∵ OC=OM=ON，
∴ ∠OCM=∠OMC，∠OCN=∠ONC，
∴ ∠OMD=∠ONE。
∵ ∠ODC=∠DMO+∠MOD，∠CEO=∠CNO+∠EON，
∴ ∠MOD=∠NOE，
∴ $\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$。
【答案】
(1) CD=CE得证；
(2) $\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$得证。
【知识点】
圆心角与弧的关系，全等三角形判定与性质，等腰三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题核心是通过连接半径构造全等三角形，结合圆的基本性质和三角形外角性质推导角的等量关系，掌握圆心角与弧的对应转换规则是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
8[2025江苏宿迁质检]如图，以$□ ABCD$的顶点A为圆心，AB为半径作$\odot A$，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于点G.
(1)求证：$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{GF}$；
(2)若$\overset{\frown}{GE}$的度数为$140°$，求$∠ C$的度数.
刷易错 ............小心有坑~
(1)求证：$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{GF}$；
(2)若$\overset{\frown}{GE}$的度数为$140°$，求$∠ C$的度数.
刷易错 ............小心有坑~
答案
8.(1)【证明】如图,连接AE. $\because$ 四边形ABCD为平行四边形,$\therefore AD// BC$,$\therefore ∠FAE = ∠AEB$,$∠GAF=∠B$. $\because AB=AE$,$\therefore ∠AEB=∠B$,$\therefore ∠FAE=∠GAF$,$\therefore \overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{GF}$.
(2)【解】$\because GB$为$\odot A$的直径,$\therefore \overset{\frown}{BG}$的度数为180°. $\because \overset{\frown}{GE}$的度数为140°,$\therefore \overset{\frown}{BE}$的度数为40°,$\therefore ∠BAE=40°$. $\because AB=AE$,$\therefore ∠AEB = ∠B = \frac{180°-∠BAE}{2}=70°$. $\because$ 四边形ABCD为平行四边形,$\therefore AB// CD$,$\therefore ∠C=180°-∠B=110°$.
解析
【分析】
(1) 要证明$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{GF}$，根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，只需证明两个弧对应的圆心角$∠ GAF$和$∠ FAE$相等即可。首先连接辅助线AE，利用平行四边形AD//BC的性质可得内错角$∠ FAE=∠ AEB$、同位角$∠ GAF=∠ B$；再结合同圆半径相等得AB=AE，由等腰三角形等边对等角得$∠ AEB=∠ B$，等量代换即可得到两个圆心角相等，进而证得弧相等。
(2) 弧的度数等于它所对圆心角的度数，已知$\overset{\frown}{GE}$的度数为140°，GB是$\odot A$的直径，对应的$\overset{\frown}{BG}$度数为180°，可先算出$\overset{\frown}{BE}$的度数，得到对应的圆心角$∠ BAE$的度数；再结合AB=AE，用三角形内角和算出$∠ B$的度数；最后利用平行四边形邻角互补的性质，即可求出$∠ C$的度数。
【解析】
(1) 证明：连接AE。
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ $AD// BC$，
∴ $∠ FAE = ∠ AEB$，$∠ GAF=∠ B$。
∵ AB、AE均为$\odot A$的半径，
∴ $AB=AE$，
∴ $∠ AEB=∠ B$，
∴ $∠ FAE=∠ GAF$，
∴ 同圆中相等的圆心角所对的弧相等，即$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{GF}$。
(2) 解：
∵ GB为$\odot A$的直径，
∴ $\overset{\frown}{BG}$的度数为$180°$。
∵ $\overset{\frown}{GE}$的度数为$140°$，
∴ $\overset{\frown}{BE}$的度数为$180°-140°=40°$，
∴ $\overset{\frown}{BE}$对应的圆心角$∠ BAE=40°$。
∵ $AB=AE$，
∴ $∠ AEB = ∠ B = \frac{180°-∠ BAE}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$。
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ $AB// CD$，
∴ $∠ C=180°-∠ B=180°-70°=110°$。
【答案】
(1)【证明】如图,连接AE. $\because$ 四边形ABCD为平行四边形,$\therefore AD// BC$,$\therefore ∠FAE = ∠AEB$,$∠GAF=∠B$. $\because AB=AE$,$\therefore ∠AEB=∠B$,$\therefore ∠FAE=∠GAF$,$\therefore \overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{GF}$.
(2)【解】$\because GB$为$\odot A$的直径,$\therefore \overset{\frown}{BG}$的度数为180°. $\because \overset{\frown}{GE}$的度数为140°,$\therefore \overset{\frown}{BE}$的度数为40°,$\therefore ∠BAE=40°$. $\because AB=AE$,$\therefore ∠AEB = ∠B = \frac{180°-∠BAE}{2}=70°$. $\because$ 四边形ABCD为平行四边形,$\therefore AB// CD$,$\therefore ∠C=180°-∠B=110°$.
【知识点】
圆心角与弧的关系，平行四边形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与平行四边形结合的基础综合题，解题核心是将弧相等的证明转化为圆心角相等的证明，合理添加辅助线构造等腰三角形推导角的等量关系，考查了学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{GF}$，根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，只需证明两个弧对应的圆心角$∠ GAF$和$∠ FAE$相等即可。首先连接辅助线AE，利用平行四边形AD//BC的性质可得内错角$∠ FAE=∠ AEB$、同位角$∠ GAF=∠ B$；再结合同圆半径相等得AB=AE，由等腰三角形等边对等角得$∠ AEB=∠ B$，等量代换即可得到两个圆心角相等，进而证得弧相等。
(2) 弧的度数等于它所对圆心角的度数，已知$\overset{\frown}{GE}$的度数为140°，GB是$\odot A$的直径，对应的$\overset{\frown}{BG}$度数为180°，可先算出$\overset{\frown}{BE}$的度数，得到对应的圆心角$∠ BAE$的度数；再结合AB=AE，用三角形内角和算出$∠ B$的度数；最后利用平行四边形邻角互补的性质，即可求出$∠ C$的度数。
【解析】
(1) 证明：连接AE。
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ $AD// BC$，
∴ $∠ FAE = ∠ AEB$，$∠ GAF=∠ B$。
∵ AB、AE均为$\odot A$的半径，
∴ $AB=AE$，
∴ $∠ AEB=∠ B$，
∴ $∠ FAE=∠ GAF$，
∴ 同圆中相等的圆心角所对的弧相等，即$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{GF}$。
(2) 解：
∵ GB为$\odot A$的直径，
∴ $\overset{\frown}{BG}$的度数为$180°$。
∵ $\overset{\frown}{GE}$的度数为$140°$，
∴ $\overset{\frown}{BE}$的度数为$180°-140°=40°$，
∴ $\overset{\frown}{BE}$对应的圆心角$∠ BAE=40°$。
∵ $AB=AE$，
∴ $∠ AEB = ∠ B = \frac{180°-∠ BAE}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$。
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ $AB// CD$，
∴ $∠ C=180°-∠ B=180°-70°=110°$。
【答案】
(1)【证明】如图,连接AE. $\because$ 四边形ABCD为平行四边形,$\therefore AD// BC$,$\therefore ∠FAE = ∠AEB$,$∠GAF=∠B$. $\because AB=AE$,$\therefore ∠AEB=∠B$,$\therefore ∠FAE=∠GAF$,$\therefore \overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{GF}$.
(2)【解】$\because GB$为$\odot A$的直径,$\therefore \overset{\frown}{BG}$的度数为180°. $\because \overset{\frown}{GE}$的度数为140°,$\therefore \overset{\frown}{BE}$的度数为40°,$\therefore ∠BAE=40°$. $\because AB=AE$,$\therefore ∠AEB = ∠B = \frac{180°-∠BAE}{2}=70°$. $\because$ 四边形ABCD为平行四边形,$\therefore AB// CD$,$\therefore ∠C=180°-∠B=110°$.
【知识点】
圆心角与弧的关系，平行四边形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与平行四边形结合的基础综合题，解题核心是将弧相等的证明转化为圆心角相等的证明，合理添加辅助线构造等腰三角形推导角的等量关系，考查了学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
9[2025江苏宿迁调研]已知$\odot O$的一条弦AB把圆的周长分成$1:5$两部分,则弦AB所对的弧的度数为
60°或300°
.答案
9.$\boldsymbol{60°或300°}$ 【解析】$\because \odot O$的一条弦AB把圆的周长分成1:5两部分,$\therefore$ 弦AB对应的圆心角的度数为$360°×\frac{1}{1+5}=60°$,$\therefore$ 弦AB所对的劣弧的度数为60°,弦AB所对的优弧的度数为$360°-60°=300°$. 故答案为$60°或300°$.
易错警示
圆中一条弦所对的弧有两条,它们分别位于弦的两侧,本题容易忽略优弧而致错.
易错警示
圆中一条弦所对的弧有两条,它们分别位于弦的两侧,本题容易忽略优弧而致错.
解析
【分析】
解题时首先明确整圆对应的圆心角总和为360°，弦分圆周长的比例等于弦所对的两段弧的度数之比。先根据给出的比例算出较短的劣弧的度数，再用360°减去劣弧度数得到较长的优弧的度数，注意一条弦对应两条不同的弧，不要漏解。
【解析】
∵ 弦AB把$\odot O$的周长分成1:5两部分，整圆的圆心角为360°，
∴ 弦AB所对的劣弧对应的圆心角度数为$360° × \frac{1}{1+5} = 60°$，即劣弧的度数为60°，
∴ 弦AB所对的优弧的度数为$360° - 60° = 300°$，
因此弦AB所对的弧的度数为60°或300°。
【答案】
$\boldsymbol{60°或300°}$
【知识点】
弧的度数定义；弦与弧的对应关系
【点评】
本题属于基础易错题，核心考查圆中一条弦对应两条弧的性质，解题时容易只考虑劣弧而遗漏优弧，需要养成全面分析问题的习惯。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确整圆对应的圆心角总和为360°，弦分圆周长的比例等于弦所对的两段弧的度数之比。先根据给出的比例算出较短的劣弧的度数，再用360°减去劣弧度数得到较长的优弧的度数，注意一条弦对应两条不同的弧，不要漏解。
【解析】
∵ 弦AB把$\odot O$的周长分成1:5两部分，整圆的圆心角为360°，
∴ 弦AB所对的劣弧对应的圆心角度数为$360° × \frac{1}{1+5} = 60°$，即劣弧的度数为60°，
∴ 弦AB所对的优弧的度数为$360° - 60° = 300°$，
因此弦AB所对的弧的度数为60°或300°。
【答案】
$\boldsymbol{60°或300°}$
【知识点】
弧的度数定义；弦与弧的对应关系
【点评】
本题属于基础易错题，核心考查圆中一条弦对应两条弧的性质，解题时容易只考虑劣弧而遗漏优弧，需要养成全面分析问题的习惯。
【难度系数】
0.6
