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1[中]如图，$\odot O$的半径为4，将劣弧沿弦AB翻折，恰好经过圆心O，点C为优弧AB上的一个动点，则$△ ABC$面积的最大值是（
A.$12\sqrt{3}$
B.$12\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$8+8\sqrt{2}$
（第1题图）
（第2题图）
A
）A.$12\sqrt{3}$
B.$12\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$8+8\sqrt{2}$
（第1题图）
（第2题图）
答案
1.A 【解析】如图,过点 $O$ 作 $OM ⊥ AB$ 于 $H$, 交弧 $AB$ 于点 $M$, 连接 $AO,CO$. 当点 $C$ 运动到优弧 $AB$ 中点时, $C,O,H$ 三点共线,则 $△ ABC$ 中, 以 $AB$ 为底, 高为 $CO+OH$, 此时 $△ ABC$ 的面积最大.
∵ 点 $C$ 运动到优弧 $AB$ 中点,
∴ $CH ⊥ AB$, 且 $AH=HB$.
∵ 将劣弧沿弦 $AB$ 翻折, 恰好经过圆心 $O$,
∴ $OH = HM$.
∵ $\odot O$ 的半径为 4,
∴ $OH=HM=\frac{1}{2}OM=2$, $CO=AO=4$,
∴ 在Rt$△ AOH$ 中, 利用勾股定理得 $AH=\sqrt{AO^2-OH^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$,
∴ $AB=2AH=4\sqrt{3}$.
∵ $CH=CO+OH=6$,
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB · CH=\frac{1}{2} × 4\sqrt{3} × 6=12\sqrt{3}$. 故选 A.
解析
【分析】
要解决本题，首先明确△ABC的底AB是圆内固定弦，因此三角形面积的大小由AB边上的高决定，高越大面积越大。第一步先确定高最大的位置：当点C运动到优弧AB的中点时，C、圆心O、AB的垂足三点共线，此时AB边上的高最长。第二步利用翻折的性质求圆心O到AB的距离：劣弧AB翻折后经过圆心O，可知O到AB的距离是半径的一半。第三步结合垂径定理和勾股定理求出AB的长度，再计算最大高的长度，最后代入三角形面积公式即可得到结果。
【解析】
过点 $O$ 作 $OM ⊥ AB$ 于 $H$, 交弧 $AB$ 于点 $M$, 连接 $AO,CO$。
当点 $C$ 运动到优弧 $AB$ 中点时, $C,O,H$ 三点共线,此时 $AB$ 边上的高为 $CO+OH$，长度最大，$△ ABC$ 的面积最大。
由垂径定理可得：$CH ⊥ AB$, 且 $AH=HB$。
∵ 将劣弧沿弦 $AB$ 翻折, 恰好经过圆心 $O$,
∴ 由翻折的轴对称性质得 $OH = HM$。
∵ $\odot O$ 的半径为 4,
∴ $OH=HM=\frac{1}{2}OM=2$, $CO=AO=4$,
在Rt$△ AOH$ 中, 由勾股定理得：
$AH=\sqrt{AO^2-OH^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$,
∴ $AB=2AH=4\sqrt{3}$。
此时高 $CH=CO+OH=4+2=6$,
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB · CH=\frac{1}{2} × 4\sqrt{3} × 6=12\sqrt{3}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，轴对称的性质，三角形面积计算
【点评】
本题将翻折变换与圆的性质相结合，解题的关键是明确定底的三角形面积最大时高的取值情况，再结合垂径定理、勾股定理求解相关线段长度，能较好地考查知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先明确△ABC的底AB是圆内固定弦，因此三角形面积的大小由AB边上的高决定，高越大面积越大。第一步先确定高最大的位置：当点C运动到优弧AB的中点时，C、圆心O、AB的垂足三点共线，此时AB边上的高最长。第二步利用翻折的性质求圆心O到AB的距离：劣弧AB翻折后经过圆心O，可知O到AB的距离是半径的一半。第三步结合垂径定理和勾股定理求出AB的长度，再计算最大高的长度，最后代入三角形面积公式即可得到结果。
【解析】
过点 $O$ 作 $OM ⊥ AB$ 于 $H$, 交弧 $AB$ 于点 $M$, 连接 $AO,CO$。
当点 $C$ 运动到优弧 $AB$ 中点时, $C,O,H$ 三点共线,此时 $AB$ 边上的高为 $CO+OH$，长度最大，$△ ABC$ 的面积最大。
由垂径定理可得：$CH ⊥ AB$, 且 $AH=HB$。
∵ 将劣弧沿弦 $AB$ 翻折, 恰好经过圆心 $O$,
∴ 由翻折的轴对称性质得 $OH = HM$。
∵ $\odot O$ 的半径为 4,
∴ $OH=HM=\frac{1}{2}OM=2$, $CO=AO=4$,
在Rt$△ AOH$ 中, 由勾股定理得：
$AH=\sqrt{AO^2-OH^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$,
∴ $AB=2AH=4\sqrt{3}$。
此时高 $CH=CO+OH=4+2=6$,
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB · CH=\frac{1}{2} × 4\sqrt{3} × 6=12\sqrt{3}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，轴对称的性质，三角形面积计算
【点评】
本题将翻折变换与圆的性质相结合，解题的关键是明确定底的三角形面积最大时高的取值情况，再结合垂径定理、勾股定理求解相关线段长度，能较好地考查知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
2[较难]如图,在平面直角坐标系中,$\odot P$的圆心坐标是$(3,a)(a＞3)$,半径为3,函数$y=x$的图象被$\odot P$截得的弦$AB$的长为$4\sqrt{2}$,则$a$的值是(
A.$2\sqrt{3}$
B.$2+\sqrt{2}$
C.$2-\sqrt{2}$
D.$3+\sqrt{2}$
D
)A.$2\sqrt{3}$
B.$2+\sqrt{2}$
C.$2-\sqrt{2}$
D.$3+\sqrt{2}$
答案
2.D 【解析】过点 $P$ 作 $PC ⊥ x$ 轴于点 $C$, 交 $AB$ 于点 $D$, 作 $PE ⊥ AB$ 于点 $E$, 连接 $PB$, 如图.
∵ $\odot P$ 的圆心坐标是 $(3,a)$,
∴ $OC=3$, $PC=a$. 把 $x=3$ 代入 $y=x$ 得 $y=3$,
∴ 点 $D$ 的坐标为 $(3,3)$,
∴ $CD=3$,
∴ $△ OCD$ 为等腰直角三角形,
∴ $△ PED$ 也为等腰直角三角形.
∵ $PE ⊥ AB$,
∴ $AE=BE=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{2}$. 在Rt$△ PBE$ 中, $PB=3$,
∴ $PE=\sqrt{PB^2-BE^2}=\sqrt{3^2-(2\sqrt{2})^2}=1$,
∴ $PD=\sqrt{PE^2+DE^2}=\sqrt{2}PE=\sqrt{2}$,
∴ $a=3+\sqrt{2}$. 故选 D.
解析
【分析】
遇到圆中弦长相关的计算问题，首先考虑使用垂径定理，过圆心作弦的垂线，构造直角三角形结合勾股定理求解。本题中圆心P的横坐标为3，可先作PC垂直x轴，交直线y=x于点D，利用直线y=x的斜率为1的特点，可知△OCD为等腰直角三角形，进而得到△PED也为等腰直角三角形；再结合垂径定理求出弦心距PE的长度，最后根据线段关系求出a的值。
【解析】
过点 $P$ 作 $PC ⊥ x$ 轴于点 $C$, 交 $AB$ 于点 $D$, 作 $PE ⊥ AB$ 于点 $E$, 连接 $PB$。
∵ $\odot P$ 的圆心坐标是 $(3,a)$,
∴ $OC=3$, $PC=a$。把 $x=3$ 代入 $y=x$ 得 $y=3$,
∴ 点 $D$ 的坐标为 $(3,3)$,
∴ $CD=3$,
∴ $△ OCD$ 为等腰直角三角形，$∠ ODC=45°$,
∴ $△ PED$ 也为等腰直角三角形。
∵ $PE ⊥ AB$,
由垂径定理得：$AE=BE=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{2}$。
在Rt$△ PBE$ 中, $PB=3$,
∴ $PE=\sqrt{PB^2-BE^2}=\sqrt{3^2-(2\sqrt{2})^2}=1$,
∵ $△ PED$是等腰直角三角形，
∴ $PD=\sqrt{PE^2+DE^2}=\sqrt{2}PE=\sqrt{2}$,
∴ $PC=PD+CD=\sqrt{2}+3$，即$a=3+\sqrt{2}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理，一次函数性质
【点评】
本题是几何与代数结合的综合题，解题的关键是合理作出辅助线，利用垂径定理将弦长转化为半弦长，结合直线y=x的45°角特征得到等腰直角三角形，再通过勾股定理计算相关线段长度，较好地考查了数形结合的思想和综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.6
遇到圆中弦长相关的计算问题，首先考虑使用垂径定理，过圆心作弦的垂线，构造直角三角形结合勾股定理求解。本题中圆心P的横坐标为3，可先作PC垂直x轴，交直线y=x于点D，利用直线y=x的斜率为1的特点，可知△OCD为等腰直角三角形，进而得到△PED也为等腰直角三角形；再结合垂径定理求出弦心距PE的长度，最后根据线段关系求出a的值。
【解析】
过点 $P$ 作 $PC ⊥ x$ 轴于点 $C$, 交 $AB$ 于点 $D$, 作 $PE ⊥ AB$ 于点 $E$, 连接 $PB$。
∵ $\odot P$ 的圆心坐标是 $(3,a)$,
∴ $OC=3$, $PC=a$。把 $x=3$ 代入 $y=x$ 得 $y=3$,
∴ 点 $D$ 的坐标为 $(3,3)$,
∴ $CD=3$,
∴ $△ OCD$ 为等腰直角三角形，$∠ ODC=45°$,
∴ $△ PED$ 也为等腰直角三角形。
∵ $PE ⊥ AB$,
由垂径定理得：$AE=BE=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{2}$。
在Rt$△ PBE$ 中, $PB=3$,
∴ $PE=\sqrt{PB^2-BE^2}=\sqrt{3^2-(2\sqrt{2})^2}=1$,
∵ $△ PED$是等腰直角三角形，
∴ $PD=\sqrt{PE^2+DE^2}=\sqrt{2}PE=\sqrt{2}$,
∴ $PC=PD+CD=\sqrt{2}+3$，即$a=3+\sqrt{2}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理，一次函数性质
【点评】
本题是几何与代数结合的综合题，解题的关键是合理作出辅助线，利用垂径定理将弦长转化为半弦长，结合直线y=x的45°角特征得到等腰直角三角形，再通过勾股定理计算相关线段长度，较好地考查了数形结合的思想和综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.6
3[2025浙江温州调研,中]如图,点M在⊙O的直径AB上,作正方形MCDE和正方形MFGH,其中点D,G在直径AB所在直线上,点C,E,F,H都在⊙O上.若两个正方形的面积之和为2a,OM=√2,则FM·MC的值是
(第3题图)
(第5题图)
$a-2$
.(用含a的代数式表示)(第3题图)
(第5题图)
答案
3.$a-2$ 【解析】作 $OK ⊥ FC$ 于 $K$, 如图. 设正方形 $MFGH$ 的边长是 $x$.
∵ 四边形 $MCDE$ 是正方形,
∴ $∠ CMD=45°$.
∵ $∠ OKM=90°$,
∴ $△ KOM$ 是等腰直角三角形,
∴ $MK=\frac{\sqrt{2}}{2}OM=\frac{\sqrt{2}}{2} × \sqrt{2}=1$.
∵ $OK ⊥ CF$,
∴ $CK=FK=x+1$,
∴ $MC=CK+MK=x+2$.
∵ 两个正方形的面积之和为 $2a$,
∴ $x^2+(x+2)^2=2a$, 化简得 $x^2+2x=a-2$,
∴ $x(x+2)=a-2$,
∴ $FM · CM=x(x+2)=a-2$. 故答案为 $a-2$.
解析
【分析】
本题要求$FM·MC$的值，其中$FM$是正方形$MFGH$的边长，$MC$是正方形$MCDE$的边长，我们可以先设小正方形边长为$x$，再结合几何性质推导两个正方形边长的关系：首先过圆心$O$作弦$FC$的垂线$OK$，根据垂径定理可得$FK=CK$；再结合正方形的内角性质可得$△ OKM$是等腰直角三角形，结合$OM$的长度求出$MK$的长，进而得到$MC$关于$x$的表达式；最后根据两个正方形的面积和为$2a$列方程，整体变形即可求出$FM·MC$的值。
【解析】
作 $OK ⊥ FC$ 于 $K$，如图。设正方形 $MFGH$ 的边长为 $x$，即 $FM=x$。
$\because$ 四边形 $MCDE$ 是正方形，
$\therefore ∠ CMD=45°$，即 $∠ OMK=45°$。
又 $\because ∠ OKM=90°$，
$\therefore △ KOM$ 是等腰直角三角形，
$\therefore MK=\frac{\sqrt{2}}{2}OM=\frac{\sqrt{2}}{2} × \sqrt{2}=1$。
根据垂径定理，$OK ⊥ CF$，因此 $CK=FK$。
观察线段$FK$可得：$FK=FM + MK = x + 1$，因此 $CK=x+1$，
则 $MC=CK + MK = (x+1) +1 =x+2$。
已知两个正方形的面积之和为 $2a$，可列方程：
$x^2 + (x+2)^2 = 2a$，
展开化简得：$2x^2 +4x +4 =2a$，两边同除以2得$x^2 +2x +2 =a$，整理得 $x^2 +2x =a-2$，
因式分解得 $x(x+2)=a-2$。
$\because FM=x$，$MC=x+2$，
$\therefore FM · MC = x(x+2) = a-2$。
【答案】
$a-2$
【知识点】
垂径定理；正方形的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了圆的性质、特殊四边形性质和代数式的整体运算，解题核心是通过作垂线构造等腰直角三角形，结合垂径定理得到两个正方形边长的数量关系，再利用整体代入思想计算乘积，简化了运算过程。
【难度系数】
0.6
本题要求$FM·MC$的值，其中$FM$是正方形$MFGH$的边长，$MC$是正方形$MCDE$的边长，我们可以先设小正方形边长为$x$，再结合几何性质推导两个正方形边长的关系：首先过圆心$O$作弦$FC$的垂线$OK$，根据垂径定理可得$FK=CK$；再结合正方形的内角性质可得$△ OKM$是等腰直角三角形，结合$OM$的长度求出$MK$的长，进而得到$MC$关于$x$的表达式；最后根据两个正方形的面积和为$2a$列方程，整体变形即可求出$FM·MC$的值。
【解析】
作 $OK ⊥ FC$ 于 $K$，如图
。设正方形 $MFGH$ 的边长为 $x$，即 $FM=x$。$\because$ 四边形 $MCDE$ 是正方形，
$\therefore ∠ CMD=45°$，即 $∠ OMK=45°$。
又 $\because ∠ OKM=90°$，
$\therefore △ KOM$ 是等腰直角三角形，
$\therefore MK=\frac{\sqrt{2}}{2}OM=\frac{\sqrt{2}}{2} × \sqrt{2}=1$。
根据垂径定理，$OK ⊥ CF$，因此 $CK=FK$。
观察线段$FK$可得：$FK=FM + MK = x + 1$，因此 $CK=x+1$，
则 $MC=CK + MK = (x+1) +1 =x+2$。
已知两个正方形的面积之和为 $2a$，可列方程：
$x^2 + (x+2)^2 = 2a$，
展开化简得：$2x^2 +4x +4 =2a$，两边同除以2得$x^2 +2x +2 =a$，整理得 $x^2 +2x =a-2$，
因式分解得 $x(x+2)=a-2$。
$\because FM=x$，$MC=x+2$，
$\therefore FM · MC = x(x+2) = a-2$。
【答案】
$a-2$
【知识点】
垂径定理；正方形的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了圆的性质、特殊四边形性质和代数式的整体运算，解题核心是通过作垂线构造等腰直角三角形，结合垂径定理得到两个正方形边长的数量关系，再利用整体代入思想计算乘积，简化了运算过程。
【难度系数】
0.6
4[2026 浙江温州调研,中]一条弦AB把圆的直径分为3和7两部分,弦和直径相交成$60°$角,则AB的长为
$2\sqrt{22}$
.答案
4.$2\sqrt{22}$ 【解析】根据题意画图如图所示, $DE$ 为 $\odot O$ 的直径, $AB$ 为 $\odot O$ 的弦, 连接 $OA,OB$, 过点 $O$ 作 $OH ⊥ AB$ 于点 $H$.
∵ 弦 $AB$ 将直径分成 3 和 7 两部分,
∴ $EC=7$, $DC=3$, $OE=OD=\frac{3+7}{2}=5$, 即 $\odot O$ 的半径为 5,
∴ $OC=OD-DC=5-3=2$.
∵ 弦 $AB$ 和直径 $DE$ 相交成 $60°$ 角,
∴ $∠ COH=30°$,
∴ $CH=\frac{1}{2}OC=1$,
∴ $OH=\sqrt{OC^2-CH^2}=\sqrt{3}$. 在Rt$△ AOH$ 中, 由勾股定理得 $AH=\sqrt{AO^2-OH^2}=\sqrt{5^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{22}$.
∵ $OH ⊥ AB$,
∴ $AB=2AH=2\sqrt{22}$. 故答案为 $2\sqrt{22}$.
解析
【分析】
解题时首先根据直径被分成的两段长度求出圆的半径，以及直径与弦的交点到圆心的距离；要求弦长需运用垂径定理，过圆心作弦的垂线，将求整弦长的问题转化为求半弦长的问题；再结合弦与直径的60°夹角，利用含30°角的直角三角形的性质求出弦心距；最后在直角三角形中用勾股定理求出半弦长，乘2即可得到弦AB的长度。
【解析】
根据题意，DE为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，连接OA，过点O作OH⊥AB于点H。
1. 计算圆的半径与OC长度：
∵ 弦AB将直径分成3和7两部分，
∴ 直径DE=3+7=10，即⊙O的半径$OA=OD=\frac{10}{2}=5$，
交点C到圆心的距离$OC=OD-DC=5-3=2$。
2. 计算弦心距OH：
∵ 弦AB与直径DE的夹角为60°，即$∠OCH=60°$，
在$Rt△ OHC$中，$∠COH=30°$，
∴ $CH=\frac{1}{2}OC=1$，
由勾股定理得$OH=\sqrt{OC^2-CH^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
3. 计算弦长AB：
在$Rt△ AOH$中，由勾股定理得$AH=\sqrt{OA^2-OH^2}=\sqrt{5^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{22}$，
∵ $OH⊥AB$，根据垂径定理可得$AB=2AH$，
∴ $AB=2\sqrt{22}$。
【答案】
$2\sqrt{22}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题核心是通过作弦心距构造直角三角形，将圆的相关计算转化为直角三角形的边长计算，能有效考察学生对垂径定理及直角三角形相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据直径被分成的两段长度求出圆的半径，以及直径与弦的交点到圆心的距离；要求弦长需运用垂径定理，过圆心作弦的垂线，将求整弦长的问题转化为求半弦长的问题；再结合弦与直径的60°夹角，利用含30°角的直角三角形的性质求出弦心距；最后在直角三角形中用勾股定理求出半弦长，乘2即可得到弦AB的长度。
【解析】
根据题意，DE为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，连接OA，过点O作OH⊥AB于点H。
1. 计算圆的半径与OC长度：
∵ 弦AB将直径分成3和7两部分，
∴ 直径DE=3+7=10，即⊙O的半径$OA=OD=\frac{10}{2}=5$，
交点C到圆心的距离$OC=OD-DC=5-3=2$。
2. 计算弦心距OH：
∵ 弦AB与直径DE的夹角为60°，即$∠OCH=60°$，
在$Rt△ OHC$中，$∠COH=30°$，
∴ $CH=\frac{1}{2}OC=1$，
由勾股定理得$OH=\sqrt{OC^2-CH^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
3. 计算弦长AB：
在$Rt△ AOH$中，由勾股定理得$AH=\sqrt{OA^2-OH^2}=\sqrt{5^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{22}$，
∵ $OH⊥AB$，根据垂径定理可得$AB=2AH$，
∴ $AB=2\sqrt{22}$。
【答案】
$2\sqrt{22}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题核心是通过作弦心距构造直角三角形，将圆的相关计算转化为直角三角形的边长计算，能有效考察学生对垂径定理及直角三角形相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
5[2026江苏南京调研,较难]如图,两个同心圆O,小圆的半径为1,大圆的半径为$\sqrt{5}$,点A为小圆上的动点,点P,Q是大圆上的两个动点,且$AP ⊥ AQ$,则PQ的长的最大值是
4
.答案
5.4 【解析】如图,过点 $O$ 作 $OM ⊥ PQ$ 交 $PQ$ 于点 $M$, 连接 $AM,OP,OA$, 则 $OP=\sqrt{5}$, $OA=1$, $PM=\frac{1}{2}PQ$,
∴ $OP^2=PM^2+OM^2$,
∴ $(\sqrt{5})^2=(\frac{1}{2}PQ)^2+OM^2$,
∴ 当 $OM$ 最小时, $PQ$ 最大.
∵ $AP ⊥ AQ$, $M$ 是 $PQ$ 中点,
∴ $AM=\frac{1}{2}PQ$.
∵ $AM-OA ≤ OM ≤ AM+OA$,
∴ $\frac{1}{2}PQ -1 ≤ OM ≤ \frac{1}{2}PQ +1$,
∴ 当 $A,O,M$ 三点共线时, $OM=\frac{1}{2}PQ -1$ 最小, 此时 $PQ$ 最大,
∴ $(\sqrt{5})^2=(\frac{1}{2}PQ)^2+(\frac{1}{2}PQ -1)^2$, 解得 $PQ=4$ 或 $PQ=-2$(舍去), 故答案为 4.
解析
【分析】
要解决PQ的最大值问题，首先处理圆中弦长问题优先考虑垂径定理：过圆心作PQ的垂线，可得垂足是PQ中点，将PQ转化为2PM，结合勾股定理，OP是定值，因此要让PQ最大，需要OM最小。再结合AP⊥AQ的条件，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得AM也等于$\frac{1}{2}PQ$，再根据三角形三边关系$OM≥AM-OA$，当O、A、M三点共线时OM取得最小值，此时代入勾股定理列方程即可求出PQ的最大值。
【解析】
过点 $O$ 作 $OM ⊥ PQ$ 交 $PQ$ 于点 $M$，连接 $AM、OP、OA$。
由垂径定理得：$PM=\frac{1}{2}PQ$，已知大圆半径$OP=\sqrt{5}$，小圆半径$OA=1$。
在$Rt△ OPM$中，由勾股定理得：$OP^2=PM^2+OM^2$，即$(\sqrt{5})^2=(\frac{1}{2}PQ)^2+OM^2$，因此$OM$最小时，$PQ$最大。
∵$AP ⊥ AQ$，即$△ PAQ$是直角三角形，$M$是斜边$PQ$中点，
∴由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$AM=\frac{1}{2}PQ$。
根据三角形三边关系：$OM ≥ AM - OA$，当且仅当$O、A、M$三点共线时，等号成立，此时$OM$最小，$OM=\frac{1}{2}PQ -1$。
将$OM=\frac{1}{2}PQ -1$代入$(\sqrt{5})^2=(\frac{1}{2}PQ)^2+OM^2$得：
$5=(\frac{PQ}{2})^2 + (\frac{PQ}{2} -1)^2$，
整理得$PQ^2-2PQ-8=0$，
解得$PQ=4$或$PQ=-2$（线段长度为正，舍去）。
【答案】
4
【知识点】
垂径定理、直角三角形斜边中线性质、三角形三边关系
【点评】
本题是圆的综合类最值问题，解题关键是通过作垂径构造直角三角形，结合直角三角形的性质和三点共线的最值条件建立方程求解，对知识的综合运用能力要求较高。
【难度系数】
0.3
要解决PQ的最大值问题，首先处理圆中弦长问题优先考虑垂径定理：过圆心作PQ的垂线，可得垂足是PQ中点，将PQ转化为2PM，结合勾股定理，OP是定值，因此要让PQ最大，需要OM最小。再结合AP⊥AQ的条件，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得AM也等于$\frac{1}{2}PQ$，再根据三角形三边关系$OM≥AM-OA$，当O、A、M三点共线时OM取得最小值，此时代入勾股定理列方程即可求出PQ的最大值。
【解析】
过点 $O$ 作 $OM ⊥ PQ$ 交 $PQ$ 于点 $M$，连接 $AM、OP、OA$。
由垂径定理得：$PM=\frac{1}{2}PQ$，已知大圆半径$OP=\sqrt{5}$，小圆半径$OA=1$。
在$Rt△ OPM$中，由勾股定理得：$OP^2=PM^2+OM^2$，即$(\sqrt{5})^2=(\frac{1}{2}PQ)^2+OM^2$，因此$OM$最小时，$PQ$最大。
∵$AP ⊥ AQ$，即$△ PAQ$是直角三角形，$M$是斜边$PQ$中点，
∴由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$AM=\frac{1}{2}PQ$。
根据三角形三边关系：$OM ≥ AM - OA$，当且仅当$O、A、M$三点共线时，等号成立，此时$OM$最小，$OM=\frac{1}{2}PQ -1$。
将$OM=\frac{1}{2}PQ -1$代入$(\sqrt{5})^2=(\frac{1}{2}PQ)^2+OM^2$得：
$5=(\frac{PQ}{2})^2 + (\frac{PQ}{2} -1)^2$，
整理得$PQ^2-2PQ-8=0$，
解得$PQ=4$或$PQ=-2$（线段长度为正，舍去）。
【答案】
4
【知识点】
垂径定理、直角三角形斜边中线性质、三角形三边关系
【点评】
本题是圆的综合类最值问题，解题关键是通过作垂径构造直角三角形，结合直角三角形的性质和三点共线的最值条件建立方程求解，对知识的综合运用能力要求较高。
【难度系数】
0.3
6 新考法[2025江苏南京调研,较难]如图,已知两个半径不同的圆,请用直尺与圆规按下列要求完成作图.
(1)请分别画出两个圆的直径.
(2)请画出一个圆使得它的面积等于已知两个圆面积的和.
(1)请分别画出两个圆的直径.
(2)请画出一个圆使得它的面积等于已知两个圆面积的和.
答案
6.【解】(1)如图(1)所示.
(2)如图(2)所示,以 $r$ 为半径的大圆即为所求.
解析
【分析】
(1)要画圆的直径需先确定圆心：根据垂径定理的推论，弦的垂直平分线经过圆心，因此只要在圆内作两条不平行的弦，分别作它们的垂直平分线，交点即为圆心，过圆心作两端在圆上的线段就是直径。
(2)要作面积等于两已知圆面积和的圆，先从面积公式推导半径关系：设两已知圆半径分别为r₁、r₂，所求圆半径为R，由πR²=πr₁²+πr₂²可得R²=r₁²+r₂²，结合勾股定理，构造直角边长度为r₁、r₂的直角三角形，其斜边长度就是R，再以R为半径作圆即可。
【解析】
(1)①在左侧圆内任意作两条不平行的弦；②分别作这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为左侧圆的圆心；③过圆心作一条两端点都在圆上的线段，即为左侧圆的直径；同理作出右侧圆的直径。
(2)①分别截取两已知圆的半径r₁、r₂；②作直角三角形，使两条直角边的长度分别等于r₁、r₂，得到斜边长度R，满足R²=r₁²+r₂²；③任选一点为圆心，以R为半径作圆，该圆的面积就等于两个已知圆的面积之和。
【答案】
(1)如图(1)所示。
(2)如图(2)所示，以$r$为半径的大圆即为所求。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的面积计算
【点评】
本题融合了尺规作图、几何定理的应用，既考查了利用垂径定理确定圆心的基础作图能力，也考查了将面积的代数关系转化为几何作图的综合运用能力，作图时需注意保留必要的作图痕迹。
【难度系数】
0.5
(1)要画圆的直径需先确定圆心：根据垂径定理的推论，弦的垂直平分线经过圆心，因此只要在圆内作两条不平行的弦，分别作它们的垂直平分线，交点即为圆心，过圆心作两端在圆上的线段就是直径。
(2)要作面积等于两已知圆面积和的圆，先从面积公式推导半径关系：设两已知圆半径分别为r₁、r₂，所求圆半径为R，由πR²=πr₁²+πr₂²可得R²=r₁²+r₂²，结合勾股定理，构造直角边长度为r₁、r₂的直角三角形，其斜边长度就是R，再以R为半径作圆即可。
【解析】
(1)①在左侧圆内任意作两条不平行的弦；②分别作这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为左侧圆的圆心；③过圆心作一条两端点都在圆上的线段，即为左侧圆的直径；同理作出右侧圆的直径。
(2)①分别截取两已知圆的半径r₁、r₂；②作直角三角形，使两条直角边的长度分别等于r₁、r₂，得到斜边长度R，满足R²=r₁²+r₂²；③任选一点为圆心，以R为半径作圆，该圆的面积就等于两个已知圆的面积之和。
【答案】
(1)如图(1)所示。
(2)如图(2)所示，以$r$为半径的大圆即为所求。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的面积计算
【点评】
本题融合了尺规作图、几何定理的应用，既考查了利用垂径定理确定圆心的基础作图能力，也考查了将面积的代数关系转化为几何作图的综合运用能力，作图时需注意保留必要的作图痕迹。
【难度系数】
0.5
7[较难]如图，AB，CD是半径为5的$\odot O$的两条弦，MN为直径，$AB=8$，$CD=6$，$AB ⊥ MN$于E，$CD ⊥ MN$于F.
(1)求EF的长.
(2)若点P在直径MN上运动，试求$PA+PC$的最小值.
(1)求EF的长.
(2)若点P在直径MN上运动，试求$PA+PC$的最小值.
答案
7.【解】(1)如图,连接 $OB,OC$.
∵ $AB=8$, $CD=6$, $MN$ 是直径, $AB ⊥ MN$ 于点 $E$, $CD ⊥ MN$ 于点 $F$,
∴ $BE=\frac{1}{2}AB=4$, $CF=\frac{1}{2}CD=3$,
∴ $OE=\sqrt{OB^2-BE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$, $OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,
∴ $EF=OE+OF=7$.
(2)如图,作 $CH ⊥ AB$ 于 $H$, 连接 $BC,BP$. 由于 $A,B$ 两点关于 $MN$ 对称, 因而 $PA+PC=PB+PC$, 则当 $B,C,P$ 在同一条直线上时, $PA+PC$ 的值最小, 即 $BC$ 的值就是 $PA+PC$ 的最小值.
∵ $AB ⊥ MN$ 于 $E$, $CD ⊥ MN$ 于 $F$, $CH ⊥ AB$,
∴ $∠ CHE=∠ HEF=∠ CFE=90°$,
∴ 四边形 $CHEF$ 是矩形,
∴ $CH=EF=7$, $EH=CF=3$,
∴ $BH=BE+EH=4+3=7$. 在Rt$△ BCH$ 中, 根据勾股定理得 $BC=\sqrt{BH^2+CH^2}=\sqrt{7^2+7^2}=7\sqrt{2}$, 即 $PA+PC$ 的最小值为 $7\sqrt{2}$.
解析
【分析】
(1) 求EF的长度时，EF可拆分为OE与OF的和，先连接半径OB、OC，利用垂径定理求出半弦BE、CF的长度，再分别在Rt△OBE和Rt△OCF中用勾股定理计算OE、OF的长度，相加即可得到EF。
(2) 求PA+PC的最小值属于轴对称最短路径问题，由AB垂直MN可得A、B关于MN对称，因此PA=PB，可将PA+PC转化为PB+PC，根据两点之间线段最短，当B、P、C三点共线时，PB+PC取最小值，即BC的长度，构造直角三角形计算BC的长度即可。
【解析】
(1) 连接$OB,OC$。
∵ $AB=8$, $CD=6$, $MN$ 是直径, $AB ⊥ MN$ 于点 $E$, $CD ⊥ MN$ 于点 $F$,
∴ 根据垂径定理得$BE=\frac{1}{2}AB=4$, $CF=\frac{1}{2}CD=3$,
在$Rt△ OBE$中，$OB=5$，由勾股定理得$OE=\sqrt{OB^2-BE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$,
在$Rt△ OCF$中，$OC=5$，由勾股定理得$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,
∴ $EF=OE+OF=3+4=7$。
(2)
∵$AB ⊥ MN$，
∴点A、B关于直径MN对称，即$PA=PB$，
∴$PA+PC=PB+PC$，当B、P、C三点共线时，$PB+PC$的值最小，即$PA+PC$的最小值为线段BC的长度。
作 $CH ⊥ AB$ 于 $H$,
∵$AB ⊥ MN$于 $E$, $CD ⊥ MN$ 于 $F$, $CH ⊥ AB$,
∴ $∠ CHE=∠ HEF=∠ CFE=90°$,
∴ 四边形 $CHEF$ 是矩形,
∴ $CH=EF=7$, $EH=CF=3$,
∴ $BH=BE+EH=4+3=7$。
在$Rt△ BCH$ 中, 根据勾股定理得 $BC=\sqrt{BH^2+CH^2}=\sqrt{7^2+7^2}=7\sqrt{2}$，即$PA+PC$的最小值为$7\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $EF$的长为$7$；
(2) $PA+PC$的最小值为$7\sqrt{2}$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，最短路径问题
【点评】
本题属于几何综合题，结合了垂径定理、勾股定理与最短路径的知识点，解题的关键是利用垂径定理求出相关线段长度，再通过轴对称性质转化待求最值的线段，将最值问题转化为固定线段的长度计算，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 求EF的长度时，EF可拆分为OE与OF的和，先连接半径OB、OC，利用垂径定理求出半弦BE、CF的长度，再分别在Rt△OBE和Rt△OCF中用勾股定理计算OE、OF的长度，相加即可得到EF。
(2) 求PA+PC的最小值属于轴对称最短路径问题，由AB垂直MN可得A、B关于MN对称，因此PA=PB，可将PA+PC转化为PB+PC，根据两点之间线段最短，当B、P、C三点共线时，PB+PC取最小值，即BC的长度，构造直角三角形计算BC的长度即可。
【解析】
(1) 连接$OB,OC$。
∵ $AB=8$, $CD=6$, $MN$ 是直径, $AB ⊥ MN$ 于点 $E$, $CD ⊥ MN$ 于点 $F$,
∴ 根据垂径定理得$BE=\frac{1}{2}AB=4$, $CF=\frac{1}{2}CD=3$,
在$Rt△ OBE$中，$OB=5$，由勾股定理得$OE=\sqrt{OB^2-BE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$,
在$Rt△ OCF$中，$OC=5$，由勾股定理得$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,
∴ $EF=OE+OF=3+4=7$。
(2)
∵$AB ⊥ MN$，
∴点A、B关于直径MN对称，即$PA=PB$，
∴$PA+PC=PB+PC$，当B、P、C三点共线时，$PB+PC$的值最小，即$PA+PC$的最小值为线段BC的长度。
作 $CH ⊥ AB$ 于 $H$,
∵$AB ⊥ MN$于 $E$, $CD ⊥ MN$ 于 $F$, $CH ⊥ AB$,
∴ $∠ CHE=∠ HEF=∠ CFE=90°$,
∴ 四边形 $CHEF$ 是矩形,
∴ $CH=EF=7$, $EH=CF=3$,
∴ $BH=BE+EH=4+3=7$。
在$Rt△ BCH$ 中, 根据勾股定理得 $BC=\sqrt{BH^2+CH^2}=\sqrt{7^2+7^2}=7\sqrt{2}$，即$PA+PC$的最小值为$7\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $EF$的长为$7$；
(2) $PA+PC$的最小值为$7\sqrt{2}$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，最短路径问题
【点评】
本题属于几何综合题，结合了垂径定理、勾股定理与最短路径的知识点，解题的关键是利用垂径定理求出相关线段长度，再通过轴对称性质转化待求最值的线段，将最值问题转化为固定线段的长度计算，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
