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3. 已知$∠ AOB=90°$,$∠ COD=60°$,按如图①所示摆放,将$OA$,$OC$边重合在直线$MN$上,$OB$,$OD$边在直线$MN$的两侧.
(1)保持$∠ AOB$不动,将$∠ COD$绕点$O$旋转至如图②所示的位置,则:
①$∠ AOC+∠ BOD=$
②$∠ BOC-∠ AOD=$
(2)若$∠ COD$按每分钟$5°$的速度绕点$O$按逆时针方向旋转,$∠ AOB$按每分钟$2°$的速度也绕点$O$按逆时针方向旋转,$OC$旋转到射线$ON$上时都停止运动,设旋转$t$分钟,计算$∠ MOC-∠ AOD$(用含$t$的式子表示).
(3)保持$∠ AOB$不动,将$∠ COD$绕点$O$按逆时针方向旋转$n°$($n≤360$),若射线$OE$平分$∠ AOC$,射线$OF$平分$∠ BOD$,求$∠ EOF$的大小.
(1)保持$∠ AOB$不动,将$∠ COD$绕点$O$旋转至如图②所示的位置,则:
①$∠ AOC+∠ BOD=$
150
°;②$∠ BOC-∠ AOD=$
30
°.(2)若$∠ COD$按每分钟$5°$的速度绕点$O$按逆时针方向旋转,$∠ AOB$按每分钟$2°$的速度也绕点$O$按逆时针方向旋转,$OC$旋转到射线$ON$上时都停止运动,设旋转$t$分钟,计算$∠ MOC-∠ AOD$(用含$t$的式子表示).
(3)保持$∠ AOB$不动,将$∠ COD$绕点$O$按逆时针方向旋转$n°$($n≤360$),若射线$OE$平分$∠ AOC$,射线$OF$平分$∠ BOD$,求$∠ EOF$的大小.
答案
$a≠1$
解析
根据一次函数的定义，形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数是一次函数，本题中自变量$x$的系数为$a-1$，因此需满足$a-1≠0$，解得$a≠1$。
4. 已知$∠ AOB=90°$，$∠ COD=80°$，$OE$是$∠ AOC$的平分线.
(1) 如图①，若$∠ AOD=\frac{1}{3}∠ AOB$，则$∠ DOE=$
(2) 如图②，若$OF$是$∠ AOD$的平分线，求$∠ AOE-∠ DOF$的值；
(3) 在(1)的条件下，若射线$OP$从$OE$出发绕点$O$以每秒$12°$的速度逆时针旋转，射线$OQ$从$OD$出发绕点$O$以每秒$8°$的速度顺时针旋转，若$OP$，$OQ$同时开始旋转，$t$秒$(0＜t＜\frac{67}{4})$后得到$∠ COP=\frac{5}{4}∠ AOQ$，直接写出所有满足条件的$t$的值.
备用图
(1) 如图①，若$∠ AOD=\frac{1}{3}∠ AOB$，则$∠ DOE=$
25
°；(2) 如图②，若$OF$是$∠ AOD$的平分线，求$∠ AOE-∠ DOF$的值；
(3) 在(1)的条件下，若射线$OP$从$OE$出发绕点$O$以每秒$12°$的速度逆时针旋转，射线$OQ$从$OD$出发绕点$O$以每秒$8°$的速度顺时针旋转，若$OP$，$OQ$同时开始旋转，$t$秒$(0＜t＜\frac{67}{4})$后得到$∠ COP=\frac{5}{4}∠ AOQ$，直接写出所有满足条件的$t$的值.
备用图
答案
(1)25 解析:因为∠AOB=90°,所以∠AOD=$\frac{1}{3}$∠AOB=30°.因为∠COD=80°,所以∠AOC=∠AOD+∠COD=30°+80°=110°.因为 OE 平分∠AOC,所以∠AOE=∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=55°,所以∠DOE=∠AOE-∠AOD=55°-30°=25°.
(2)因为 OF 平分∠AOD,所以∠AOF=∠DOF=$\frac{1}{2}$∠AOD.
因为 OE 平分∠AOC,所以∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOC,所以∠AOE-∠DOF=$\frac{1}{2}$∠AOC-$\frac{1}{2}$∠AOD=$\frac{1}{2}$(∠AOC-∠AOD)=$\frac{1}{2}$∠COD.因为∠COD=80°,所以∠AOE-∠DOF=$\frac{1}{2}$×80°=40°.
(3)t 的值为$\frac{185}{44}$或$\frac{35}{4}$. 解析:分三种情况:①当射线 OP,OQ 在∠AOC 内部时,由题意得∠POE=(12t)°,∠DOQ=(8t)°,所以∠COP=∠COE-∠POE=(55-12t)°,∠AOQ=∠AOD-∠DOQ=(30-8t)°.因为∠COP=$\frac{5}{4}$∠AOQ,所以55-12t=$\frac{5}{4}$(30-8t),解得 t=$\frac{35}{4}$(舍去);
②当射线 OP 在∠AOC 内部,射线 OQ 在∠AOC 外部时,因为∠COP=∠COE-∠POE=(55-12t)°,∠AOQ=∠DOQ-∠AOD=(8t-30)°,所以 55-12t=$\frac{5}{4}$(8t-30),解得 t=$\frac{185}{44}$;
③当射线 OP,OQ 都在∠AOC 外部时,∠COP=∠POE-∠COE=(12t-55)°,∠AOQ=∠DOQ-∠AOD=(8t-30)°,所以 12t-55=$\frac{5}{4}$(8t-30),解得 t=$\frac{35}{4}$.
综上所述,t 的值为$\frac{185}{44}$或$\frac{35}{4}$.
(2)因为 OF 平分∠AOD,所以∠AOF=∠DOF=$\frac{1}{2}$∠AOD.
因为 OE 平分∠AOC,所以∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOC,所以∠AOE-∠DOF=$\frac{1}{2}$∠AOC-$\frac{1}{2}$∠AOD=$\frac{1}{2}$(∠AOC-∠AOD)=$\frac{1}{2}$∠COD.因为∠COD=80°,所以∠AOE-∠DOF=$\frac{1}{2}$×80°=40°.
(3)t 的值为$\frac{185}{44}$或$\frac{35}{4}$. 解析:分三种情况:①当射线 OP,OQ 在∠AOC 内部时,由题意得∠POE=(12t)°,∠DOQ=(8t)°,所以∠COP=∠COE-∠POE=(55-12t)°,∠AOQ=∠AOD-∠DOQ=(30-8t)°.因为∠COP=$\frac{5}{4}$∠AOQ,所以55-12t=$\frac{5}{4}$(30-8t),解得 t=$\frac{35}{4}$(舍去);
②当射线 OP 在∠AOC 内部,射线 OQ 在∠AOC 外部时,因为∠COP=∠COE-∠POE=(55-12t)°,∠AOQ=∠DOQ-∠AOD=(8t-30)°,所以 55-12t=$\frac{5}{4}$(8t-30),解得 t=$\frac{185}{44}$;
③当射线 OP,OQ 都在∠AOC 外部时,∠COP=∠POE-∠COE=(12t-55)°,∠AOQ=∠DOQ-∠AOD=(8t-30)°,所以 12t-55=$\frac{5}{4}$(8t-30),解得 t=$\frac{35}{4}$.
综上所述,t 的值为$\frac{185}{44}$或$\frac{35}{4}$.
解析
【分析】
(1) 先根据∠AOB的度数求出∠AOD，再结合∠COD的度数算出∠AOC，利用角平分线的性质求出∠AOE，最后通过∠AOE与∠AOD的差得到∠DOE的度数。
(2) 利用角平分线的定义分别把∠AOE和∠DOF表示为∠AOC、∠AOD的一半，将两个角作差后，提取公因式转化为求∠COD的一半，代入数值计算即可。
(3) 射线旋转过程中位置会发生变化，需分三种情况讨论：①OP、OQ都在∠AOC内部；②OP在∠AOC内部、OQ在∠AOC外部；③OP、OQ都在∠AOC外部。分别用含t的式子表示出∠COP和∠AOQ，根据题给等量关系列方程求解，最后结合t的取值范围舍去不符合的解即可。
【解析】
(1) 已知$∠ AOB=90°$，由$∠ AOD=\frac{1}{3}∠ AOB$，得$∠ AOD=\frac{1}{3}×90°=30°$。
因为$∠ COD=80°$，所以$∠ AOC=∠ AOD+∠ COD=30°+80°=110°$。
因为OE平分$∠ AOC$，所以$∠ AOE=∠ COE=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×110°=55°$。
因此$∠ DOE=∠ AOE-∠ AOD=55°-30°=25°$。
(2) 因为OF平分$∠ AOD$，所以$∠ DOF=\frac{1}{2}∠ AOD$。
因为OE平分$∠ AOC$，所以$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOC$。
则$∠ AOE-∠ DOF=\frac{1}{2}∠ AOC-\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}(∠ AOC-∠ AOD)$。
又因为$∠ AOC-∠ AOD=∠ COD=80°$，所以$∠ AOE-∠ DOF=\frac{1}{2}×80°=40°$。
(3) 分三种情况讨论：
① 当射线OP、OQ都在$∠ AOC$内部时：
由题意得$∠ POE=12t°$，$∠ DOQ=8t°$，则$∠ COP=∠ COE-∠ POE=(55-12t)°$，$∠ AOQ=∠ AOD-∠ DOQ=(30-8t)°$。
由$∠ COP=\frac{5}{4}∠ AOQ$，列方程：$55-12t=\frac{5}{4}(30-8t)$，解得$t=\frac{35}{4}$。
此时$30-8t=-40＜0$，不符合OQ在$∠ AOC$内部的前提，舍去。
② 当射线OP在$∠ AOC$内部，射线OQ在$∠ AOC$外部时：
$∠ COP=(55-12t)°$，$∠ AOQ=∠ DOQ-∠ AOD=(8t-30)°$。
列方程：$55-12t=\frac{5}{4}(8t-30)$，解得$t=\frac{185}{44}$，符合$0＜t＜\frac{67}{4}$的范围，成立。
③ 当射线OP、OQ都在$∠ AOC$外部时：
$∠ COP=∠ POE-∠ COE=(12t-55)°$，$∠ AOQ=(8t-30)°$。
列方程：$12t-55=\frac{5}{4}(8t-30)$，解得$t=\frac{35}{4}$，符合$0＜t＜\frac{67}{4}$的范围，成立。
综上，满足条件的t的值为$\frac{185}{44}$或$\frac{35}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{25}$；(2) $\boldsymbol{40°}$；(3) $\boldsymbol{\frac{185}{44}}$或$\boldsymbol{\frac{35}{4}}$
【知识点】
1. 角平分线的定义；2. 角的和差计算；3. 动态角度分类讨论
【点评】
本题前两问属于角的基础计算，重点考查角平分线性质和角的和差关系的应用，难度较低；第三问为角的动态旋转问题，需要根据旋转过程中射线的不同位置分类讨论，注意验证解是否符合前提条件，是本题的难点，能有效锻炼分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.4
(1) 先根据∠AOB的度数求出∠AOD，再结合∠COD的度数算出∠AOC，利用角平分线的性质求出∠AOE，最后通过∠AOE与∠AOD的差得到∠DOE的度数。
(2) 利用角平分线的定义分别把∠AOE和∠DOF表示为∠AOC、∠AOD的一半，将两个角作差后，提取公因式转化为求∠COD的一半，代入数值计算即可。
(3) 射线旋转过程中位置会发生变化，需分三种情况讨论：①OP、OQ都在∠AOC内部；②OP在∠AOC内部、OQ在∠AOC外部；③OP、OQ都在∠AOC外部。分别用含t的式子表示出∠COP和∠AOQ，根据题给等量关系列方程求解，最后结合t的取值范围舍去不符合的解即可。
【解析】
(1) 已知$∠ AOB=90°$，由$∠ AOD=\frac{1}{3}∠ AOB$，得$∠ AOD=\frac{1}{3}×90°=30°$。
因为$∠ COD=80°$，所以$∠ AOC=∠ AOD+∠ COD=30°+80°=110°$。
因为OE平分$∠ AOC$，所以$∠ AOE=∠ COE=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×110°=55°$。
因此$∠ DOE=∠ AOE-∠ AOD=55°-30°=25°$。
(2) 因为OF平分$∠ AOD$，所以$∠ DOF=\frac{1}{2}∠ AOD$。
因为OE平分$∠ AOC$，所以$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOC$。
则$∠ AOE-∠ DOF=\frac{1}{2}∠ AOC-\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}(∠ AOC-∠ AOD)$。
又因为$∠ AOC-∠ AOD=∠ COD=80°$，所以$∠ AOE-∠ DOF=\frac{1}{2}×80°=40°$。
(3) 分三种情况讨论：
① 当射线OP、OQ都在$∠ AOC$内部时：
由题意得$∠ POE=12t°$，$∠ DOQ=8t°$，则$∠ COP=∠ COE-∠ POE=(55-12t)°$，$∠ AOQ=∠ AOD-∠ DOQ=(30-8t)°$。
由$∠ COP=\frac{5}{4}∠ AOQ$，列方程：$55-12t=\frac{5}{4}(30-8t)$，解得$t=\frac{35}{4}$。
此时$30-8t=-40＜0$，不符合OQ在$∠ AOC$内部的前提，舍去。
② 当射线OP在$∠ AOC$内部，射线OQ在$∠ AOC$外部时：
$∠ COP=(55-12t)°$，$∠ AOQ=∠ DOQ-∠ AOD=(8t-30)°$。
列方程：$55-12t=\frac{5}{4}(8t-30)$，解得$t=\frac{185}{44}$，符合$0＜t＜\frac{67}{4}$的范围，成立。
③ 当射线OP、OQ都在$∠ AOC$外部时：
$∠ COP=∠ POE-∠ COE=(12t-55)°$，$∠ AOQ=(8t-30)°$。
列方程：$12t-55=\frac{5}{4}(8t-30)$，解得$t=\frac{35}{4}$，符合$0＜t＜\frac{67}{4}$的范围，成立。
综上，满足条件的t的值为$\frac{185}{44}$或$\frac{35}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{25}$；(2) $\boldsymbol{40°}$；(3) $\boldsymbol{\frac{185}{44}}$或$\boldsymbol{\frac{35}{4}}$
【知识点】
1. 角平分线的定义；2. 角的和差计算；3. 动态角度分类讨论
【点评】
本题前两问属于角的基础计算，重点考查角平分线性质和角的和差关系的应用，难度较低；第三问为角的动态旋转问题，需要根据旋转过程中射线的不同位置分类讨论，注意验证解是否符合前提条件，是本题的难点，能有效锻炼分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.4
