1[2026广东佛山质检]如图,在四边形ABCD中,$AB=CD$,BA和CD的延长线交于点E,若存在点P使得$S_{△ PAB}=S_{△ PCD}$,则满足此条件的点P ()

A.有且只有1个
B.有且只有2个
C.组成$∠ E$的平分线
D.组成$∠ E$的平分线所在的直线(点E除外)

(第1题图)
(第2题图)

作∠E的平分线所在的直线,可知该直线上的点到AB和CD的距离相等. 因为AB=CD,$S_{△PAB}=S_{△PCD}$,所以点P到AB和CD的距离相等,所以点P组成∠E的平分线所在的直线(点E除外),故选D.

2[2025江苏常州期中]如图,点O在△ABC内,且到三边的距离相等,连接OB,OC,若∠BOC=110°,则∠A的大小是 ()

A.35°
B.40°
C.45°
D.70°

∵ ∠BOC = 110°,
∴ ∠OBC + ∠OCB = 180°-110°=70°.
∵ 点O在△ABC内,且到三边的距离相等,
∴ OB平分∠ABC,OC平分∠ACB,
∴ ∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB,
∴ ∠ABC + ∠ACB = 2 (∠OBC + ∠OCB) = 140°,
∴ ∠A = 180°- (∠ABC + ∠ACB)= 180°-140°=40°. 故选 B.

3 如图,平面内三条直线a,b,c两两相交,在平面内找出一点P,使得点P到三条直线的距离相等,那么符合条件的点P有处.

（第3题图）
（第4题图）

∵ 点P到三条直线的距离相等,
∴ 点P是三条直线a,b,c所形成的角的平分线的交点,如图所示,图中点P,点P',点P'',点P'''即为所求,故答案为4.

4 如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺的一边与射线OB重合，且另一边与射线OA交于点C，另一把直尺的一个直角顶点在射线OA上，且与第一把直尺交于点P，作射线OP，已知∠POB=40°，则∠ACP的度数是。

由题意,得 OP 平分∠AOB,
∴ ∠AOB=2∠POB=2×40°=80°. 由长方形直尺可知 CP//OB,
∴ ∠ACP=∠AOB=80°. 故答案为80°.

1[2026安徽淮南期中,中]如图,△ABC与△AED中,∠E=∠C,DE=BC,EA=CA,过A作AF⊥DE,垂足为F,DE交CB的延长线于点G,连接AG.
(1)求证:GA平分∠DGB;
(2)若$S_{四边形DGBA}=6$,$AF=3$,则$FG=$.

(1)【证明】过点 A 作 AH ⊥ BC 于 H,如图所示.
∵ ∠E = ∠C, DE = BC, EA = CA,
∴ △ADE ≅ △ABC(SAS),
∴ $S_{△ABC}=S_{△AED}$. 又
∵ AF ⊥ DE,
∴ $\frac{1}{2}×DE×AF=\frac{1}{2}×BC×AH$,
∴ AF = AH.
∵ AF ⊥ DE,AH ⊥ BC,
∴ 点 A 在∠DGB 的平分线上,
∴ GA 平分∠DGB.
(2)【解】如上图.
∵ △ABC≅△ADE,
∴ AD=AB.
又
∵ AF ⊥ DE,AH ⊥ BC,AF=AH,
∴ Rt△ADF≅Rt△ABH(HL),
∴ $S_{△ADF}=S_{△ABH}$,
∴ $S_{四边形DGBA}=S_{△ADF}+S_{△AFG}+S_{△ABG}=S_{△ABH}+S_{△ABG}+S_{△AFG}=S_{四边形AFGH}=6$.
∵ AF=AH,AG=AG,
∴ Rt△AFG≅Rt△AHG(HL),
∴ $S_{△AFG}=S_{△AHG}$. 又
∵ $S_{四边形AFGH}=S_{△AFG}+S_{△AHG}$,
∴ △AFG 的面积为 $\frac{1}{2}×6=3$.
∵ AF=3,
∴ $\frac{1}{2}×FG×3=3$,解得 FG=2. 故答案为2.

2[2025内蒙古鄂尔多斯期中,中]如图,已知等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是腰AC上的一点(不与A,C重合),连接BD,过点A作AE⊥BD,交BD的延长线于点E.
(1)如图(1),若BD是∠ABC的平分线,求证:BD=2AE.
(2)如图(2),连接CE,当点D在线段AC上运动时(不与A,C重合),∠BEC的大小是否发生变化?若改变,求出它的最大值;若不改变,求出这个定值.


在写了鸭!

(1)【证明】如图(1),延长 BC,AE,相交于点 F.
∵ AE ⊥ BE,
∴ ∠AEB = 90°.
∵ ∠ACB = 90° = ∠AEB, ∠BDC = ∠ADE,
∴ ∠CBD = ∠CAE. 又
∵ BC = AC, ∠BCD = ∠ACF = 90°,
∴ △BCD ≅ △ACF ( ASA ),
∴ BD = AF.
∵ BD 是 ∠ABC 的平分线,
∴ ∠ABE = ∠FBE.
∵ AE ⊥ BD,
∴ ∠AEB = ∠FEB = 90°. 又
∵ BE = BE,
∴ △ABE ≅ △FBE ( ASA ),
∴ AE = FE,
∴ AF = 2AE,
∴ BD = 2AE.

(2)【解】∠BEC 的大小不变. 如图(2),过点 C 作 CM ⊥ BD 于点 M,CN ⊥ AE,交 AE 的延长线于点 N,则 ∠BMC = ∠ANC = 90°.
∵ AE ⊥ BD,
∴ ∠BEN = 90°. 由(1)知 ∠CBD = ∠CAE.
又
∵ AC = BC,
∴ △BCM ≅ △ACN ( AAS ),
∴ CM = CN,
∴ EC 是 ∠BEN 的平分线,
∴ ∠BEC = $\frac{1}{2}∠BEN=\frac{1}{2}×90°=45°$,即 ∠BEC 的大小不变,为定值 45°.