1[中]如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=4,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是BC边上一动点,则DP长的最小值为 ()

A.3
B.4
C.5
D.6

(第1题图)
(第2题图)

$\because BD ⊥ CD, \therefore ∠ BDC = 90°, \therefore ∠ C + ∠ CBD = 90°. \because ∠ A = 90°, \therefore ∠ ABD + ∠ ADB = 90°. \because ∠ ADB = ∠ C, \therefore ∠ ABD = ∠ CBD, \therefore BD$ 是 $∠ ABC$ 的平分线. 当 $DP ⊥ BC$ 时, $DP$ 的长度最小. $\because ∠ A = 90°, \therefore DA ⊥ AB, \therefore DP$ 长的最小值与 $AD$ 长相等. $\because AD = 4$, $\therefore DP$ 长的最小值是 4, 故选 B.

2[2026浙江杭州期中,中]如图,I是$△ ABC$三条角平分线的交点,$△ ABI$的面积为$S_1$,$△ ACI$的面积为$S_2$,$△ BCI$的面积为$S_3$,且$S_3=6$,则$S_1+S_2$的值可能为 ()

A.4
B.5
C.6
D.8

$\because I$ 是 $△ ABC$ 三条角平分线的交点, $\therefore △ ABI, △ ACI$ 和 $△ BCI$ 的边 $AB, AC, BC$ 上的高相等. 设这个相等的高为 $h$. $\because △ ABI$ 的面积为 $S_1, △ ACI$ 的面积为 $S_2, △ BCI$ 的面积为 $S_3, \therefore S_1 = \frac{1}{2}h · AB, S_2 = \frac{1}{2}h · AC, S_3 = \frac{1}{2}h · BC, \therefore AB = \frac{2S_1}{h}, AC = \frac{2S_2}{h}, BC = \frac{2S_3}{h}$. 由三角形三边关系得 $AB + AC ＞ BC, \therefore \frac{2S_1}{h} + \frac{2S_2}{h} ＞ \frac{2S_3}{h}, \therefore S_1 + S_2 ＞ S_3$. 又 $\because S_3 = 6, \therefore S_1 + S_2 ＞ 6, \therefore S_1 + S_2$ 的值可能为 8. 故选 D.
思路分析
根据题意,得 $△ ABI, △ ACI$ 和 $△ BCI$ 的边 $AB, AC, BC$ 上的高相等,设这个相等的高为 $h$, 得到 $AB=\frac{2S_1}{h}, AC=\frac{2S_2}{h}, BC=\frac{2S_3}{h}$, 再利用三角形的三边关系定理即可求解.

3 [2025福建泉州期中，中]如图，在△ABC（AB＞AC）中，AD，AE分别为△ABC的角平分线、中线，若7AB=13AC，ED=kDC，则k的值为。

如图,过点 $D$ 作 $DM ⊥ AB$ 于点 $M$, $DN ⊥ AC$ 于点 $N$. $\because AD$ 为 $∠ BAC$ 的平分线, $\therefore DM = DN$. 设点 $A$ 到 $BC$ 的距离为 $h$, 则 $\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ADC}} = \frac{\frac{1}{2}AB · DM}{\frac{1}{2}AC · DN} = \frac{\frac{1}{2}BD · h}{\frac{1}{2}DC · h}, \therefore \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$.
$\because 7AB = 13AC, \therefore \frac{AB}{AC} = \frac{13}{7}, \therefore \frac{BD}{DC} = \frac{13}{7}$, 即 $BD = \frac{13}{7}CD, \therefore CD = \frac{7}{20}BC. \because AE$ 为 $△ ABC$ 的中线, $\therefore BE = EC = \frac{1}{2}BC, \therefore DE = EC - CD = \frac{3}{20}BC$.
$\because ED = kDC, \therefore k = \frac{DE}{DC} = \frac{3}{7}$. 故答案为 $\frac{3}{7}$.

4[2026广东广州质检,中]如图,在$△ ABC$中,$∠ BAD=∠ DAC,DF ⊥ AB,DM ⊥ AC,AB=18\ \mathrm{cm},AF=10\ \mathrm{cm},AC=21\ \mathrm{cm}$,动点E以1 cm/s的速度从A点向F点运动,动点G以2 cm/s的速度从C点向A点运动,当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动,设运动时间为t s.
(1)求$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}$;
(2)求证:在运动过程中,无论t取何值,都有$2S_{△ AED}=S_{△ DGC}$;
(3)当t取何值时,$△ DFE$与$△ DMG$全等?

(1) $\because ∠ BAD = ∠ DAC, DF ⊥ AB, DM ⊥ AC, \therefore DF = DM. \because S_{△ ABD} = \frac{1}{2}DF · AB, S_{△ ACD} = \frac{1}{2}DM · AC, \therefore \frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}} = \frac{AB}{AC} = \frac{18}{21} = \frac{6}{7}, \therefore S_{△ ABD}: S_{△ ACD} = 6:7$.
(2) 证明: $\because DF = DM, S_{△ AED} = \frac{1}{2}DF · AE, S_{△ DGC} = \frac{1}{2}DM · CG, \therefore \frac{S_{△ AED}}{S_{△ DGC}} = \frac{AE}{CG}. \because$ 动点 $E$ 以 1 cm/s 的速度从 $A$ 点向 $F$ 点运动, 动点 $G$ 以 2 cm/s 的速度从 $C$ 点向 $A$ 点运动, 当一个点到达终点时, 另一个点随之停止运动, $\therefore AE = t\ \mathrm{cm}, CG = 2t\ \mathrm{cm}, \therefore \frac{AE}{CG} = \frac{1}{2}, \therefore \frac{S_{△ AED}}{S_{△ DGC}} = \frac{1}{2}, \therefore$ 在运动过程中, 无论 $t$ 取何值, 都有 $S_{△ DGC} = 2S_{△ AED}$.
(3) 解: $\because$ 在 $△ ADF$ 与 $△ ADM$ 中,
$\begin{cases} ∠ AFD = ∠ AMD = 90°, \\ ∠ BAD = ∠ DAC, \\ DF = DM, \end{cases}$
$\therefore △ ADF ≌ △ ADM(\mathrm{AAS}), \therefore AF = AM = 10\ \mathrm{cm}$.
由(2) 知 $AE = t\ \mathrm{cm}, CG = 2t\ \mathrm{cm}, \therefore EF = AF - AE = (10-t)\ \mathrm{cm}$. ①当 $M$ 在线段 $CG$ 上时, $MG = CG-(AC-AM) = (2t-11)\ \mathrm{cm}$. 当 $EF = MG$ 时, $△ DFE$ 与 $△ DMG$ 全等, $\therefore 10-t = 2t-11$, 解得 $t=7$.
②当 $M$ 在线段 $CG$ 延长线上时, $MG = (11-2t)\ \mathrm{cm}$. 当 $EF = MG$ 时, $△ DFE$ 与 $△ DMG$ 全等, $\therefore 10-t = 11-2t$, 解得 $t=1$. 综上, 当 $t=7$ 或 $1$ 时, $△ DFE$ 与 $△ DMG$ 全等.

5[2026河南周口期末,中](1)如图(1),AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°.当∠B=90°时,根据角平分线的性质,我们可知DB与DC之间的数量关系为;
(2)如图(2),AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°.当∠B＜90°时,试求DB与DC之间的数量关系;
(3)如图(3),AD平分∠BAC,若∠B=70°,DB=DC,求∠ACD的度数.

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(1) $\because ∠ B + ∠ C = 180°, ∠ B = 90°, \therefore ∠ C = 90°, \therefore DB ⊥ AB, DC ⊥ AC. \because AD$ 平分 $∠ BAC, \therefore DB = DC$. 故答案为 $DB=DC$.
(2) 过 $D$ 点作 $DE ⊥ AB$ 于 $E$ 点, $DF ⊥ AC$ 交 $AC$ 延长线于 $F$ 点, 如图(1). $\because AD$ 平分 $∠ BAC, \therefore DE = DF. \because ∠ B + ∠ ACD = 180°, ∠ ACD + ∠ DCF = 180°, \therefore ∠ B = ∠ DCF$. 在 $△ BDE$ 和 $△ CDF$ 中, $\begin{cases} ∠ B = ∠ DCF, \\ ∠ BED = ∠ CFD = 90°, \\ DE = DF, \end{cases}$ $\therefore △ BDE ≌ △ CDF(\mathrm{AAS}), \therefore DB = DC$.
(3) 过 $D$ 点作 $DE ⊥ AB$ 于 $E$ 点, $DF ⊥ AC$ 交 $AC$ 延长线于 $F$ 点, 如图(2).
$\because AD$ 平分 $∠ BAC, \therefore DE = DF$.
在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中, $\begin{cases} DB = DC, \\ DE = DF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$,
$\therefore ∠ DCF = ∠ B = 70°$,
$\therefore ∠ ACD = 180° - ∠ DCF = 180° - 70° = 110°$.

6 思想方法数形结合[较难]在$△ ABC$中，$AE$，$BF$是角平分线，交于$O$点.
(1)如图(1)，$AD$是高，$∠ BAC=50°$，$∠ C=70°$，求$∠ DAC$和$∠ BOA$的度数.
(2)如图(2)，若$OE=OF$，$AC≠ BC$，求$∠ C$的度数.
(3)如图(3)，若$∠ C=90°$，$BC=8$，$AC=6$，$AB=10$，求$S_{△ AOB}$.

(1) $\because AD ⊥ BC, \therefore ∠ ADC = 90°$.
$\because ∠ C = 70°, \therefore ∠ DAC = 180° - 90° - 70° = 20°$.
$\because ∠ BAC = 50°, ∠ C = 70°, AE$ 是 $∠ BAC$ 的平分线, $\therefore ∠ BAO = 25°, ∠ ABC = 60°. \because BF$ 是 $∠ ABC$ 的平分线, $\therefore ∠ ABO = 30°, \therefore ∠ BOA = 180° - ∠ BAO - ∠ ABO = 180° - 25° - 30° = 125°$.
(2) 连接 $OC$, 如图(1). $\because AE, BF$ 是角平分线, 且交于 $O$ 点, $\therefore$ 易知 $CO$ 是 $∠ ACB$ 的平分线, $\therefore ∠ OCF = ∠ OCE$. 过点 $O$ 作 $OM ⊥ BC, ON ⊥ AC$, 则 $OM = ON$. 在 $\mathrm{Rt}△ OEM$ 与 $\mathrm{Rt}△ OFN$ 中, $\begin{cases} OE = OF, \\ OM = ON, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ OEM ≌ \mathrm{Rt}△ OFN(\mathrm{HL})$,
$\therefore ∠ EOM = ∠ FON, \therefore ∠ MON = ∠ EOF = 180° - ∠ ACB. \because AE, BF$ 是角平分线, $\therefore$ 易得 $∠ AOB = 90° + \frac{1}{2}∠ ACB$. 又 $\because ∠ AOB = ∠ EOF, \therefore 90° + \frac{1}{2}∠ ACB = 180° - ∠ ACB, \therefore ∠ ACB = 60°$.
(3) 如图(2), 过点 $O$ 作 $OD ⊥ AB$ 于 $D, OG ⊥ BC$ 于 $G, OH ⊥ AC$ 于 $H$.
$\because AE, BF$ 是角平分线, 且交于 $O$ 点, $\therefore OD = OG = OH, \therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 8 × 6 = \frac{1}{2} × 10 × OD + \frac{1}{2} × 8 × OG + \frac{1}{2} × 6 × OH, \therefore OD = 2, \therefore S_{△ AOB} = \frac{1}{2} × 10 × 2 = 10$.

思路分析
(1) 根据垂直的定义得到 $∠ ADC = 90°$, 进而得到 $∠ DAC$. 根据角平分线的定义得到 $∠ BAC$ 的度数, 再根据三角形的内角和定理及角平分线的定义得到 $∠ ABC$ 的度数, 即可得到 $∠ BOA$ 的度数;
(2) 连接 $OC$, 过点 $O$ 作 $OM ⊥ BC, ON ⊥ AC$, 根据角平分线的性质得到 $OM = ON$, 证明 $\mathrm{Rt}△ OEM ≌ \mathrm{Rt}△ OFN$, 根据全等三角形的性质得到 $∠ EOM = ∠ FON$, 进而利用角的和差可得答案;
(3) 过 $O$ 作 $OD ⊥ AB$ 于 $D, OG ⊥ BC$ 于 $G, OH ⊥ AC$ 于 $H$, 根据角平分线的性质得到 $OD = OG = OH$, 再根据三角形的面积公式即可得答案.