1[2025浙江绍兴质检]如图(1),正方形被划分成16个全等的三角形,将其中若干个三角形涂黑,且满足下列条件:
(1)涂黑部分的面积是原正方形面积的一半;
(2)涂黑部分中存在全等图形.
如图(2)是一种涂法,请在图(4)、(5)、(6)中分别设计另外三种不同的涂法.(在所设计的图案中,若涂黑部分全等,则认为是同一种涂法,如图(2)与图(3))

【解】如图(1)、(2)、(3).（答案不唯一）

2[2025贵州遵义期末]如图(1),Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,过点D作DE⊥AC于点E,过点B作BF⊥ED,交ED的延长线于点F.
(1)求证:△DFB≌△DEA.
(2)某数学兴趣小组解答(1)后发现,在图中只需将△AED剪下来拼到△BFD处,就可得到一个与图(1)中△ABC等面积的长方形EFBC.继续讨论后又发现,任意三角形也可以剪拼成一个等面积的长方形,请你在图(2)中画出一种剪拼示意图,并简要说明作法(不需要证明).

(1)【证明】
∵ DE⊥AC,BF⊥ED,D是AB的中点,
∴ ∠AED = ∠BFD = 90°, AD = BD.
∵ ∠ADE=∠BDF,
∴ △DFB≌△DEA.
(2)【解】(画出一种即可,答案不唯一,给出以下三种作法供参考)如图.
作法①:找AC,BC的中点,过两中点作一条直线,分别过点A,B作该直线的垂线,得到的以AB为边的长方形与△ABC的面积相等.
作法②:找AC,AB的中点,过两中点作一条直线,分别过点B,C作该直线的垂线,得到的以BC为边的长方形与△ABC的面积相等.
作法③:找AB,BC的中点,过两中点作一条直线,分别过点A,C作该直线的垂线,得到的以AC为边的长方形与△ABC的面积相等.
一题多解
(2)如图,分别过 AC, BC 的中点 M, N 作 AB 的垂线,垂足分别为 O, P,再过点 C 作 AB 的平行线,与 OM, PN 的延长线交于点 E, F,则长方形 OPFE 的面积与△ABC 的面积相等.

3[2025广东肇庆质检]小明和小华各买了一副大小不同的三角板.小明把他们两人的等腰直角三角板的直角的顶点和一直角边叠在一起拼成如图(1)的图形($△ ABC$和$△ ADE$),$∠ BAC=∠ DAE=90°$,$AB=AC$,$AD=AE$,连接$BD$,$CE$.
(1)求证:$BD=CE$.
(2)小华把小明的拼图动了一下,但两块三角板的直角顶点还是叠在一起的,如图(2),请问$BD$和$CE$还相等吗?证明你的结论.
(3)请分别指出两个拼图中,$BD$与$CE$的位置关系,不用说明理由.

思路分析
(2)先证明∠BAD = ∠CAE,再根据 SAS 证明△ABD ≌△ACE,可得答案.
(1)【证明】在△ABD与△ACE中,
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE=90°, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE(SAS),
∴ BD=CE.
(2)【解】BD = CE. 证明:
∵ ∠BAC = ∠DAE = 90°,
∴ ∠BAC + ∠BAE = ∠DAE + ∠BAE,即∠CAE = ∠BAD. 在△ABD与△ACE中,
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE (SAS),
∴ BD = CE.
思路分析
(2)过点 C 作 CM⊥BD 于点 M, CN ⊥ AE,交 AE 的延长线于点 N,结合(1)利用 AAS 证明△BCM ≌△ACN,得 CM=CN,根据角平分线的判定定理得 EC 是∠BEN 的平分线,进而可得 ∠BEC = 45°,即可得出结论.
(3)两个拼图中,BD与CE的位置关系均为互相垂直. 如图,延长CE交BD于F.
∵ △ABD≌△ACE,
∴ ∠ADB=∠AEC.
∵ ∠ABD+∠ADB = 90°, ∠AEC = ∠BEF,
∴ ∠ABD + ∠BEF=90°,
∴ CE⊥BD. 如图,设AB与CE交于F.
∵ △ABD≌△ACE,
∴ ∠ACE = ∠ABD.
∵ ∠ACF + ∠AFC = 90°, ∠AFC = ∠BFE,
∴ ∠ABD+∠BFE=90°,
∴ CE⊥BD.