1. 解方程:
(1)$\frac{3}{2}[\frac{2}{3}(\frac{1}{4}x+1)+2]-\frac{5}{2}=\frac{1}{2}x;$
(2)$2[\frac{4}{3}x-(\frac{2}{3}x-\frac{1}{2})]=\frac{3}{4}x.$

D

根据平方根的性质，只有非负数才有平方根，因此可得不等式$3m - 6 ≥ 0$，移项得$3m ≥ 6$，两边同时除以3，解得$m ≥ 2$。

2. 解方程：$\frac{0.02 - 2x}{0.02} - 3.5 = \frac{4 - 6x}{0.01} - 2.5$

9

根据正数的两个平方根互为相反数，可得两个平方根的和为0，列方程：$(2a-1)+(-a+2)=0$，解得$a=-1$。将$a=-1$代入$2a-1$，得其中一个平方根为$-3$，因此这个正数为$(-3)^2=9$。

3. 解方程：$\frac{12x - 10}{21} + \frac{7x - 9}{20} = \frac{2 - x}{15} + \frac{8x - 9}{14}$
答案D37

移项,得$\frac{12x-10}{21}-\frac{8x-9}{14}=\frac{2-x}{15}-\frac{7x-9}{20}$.所以$\frac{7}{42}=\frac{35-25x}{60}$,即$\frac{1}{6}=\frac{7-5x}{12}$,解得$x=1$.

【分析】
这个方程的分母数值较大，若直接找所有分母的最小公倍数去分母，计算量很大容易出错。观察分母特点：21和14的最小公倍数是42，20和15的最小公倍数是60，都比较小，因此我们可以先移项，把分母为21、14的分式放等号一侧，分母为20、15的分式放另一侧，先分别对两侧通分化简，再求解方程，能大幅降低计算难度。
【解析】
解：先移项，将含分母14的项移到左边，含分母20的项移到右边，得：
$\frac{12x-10}{21}-\frac{8x-9}{14}=\frac{2-x}{15}-\frac{7x-9}{20}$
对左边通分，分母取21和14的最小公倍数42：
左边=$\frac{2(12x-10)-3(8x-9)}{42}=\frac{24x-20-24x+27}{42}=\frac{7}{42}=\frac{1}{6}$
对右边通分，分母取15和20的最小公倍数60：
右边=$\frac{4(2-x)-3(7x-9)}{60}=\frac{8-4x-21x+27}{60}=\frac{35-25x}{60}=\frac{7-5x}{12}$
此时方程化简为：$\frac{1}{6}=\frac{7-5x}{12}$
两边同时乘12消去分母，得：$2=7-5x$
移项得：$5x=7-2$，即$5x=5$
系数化为1，得：$x=1$
【答案】
$x=1$
【知识点】
一元一次方程解法，分数通分，等式的性质
【点评】
本题考查一元一次方程的灵活求解，解题关键是观察分母特征，通过合理移项分组简化通分计算，避免直接找所有分母公分母带来的大数运算，有效减少计算失误。
【难度系数】
0.6

4. 解方程：$\frac{1}{6}(20x + 50) + \frac{2}{3}(5 + 2x) - \frac{1}{2}(4x + 10) = 132.$

解：立方根（也叫作三次方根）

【分析】
观察方程中三个括号内的整式，可通过提取公因式将其统一变形为含(2x+5)的形式，因此可以采用整体换元的思路简化计算：先将原方程各项整理为以(2x+5)为公因式的式子，设y=2x+5，将原方程转化为关于y的简单一元一次方程，解出y的值后再代入y=2x+5反求x即可，该方法比直接去括号计算更简便，能有效减少计算失误。
【解析】
首先对原方程各项变形：
$\frac{1}{6}(20x + 50)=\frac{1}{6}×10×(2x+5)=\frac{5}{3}(2x+5)$，
$\frac{2}{3}(5 + 2x)=\frac{2}{3}(2x+5)$，
$\frac{1}{2}(4x + 10)=\frac{1}{2}×2×(2x+5)=2x+5$，
因此原方程可变形为：
$\frac{5}{3}(2x+5)+\frac{2}{3}(2x+5)-(2x+5)=132$
设$2x+5=y$，代入上述方程得：
$\frac{5}{3}y+\frac{2}{3}y-y=132$
合并同类项，得：
$\frac{4}{3}y=132$
系数化为1，得：
$y=132×\frac{3}{4}=99$
将$y=99$代入$2x+5=y$，得：
$2x+5=99$
移项、系数化为1，解得：
$x=47$
【答案】
$x=47$
【知识点】
1.一元一次方程的解法
2.换元法简化运算
3.合并同类项
【点评】
本题若直接去括号、去分母计算，运算量较大，容易出错。解题时可先观察方程的结构特点，找到各项共有的整式因式，采用整体换元的方法简化运算，这是解结构相似的一元一次方程的常用技巧。
【难度系数】
0.6

5. 解方程：$\frac{x}{2}+\frac{x}{6}+\frac{x}{12}+\frac{x}{20}=45.$

解：
(1) 正数；0；负数
(2) $a$；$-\sqrt[3]{a}$

【分析】
观察方程可知左边各项均含有未知数x，首先可以提取公因式x，将方程转化为系数乘x等于45的形式。计算系数时，观察到各分数的分母为相邻两个正整数的乘积，可采用裂项相消的方法简化计算，避免繁琐的通分运算，消去中间项后得到最简系数，再求解一元一次方程即可得到x的值。
【解析】
解：原方程提取公因式$x$，可化为：
$(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20})x=45$
根据分数裂项规律：
$\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{6}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{12}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{20}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$
代入原方程得：
$(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5})x=45$
中间项相互抵消，整理得：
$(1-\frac{1}{5})x=45$，即$\frac{4}{5}x=45$
系数化为1，得：
$x=45÷\frac{4}{5}=\frac{225}{4}$
【答案】
$x=\frac{225}{4}$
【知识点】
1.一元一次方程的解法
2.分数裂项相消
【点评】
本题既可以通过常规通分计算分数系数求解，也可以利用裂项相消的简便方法简化运算，考查学生对特殊分数结构的观察能力和简便运算的应用意识，掌握裂项技巧能大幅提升解题速度。
【难度系数】
0.7

6. 解方程：$\frac{2019 - x}{2018} + \frac{x - 2021}{2020} = \frac{2023 - x}{2022} + \frac{x - 2025}{2024}.$

将原方程变形为$\frac{2018+1-x}{2018}+\frac{x-1-2020}{2020}=\frac{2022+1-x}{2022}+\frac{x-1-2024}{2024}$,即$\frac{1-x}{2018}+\frac{x-1}{2020}=\frac{1-x}{2022}+\frac{x-1}{2024}$,变形为$(1-x)(\frac{1}{2018}-\frac{1}{2020}-\frac{1}{2022}+\frac{1}{2024})=0$,因为$\frac{1}{2018}-\frac{1}{2020}-\frac{1}{2022}+\frac{1}{2024}≠0$,所以$1-x=0$,解得$x=1$.

【分析】
观察方程中各分数的分子与分母数值接近，若直接去分母会涉及大数运算，计算量极大且容易出错。因此先考虑拆分分子：将每个分子拆成分母与常数的和/差的形式，拆分后可以消去整数项，剩余项均含有因式(1-x)，再提取公因式，利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质求解，同时判断另一个因式不为0，即可快速得到方程的解。
【解析】
解：将原方程各分子拆分变形，得：
$\frac{2018+1-x}{2018}+\frac{x-1-2020}{2020}=\frac{2022+1-x}{2022}+\frac{x-1-2024}{2024}$
拆分分数后化简，得：
$1+\frac{1-x}{2018}+\frac{x-1}{2020}-1=1+\frac{1-x}{2022}+\frac{x-1}{2024}-1$
消去两侧的整数1，整理得：
$\frac{1-x}{2018}+\frac{x-1}{2020}=\frac{1-x}{2022}+\frac{x-1}{2024}$
将右侧所有项移到左侧，提取公因式$(1-x)$，得：
$(1-x)(\frac{1}{2018}-\frac{1}{2020}-\frac{1}{2022}+\frac{1}{2024})=0$
经计算，$\frac{1}{2018}-\frac{1}{2020}-\frac{1}{2022}+\frac{1}{2024}≠0$，因此只有$1-x=0$，解得$x=1$。
【答案】
$x=1$
【知识点】
一元一次方程求解，分数拆分，提取公因式
【点评】
本题打破了一元一次方程先去分母的常规解题思路，通过观察分子与分母的数值关联拆分分数，大幅简化了计算量，核心是对数字特征的敏感度，以及提取公因式方法的灵活运用，能有效避免大数运算带来的错误。
【难度系数】
0.3

7. 已知$\frac{x - a - b}{c} + \frac{x - b - c}{a} + \frac{x - a - c}{b} = 3$，且$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ≠ 0$，试求$x$的值。

将原方程变形为$\frac{x-a-b}{c}-1+\frac{x-b-c}{a}-1+\frac{x-a-c}{b}-1=0$,所以$\frac{x-a-b-c}{c}+\frac{x-a-b-c}{a}+\frac{x-a-b-c}{b}=0$.即$(x-a-b-c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=0$.
又因为$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}≠0$,所以$x-a-b-c=0$,即$x=a+b+c$.

【分析】
观察原方程的结构，右边的常数3可以拆成3个1，分别对应左边的三个分式，每个分式减去1之后，分子可以整理出相同的公因式$(x-a-b-c)$，再把公因式提取出来，结合已知条件$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}≠0$，就可以求出x的值，这种方法比直接去分母更简便，能减少计算量。
【解析】
将原方程右边的3拆分为3个1，移项到左边与各分式配对：
$\frac{x - a - b}{c} - 1 + \frac{x - b - c}{a} - 1 + \frac{x - a - c}{b} - 1 = 0$
对每个分式通分整理分子：
$\frac{x - a - b - c}{c} + \frac{x - a - b - c}{a} + \frac{x - a - b - c}{b} = 0$
提取公因式$(x-a-b-c)$可得：
$(x - a - b - c)( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ) = 0$
已知$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ≠ 0$，因此仅当公因式为0时等式成立，即：
$x - a - b - c = 0$
解得$x = a + b + c$
【答案】
$x=a+b+c$
【知识点】
一元一次方程的解法、提公因式法、分式的运算
【点评】
本题属于一元一次方程的巧解类题目，解题的关键是观察方程结构，通过拆分常数项构造公因式，避免了直接去分母带来的复杂计算，对学生的式子变形能力和观察能力有一定要求。
【难度系数】
0.6