7. 易错题 下列说法中,正确的个数是 ()
①每个定理都有逆定理;
②每个命题都有逆命题;
③推理的过程叫证明;
④题中已知条件、已证定理、定义、基本事实都可以作为证明推理的依据.

A.1
B.2
C.3
D.4

7.C 定理的逆命题不一定为真命题,故不能称为逆定理,故①错误;易知②③④正确.

【分析】
要判断正确说法的个数，需结合命题、逆命题、定理、逆定理、证明的相关概念，对4个说法逐一判断正误，再统计正确说法的数量即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
1. 对于①：定理的逆命题不一定是真命题，只有逆命题为真命题时，才称其为原定理的逆定理，因此不是每个定理都有逆定理，①错误；
2. 对于②：命题由题设和结论两部分构成，将任意一个命题的题设和结论互换，即可得到它的逆命题，因此每个命题都有逆命题，②正确；
3. 对于③：根据证明的定义，推理的过程就叫做证明，③正确；
4. 对于④：证明推理的依据包括题中给出的已知条件、已经证明的定理、课本中的定义以及基本事实（公理），④正确。
综上，正确的说法是②③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
命题与逆命题，定理与逆定理，证明的概念及依据
【点评】
本题是概念辨析类易错题，易错点是容易误以为所有定理都存在逆定理，解题的关键是准确记忆相关基础概念，逐一甄别判断。
【难度系数】
0.7

8. 下列推理中,错误的是 ()

A.$\because AB = CD, CD = EF, \therefore AB = EF$
B.$\because ∠α = ∠β, ∠β = ∠\gamma, \therefore ∠α = ∠\gamma$
C.$\because a // b, b // c, \therefore a // c$
D.在同一平面内, $\because AB ⊥ EF, EF ⊥ CD, \therefore AB ⊥ CD$

8.D 选项A,B,可由等量代换推出,故选项A,B不符合题意;选项C,可依据“如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也平行”推出,故选项C不符合题意;选项D,在同一平面内,$\because AB ⊥ EF,EF ⊥ CD,\therefore AB// CD$,故选项D错误,符合题意.

【分析】
本题要求选出错误的推理，解题时需逐一分析每个选项的推理依据，结合所学的等量代换规则、平行线的相关公理、同一平面内垂直的性质判断对错。首先明确对应知识点：1. 等量代换规则：若两个量都等于同一个量，那么这两个量相等；2. 平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行；3. 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，带着上述知识点逐个排查选项即可。
【解析】
对各选项逐一分析：
A选项：因为$AB = CD, CD = EF$，根据等量代换规则，可得$AB = EF$，推理正确，不符合题意；
B选项：因为$∠ α = ∠ β, ∠ β = ∠ \gamma$，根据等量代换规则，可得$∠ α = ∠ \gamma$，推理正确，不符合题意；
C选项：根据平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，因此由$a// b,b// c$可推出$a// c$，推理正确，不符合题意；
D选项：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此由$AB⊥ EF,EF⊥ CD$，可推出$AB// CD$，而非$AB⊥ CD$，该推理错误，符合题意。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
等量代换；平行线的传递性；垂直的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对几何中常用推理依据的掌握，需要注意同一平面这个前提条件，不要混淆垂直和平行的相关推论，牢记定理内容即可快速判断。
【难度系数】
0.8

9. 【新趋势·代数推理】【阅读材料】在证明命题“如果$a ＞ b ＞ 0,c ＜ 0$,那么$a^2 + bc ＞ ab + ac$”时,小明的证明方法如下.
证明:因为$a ＞ b ＞ 0$,
所以$a^2 ＞$,所以$a^2 + bc ＞$.
因为$a ＞ b,c ＜ 0$,
所以$bc ＞$,所以$ab + bc ＞$,
所以$a^2 + bc ＞ ab + ac$.
【问题解决】
(1)请将上面的证明过程填写完整.
(2)有以下几个条件:①$a ＞ b$,②$a ＜ b$,③$a ＜ 0$,④$b ＜ 0$.请从中选择两个作为已知条件,得出结论$|a| ＞ |b|$.你选择的条件序号是,并给出证明过程.

9.解:(1)ab ab + bc ac ab + ac
(2)②④ 证明过程如下:
因为a ＜ b,b ＜ 0,所以a ＜ 0,所以|a| = -a,|b| = -b. 因为a ＜ b,
所以 -a ＞ -b,所以|a| ＞ |b|.

【分析】
(1) 第一问需运用不等式的基本性质逐步推导：首先已知a＞b＞0，a为正数，不等式两边同乘正数a，不等号方向不变，可得到a²与ab的大小关系，两边再加bc就能得到第一个推导结果；接下来已知a＞b且c为负数，不等式两边同乘负数c，不等号方向改变，得到bc与ac的大小关系，两边再加ab得到第二个推导结果，最后利用不等式的传递性即可证得结论。
(2) 第二问为开放类问题，要得到|a|＞|b|，可结合“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”的规律，选择能推出a、b均为负数且a＜b的条件即可，本题选择条件②和④即可满足要求，再结合绝对值的性质推导即可。
【解析】
(1) 因为$a ＞ b ＞ 0$，不等式两边同时乘正数$a$，不等号方向不变，所以$a^2 ＞ ab$，不等式两边同时加$bc$，不等号方向不变，所以$a^2 + bc ＞ ab + bc$；
因为$a ＞ b,c ＜ 0$，不等式两边同时乘负数$c$，不等号方向改变，所以$bc ＞ ac$，不等式两边同时加$ab$，不等号方向不变，所以$ab + bc ＞ ab + ac$，
因此$a^2 + bc ＞ ab + ac$。
(2) 选择条件②④，证明过程如下：
因为$a ＜ b$，$b ＜ 0$，所以$a ＜ b ＜ 0$，即$a$、$b$均为负数，根据负数的绝对值等于它的相反数，可得$|a|=-a$，$|b|=-b$；
因为$a ＜ b$，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，所以$-a ＞ -b$，因此$|a| ＞ |b|$。
【答案】
(1) $ab$；$ab + bc$；$ac$；$ab + ac$
(2) ②④，证明：因为$a ＜ b,b ＜ 0$,所以$a ＜ 0$,所以$|a| = -a$,$|b| = -b$. 因为$a ＜ b$,所以 $-a ＞ -b$,所以$|a| ＞ |b|$.
【知识点】
不等式的基本性质；绝对值的性质；代数推理证明
【点评】
本题侧重考查代数逻辑推理能力，第一问是不等式性质的基础应用，需重点注意不等式两边乘负数时不等号方向改变的易错点；第二问为开放类题型，需要结合结论反向筛选合适的条件，能有效锻炼逻辑推导的灵活性。
【难度系数】
0.7

10. 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷. 如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中$AB// CD$，$MG// FN$. 点$E$，$M$，$F$在同一直线上，点$G$，$N$，$H$在同一直线上，且$∠ F = ∠ G$.
(1)$EF$与$GH$平行吗？理由是什么？
(2)求证：$∠ AEF = ∠ GHD$(提示：延长$EF$交$CD$于点$P$).

10.(1)解:EF与GH平行.理由如下:
因为$MG// FN$,所以$∠F = ∠EMG$.
因为$∠F = ∠G$,所以$∠G = ∠EMG$,
所以$EF// GH$.
(2)证明:如图,延长EF交CD于点P,
因为$AB// CD$,所以$∠BEF + ∠MPH = 180°$.
因为$EP// GH$,所以$∠GHP + ∠MPH = 180°$,
所以$∠BEF = ∠GHP$.
因为$∠BEF = 180° - ∠AEF$,$∠GHP = 180° - ∠GHD$,
所以$∠AEF = ∠GHD$.

【分析】
（1）要判断EF与GH是否平行，可通过推导角的相等关系结合平行线判定定理求证。首先利用MG//FN的性质得到对应角相等，再结合已知∠F=∠G进行等量代换，得到能判定EF//GH的内错角相等关系即可得出结论。
（2）要证明∠AEF=∠GHD，按照提示延长EF交CD于点P构造辅助线，先利用AB//CD的性质得到∠BEF与∠MPH互补，再结合第（1）问得到的EF//GH的结论，推出∠GHP与∠MPH互补，根据同角的补角相等得到∠BEF=∠GHP，最后利用等角的补角相等即可证得最终结论。
【解析】
(1) EF与GH平行，理由如下：
因为$MG// FN$，根据两直线平行，同位角相等，可得$∠F = ∠EMG$。
又因为$∠F = ∠G$，等量代换得$∠G = ∠EMG$，根据内错角相等，两直线平行，可得$EF// GH$。
(2) 证明：延长EF交CD于点P，
因为$AB// CD$，根据两直线平行，同旁内角互补，可得$∠BEF + ∠MPH = 180°$。
由(1)知$EF// GH$，即$EP// GH$，根据两直线平行，同旁内角互补，可得$∠GHP + ∠MPH = 180°$，
根据同角的补角相等，可得$∠BEF = ∠GHP$。
因为$∠BEF = 180° - ∠AEF$，$∠GHP = 180° - ∠GHD$，根据等角的补角相等，可得$∠AEF = ∠GHD$。
【答案】
10.(1)解:EF与GH平行.理由如下:
因为$MG// FN$,所以$∠F = ∠EMG$.
因为$∠F = ∠G$,所以$∠G = ∠EMG$,
所以$EF// GH$.
(2)证明:如图,延长EF交CD于点P,
因为$AB// CD$,所以$∠BEF + ∠MPH = 180°$.
因为$EP// GH$,所以$∠GHP + ∠MPH = 180°$,
所以$∠BEF = ∠GHP$.
因为$∠BEF = 180° - ∠AEF$,$∠GHP = 180° - ∠GHD$,
所以$∠AEF = ∠GHD$.

【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；补角的性质
【点评】
本题以汉字抽象出的几何图形为背景，考查平行线的判定与性质的综合应用，解题时需结合已知条件逐步推导角的等量关系，合理构造辅助线是解决第二问的关键，侧重对基础几何推理能力的考查。
【难度系数】
0.7

11. 应用意识 湖边有A,B两个村庄(如图),从A到B有两条路可走,即路线A→P→B和路线A→Q→B.试判断哪条路更短,并说明理由.

11.解:路线A→Q→B更短.理由如下:
如图,延长AQ交BP于点E.
在△APE中,$AP + PE ＞ AQ + QE$①,
在△BEQ中,$QE + BE ＞ BQ$②,
① + ②,得$AP + PE + QE + BE ＞ AQ + QE + BQ$,
即$AP + PB ＞ AQ + BQ$,故路线A→Q→B更短.

【分析】
要判断两条路线的长短，本质是比较线段和$AP+PB$与$AQ+QB$的大小。我们学过三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可利用该性质解决线段和的大小比较问题。观察现有图形，没有直接能应用三边关系的三角形，因此考虑作辅助线构造三角形：延长$AQ$交$BP$于点$E$，得到$△ APE$和$△ BEQ$。分别在两个三角形中应用三边关系得到两个不等式，再将两个不等式相加，消去公共的$QE$，整理即可得到两条路线长度的大小关系。
【解析】
解：路线$A→Q→B$更短，理由如下：
如图，延长$AQ$交$BP$于点$E$。
根据三角形三边关系，
在$△ APE$中，两边之和大于第三边，可得$AP + PE ＞ AQ + QE$ ①，
在$△ BEQ$中，同理可得$QE + BE ＞ BQ$ ②，
将①和②左右两边分别相加，得：
$AP + PE + QE + BE ＞ AQ + QE + BQ$，
对式子进行化简：左边$PE+BE=PB$，同时两边同时减去公共项$QE$，可得：
$AP + PB ＞ AQ + BQ$，
即路线$A→P→B$的长度大于路线$A→Q→B$的长度，因此路线$A→Q→B$更短。
【答案】
路线A→Q→B更短.理由如下:
如图,延长AQ交BP于点E.
在△APE中,$AP + PE ＞ AQ + QE$①,
在△BEQ中,$QE + BE ＞ BQ$②,
① + ②,得$AP + PE + QE + BE ＞ AQ + QE + BQ$,
即$AP + PB ＞ AQ + BQ$,故路线A→Q→B更短.

【知识点】
三角形三边关系、不等式的基本性质
【点评】
本题是三角形三边关系的实际应用类题目，解题的核心是通过作辅助线构造合适的三角形，将实际的路线长度比较问题转化为数学中的线段和大小比较问题，结合不等式的性质变形即可得到结论，较好地体现了数学知识解决实际问题的应用意识。
【难度系数】
0.7