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1 教材P108练习T1·改编（2025·常州中考）如图，$\odot O$的半径为2，直径AB，CD互相垂直，则$\overset{\frown}{BC}$的长是（
A.$\dfrac{π}{4}$
B.$\dfrac{π}{2}$
C.$π$
D.$2π$
C
）。A.$\dfrac{π}{4}$
B.$\dfrac{π}{2}$
C.$π$
D.$2π$
答案
1.C
2(2025·盐城中考)如图(1)是博物馆屋顶的图片，屋顶由图(2)中的瓦片构成，瓦片横截面如图(3)所示，$\overset{\frown}{AB}$是以点O为圆心，18 cm为半径的弧，弦AB的长为18 cm，则$\overset{\frown}{AB}$的长是(
A.$24π$ cm
B.$12π$ cm
C.$10π$ cm
D.$6π$ cm
D
).A.$24π$ cm
B.$12π$ cm
C.$10π$ cm
D.$6π$ cm
答案
2.D
3 教材P107例1·改编 如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点C，D的连线交$\overset{\frown}{BC}$于点E，求$\overset{\frown}{EC}$的长为
（第3题）
$\frac{\sqrt{13}π}{4}$
。（第3题）答案
3. $\frac{\sqrt{13}π}{4}$
4 已知扇形半径为6，弧长为4π，则扇形面积为(
A.$10π$
B.$12π$
C.$16π$
D.$24π$
B
).A.$10π$
B.$12π$
C.$16π$
D.$24π$
答案
4.B
5 一个扇形的半径是3，面积为$6π$，那么这个扇形的圆心角是(
A.$260°$
B.$240°$
C.$140°$
D.$120°$
B
).A.$260°$
B.$240°$
C.$140°$
D.$120°$
答案
5.B
6 如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，使得点B落在边CD上的点B'处，则线段AB扫过的面积为
（第6题）（第7题）
$\frac{π}{3}$
.（第6题）（第7题）答案
6. $\frac{π}{3}$
7 如图，扇形OAB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为
$\frac{1}{2}$
。答案
7. $\frac{1}{2}$
8(2025·淮安金湖一模)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以腰$AB$为直径画半圆$O$,分别交$BC$,$AC$于点$D$,$E$.
(1)求证:$BD=DE$;
(2)若$∠ ABC=60°$,$AB=2$,求阴影部分弓形的面积.
(1)求证:$BD=DE$;
(2)若$∠ ABC=60°$,$AB=2$,求阴影部分弓形的面积.
答案
8. (1)如图(1)
,连接AD.∵以腰 AB 为直径画半圆O,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC.
又△ABC 为等腰三角形,
∴BD=CD,∠ABC=∠ACB.
∵A,B,D,E 四点共圆,
∴∠DEC=∠ABC,
∴∠DEC=∠ACB,
∴CD=DE,
∴BD=DE.
(2)如图(2)
,连接OE,过点 O 作OF⊥AC 于点 F.∵AB=2,
∴OA=OB=1.
∵AB=AC,∠ABC=60°,
∴△ABC 为等边三角形,
∴∠BAC=60°.
又 OA=OE,
∴△AOE 为等边三角形,
∴∠AOE=60°,OA=AE=1,OF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴$S_{阴影}=S_{扇形AOE}-S_{△AOE}=\frac{60×π×1^2}{360}-\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{π}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}$.
本题主要考查圆周角定理、等腰三角形的性质、四点共圆、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式,解题关键是:(1)根据直径所对圆周角为90°得到BD=CD,再根据四点共圆性质即可解决问题;(2)熟练掌握扇形的面积公式.
9 教材P107探究·变式 如图，在$△ BCE$中，A是边BE上一点，以AB为直径的$\odot O$与CE相切于点D，$AD// OC$，点F为OC与$\odot O$的交点，连接AF.
(1)求证：CB是$\odot O$的切线；
(2)若$∠ ECB=60°$，$AB=6$，求图中
阴影部分的面积.
（第9题）
(1)求证：CB是$\odot O$的切线；
(2)若$∠ ECB=60°$，$AB=6$，求图中
阴影部分的面积.
（第9题）答案
9. (1)连接OD,与AF相交于点G.
∵CE与⊙O相切于点D,
∴OD⊥CE,
∴∠CDO=90°.
∵AD//OC,
∴∠ADO=∠COD,∠DAO=∠COB.
∵OA=OD,
∴∠ADO=∠DAO,
∴∠COD=∠COB.
在△CDO和△CBO中,$\begin{cases} CO=CO, \\ ∠COD=∠COB, \\ OD=OB, \end{cases}$
∴△CDO≌△CBO(SAS),
∴∠CDO=∠CBO=90°.
∵OB为⊙O的半径,
∴CB是⊙O的切线.
(2)由(1)可知∠OCE=∠BCO,∠COD=∠COB.
∵∠ECB=60°,
∴∠OCE=∠OCB=30°,
∴∠COD=∠COB=60°,
∴∠AOD=60°.
∵OA=OD,
∴△OAD是等边三角形,
∴AD=OD=OF.
在△ADG和△FOG中,$\begin{cases} ∠ADG=∠FOG, \\ ∠AGD=∠FGO, \\ AD=FO, \end{cases}$
∴△ADG≌△FOG(AAS),
∴$S_{△ADG}=S_{△FOG}$.
∵AB=6,
∴⊙O的半径r=3,
∴$S_{阴影}=S_{扇形ODF}=\frac{60×π×3^2}{360}=\frac{3}{2}π$.
∵CE与⊙O相切于点D,
∴OD⊥CE,
∴∠CDO=90°.
∵AD//OC,
∴∠ADO=∠COD,∠DAO=∠COB.
∵OA=OD,
∴∠ADO=∠DAO,
∴∠COD=∠COB.
在△CDO和△CBO中,$\begin{cases} CO=CO, \\ ∠COD=∠COB, \\ OD=OB, \end{cases}$
∴△CDO≌△CBO(SAS),
∴∠CDO=∠CBO=90°.
∵OB为⊙O的半径,
∴CB是⊙O的切线.
(2)由(1)可知∠OCE=∠BCO,∠COD=∠COB.
∵∠ECB=60°,
∴∠OCE=∠OCB=30°,
∴∠COD=∠COB=60°,
∴∠AOD=60°.
∵OA=OD,
∴△OAD是等边三角形,
∴AD=OD=OF.
在△ADG和△FOG中,$\begin{cases} ∠ADG=∠FOG, \\ ∠AGD=∠FGO, \\ AD=FO, \end{cases}$
∴△ADG≌△FOG(AAS),
∴$S_{△ADG}=S_{△FOG}$.
∵AB=6,
∴⊙O的半径r=3,
∴$S_{阴影}=S_{扇形ODF}=\frac{60×π×3^2}{360}=\frac{3}{2}π$.
