10(2025·泰州靖江三模)如图,面积为6的正六边形ABCDEF中,M,N分别为边BC,EF上的动点,则阴影部分面积为().

A.2
B.3
C.4
D.5

10.A

11（2026·辽宁铁岭期末）正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固.如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形ABCDEF，则BF的长为（）.

A.12
B.$8\sqrt{2}$
C.$8\sqrt{3}$
D.$16\sqrt{3}$

11.C

12（2025·泰州海陵区三模）已知：如图，四边形ABCD是正方形，点O是其中心，以OC为边作一个正六边形，则α的度数是°。

12.105

13 手拉手模型 如图,正方形$ABCD$内接于$\odot O$,E是$\overset{\frown}{BC}$的中点,连接$AE$,$DE$,$CE$.
(1)求证:$AE=DE$;
(2)若$CE=1$,求四边形$AECD$的面积.

视频学模型

13.(1)
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
∵E是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{EC}$，
∴$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{EC}$，即$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE}$，
∴AE=DE。
(2)如图，连接BD，过点D作$DF⊥DE$交EC的延长线于点F。

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=∠DEC=45°,DA=DC。
∵∠EDF=90°,
∴∠F=90°−∠DEF=45°,
∴DE=DF。
∵∠ADC=∠EDF=90°,
即∠ADE+∠EDC=∠CDF+∠EDC=90°,
∴∠ADE=∠CDF。
在△ADE 和△CDF 中，$\begin{cases} DE=DF, \\ ∠ADE=∠CDF, \\ DA=DC, \end{cases}$
∴△ADE≌△CDF(SAS)，
∴AE=CF ,$S_{△ADE}=S_{△CDF}$ ,
∴$S_{四边形AECD}=S_{△DEF}$。
∵$EF=\sqrt{2} DE=EC+CF=EC+AE=EC+DE$,$EC=1$,
∴$1+DE=\sqrt{2} DE$,
∴$DE=\sqrt{2}+1$,
∴$S_{四边形AECD}=S_{△DEF}=\frac{1}{2} DE^2=\sqrt{2}+\frac{3}{2}$。

14 新考法 类比探究 如图，图(1)、图(2)、图(3)、…、图(n)分别是$\odot O$的内接正三角形$ABC$，正四边形$ABCD$、正五边形$ABCDE$、…、正$n$边形$ABCD···$，点$M,N$分别从点$B,C$开始以相同的速度在$\odot O$上逆时针运动。
(1)求图(1)中$∠ APN$的度数是；图(2)中，$∠ APN$的度数是，图(3)中$∠ APN$的度数是。
(2)试探索$∠ APN$的度数与正多边形边数$n$的关系。

14.(1)$60°$ $90°$ $108°$
(2)由(1)可知，$∠APN=$所在多边形的内角度数，故在图(n)中，$∠APN=\frac{(n-2)×180°}{n}$。