21 (2025·攀枝花中考)如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，与$AB$，$BC$，$CA$分别相切于点$D$，$E$，$F$，$∠ DOE=120°$，$∠ EOF=150°$。
(1)求$△ ABC$的三个内角的大小；
(2)设$\odot O$的直径为$d$，证明：$d=AB+AC-BC$。

21. (1)$\because \odot O$是$△ ABC$的内切圆，与$AB$，$BC$，$CA$分别相切于点$D$，$E$，$F$，$\therefore AB⊥OD$，$BC⊥OE$，$CA⊥OF$，
$\therefore ∠ ODB=∠ OEB=∠ OEC=∠ OFC=90°$。
$\because ∠ DOE=120°$，$∠ EOF=150°$，
$\therefore ∠ B=360°-∠ ODB-∠ OEB-∠ DOE=60°$，$∠ C=360°-∠ OEC-∠ OFC-∠ EOF=30°$，
$\therefore ∠ A=180°-∠ B-∠ C=90°$，
$\therefore ∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的度数分别为$90°$，$60°$，$30°$。
(2)$\because AD=AF$，$BD=BE$，$CF=CE$，
$\therefore BD+CF=BE+CE=BC$。
$\because AB+AC=AD+BD+CF+AF=2AF+BC$，
$\therefore 2AF=AB+AC-BC$。
$\because ∠ ODA=∠ OFA=∠ A=90°$，
$\therefore$ 四边形$ADOF$是矩形，$\therefore OD=AF$。
$\because \odot O$的直径为$d$，$OD$为$\odot O$的半径，
$\therefore d=2OD=2AF$，$\therefore d=AB+AC-BC$。

22 已知直线$ l $与$ \odot O $，AB是$ \odot O $的直径，AD⊥$ l $于点D.
(1)如图(1)，当直线$ l $与$ \odot O $相切于点C时，若$ ∠ DAC = 30° $，求$ ∠ BAC $的大小；
(2)如图(2)，当直线$ l $与$ \odot O $相交于点E，F时，若$ ∠ DAE = 18° $，求$ ∠ BAF $的大小.

22. (1)如图(1)，连接$OC$。
$\because$ 直线$l$与$\odot O$相切于点$C$，$\therefore OC⊥l$。
$\because AD⊥l$，$\therefore OC// AD$，$\therefore ∠ OCA=∠ DAC$。
$\because OA=OC$，$\therefore ∠ BAC=∠ OCA$，$\therefore ∠ BAC=∠ DAC=30°$。
(2)如图(2)，连接$BF$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ AFB=90°$，$\therefore ∠ BAF=90°-∠ B$。
$\because AD⊥l$，$∠ DAE=18°$，$\therefore ∠ AEF=∠ ADE+∠ DAE=90°+18°=108°$。
$\because$ 在$\odot O$中，四边形$ABFE$是圆的内接四边形，
$\therefore ∠ AEF+∠ B=180°$，$\therefore ∠ B=180°-108°=72°$，
$\therefore ∠ BAF=90°-∠ B=90°-72°=18°$。

23 新考法 无刻度直尺作图 小明家的房前有一块空地，空地上有三棵树A,B,C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上。
(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)若在$△ ABC$中，$AB=8$米，$AC=6$米，$∠ BAC=90°$，试求小明家圆形花坛的面积.

23. (1)用尺规作出$AB$，$BC$两边的垂直平分线，两垂直平分线交于点$O$，以$O$为圆心，$OA$长为半径作出$\odot O$即为所求作的花园的位置，如图所示。
(2)$\because ∠ BAC=90°$，$AB=8$米，$AC=6$米，$\therefore BC=10$米。
$\therefore △ ABC$外接圆的半径为5米。
$\therefore$ 小明家圆形花坛的面积为$25π$平方米。

24 在$\odot O$中，半径$OC$垂直于弦$AB$，垂足为$D$，$∠ AOC=60°$，$E$为弦$AB$所对的优弧上一点。
(1)如图(1)，求$∠ AOB$和$∠ CEB$的大小；
(2)如图(2)，$CE$与$AB$相交于点$F$，$EF=EB$，过点$E$作$\odot O$的切线，与$CO$的延长线相交于点$G$，若$OA=3$，求$EG$的长。
（第24题）

24. (1)$\because$ 半径$OC$垂直于弦$AB$，$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore ∠ BOC=∠ AOC=60°$，
$\therefore ∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=120°$。
$\because ∠ CEB=\dfrac{1}{2}∠ BOC$，$\therefore ∠ CEB=30°$。
(2)如图，连接$OE$。
$\because$ 半径$OC⊥AB$，$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\therefore ∠ AOC=∠ BOC=60°$，
$\therefore ∠ CEB=\dfrac{1}{2}∠ BOC=30°$。
$\because EF=EB$，$\therefore ∠ EFB=∠ EBF=75°$，
$\therefore ∠ DFC=∠ EFB=75°$，
$\therefore ∠ DCF=90°-∠ DFC=15°$。
$\because OE=OC$，$\therefore ∠ C=∠ OEC=15°$，
$\therefore ∠ EOG=∠ C+∠ OEC=30°$。
$\because GE$与$\odot O$相切于点$E$，
$\therefore ∠ OEG=90°$，$OE=OA=3$，$\therefore EG=\sqrt{3}$。