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1[中]如果$M=x^2+3x+12$，$N=-x^2+3x-5$，那么$M$与$N$的大小关系是（
A.$M＞N$
B.$M＜N$
C.$M=N$
D.无法确定
A
）A.$M＞N$
B.$M＜N$
C.$M=N$
D.无法确定
答案
【解析】因为 $M = x^2 + 3x + 12, N = -x^2 + 3x - 5$, 所以 $M-N = (x^2 + 3x + 12) - (-x^2 + 3x - 5) = x^2 + 3x + 12 + x^2 - 3x + 5 = 2x^2 + 17$. 因为不论 $x$ 为何值, 都有 $2x^2 \ge 0$, 所以 $2x^2 + 17 ＞ 0$, 所以 $M-N＞0$, 所以 $M＞N$, 故选 A.
2[2026浙江绍兴期中,中]将三个正方形以紧贴的方式放进长方形ABCD中(如图(1)),再将第四个正方形LFHJ放入,恰好紧贴长方形ABCD(如图(2)),记长方形AEML、正方形RNOQ、长方形IHCT的周长分别为$l_1$,$l_2$,$l_3$,若要知道$2(l_1+l_3)-l_2$的长度,只需知道 (
A.正方形EBGS的边长
B.正方形NOQR的边长
C.正方形KPTD的边长
D.正方形LFHJ的边长
D
)A.正方形EBGS的边长
B.正方形NOQR的边长
C.正方形KPTD的边长
D.正方形LFHJ的边长
答案
【解析】设长方形 $ABCD$ 的宽 $AB=m$, 正方形 $EBGS$ 的边长为 $a$, 正方形 $KPTD$ 的边长为 $b$, 正方形 $NOQR$ 的边长为 $c$, 则长方形 $ABCD$ 的长 $BC=a+b+c$, 正方形 $LFHJ$ 的边长为 $m$, $AE=m-a$, 所以 $EM+CH=BF+CH=a+b+c-m$, $CT=m-b$, 所以 $l_1+l_3=2(m-a)+2(m-b)+2(a+b+c-m)=2m+2c$, 所以 $2(l_1+l_3)-l_2=2(2m+2c)-4c=4m$. 因为正方形 $LFHJ$ 的边长为 $m$, 所以要知道 $2(l_1+l_3)-l_2$ 的长度, 只需知道正方形 $LFHJ$ 的边长. 故选 D.
3[2025浙江诸暨期中，中]若关于x,y的多项式$(7mxy - 0.75y^3) - 2(2x^2y + 3xy)$化简后不含二次项，则m的值为
$\dfrac{6}{7}$
。答案
【解析】$(7mxy - 0.75y^3) - 2(2x^2y + 3xy) = 7mxy - 0.75y^3 - 4x^2y - 6xy = -0.75y^3 + (7m - 6)xy - 4x^2y$. 因为化简后不含二次项, 所以 $7m - 6 = 0$, 解得 $m = \dfrac{6}{7}$. 故答案为 $\dfrac{6}{7}$.
4[2025湖南衡阳期中,中]学习代数式求值时,遇到“代数式$ax - y + 6 + 3x - 5y - 1$的值与x的取值无关,求a的值”这样一类题,通常的解题方法如下:把x,y看作字母,a看作常数,合并同类项,因为代数式的值与x的取值无关,所以合并后的结果中含x项的系数为0,即原式$=(a+3)x -6y +5$,所以$a+3=0$,则$a=-3$.
(1)若关于x的多项式$(2x - 3)m + 2m^2 - 3x$的值与x的取值无关,求m的值;
(2)有7个如图(1)所示的小长方形,其长为a,宽为b,按照图(2)方式不重叠地放在大长方形ABCD内,大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分),设右上角的面积为$S_1$,左下角的面积为$S_2$,当AB的长变化时,$S_1 - S_2$的值始终保持不变,求a与b之间的数量关系.
刷素养 走向重高
(1)若关于x的多项式$(2x - 3)m + 2m^2 - 3x$的值与x的取值无关,求m的值;
(2)有7个如图(1)所示的小长方形,其长为a,宽为b,按照图(2)方式不重叠地放在大长方形ABCD内,大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分),设右上角的面积为$S_1$,左下角的面积为$S_2$,当AB的长变化时,$S_1 - S_2$的值始终保持不变,求a与b之间的数量关系.
刷素养 走向重高
答案
(1) $(2x - 3)m + 2m^2 - 3x = 2mx - 3m + 2m^2 - 3x = (2m - 3)x + 2m^2 - 3m$. 因为其值与 $x$ 的取值无关, 所以 $2m - 3 = 0$, 解得 $m = \dfrac{3}{2}$.
(2) 设 $AB=x$, 由题图可知 $S_1 - S_2 = (ax - 3ab) - (2bx - 4ab) = (a - 2b)x + ab$, 因为当 $AB$ 的长变化时, $S_1 - S_2$ 的值始终保持不变, 所以 $S_1 - S_2$ 的值与 $x$ 的取值无关, 所以 $a - 2b = 0$, 所以 $a = 2b$.
(2) 设 $AB=x$, 由题图可知 $S_1 - S_2 = (ax - 3ab) - (2bx - 4ab) = (a - 2b)x + ab$, 因为当 $AB$ 的长变化时, $S_1 - S_2$ 的值始终保持不变, 所以 $S_1 - S_2$ 的值与 $x$ 的取值无关, 所以 $a - 2b = 0$, 所以 $a = 2b$.
5 核心素养运算能力 [2026 江苏南京期末,较难]【知识背景】
定义1:已知一个关于x,y的多项式$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f$,如果把其中所有的x,y互换,所得的结果都与原式相同,则称此多项式是关于x,y的“二元对称多项式”.如$x+y,x^2+3xy+y^2$都是关于x,y的“二元对称多项式”.
定义2:若整式组$[A,B,C]$($A,B,C$是关于x,y的整式)中的三个整式满足两个条件:
①整式C是“二元对称多项式”;
②整式A,B通过相加或相减可得到整式C.
我们把这样的整式组称为“二元对称关联式”.
例如:$[x^2+3xy,y^2,x^2+3xy+y^2],[2x^2-xy-y^2,x^2-xy-2y^2,x^2+y^2],[-x^2+y^2+xy,2xy+2y^2,x^2+xy+y^2]$都是“二元对称关联式”.
【知识应用】
(1)若$[A,xy+y^2,x^2-2xy+y^2]$是“二元对称关联式”,写出所有符合条件的整式A.
(2)已知$[m^2x^2+n^2y^2+mx+y,-3x^2+x+my-4my^2,x^2+y^2+nx+ny]$是关于x,y的整式组($m,n$为常数,$mn≠0$),这个整式组能否为“二元对称关联式”?若能,分别求出$m,n$的值;若不能,说明理由.
定义1:已知一个关于x,y的多项式$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f$,如果把其中所有的x,y互换,所得的结果都与原式相同,则称此多项式是关于x,y的“二元对称多项式”.如$x+y,x^2+3xy+y^2$都是关于x,y的“二元对称多项式”.
定义2:若整式组$[A,B,C]$($A,B,C$是关于x,y的整式)中的三个整式满足两个条件:
①整式C是“二元对称多项式”;
②整式A,B通过相加或相减可得到整式C.
我们把这样的整式组称为“二元对称关联式”.
例如:$[x^2+3xy,y^2,x^2+3xy+y^2],[2x^2-xy-y^2,x^2-xy-2y^2,x^2+y^2],[-x^2+y^2+xy,2xy+2y^2,x^2+xy+y^2]$都是“二元对称关联式”.
【知识应用】
(1)若$[A,xy+y^2,x^2-2xy+y^2]$是“二元对称关联式”,写出所有符合条件的整式A.
(2)已知$[m^2x^2+n^2y^2+mx+y,-3x^2+x+my-4my^2,x^2+y^2+nx+ny]$是关于x,y的整式组($m,n$为常数,$mn≠0$),这个整式组能否为“二元对称关联式”?若能,分别求出$m,n$的值;若不能,说明理由.
答案
(1) 令 $B = xy + y^2, C = x^2 - 2xy + y^2$.
①当 $C = A + B$ 时, $A = C - B = x^2 - 2xy + y^2 - (xy + y^2) = x^2 - 2xy + y^2 - xy - y^2 = x^2 - 3xy$;
②当 $C = A - B$ 时, $A = C + B = x^2 - 2xy + y^2 + (xy + y^2) = x^2 - 2xy + y^2 + xy + y^2 = x^2 - xy + 2y^2$;
③当 $C = B - A$ 时, $A = B - C = xy + y^2 - (x^2 - 2xy + y^2) = xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2 = -x^2 + 3xy$.
综上所述, 整式 $A$ 可以是 $x^2 - 3xy$, $x^2 - xy + 2y^2$, $-x^2 + 3xy$.
(2) 能为“二元对称关联式”. 令 $A = m^2x^2 + n^2y^2 + mx + y, B = -3x^2 + x + my - 4my^2, C = x^2 + y^2 + nx + ny$.
①当 $C = A + B$ 时, $x^2 + y^2 + nx + ny = m^2x^2 + n^2y^2 + mx + y - 3x^2 + x + my - 4my^2 = (m^2 - 3)x^2 + (n^2 - 4m)y^2 + (m + 1)x + (m + 1)y$, 所以 $m^2 - 3 = 1, n^2 - 4m = 1, m + 1 = n$, 所以 $m^2 = 4$, 所以 $m = \pm 2$. 当 $m=2$ 时, $n=3$; 当 $m=-2$ 时, $n=-1$, 此时 $n^2 - 4m ≠ 1$, 舍去.
②当 $C = A - B$ 时, $x^2 + y^2 + nx + ny = m^2x^2 + n^2y^2 + mx + y - (-3x^2 + x + my - 4my^2) = (m^2 + 3)x^2 + (n^2 + 4m)y^2 + (m - 1)x + (1 - m)y$, 此时 $m^2 + 3 = 1$, $m^2 = -2$ 不成立, 舍去.
③当 $C = B - A$ 时, $x^2 + y^2 + nx + ny = -3x^2 + x + my - 4my^2 - (m^2x^2 + n^2y^2 + mx + y) = (-m^2 - 3)x^2 + (-n^2 - 4m)y^2 + (1 - m)x + (m - 1)y$, 此时 $-m^2 - 3 = 1$, $m^2 = -4$ 不成立, 舍去.
综上所述, 当 $m=2, n=3$ 时, 这个整式组能为“二元对称关联式”.
①当 $C = A + B$ 时, $A = C - B = x^2 - 2xy + y^2 - (xy + y^2) = x^2 - 2xy + y^2 - xy - y^2 = x^2 - 3xy$;
②当 $C = A - B$ 时, $A = C + B = x^2 - 2xy + y^2 + (xy + y^2) = x^2 - 2xy + y^2 + xy + y^2 = x^2 - xy + 2y^2$;
③当 $C = B - A$ 时, $A = B - C = xy + y^2 - (x^2 - 2xy + y^2) = xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2 = -x^2 + 3xy$.
综上所述, 整式 $A$ 可以是 $x^2 - 3xy$, $x^2 - xy + 2y^2$, $-x^2 + 3xy$.
(2) 能为“二元对称关联式”. 令 $A = m^2x^2 + n^2y^2 + mx + y, B = -3x^2 + x + my - 4my^2, C = x^2 + y^2 + nx + ny$.
①当 $C = A + B$ 时, $x^2 + y^2 + nx + ny = m^2x^2 + n^2y^2 + mx + y - 3x^2 + x + my - 4my^2 = (m^2 - 3)x^2 + (n^2 - 4m)y^2 + (m + 1)x + (m + 1)y$, 所以 $m^2 - 3 = 1, n^2 - 4m = 1, m + 1 = n$, 所以 $m^2 = 4$, 所以 $m = \pm 2$. 当 $m=2$ 时, $n=3$; 当 $m=-2$ 时, $n=-1$, 此时 $n^2 - 4m ≠ 1$, 舍去.
②当 $C = A - B$ 时, $x^2 + y^2 + nx + ny = m^2x^2 + n^2y^2 + mx + y - (-3x^2 + x + my - 4my^2) = (m^2 + 3)x^2 + (n^2 + 4m)y^2 + (m - 1)x + (1 - m)y$, 此时 $m^2 + 3 = 1$, $m^2 = -2$ 不成立, 舍去.
③当 $C = B - A$ 时, $x^2 + y^2 + nx + ny = -3x^2 + x + my - 4my^2 - (m^2x^2 + n^2y^2 + mx + y) = (-m^2 - 3)x^2 + (-n^2 - 4m)y^2 + (1 - m)x + (m - 1)y$, 此时 $-m^2 - 3 = 1$, $m^2 = -4$ 不成立, 舍去.
综上所述, 当 $m=2, n=3$ 时, 这个整式组能为“二元对称关联式”.
