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1. 一题多解 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB＜60°$,BD平分$∠ ABC$,交AC于点D,点E在线段BD上(点E不与点B,D重合),且$∠ EAB=2∠ ECB$.求证:$AE+AB=BC$.
答案
证法1(截长法):如图①
,在 BC 上截取BF= AB,连接 EF.∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
在△ABE与△FBE中,
$\{\begin{array}{l} AB=FB,\\ ∠ABE=∠FBE,\\ BE=BE,\end{array} $
∴△ABE≌△FBE(SAS),
∴AE=EF,∠EAB=∠EFB.
∵∠EAB=2∠ECB,∠EFB=∠FEC+∠ECB,
∴2∠ECB=∠FEC+∠ECB,
∴∠ECB=∠FEC,
∴易证 EF=FC.
∴AE=FC.
∵BC=BF+FC,
∴AE+AB=BC.
证法2(补短法):如图②
,延长 BA,使 AF=AE,连接 EF.∴∠AFE=∠AEF.
∵∠EAB=2∠ECB,∠BAE=∠AFE+∠AEF,
∴∠AFE=∠BCE.
∵BD平分∠ABC,
∴∠FBE=∠CBE.
在△FBE和△CBE中,
$\{\begin{array}{l} ∠AFE=∠BCE,\\ ∠FBE=∠CBE,\\ BE=BE,\end{array} $
∴△FBE≌△CBE(AAS),
∴BF=BC,即 AB+AF=BC,
∴AE+AB=BC.
解析
【分析】
要证明两条线段的和等于第三条线段，通常采用“截长补短法”求解：①截长法：在较长线段BC上截取一段等于AB，证明剩余线段长度等于AE；②补短法：将较短线段BA延长，补上长度等于AE的线段，证明延长后的总长度等于BC。两种方法都可结合角平分线的条件构造全等三角形，再利用已知的角的倍数关系推导角相等，进而证明对应线段相等即可得结论。
【解析】
证法1(截长法):
如图①,在 BC 上截取BF= AB,连接 EF.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
在△ABE与△FBE中,
$\{\begin{array}{l} AB=FB,\\ ∠ABE=∠FBE,\\ BE=BE,\end{array} $
∴△ABE≌△FBE(SAS),
∴AE=EF,∠EAB=∠EFB.
∵∠EAB=2∠ECB，且根据三角形外角性质，∠EFB=∠FEC+∠ECB,
∴2∠ECB=∠FEC+∠ECB,
化简得∠ECB=∠FEC,
∴EF=FC（等角对等边）,
∴AE=FC.
∵BC=BF+FC,
∴代入等量关系得AE+AB=BC。
证法2(补短法):
如图②,延长 BA,使 AF=AE,连接 EF.
∴∠AFE=∠AEF（等边对等角）.
∵∠EAB=2∠ECB，且根据三角形外角性质，∠BAE=∠AFE+∠AEF,
∴2∠AFE=2∠ECB，即∠AFE=∠BCE.
∵BD平分∠ABC,
∴∠FBE=∠CBE.
在△FBE和△CBE中,
$\{\begin{array}{l} ∠AFE=∠BCE,\\ ∠FBE=∠CBE,\\ BE=BE,\end{array} $
∴△FBE≌△CBE(AAS),
∴BF=BC,即 AB+AF=BC,
代入AF=AE得AE+AB=BC。
【答案】
证法1(截长法):如图①,在 BC 上截取BF= AB,连接 EF.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
在△ABE与△FBE中,
$\{\begin{array}{l} AB=FB,\\ ∠ABE=∠FBE,\\ BE=BE,\end{array} $
∴△ABE≌△FBE(SAS),
∴AE=EF,∠EAB=∠EFB.
∵∠EAB=2∠ECB,∠EFB=∠FEC+∠ECB,
∴2∠ECB=∠FEC+∠ECB,
∴∠ECB=∠FEC,
∴易证 EF=FC.
∴AE=FC.
∵BC=BF+FC,
∴AE+AB=BC.
证法2(补短法):如图②,延长 BA,使 AF=AE,连接 EF.
∴∠AFE=∠AEF.
∵∠EAB=2∠ECB,∠BAE=∠AFE+∠AEF,
∴∠AFE=∠BCE.
∵BD平分∠ABC,
∴∠FBE=∠CBE.
在△FBE和△CBE中,
$\{\begin{array}{l} ∠AFE=∠BCE,\\ ∠FBE=∠CBE,\\ BE=BE,\end{array} $
∴△FBE≌△CBE(AAS),
∴BF=BC,即 AB+AF=BC,
∴AE+AB=BC.
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的定义
3. 截长补短法
【点评】
本题是线段和差关系证明的典型题型，通过截长、补短两种不同的辅助线构造思路，结合全等三角形的性质与判定即可完成证明，有助于掌握构造全等三角形的常用方法，拓宽解题思路，培养多角度思考问题的能力。
【难度系数】
0.6
要证明两条线段的和等于第三条线段，通常采用“截长补短法”求解：①截长法：在较长线段BC上截取一段等于AB，证明剩余线段长度等于AE；②补短法：将较短线段BA延长，补上长度等于AE的线段，证明延长后的总长度等于BC。两种方法都可结合角平分线的条件构造全等三角形，再利用已知的角的倍数关系推导角相等，进而证明对应线段相等即可得结论。
【解析】
证法1(截长法):
如图①
,在 BC 上截取BF= AB,连接 EF.∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
在△ABE与△FBE中,
$\{\begin{array}{l} AB=FB,\\ ∠ABE=∠FBE,\\ BE=BE,\end{array} $
∴△ABE≌△FBE(SAS),
∴AE=EF,∠EAB=∠EFB.
∵∠EAB=2∠ECB，且根据三角形外角性质，∠EFB=∠FEC+∠ECB,
∴2∠ECB=∠FEC+∠ECB,
化简得∠ECB=∠FEC,
∴EF=FC（等角对等边）,
∴AE=FC.
∵BC=BF+FC,
∴代入等量关系得AE+AB=BC。
证法2(补短法):
如图②
,延长 BA,使 AF=AE,连接 EF.∴∠AFE=∠AEF（等边对等角）.
∵∠EAB=2∠ECB，且根据三角形外角性质，∠BAE=∠AFE+∠AEF,
∴2∠AFE=2∠ECB，即∠AFE=∠BCE.
∵BD平分∠ABC,
∴∠FBE=∠CBE.
在△FBE和△CBE中,
$\{\begin{array}{l} ∠AFE=∠BCE,\\ ∠FBE=∠CBE,\\ BE=BE,\end{array} $
∴△FBE≌△CBE(AAS),
∴BF=BC,即 AB+AF=BC,
代入AF=AE得AE+AB=BC。
【答案】
证法1(截长法):如图①
,在 BC 上截取BF= AB,连接 EF.∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
在△ABE与△FBE中,
$\{\begin{array}{l} AB=FB,\\ ∠ABE=∠FBE,\\ BE=BE,\end{array} $
∴△ABE≌△FBE(SAS),
∴AE=EF,∠EAB=∠EFB.
∵∠EAB=2∠ECB,∠EFB=∠FEC+∠ECB,
∴2∠ECB=∠FEC+∠ECB,
∴∠ECB=∠FEC,
∴易证 EF=FC.
∴AE=FC.
∵BC=BF+FC,
∴AE+AB=BC.
证法2(补短法):如图②
,延长 BA,使 AF=AE,连接 EF.∴∠AFE=∠AEF.
∵∠EAB=2∠ECB,∠BAE=∠AFE+∠AEF,
∴∠AFE=∠BCE.
∵BD平分∠ABC,
∴∠FBE=∠CBE.
在△FBE和△CBE中,
$\{\begin{array}{l} ∠AFE=∠BCE,\\ ∠FBE=∠CBE,\\ BE=BE,\end{array} $
∴△FBE≌△CBE(AAS),
∴BF=BC,即 AB+AF=BC,
∴AE+AB=BC.
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的定义
3. 截长补短法
【点评】
本题是线段和差关系证明的典型题型，通过截长、补短两种不同的辅助线构造思路，结合全等三角形的性质与判定即可完成证明，有助于掌握构造全等三角形的常用方法，拓宽解题思路，培养多角度思考问题的能力。
【难度系数】
0.6
2. 如图,在△ABC中,∠ABC的平分线BD交∠ACB的平分线CE于点O.
(1)求证$:∠BOC=\frac{1}{2}∠A +90°.$
(2)如图①,若∠A=60°,请写出BE,CD,BC的数量关系,并说明理由.
(3)如图②,∠A=90°,F是ED的中点,连接FO.
①求证:BC−BE−CD=2OF.
②延长FO交BC于点G,若OF=2,△DEO的面积为10,直接写出OG的长.
(1)求证$:∠BOC=\frac{1}{2}∠A +90°.$
(2)如图①,若∠A=60°,请写出BE,CD,BC的数量关系,并说明理由.
(3)如图②,∠A=90°,F是ED的中点,连接FO.
①求证:BC−BE−CD=2OF.
②延长FO交BC于点G,若OF=2,△DEO的面积为10,直接写出OG的长.
答案
(1)【证明】
∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,
∴$∠OBC=\frac{1}{2}∠ABC,∠OCB=\frac{1}{2}∠ACB,$
∴$∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)=180°-\frac{1}{2}(180°-∠A)=\frac{1}{2}∠A+90°.$
(2)【解】BE+CD=BC.理由如下:如图①
,在 BC 上截取BM=BE,连接 OM.∵$∠BOC=\frac{1}{2}∠A+90°=120°$,
∴∠BOE=∠COD=60°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠EBO=∠MBO.
又
∵OB=OB,BE=BM,
∴△BOE≌△BOM,
∴∠BOE=∠BOM=60°,
∴∠MOC=60°=∠DOC.
∵CE平分∠ACB,
∴∠DCO=∠MCO.
在△DCO与△MCO中,$\{\begin{array}{l} ∠DCO=∠MCO,\\ OC=OC,\\ ∠DOC=∠MOC,\end{array} $
∴△DCO≌△MCO,
∴CM=CD,
∴BC=BM+CM=BE+CD.
(3)①【证明】如图②
,延长 OF 到点 M,使 FM=OF,连接EM,∴OM=2OF.
∵F是ED的中点,
∴EF=DF.
∵∠DFO=∠EFM,
∴△ODF≌△MEF,
∴OD=EM,∠M=∠DOM,
∴EM//OD.
由(1)可知$∠DOE=∠BOC=\frac{1}{2}×90°+90°=135°$,
∴∠MEO=∠BOE=∠COD=45°.
过点O作CE,BD的垂线,分别交 BC 于点 K,H,
∴∠OCK+∠OKC=90°.
∵∠A=90°,
∴∠ACE+∠AEC=90°.
易知∠ACE=∠OCK,
∴∠AEO=∠OKC,
∴∠BEO=∠BKO.易知∠EBO=∠KBO.
∵BO=BO,
∴△OBE≌△OBK,
∴OE=OK,BE=BK,∠BOK=∠BOE=45°.
同理可得 OH=OD=EM,CD=CH,∠COH=∠COD=45°.
∴∠KOH=45°=∠OEM.
∴△OME≌△KHO.
∴KH=OM,
∴KH=2OF.
∵BC-BK-CH=KH=2OF,
∴BC-BE-CD=2OF.
②【解】OG=5.
【点拨】如图②
,∵△OME≌△KHO,
∴∠COG=∠EOM=∠OKH,
∴∠OKG+∠KOG=∠COG+∠KOG=90°,
∴∠OGK=90°,
∴FG⊥BC.
由①可知 KH=2OF=4,△ODF≌△MEF,
∴$S_{△ODF}=S_{△MEF}$,
∴$S_{△DEO}=S_{△OME}=S_{△KHO}=10$,
∴$\frac{1}{2}KH·OG=10$,即$\frac{1}{2}×4OG=10$,
∴OG=5.
解析
【分析】
(1) 本问推导三角形双角平分线的夹角与顶角的关系，先利用角平分线定义将∠OBC、∠OCB用∠ABC、∠ACB表示，再结合三角形内角和定理，把∠ABC+∠ACB替换为180°-∠A，化简即可得到∠BOC与∠A的数量关系。
(2) 探究三条线段的数量关系采用截长补短思路：在BC上截取与BE等长的线段BM，先证△BOE≌△BOM得到对应角相等，再结合(1)的结论推出∠MOC=∠COD，进而证△DCO≌△MCO得到CD=CM，即可推出三条线段的和差关系。
(3) ①要证明含2倍OF的线段关系，已知F是ED中点，优先用倍长中线构造全等：延长OF到M使FM=OF，证△ODF≌△MEF得到OD=EM；再结合角平分线性质构造△OBE≌△OBK、△OCD≌△OCH，将BE、CD分别转化为BK、CH；最后证△OME≌△KHO得到KH=OM=2OF，即可推出结论。
②由前面的全等关系可推出OG⊥BC，且△KHO的面积与△DEO的面积相等，结合KH的长度，用三角形面积公式即可求出OG的长。
【解析】
(1) 证明：
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴$∠OBC=\frac{1}{2}∠ABC,∠OCB=\frac{1}{2}∠ACB$，
∴$∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)=180°-\frac{1}{2}(180°-∠A)=\frac{1}{2}∠A+90°$。
(2) 解：BE+CD=BC，理由如下：
如图①，在BC上截取BM=BE，连接OM。
∵$∠BOC=\frac{1}{2}∠A+90°=\frac{1}{2}×60°+90°=120°$，
∴∠BOE=∠COD=60°。
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBO=∠MBO。
又
∵OB=OB，BE=BM，
∴△BOE≌△BOM，
∴∠BOE=∠BOM=60°，
∴∠MOC=∠BOC-∠BOM=120°-60°=60°=∠DOC。
∵CE平分∠ACB，
∴∠DCO=∠MCO。
在△DCO与△MCO中，$\{\begin{array}{l} ∠DCO=∠MCO,\\ OC=OC,\\ ∠DOC=∠MOC,\end{array} $
∴△DCO≌△MCO，
∴CM=CD，
∴BC=BM+CM=BE+CD。
(3) ①证明：
如图②，延长OF到点M，使FM=OF，连接EM，
∴OM=2OF。
∵F是ED的中点，
∴EF=DF。
∵∠DFO=∠EFM，
∴△ODF≌△MEF，
∴OD=EM，∠M=∠DOM，
∴EM//OD。
由(1)可知$∠DOE=∠BOC=\frac{1}{2}×90°+90°=135°$，
∴∠MEO=∠BOE=∠COD=45°。
过点O作CE、BD的垂线，分别交BC于点K、H，
∴∠OCK+∠OKC=90°。
∵∠A=90°，
∴∠ACE+∠AEC=90°。
易知∠ACE=∠OCK，
∴∠AEO=∠OKC，
∴∠BEO=∠BKO。
易知∠EBO=∠KBO，
∵BO=BO，
∴△OBE≌△OBK，
∴OE=OK，BE=BK，∠BOK=∠BOE=45°。
同理可得OH=OD=EM，CD=CH，∠COH=∠COD=45°。
∴∠KOH=∠BOC-∠BOK-∠COH=135°-45°-45°=45°=∠OEM。
在△OME和△KHO中，$\{\begin{array}{l} EM=OH,\\ ∠OEM=∠KOH,\\ OE=OK,\end{array} $
∴△OME≌△KHO，
∴KH=OM，
∴KH=2OF。
∵BC-BK-CH=KH=2OF，
∴BC-BE-CD=2OF。
②解：
如图②，
∵△OME≌△KHO，
∴∠COG=∠EOM=∠OKH，
∴∠OKG+∠KOG=∠COG+∠KOG=∠COK=90°，
∴∠OGK=90°，即FG⊥BC。
由①可知KH=2OF=4，且△ODF≌△MEF，
∴$S_{△ODF}=S_{△MEF}$，
∴$S_{△DEO}=S_{△OME}=S_{△KHO}=10$，
∴$\frac{1}{2}KH·OG=10$，即$\frac{1}{2}×4×OG=10$，解得OG=5。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $\boldsymbol{BE+CD=BC}$，理由见解析；
(3) ①证明成立；②$\boldsymbol{OG=5}$。
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形综合题，围绕角平分线、全等三角形的核心知识展开，考查了截长补短、倍长中线等常用的几何辅助线构造方法，解题的关键是根据线段、角的特征合理添加辅助线，将未知的等量关系转化为已知关系，对逻辑推理和几何综合分析能力有较高要求。
【难度系数】
0.3
(1) 本问推导三角形双角平分线的夹角与顶角的关系，先利用角平分线定义将∠OBC、∠OCB用∠ABC、∠ACB表示，再结合三角形内角和定理，把∠ABC+∠ACB替换为180°-∠A，化简即可得到∠BOC与∠A的数量关系。
(2) 探究三条线段的数量关系采用截长补短思路：在BC上截取与BE等长的线段BM，先证△BOE≌△BOM得到对应角相等，再结合(1)的结论推出∠MOC=∠COD，进而证△DCO≌△MCO得到CD=CM，即可推出三条线段的和差关系。
(3) ①要证明含2倍OF的线段关系，已知F是ED中点，优先用倍长中线构造全等：延长OF到M使FM=OF，证△ODF≌△MEF得到OD=EM；再结合角平分线性质构造△OBE≌△OBK、△OCD≌△OCH，将BE、CD分别转化为BK、CH；最后证△OME≌△KHO得到KH=OM=2OF，即可推出结论。
②由前面的全等关系可推出OG⊥BC，且△KHO的面积与△DEO的面积相等，结合KH的长度，用三角形面积公式即可求出OG的长。
【解析】
(1) 证明：
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴$∠OBC=\frac{1}{2}∠ABC,∠OCB=\frac{1}{2}∠ACB$，
∴$∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)=180°-\frac{1}{2}(180°-∠A)=\frac{1}{2}∠A+90°$。
(2) 解：BE+CD=BC，理由如下：
如图①
，在BC上截取BM=BE，连接OM。∵$∠BOC=\frac{1}{2}∠A+90°=\frac{1}{2}×60°+90°=120°$，
∴∠BOE=∠COD=60°。
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBO=∠MBO。
又
∵OB=OB，BE=BM，
∴△BOE≌△BOM，
∴∠BOE=∠BOM=60°，
∴∠MOC=∠BOC-∠BOM=120°-60°=60°=∠DOC。
∵CE平分∠ACB，
∴∠DCO=∠MCO。
在△DCO与△MCO中，$\{\begin{array}{l} ∠DCO=∠MCO,\\ OC=OC,\\ ∠DOC=∠MOC,\end{array} $
∴△DCO≌△MCO，
∴CM=CD，
∴BC=BM+CM=BE+CD。
(3) ①证明：
如图②
，延长OF到点M，使FM=OF，连接EM，∴OM=2OF。
∵F是ED的中点，
∴EF=DF。
∵∠DFO=∠EFM，
∴△ODF≌△MEF，
∴OD=EM，∠M=∠DOM，
∴EM//OD。
由(1)可知$∠DOE=∠BOC=\frac{1}{2}×90°+90°=135°$，
∴∠MEO=∠BOE=∠COD=45°。
过点O作CE、BD的垂线，分别交BC于点K、H，
∴∠OCK+∠OKC=90°。
∵∠A=90°，
∴∠ACE+∠AEC=90°。
易知∠ACE=∠OCK，
∴∠AEO=∠OKC，
∴∠BEO=∠BKO。
易知∠EBO=∠KBO，
∵BO=BO，
∴△OBE≌△OBK，
∴OE=OK，BE=BK，∠BOK=∠BOE=45°。
同理可得OH=OD=EM，CD=CH，∠COH=∠COD=45°。
∴∠KOH=∠BOC-∠BOK-∠COH=135°-45°-45°=45°=∠OEM。
在△OME和△KHO中，$\{\begin{array}{l} EM=OH,\\ ∠OEM=∠KOH,\\ OE=OK,\end{array} $
∴△OME≌△KHO，
∴KH=OM，
∴KH=2OF。
∵BC-BK-CH=KH=2OF，
∴BC-BE-CD=2OF。
②解：
如图②
，∵△OME≌△KHO，
∴∠COG=∠EOM=∠OKH，
∴∠OKG+∠KOG=∠COG+∠KOG=∠COK=90°，
∴∠OGK=90°，即FG⊥BC。
由①可知KH=2OF=4，且△ODF≌△MEF，
∴$S_{△ODF}=S_{△MEF}$，
∴$S_{△DEO}=S_{△OME}=S_{△KHO}=10$，
∴$\frac{1}{2}KH·OG=10$，即$\frac{1}{2}×4×OG=10$，解得OG=5。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $\boldsymbol{BE+CD=BC}$，理由见解析；
(3) ①证明成立；②$\boldsymbol{OG=5}$。
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形综合题，围绕角平分线、全等三角形的核心知识展开，考查了截长补短、倍长中线等常用的几何辅助线构造方法，解题的关键是根据线段、角的特征合理添加辅助线，将未知的等量关系转化为已知关系，对逻辑推理和几何综合分析能力有较高要求。
【难度系数】
0.3
