5. 新题型动手操作题 素材:两张边长不等的正方形卡纸.
把大正方形卡纸ABCD和小正方形卡纸BEFG按如图①所示摆放(点A,B,E在同一条直线上),点H是边AB上一点,连接DH,HF,沿DH,HF裁剪之后,可拼接成为图②所示的一个正方形图案.
(1)若$S_{正方形ABCD}=7\ \mathrm{cm}^2$,$S_{正方形BEFG}=3\ \mathrm{cm}^2$,则$S_{图②正方形}=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}^2$.
(2)试根据题意判断$△ ADH$与$△ EHF$是否全等?并说明理由.

(1)10
(2)$△ADH≌△EHF$.理由如下：
$\because$题图②为正方形,$\therefore DH⊥FH,DH=FH.$
$\because$四边形$ABCD$和四边形$BEFG$均是正方形，
$\therefore ∠DAH=∠FEH=90°,$
$\therefore ∠AHD+∠ADH=∠AHD+∠EHF=90°,$
$\therefore ∠ADH=∠EHF,\therefore △ADH≌△EHF(AAS).$

【分析】
(1) 裁剪拼接图形的过程中没有增减材料，图形总面积保持不变，因此图②新正方形的面积等于原来两个正方形的面积之和，直接求和即可得到结果。
(2) 要判断两个三角形是否全等，先从已知条件找对应边、对应角的关系：首先由拼接后是正方形可得DH与FH垂直且相等，再结合两个正方形的直角性质，利用“同角的余角相等”得到一组锐角相等，最后用AAS判定定理即可证明全等。
【解析】
(1) 解：
∵裁剪拼接前后图形的总面积不变，
∴$S_{图②正方形}=S_{正方形ABCD}+S_{正方形BEFG}=7+3=10\ \mathrm{cm}^2$。
(2) $△ADH≌△EHF$，理由如下：
∵题图②为正方形，
∴$DH=FH$，且$DH⊥FH$，即$∠DHF=90°$，
∴$∠AHD+∠EHF=180°-∠DHF=90°$，
∵四边形ABCD和四边形BEFG均是正方形，
∴$∠DAH=∠FEH=90°$，
∴在$Rt△ADH$中，$∠ADH+∠AHD=90°$，
∴$∠ADH=∠EHF$，
在$△ADH$和$△EHF$中：
$\{\begin{array}{l}∠DAH=∠FEH\\∠ADH=∠EHF\\DH=FH\end{array} $
∴$△ADH≌△EHF(AAS)$。
【答案】
(1) $\boxed{10}$
(2) $\boxed{△ADH≌△EHF}$，理由见解析
【知识点】
1. 正方形的性质
2. 全等三角形的判定
3. 割补法求面积
【点评】
本题结合动手剪拼操作考查几何基础知识，解题时抓住剪拼前后面积不变、边的等量关系是突破口，既考查了基础定理的应用，也锻炼了图形转换的思维能力。
【难度系数】
0.7

6. ★★ 教材母题 教材$P_{117}$复习题$T_{12}$变式 将一个等腰直角三角板的直角顶点$C$放在直线$l$上，从另两个顶点向$l$作垂线，现要探究两垂线段长度与两垂足间的距离的数量关系.
已知$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，过点$A$作$AD⊥ l$，垂足为$D$，过点$B$作$BE⊥ l$，垂足为$E$.

(1)如图①，线段$DE$，$AD$，$BE$之间的数量关系是.
(2)如图②，此情形下(1)的结论是否仍然成立？并说明理由.
(3)如图③，此情形下若$BE=7$，$AD=3$，求阴影部分的面积.

(1)$DE=AD+BE$
(2)不成立.
理由:$\because AD⊥l,BE⊥l,\therefore ∠ADC=∠CEB=90°.$
$\because ∠ACB=90°,$
$\therefore ∠DCA+∠BCE=90°=∠DAC+∠DCA,$
$\therefore ∠DAC=∠ECB.$
在$△ADC$和$△CEB$中,$\begin{cases} ∠ADC=∠CEB,\\ ∠DAC=∠ECB,\\ AC=BC, \end{cases}$
$\therefore △ADC≌△CEB(AAS),\therefore CD=BE,AD=CE.$
$\because DE=CE-CD,\therefore DE=AD-BE.$
(3)易知$DE=BE-AD=7-3=4,$
$\therefore S_{阴影}=\frac{1}{2}DE· AD=\frac{1}{2}×4×3=6.$

【分析】
本题属于“一线三垂直”全等模型的应用，解题核心是证明△ADC和△CEB全等，再结合线段的和差推导关系：
1. 解决(1)时，先根据垂直得到直角，结合∠ACB=90°推导相等的角，利用AAS证明两个三角形全等，得到对应边相等，再观察DE是DC和CE的和，替换对应边即可得到结论；
2. 解决(2)时，和(1)的全等证明思路一致，仅图形位置发生变化，DE变为CE和CD的差，对应替换后即可判断原结论是否成立；
3. 解决(3)时，同样先证全等得到对应边长度，算出DE的长，再根据三角形面积公式计算阴影部分面积即可。
【解析】
(1) 证明：
∵$AD⊥l$，$BE⊥l$，
∴$∠ADC=∠CEB=90°$，
∵$∠ACB=90°$，
∴$∠ACD+∠BCE=90°$，
又
∵$∠ACD+∠CAD=90°$，
∴$∠CAD=∠BCE$，
在$△ ADC$和$△ CEB$中，
$\begin{cases} ∠ADC=∠CEB \\ ∠CAD=∠BCE \\ AC=BC \end{cases}$
∴$△ ADC≌△ CEB(AAS)$，
∴$AD=CE$，$CD=BE$，
∵$DE=CD+CE$，
∴$DE=AD+BE$。
(2) 不成立，理由如下：
∵$AD⊥l$，$BE⊥l$，
∴$∠ADC=∠CEB=90°$，
∵$∠ACB=90°$，
∴$∠DCA+∠BCE=90°$，
又
∵$∠DAC+∠DCA=90°$，
∴$∠DAC=∠ECB$，
在$△ ADC$和$△ CEB$中，
$\begin{cases} ∠ADC=∠CEB \\ ∠DAC=∠ECB \\ AC=BC \end{cases}$
∴$△ ADC≌△ CEB(AAS)$，
∴$CD=BE$，$AD=CE$，
∵$DE=CE-CD$，
∴$DE=AD-BE$，故(1)的结论不成立。
(3) 同理可证$△ ADC≌△ CEB(AAS)$，
∴$CD=BE=7$，$CE=AD=3$，
∴$DE=CD-CE=7-3=4$，
阴影部分是底为DE，高为AD的三角形，
∴$S_{阴影}=\frac{1}{2}DE·AD=\frac{1}{2}×4×3=6$。
【答案】
(1)$DE=AD+BE$
(2)不成立，此时$DE=AD-BE$
(3)$6$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是“一线三垂直”全等模型的典型变式题，同一全等关系在不同图形位置下会得到不同的线段和差结论，解题时需结合图形分析线段的组成关系，熟练掌握该模型能快速解决同类几何探究问题。
【难度系数】
0.6

7. 如图，四边形ABCD中，∠B=90°，连接AC，且AC=AD，点E在边BC上，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若AB=AF。求证：
(1)∠DAF=∠CAB；
(2)DF=EF+CE.

(1)【证明】$\because AF⊥DE,\therefore ∠AFD=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ADF$和$\mathrm{Rt}△ACB$中,$\begin{cases} AD=AC,\\ AF=AB, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ADF≌\mathrm{Rt}△ACB. \therefore ∠DAF=∠CAB.$
(2)连接$AE$,由(1)可得$△ADF≌△ACB,\therefore DF=CB,$
在$\mathrm{Rt}△AEF$和$\mathrm{Rt}△AEB$中,$\begin{cases} AE=AE,\\ AF=AB, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△AEF≌\mathrm{Rt}△AEB. \therefore EF=EB.$
$\because BC=BE+CE=EF+CE,\therefore DF=EF+CE.$

【分析】
(1) 要证明∠DAF=∠CAB，可通过证明两角所在的三角形全等推导。已知∠AFD和∠B均为直角，且给出AD=AC、AF=AB，符合直角三角形全等的HL判定条件，先证Rt△ADF≌Rt△ACB，即可得到对应角相等。
(2) 要证明DF=EF+CE，属于线段和差类证明，优先采用等量代换思路：由(1)的全等结论可得DF=BC，而BC=BE+CE，因此只需证明EF=BE即可。连接AE后，Rt△AEF和Rt△AEB有公共斜边AE，且AF=AB，再次用HL判定全等即可得到EF=BE，代入等量关系即可得证。
【解析】
(1) 证明：
$\because AF⊥DE,\therefore ∠AFD=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ADF$和$\mathrm{Rt}△ACB$中,
$\begin{cases} AD=AC,\\ AF=AB, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ADF≌\mathrm{Rt}△ACB(\mathrm{HL})， \therefore ∠DAF=∠CAB.$
(2) 证明：
连接$AE$,由(1)可得$△ADF≌△ACB,\therefore DF=CB,$
在$\mathrm{Rt}△AEF$和$\mathrm{Rt}△AEB$中,
$\begin{cases} AE=AE,\\ AF=AB, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△AEF≌\mathrm{Rt}△AEB(\mathrm{HL})， \therefore EF=EB.$
$\because BC=BE+CE=EF+CE,\therefore DF=EF+CE.$
【答案】
(1) $∠ DAF=∠ CAB$，证明见解析；
(2) $DF=EF+CE$，证明见解析。
【知识点】
HL判定全等，全等三角形性质，线段和差证明
【点评】
本题是三角形全等的综合应用题，第一问可直接利用HL判定直角三角形全等求解，第二问通过添加辅助线构造全等三角形，将待证的线段和差关系转化为同一直线上的线段和，体现了转化的数学思想，是全等三角形应用的常见题型。
【难度系数】
0.7