1. 如图,已知$AB=AD,BC=DE$,且$∠CAD=10°$,
$∠B=∠D=25°,∠EAB=120°$,直线$BC$交$AD$于
点$F$,交$ED$于点$G$,则$∠EGF$的度数
为.

115° 【点拨】$\because AB=AD,∠B=∠D,BC=DE$,
$\therefore △ABC≌△ADE(SAS).\therefore ∠DAE=∠CAB.$
$\because ∠EAB=120°,∠CAD=10°,$
$\therefore ∠EAD=∠CAB=\frac{1}{2}×(120°-10°)=55°,$
$\therefore ∠DAB=65°.$
$\because ∠GFD=∠AFB,∠B=∠D=25°,$
$\therefore ∠DGB=∠DAB=65°,∴∠EGF=115°.$

【分析】
解题时首先从已知的边、角相等条件入手，优先判断能否证明三角形全等：已知AB=AD、∠B=∠D、BC=DE，符合SAS全等判定条件，可证△ABC≌△ADE，得到对应角∠DAE=∠CAB；再结合∠EAB、∠CAD的度数，可求出∠CAB的大小，进一步得到∠BAD的度数；最后利用对顶角相等、三角形内角和定理推导∠DGB与∠BAD相等，再根据邻补角的性质即可求出∠EGF的度数。
【解析】
1. 证明三角形全等：
∵ $AB=AD$，$∠B=∠D$，$BC=DE$，
∴ $△ ABC≌△ ADE(\mathrm{SAS})$，
∴ $∠DAE=∠CAB$。
2. 计算$∠CAB$的度数：
已知$∠EAB=120°$，$∠CAD=10°$，且$∠EAB=∠DAE+∠CAD+∠CAB$，
代入得：$2∠CAB +10°=120°$，
解得$∠CAB=∠DAE=\frac{1}{2}×(120°-10°)=55°$。
3. 计算$∠DAB$的度数：
$∠DAB=∠CAB+∠CAD=55°+10°=65°$。
4. 推导$∠DGB$的度数：
在$△ AFB$和$△ DFG$中，$∠GFD=∠AFB$（对顶角相等），$∠D=∠B=25°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠DGB=∠DAB=65°$。
5. 计算$∠EGF$的度数：
∵ $∠EGF$与$∠DGB$互为邻补角，
∴ $∠EGF=180°-∠DGB=180°-65°=115°$。
【答案】
$115°$
【知识点】
SAS判定三角形全等、三角形内角和定理、邻补角的性质
【点评】
本题属于全等三角形与角度计算的综合题，解题的核心是先通过全等三角形得到对应角相等，再结合角的和差关系、三角形内角和、邻补角的性质逐步推导，考查了学生的逻辑推理能力和对几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

2. 2026·石家庄期中 新题型·变式探究题 数学活动课上，嘉淇制作了两个三角板(即$△ ABC$和$△ DBE$)，$BA=BC$，$BE=BD$，$∠ DBE=∠ ABC=90°$。
(1)当两个三角板如图①所示的位置摆放时，$D,B,C$在同一直线上，连接$AD,CE$，线段$AD$与$CE$之间的数量关系是，位置关系是；
(2)当三角板$ABC$保持不动时，将三角板$DBE$绕点$B$顺时针旋转到如图②所示的位置，那么(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由。

(1)$AD=CE;AD⊥CE$ 【点拨】
如图①,延长$DA$交$CE$于点$H$,
在$△ADB$和$△CEB$中,$\begin{cases} BD=BE,\\ ∠DBA=∠EBC,\\ AB=CB, \end{cases}$$\therefore △ADB≌△CEB(SAS),\therefore AD=CE,∠ADB=∠CEB,$
又$\because ∠DAB=∠EAH,\therefore ∠DBA=∠EHA=90°,$
$\therefore AD⊥CE.$
(2)仍然成立,理由如下:如图②,延长$DA,EC$交于点$H$,设$BD,EH$交于点$O$,
$\because ∠DBE=∠ABC=90°,$
$\therefore ∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC,$
$\therefore ∠ABD=∠CBE,$
在$△ADB$和$△CEB$中,$\begin{cases} BD=BE,\\ ∠ABD=∠CBE,\\ AB=CB, \end{cases}$
$\therefore △ADB≌△CEB(SAS),$
$\therefore AD=CE,∠ADB=∠CEB,$
又$\because ∠DOH=∠EOB,$
$\therefore ∠DHO=∠EBD=90°,$
$\therefore AD⊥CE.$
点方法 解决动态几何问题要抓住以下两点：
(1)明确图形在变化前后,哪些关系发生了变化,哪些关系没有发生变化,变化前的等角、等线段在变化后是否仍然相等;(2)几种变化图形之间,梳理思路存在内在联系,变化后的结论与解题思路都可以借鉴变化之前的.

【分析】
(1) 要判断AD和CE的数量与位置关系，可先结合已知的等边、等角条件，通过SAS证明△ADB和△CEB全等，直接得到两条线段的数量关系；再延长DA交CE于一点，利用全等三角形对应角相等、对顶角相等，推导两条线段的夹角为90°，即可得到位置关系。
(2) 旋转后判断结论是否成立，仍沿用(1)的解题思路：先利用两个90°角同时加公共角∠DBC，推导得到△ADB和△CEB的夹角相等，再通过SAS证明两三角形全等得到线段相等，最后通过角的等量代换证明两条线段垂直即可。
【解析】
(1) 如图①，延长$DA$交$CE$于点$H$，
在$△ADB$和$△CEB$中，
$\begin{cases} BD=BE,\\ ∠DBA=∠EBC=90°,\\ AB=CB, \end{cases}$
$\therefore △ADB≌△CEB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AD=CE$，$∠ADB=∠CEB$，
又$\because ∠DAB=∠EAH$（对顶角相等），结合三角形内角和为180°，
$\therefore ∠EHA=∠DBA=90°$，
$\therefore AD⊥CE$。
(2) (1)中的结论仍然成立，理由如下：
如图②，延长$DA$、$EC$交于点$H$，设$BD$、$EH$交于点$O$，
$\because ∠DBE=∠ABC=90°$，
$\therefore ∠ABC+∠DBC=∠DBE+∠DBC$，即$∠ABD=∠CBE$，
在$△ADB$和$△CEB$中，
$\begin{cases} BD=BE,\\ ∠ABD=∠CBE,\\ AB=CB, \end{cases}$
$\therefore △ADB≌△CEB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AD=CE$，$∠ADB=∠CEB$，
又$\because ∠DOH=∠EOB$（对顶角相等），结合三角形内角和为180°，
$\therefore ∠DHO=∠EBD=90°$，
$\therefore AD⊥CE$。
【答案】
(1) $AD=CE$；$AD⊥ CE$ 【点拨】
(2) (1)中的结论仍然成立，理由如上。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 旋转的性质
3. 垂直的判定
【点评】
本题属于动态几何探究类题型，解题核心是抓住图形旋转过程中的不变量（相等的边、相等的角），可将特殊位置的解题思路迁移到一般位置求解，能有效锻炼逻辑推理能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6

3. 如图，已知$AB=AE$，$AB// DE$，$∠ DAB=70°$，$∠ E=40°$。
(1)求$∠ DAE$的度数；
(2)若$∠ B=30°$，求证：$AD=BC$。

(1)【解】$\because AB// DE,\therefore ∠CAB=∠E=40°.$
$\because ∠DAB=70°,\therefore ∠DAE=∠DAB-∠CAB=30°.$
(2)【证明】由(1)得$∠DAE=30°=∠B.$
又$\because AE=AB,∠E=∠CAB,$
$\therefore △DAE≌△CBA(SAS),\therefore AD=BC.$

【分析】
(1) 求∠DAE的度数时，已知∠DAB的度数，只需先求出∠CAB的度数即可。由AB//DE，根据平行线的内错角相等性质，可得到∠CAB与∠E相等，代入∠E的度数求出∠CAB后，用∠DAB减去∠CAB就能得到∠DAE的度数。
(2) 证明AD=BC时，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。已知AB=AE，由(1)的结论可得∠DAE=∠B，再结合平行线得到的∠E=∠CAB，即可证明△DAE和△CBA全等，根据全等三角形对应边相等即可得证。
【解析】
(1) 解：$\because AB// DE$，根据两直线平行，内错角相等，
$\therefore ∠CAB=∠E=40^{\circ }$，
又$\because ∠DAB=70^{\circ }$，
$\therefore ∠DAE=∠DAB-∠CAB=70^{\circ }-40^{\circ }=30^{\circ }$。
(2) 证明：由(1)得$∠DAE=30^{\circ }$，已知$∠B=30^{\circ }$，
$\therefore ∠DAE=∠B$，
在$△ DAE$和$△ CBA$中：
$\{\begin{array}{l}∠ DAE=∠ B\\ AE=AB\\ ∠ E=∠ CAB\end{array} $
$\therefore △ DAE≌△ CBA(ASA)$，
$\therefore AD=BC$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
(1) $∠ DAE=30°$；
(2) 证明成立，$AD=BC$。
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，主要考查平行线性质和全等三角形的应用，通过平行线推导等角、利用全等三角形证明线段相等是几何的常用解题思路，解题时要注意准确对应全等三角形的角和边。
【难度系数】
0.8

4. 如图，在$△ ABC$中，$D$为边$BC$上一点，$E$为边$BA$上一点，且$AE=CD$，连接$AD$，$F$为$AD$的中点。连接$EF$并延长，交$AC$于点$G$，在$FG$上截取点$H$，使$FH=FE$，连接$DH$，$GD$，若$HG=CG$。求证：(1)$△ AEF ≌ △ DHF$；(2)$∠ B=2∠ GDC$。

(1)【证明】$\because$点$F$是$AD$的中点,$\therefore AF=DF.$
在$△AEF$和$△DHF$中,$\begin{cases} AF=DF,\\ ∠AFE=∠DFH,\\ FE=FH, \end{cases}$
$\therefore △AEF≌△DHF(SAS).$
(2)$\because △AEF≌△DHF,$
$\therefore AE=DH,∠EAF=∠HDF,$
$\therefore AB// DH,\therefore ∠B=∠HDC.$
$\because AE=CD,\therefore DH=CD.$
在$△HGD$和$△CGD$中,$\begin{cases} DH=CD,\\ HG=CG,\\ DG=DG, \end{cases}$
$\therefore △HGD≌△CGD(SSS),\therefore ∠HDG=∠CDG.$
$\therefore ∠HDC=2∠GDC. \therefore ∠B=2∠GDC.$

【分析】
(1) 证明三角形全等需要找到三组对应相等的元素，本题要证△AEF≌△DHF：首先由F是AD中点，可得AF=DF；题干已知FH=FE；又∠AFE和∠DFH是对顶角，天然相等，刚好符合SAS全等判定的条件，可直接证明。
(2) 要推导∠B和∠GDC的倍数关系，先利用(1)的全等结论，得到对应边AE=DH，对应角∠EAF=∠HDF，由内错角相等可推出AB//DH，因此∠B=∠HDC；再结合题干AE=CD，等量代换得DH=CD，结合已知HG=CG和公共边DG，可用SSS判定△HGD≌△CGD，得到∠HDG=∠CDG，即∠HDC=2∠GDC，最终通过等量代换得到∠B=2∠GDC。
【解析】
(1) 证明：$\because$点$F$是$AD$的中点，$\therefore AF=DF$。
在$△AEF$和$△DHF$中，
$\begin{cases} AF=DF,\\ ∠AFE=∠DFH,\\ FE=FH, \end{cases}$
$\therefore △AEF≌△DHF(SAS)$。
(2) 证明：$\because △AEF≌△DHF$，
$\therefore AE=DH,∠EAF=∠HDF$，
$\therefore AB// DH$，$\therefore ∠B=∠HDC$。
$\because AE=CD$，$\therefore DH=CD$。
在$△HGD$和$△CGD$中，
$\begin{cases} DH=CD,\\ HG=CG,\\ DG=DG, \end{cases}$
$\therefore △HGD≌△CGD(SSS)$，$\therefore ∠HDG=∠CDG$。
$\therefore ∠HDC=2∠GDC$，$\therefore ∠B=2∠GDC$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{△AEF≌△DHF}$得证；
(2) $\boldsymbol{∠B=2∠GDC}$得证。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 平行线的判定与性质
【点评】
本题围绕三角形全等的判定和性质展开，第一问属于基础全等证明，直接提取题干已知条件即可完成；第二问需要结合前一问的结论，通过边、角的等量转化，逐步推导角的倍数关系，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6