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1 已知点I为$△ ABC$的内心，$∠ BIC=130°$，则$∠ BAC$的度数是 （
A.$65°$
B.$75°$
C.$80°$
D.$100°$
C
）A.$65°$
B.$75°$
C.$80°$
D.$100°$
答案
1.C
解析
【分析】
解题的核心是利用三角形内心的性质，结合三角形内角和定理逐步推导：首先明确内心是三角形内角平分线的交点，因此IB、IC分别平分∠ABC和∠ACB；先在△BIC中求出∠IBC与∠ICB的和，再根据角平分线的性质推出∠ABC与∠ACB的和，最后在△ABC中用内角和定理计算∠BAC的度数即可。
【解析】
∵点I为△ABC的内心
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，即$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△BIC中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ IBC+∠ ICB=180°-∠ BIC=180°-130°=50°$
∴$∠ ABC+∠ ACB=2(∠ IBC+∠ ICB)=2×50°=100°$
在△ABC中，$∠ BAC=180°-(∠ ABC+∠ ACB)=180°-100°=80°$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考察对三角形内心定义的掌握，结合角平分线性质和内角和定理即可快速求解，牢记内心是三角形三条内角平分线的交点是解题的前提。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用三角形内心的性质，结合三角形内角和定理逐步推导：首先明确内心是三角形内角平分线的交点，因此IB、IC分别平分∠ABC和∠ACB；先在△BIC中求出∠IBC与∠ICB的和，再根据角平分线的性质推出∠ABC与∠ACB的和，最后在△ABC中用内角和定理计算∠BAC的度数即可。
【解析】
∵点I为△ABC的内心
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，即$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△BIC中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ IBC+∠ ICB=180°-∠ BIC=180°-130°=50°$
∴$∠ ABC+∠ ACB=2(∠ IBC+∠ ICB)=2×50°=100°$
在△ABC中，$∠ BAC=180°-(∠ ABC+∠ ACB)=180°-100°=80°$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考察对三角形内心定义的掌握，结合角平分线性质和内角和定理即可快速求解，牢记内心是三角形三条内角平分线的交点是解题的前提。
【难度系数】
0.8
2 如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，$∠ ABC = 50°$，$∠ ACB = 80°$，则$∠ BOC$的度数为（
A.$125°$
B.$120°$
C.$115°$
D.$100°$
C
）A.$125°$
B.$120°$
C.$115°$
D.$100°$
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内切圆的相关性质：三角形内切圆的圆心（内心）是三角形三个内角角平分线的交点，因此BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线。先利用角平分线的性质求出∠OBC和∠OCB的度数，再根据三角形内角和为180°，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，
∴点O是$△ ABC$的内心，即BO平分$∠ ABC$，CO平分$∠ ACB$，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$，
已知$∠ ABC=50°$，$∠ ACB=80°$，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}×50°=25°$，$∠ OCB=\frac{1}{2}×80°=40°$，
在$△ BOC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ BOC=180°-∠ OBC-∠ OCB=180°-25°-40°=115°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形内切圆与内心的相关知识，解题的关键是明确内心是三角形内角平分线的交点，结合角平分线性质和三角形内角和即可求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形内切圆的相关性质：三角形内切圆的圆心（内心）是三角形三个内角角平分线的交点，因此BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线。先利用角平分线的性质求出∠OBC和∠OCB的度数，再根据三角形内角和为180°，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，
∴点O是$△ ABC$的内心，即BO平分$∠ ABC$，CO平分$∠ ACB$，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$，
已知$∠ ABC=50°$，$∠ ACB=80°$，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}×50°=25°$，$∠ OCB=\frac{1}{2}×80°=40°$，
在$△ BOC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ BOC=180°-∠ OBC-∠ OCB=180°-25°-40°=115°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形内切圆与内心的相关知识，解题的关键是明确内心是三角形内角平分线的交点，结合角平分线性质和三角形内角和即可求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
3（易错题）有下列说法：① 任意一个三角形有且只有一个内切圆；② 三角形的内心都在三角形的内部；③ 三角形的内心到三角形各顶点的距离相等；④ 三角形的内心与三角形各顶点的连线分别平分这个三角形的三个内角.其中,正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3.C
易错分析：易混淆三角形的内心与外心的概念而误以为③也正确。
易错分析：易混淆三角形的内心与外心的概念而误以为③也正确。
解析
【分析】
本题考查三角形内切圆及内心的相关性质，解题时需先明确三角形内心是三条内角平分线的交点、是内切圆的圆心，再逐一判断四个说法的正误，注意区分内心与外心的性质差异，避免混淆两类特殊点的特点。
【解析】
三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心，据此逐一判断：
1. 对于说法①：任意三角形的三条内角平分线交于唯一确定的点，以该点为圆心、点到任意一边的距离为半径作圆，即为三角形唯一的内切圆，因此任意三角形有且只有一个内切圆，①正确；
2. 对于说法②：任意三角形的三条内角平分线都位于三角形内部，因此其交点（内心）一定在三角形内部，②正确；
3. 对于说法③：三角形的内心到三角形各边的距离相等，到三角形三个顶点距离相等的是三角形的外心（三边垂直平分线的交点），因此③错误；
4. 对于说法④：因为内心是三条内角平分线的交点，因此内心与各顶点的连线就是对应内角的角平分线，能够平分这个三角形的三个内角，④正确。
综上，正确的说法为①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形内切圆概念；三角形内心的性质；角平分线的性质
【点评】
本题属于易错题，解题的核心是准确区分三角形内心与外心的性质，避免将“内心到各边距离相等”和“外心到各顶点距离相等”的特点混淆，牢记两类特殊点的定义和性质即可轻松解题。
【难度系数】
0.6
本题考查三角形内切圆及内心的相关性质，解题时需先明确三角形内心是三条内角平分线的交点、是内切圆的圆心，再逐一判断四个说法的正误，注意区分内心与外心的性质差异，避免混淆两类特殊点的特点。
【解析】
三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心，据此逐一判断：
1. 对于说法①：任意三角形的三条内角平分线交于唯一确定的点，以该点为圆心、点到任意一边的距离为半径作圆，即为三角形唯一的内切圆，因此任意三角形有且只有一个内切圆，①正确；
2. 对于说法②：任意三角形的三条内角平分线都位于三角形内部，因此其交点（内心）一定在三角形内部，②正确；
3. 对于说法③：三角形的内心到三角形各边的距离相等，到三角形三个顶点距离相等的是三角形的外心（三边垂直平分线的交点），因此③错误；
4. 对于说法④：因为内心是三条内角平分线的交点，因此内心与各顶点的连线就是对应内角的角平分线，能够平分这个三角形的三个内角，④正确。
综上，正确的说法为①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形内切圆概念；三角形内心的性质；角平分线的性质
【点评】
本题属于易错题，解题的核心是准确区分三角形内心与外心的性质，避免将“内心到各边距离相等”和“外心到各顶点距离相等”的特点混淆，牢记两类特殊点的定义和性质即可轻松解题。
【难度系数】
0.6
4 如图，$△ ABC$ 的周长为 $20\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，$\odot O$ 是$△ ABC$ 的内切圆，$\odot O$ 的切线 $MN$ 与 $AB$，$CA$ 分别相交于点 $M$，$N$，则$△ AMN$ 的周长为（
A.$14\ \mathrm{cm}$
B.$8\ \mathrm{cm}$
C.$7\ \mathrm{cm}$
D.$9\ \mathrm{cm}$
B
）A.$14\ \mathrm{cm}$
B.$8\ \mathrm{cm}$
C.$7\ \mathrm{cm}$
D.$9\ \mathrm{cm}$
答案
4.B
解析
【分析】
解题需运用切线长定理，思路如下：第一步先根据△ABC的周长和BC的长度求出AB与AC的长度和；第二步结合切线长定理，得到从B、C两点引出的内切圆切线长之和等于BC的长度，进而求出从A点引出的两条内切圆切线长的和；第三步再根据MN是内切圆的切线，将△AMN的周长转化为从A点引出的两条切线长之和，即可算出结果。
【解析】
设⊙O与AB、BC、AC的切点分别为E、D、F，MN与⊙O的切点为Q。
根据切线长定理可得：$BD=BE$，$CD=CF$，$ME=MQ$，$NF=NQ$。
已知$△ ABC$的周长为$20\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，
则$AB+AC=20-BC=20-6=14\ \mathrm{cm}$，
且$BE+CF=BD+CD=BC=6\ \mathrm{cm}$，
因此$AE+AF=(AB-BE)+(AC-CF)=(AB+AC)-(BE+CF)=14-6=8\ \mathrm{cm}$。
$△ AMN$的周长为：
$\begin{aligned}AM+MN+AN&=AM+MQ+QN+AN\\&=AM+ME+NF+AN\\&=AE+AF\\&=8\ \mathrm{cm}\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题是切线长定理的典型应用题型，解题关键是通过切线长相等的性质，将未知三角形的周长转化为可求的切线长之和，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
解题需运用切线长定理，思路如下：第一步先根据△ABC的周长和BC的长度求出AB与AC的长度和；第二步结合切线长定理，得到从B、C两点引出的内切圆切线长之和等于BC的长度，进而求出从A点引出的两条内切圆切线长的和；第三步再根据MN是内切圆的切线，将△AMN的周长转化为从A点引出的两条切线长之和，即可算出结果。
【解析】
设⊙O与AB、BC、AC的切点分别为E、D、F，MN与⊙O的切点为Q。
根据切线长定理可得：$BD=BE$，$CD=CF$，$ME=MQ$，$NF=NQ$。
已知$△ ABC$的周长为$20\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，
则$AB+AC=20-BC=20-6=14\ \mathrm{cm}$，
且$BE+CF=BD+CD=BC=6\ \mathrm{cm}$，
因此$AE+AF=(AB-BE)+(AC-CF)=(AB+AC)-(BE+CF)=14-6=8\ \mathrm{cm}$。
$△ AMN$的周长为：
$\begin{aligned}AM+MN+AN&=AM+MQ+QN+AN\\&=AM+ME+NF+AN\\&=AE+AF\\&=8\ \mathrm{cm}\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题是切线长定理的典型应用题型，解题关键是通过切线长相等的性质，将未知三角形的周长转化为可求的切线长之和，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
5（易错题）如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，$D$，$E$，$F$分别为切点。若$∠ DEF = 54°$，则$∠ BAC =$
72°
。答案
5.72°
易错分析：需利用“四边形内角和”和“切线性质”推导，对性质应用不熟练的学生易出错。
易错分析：需利用“四边形内角和”和“切线性质”推导，对性质应用不熟练的学生易出错。
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：已知圆周角∠DEF的度数，要求∠BAC的度数，已知圆是三角形的内切圆，D、F是AB、AC边上的切点。首先我们需要将圆周角和待求角建立联系：第一步连接圆心与两个切点OD、OF，根据切线的性质可得OD⊥AB、OF⊥AC，得到两个直角；第二步根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出圆心角∠DOF的度数；最后在四边形ADOF中，利用四边形内角和为360°，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
连接$OD$、$OF$，
∵ $\odot O$是$△ ABC$的内切圆，$D$、$F$分别为$AB$、$AC$边上的切点，
∴ $OD⊥ AB$，$OF⊥ AC$，即$∠ ADO=∠ AFO=90°$。
∵ 同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ DEF=54°$，
∴ $∠ DOF=2∠ DEF=2×54°=108°$。
∵ 四边形$ADOF$的内角和为$360°$，
∴ $∠ BAC + ∠ ADO + ∠ AFO + ∠ DOF = 360°$，
代入数值得：$∠ BAC=360° - 90° - 90° - 108°=72°$。
【答案】
$72°$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题属于易错题，核心是结合内切圆的性质构造辅助线，将已知圆周角和待求角放到同一个四边形中计算角度。解题时容易出现的错误是混淆同弧所对圆心角和圆周角的倍数关系，或忘记切线垂直于过切点的半径这一关键性质，导致无法建立角度关系求解。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件：已知圆周角∠DEF的度数，要求∠BAC的度数，已知圆是三角形的内切圆，D、F是AB、AC边上的切点。首先我们需要将圆周角和待求角建立联系：第一步连接圆心与两个切点OD、OF，根据切线的性质可得OD⊥AB、OF⊥AC，得到两个直角；第二步根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出圆心角∠DOF的度数；最后在四边形ADOF中，利用四边形内角和为360°，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
连接$OD$、$OF$，
∵ $\odot O$是$△ ABC$的内切圆，$D$、$F$分别为$AB$、$AC$边上的切点，
∴ $OD⊥ AB$，$OF⊥ AC$，即$∠ ADO=∠ AFO=90°$。
∵ 同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ DEF=54°$，
∴ $∠ DOF=2∠ DEF=2×54°=108°$。
∵ 四边形$ADOF$的内角和为$360°$，
∴ $∠ BAC + ∠ ADO + ∠ AFO + ∠ DOF = 360°$，
代入数值得：$∠ BAC=360° - 90° - 90° - 108°=72°$。
【答案】
$72°$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题属于易错题，核心是结合内切圆的性质构造辅助线，将已知圆周角和待求角放到同一个四边形中计算角度。解题时容易出现的错误是混淆同弧所对圆心角和圆周角的倍数关系，或忘记切线垂直于过切点的半径这一关键性质，导致无法建立角度关系求解。
【难度系数】
0.7
6 若三角形的面积是$24\ \mathrm{cm}^2$，周长是$24\ \mathrm{cm}$，则这个三角形内切圆的半径为
2
$\mathrm{cm}.$答案
6.2
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内切圆的相关面积公式：三角形的面积等于内切圆半径与三角形周长乘积的一半。本题已经给出三角形的面积和周长，只需将已知量代入公式，解出未知量内切圆半径即可。
【解析】
设该三角形内切圆的半径为$r\ \mathrm{cm}$。
根据三角形面积与内切圆半径的关系公式：
$S_{\mathrm{三角形}}=\frac{1}{2} × r × \mathrm{三角形周长}$
将$S=24\ \mathrm{cm}^2$，周长$=24\ \mathrm{cm}$代入上式，得：
$24=\frac{1}{2} × r × 24$
化简计算：
$12r=24$
解得$r=2$
【答案】
2
【知识点】
三角形内切圆面积公式，一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查三角形内切圆半径和面积、周长的数量关系，熟练掌握对应公式即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形内切圆的相关面积公式：三角形的面积等于内切圆半径与三角形周长乘积的一半。本题已经给出三角形的面积和周长，只需将已知量代入公式，解出未知量内切圆半径即可。
【解析】
设该三角形内切圆的半径为$r\ \mathrm{cm}$。
根据三角形面积与内切圆半径的关系公式：
$S_{\mathrm{三角形}}=\frac{1}{2} × r × \mathrm{三角形周长}$
将$S=24\ \mathrm{cm}^2$，周长$=24\ \mathrm{cm}$代入上式，得：
$24=\frac{1}{2} × r × 24$
化简计算：
$12r=24$
解得$r=2$
【答案】
2
【知识点】
三角形内切圆面积公式，一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查三角形内切圆半径和面积、周长的数量关系，熟练掌握对应公式即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
7 如图，$\odot O$与$△ ABC$的边$AB$，$AC$，$BC$分别相切于点$D$，$E$，$F$。若$AB=4$，$AC=5$，$AD=1$，则$BC=$
7
。答案
7.7
解析
【分析】
看到题目中圆是三角形的内切圆，与三边都相切，首先联想到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。解题步骤如下：第一步先根据A点引出的两条切线AD、AE长度相等，求出AE的长度；第二步分别计算B点引出的切线BD、BF的长度，C点引出的切线CE、CF的长度；第三步将BF和CF相加即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵$\odot O$与$△ ABC$的边$AB$、$AC$、$BC$分别相切于点$D$、$E$、$F$
根据切线长定理，圆外一点引圆的两条切线长度相等，可得：
$AD=AE$，$BD=BF$，$CE=CF$
已知$AD=1$，因此$AE=AD=1$
∵$AB=4$，
∴$BD=AB-AD=4-1=3$，即$BF=BD=3$
∵$AC=5$，
∴$CE=AC-AE=5-1=4$，即$CF=CE=4$
∴$BC=BF+CF=3+4=7$
【答案】
$7$
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆，线段和差计算
【点评】
本题是三角形内切圆的基础应用题型，核心考查切线长定理的运用，只要准确找到同一点引出的两条切线段的等量关系，通过简单的线段加减运算即可求解，解题思路清晰直观。
【难度系数】
$0.8$
看到题目中圆是三角形的内切圆，与三边都相切，首先联想到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。解题步骤如下：第一步先根据A点引出的两条切线AD、AE长度相等，求出AE的长度；第二步分别计算B点引出的切线BD、BF的长度，C点引出的切线CE、CF的长度；第三步将BF和CF相加即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵$\odot O$与$△ ABC$的边$AB$、$AC$、$BC$分别相切于点$D$、$E$、$F$
根据切线长定理，圆外一点引圆的两条切线长度相等，可得：
$AD=AE$，$BD=BF$，$CE=CF$
已知$AD=1$，因此$AE=AD=1$
∵$AB=4$，
∴$BD=AB-AD=4-1=3$，即$BF=BD=3$
∵$AC=5$，
∴$CE=AC-AE=5-1=4$，即$CF=CE=4$
∴$BC=BF+CF=3+4=7$
【答案】
$7$
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆，线段和差计算
【点评】
本题是三角形内切圆的基础应用题型，核心考查切线长定理的运用，只要准确找到同一点引出的两条切线段的等量关系，通过简单的线段加减运算即可求解，解题思路清晰直观。
【难度系数】
$0.8$
8 若$△ ABC$ 的三边长$a,b,c$满足$b + |c - 3| + a^2 - 8a = 4\sqrt{b - 1} - 19$，则$△ ABC$ 的内切圆的半径为________。
答案
8.1
解析
【分析】
首先观察等式特征，等式中包含绝对值、二次根式和二次项，可通过移项、配方将原式转化为几个非负数的和为0的形式，利用非负数的性质分别求出三角形三边长；再通过勾股定理逆定理判断三角形形状，最后代入内切圆半径公式计算即可。
【解析】
对原式进行移项整理：
$b + |c - 3| + a^2 - 8a - 4\sqrt{b - 1} + 19 = 0$
将含$b$的项变形，对$a$的二次项配方：
$(b - 1 - 4\sqrt{b - 1} + 4) + (a^2 - 8a + 16) + |c - 3| = 0$
即$(\sqrt{b - 1} - 2)^2 + (a - 4)^2 + |c - 3| = 0$
根据非负数的性质，几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，可得：
$\begin{cases}\sqrt{b - 1} - 2 = 0 \\a - 4 = 0 \\c - 3 = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 4 \\b = 5 \\c = 3\end{cases}$
$\because 3^2 + 4^2 = 5^2$，即$c^2 + a^2 = b^2$
$\therefore △ ABC$是直角三角形，直角边为$a=4$、$c=3$，斜边$b=5$
三角形内切圆半径公式为$r = \frac{2S}{a + b + c}$（$S$为三角形面积）
三角形面积$S = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$，周长为$3 + 4 + 5 = 12$
代入得$r = \frac{2 × 6}{12} = 1$
（或用直角三角形内切圆半径公式$r = \frac{a + c - b}{2} = \frac{3 + 4 - 5}{2} = 1$）
【答案】
1
【知识点】
非负数的性质；勾股定理逆定理；三角形内切圆半径计算
【点评】
本题是代数与几何的综合题，解题的核心是通过配方求出三角形三边长，再结合三角形形状选用合适的内切圆半径公式计算，对学生的配方能力和公式应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先观察等式特征，等式中包含绝对值、二次根式和二次项，可通过移项、配方将原式转化为几个非负数的和为0的形式，利用非负数的性质分别求出三角形三边长；再通过勾股定理逆定理判断三角形形状，最后代入内切圆半径公式计算即可。
【解析】
对原式进行移项整理：
$b + |c - 3| + a^2 - 8a - 4\sqrt{b - 1} + 19 = 0$
将含$b$的项变形，对$a$的二次项配方：
$(b - 1 - 4\sqrt{b - 1} + 4) + (a^2 - 8a + 16) + |c - 3| = 0$
即$(\sqrt{b - 1} - 2)^2 + (a - 4)^2 + |c - 3| = 0$
根据非负数的性质，几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，可得：
$\begin{cases}\sqrt{b - 1} - 2 = 0 \\a - 4 = 0 \\c - 3 = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 4 \\b = 5 \\c = 3\end{cases}$
$\because 3^2 + 4^2 = 5^2$，即$c^2 + a^2 = b^2$
$\therefore △ ABC$是直角三角形，直角边为$a=4$、$c=3$，斜边$b=5$
三角形内切圆半径公式为$r = \frac{2S}{a + b + c}$（$S$为三角形面积）
三角形面积$S = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$，周长为$3 + 4 + 5 = 12$
代入得$r = \frac{2 × 6}{12} = 1$
（或用直角三角形内切圆半径公式$r = \frac{a + c - b}{2} = \frac{3 + 4 - 5}{2} = 1$）
【答案】
1
【知识点】
非负数的性质；勾股定理逆定理；三角形内切圆半径计算
【点评】
本题是代数与几何的综合题，解题的核心是通过配方求出三角形三边长，再结合三角形形状选用合适的内切圆半径公式计算，对学生的配方能力和公式应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
9 教材变式题 如图，$△ ABC$ 的内切圆$\odot O$与边$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$，且$AB=18$，$BC=28$，$CA=26$，则$AF$的长为________.
答案
9.8
解析
【分析】
本题考查三角形内切圆相关的长度计算，解题核心是运用切线长定理。首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。我们可以设AF的长为未知数，利用切线长定理将BD、CD的长度用含未知数的式子表示，再结合BC的总长度列方程求解即可。
【解析】
根据切线长定理可得：$AF=AE$，$BF=BD$，$CD=CE$。
设$AF=x$，则$AE=x$，
∴ $BF=AB-AF=18-x$，$CE=AC-AE=26-x$，
∴ $BD=BF=18-x$，$CD=CE=26-x$，
∵ $BC=BD+CD=28$，
∴ 代入得：$(18-x)+(26-x)=28$，
化简得：$44-2x=28$，
解得：$x=8$。
【答案】
8
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆性质
【点评】
本题属于基础常规题，解题的关键是熟练掌握切线长定理，通过设未知数建立一元一次方程即可快速求解，是三角形内切圆板块的高频基础考点。
【难度系数】
0.8
本题考查三角形内切圆相关的长度计算，解题核心是运用切线长定理。首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。我们可以设AF的长为未知数，利用切线长定理将BD、CD的长度用含未知数的式子表示，再结合BC的总长度列方程求解即可。
【解析】
根据切线长定理可得：$AF=AE$，$BF=BD$，$CD=CE$。
设$AF=x$，则$AE=x$，
∴ $BF=AB-AF=18-x$，$CE=AC-AE=26-x$，
∴ $BD=BF=18-x$，$CD=CE=26-x$，
∵ $BC=BD+CD=28$，
∴ 代入得：$(18-x)+(26-x)=28$，
化简得：$44-2x=28$，
解得：$x=8$。
【答案】
8
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆性质
【点评】
本题属于基础常规题，解题的关键是熟练掌握切线长定理，通过设未知数建立一元一次方程即可快速求解，是三角形内切圆板块的高频基础考点。
【难度系数】
0.8
10 如图，已知$△ ABC$.
（1）尺规作图：用直尺和圆规作出$△ ABC$内切圆的圆心$O$（只保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）若$△ ABC$的周长为14 cm，内切圆的半径为1.3 cm，则$△ ABC$的面积为
（1）尺规作图：用直尺和圆规作出$△ ABC$内切圆的圆心$O$（只保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）若$△ ABC$的周长为14 cm，内切圆的半径为1.3 cm，则$△ ABC$的面积为
9.1
cm².答案
10. (1)
点O即为所求作 (2) 9.1解析
【分析】
（1）三角形内切圆的圆心是三角形三条内角平分线的交点，因此只需作出△ABC任意两个内角的角平分线，两条角平分线的交点即为所求的圆心O。
（2）计算面积时，可将△ABC分割为以圆心O为顶点，分别以原三角形三边为底的3个小三角形，3个小三角形的高均等于内切圆半径，因此原三角形面积等于3个小三角形的面积和，整理可得公式：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×周长×内切圆半径$，代入已知数值即可算出结果。
【解析】
（1）分别作∠ABC和∠ACB的角平分线，两条角平分线的交点即为内切圆圆心O，作图痕迹如参考答案所示。
（2）设△ABC的内切圆半径为$r$，周长为$l$，连接$OA、OB、OC$：
∵内切圆的半径是圆心到三角形三边的距离，
∴△OAB、△OBC、△OAC的高均为$r=1.3\mathrm{cm}$，
则$S_{△ABC}=S_{△OAB}+S_{△OBC}+S_{△OAC}$
$=\frac{1}{2}AB·r+\frac{1}{2}BC·r+\frac{1}{2}AC·r$
$=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)·r=\frac{1}{2}l·r$
代入$l=14\mathrm{cm}$，$r=1.3\mathrm{cm}$得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×14×1.3=9.1(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) 点O即为所求作
(2) 9.1
【知识点】
三角形内心的定义，角平分线尺规作图，三角形内切圆面积公式
【点评】
本题包含基础作图和公式应用两部分，作图需准确掌握角平分线的尺规作图方法，牢记三角形面积与内切圆半径、周长的关系即可快速完成计算，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
（1）三角形内切圆的圆心是三角形三条内角平分线的交点，因此只需作出△ABC任意两个内角的角平分线，两条角平分线的交点即为所求的圆心O。
（2）计算面积时，可将△ABC分割为以圆心O为顶点，分别以原三角形三边为底的3个小三角形，3个小三角形的高均等于内切圆半径，因此原三角形面积等于3个小三角形的面积和，整理可得公式：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×周长×内切圆半径$，代入已知数值即可算出结果。
【解析】
（1）分别作∠ABC和∠ACB的角平分线，两条角平分线的交点即为内切圆圆心O，作图痕迹如参考答案所示。
（2）设△ABC的内切圆半径为$r$，周长为$l$，连接$OA、OB、OC$：
∵内切圆的半径是圆心到三角形三边的距离，
∴△OAB、△OBC、△OAC的高均为$r=1.3\mathrm{cm}$，
则$S_{△ABC}=S_{△OAB}+S_{△OBC}+S_{△OAC}$
$=\frac{1}{2}AB·r+\frac{1}{2}BC·r+\frac{1}{2}AC·r$
$=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)·r=\frac{1}{2}l·r$
代入$l=14\mathrm{cm}$，$r=1.3\mathrm{cm}$得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×14×1.3=9.1(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1)
点O即为所求作(2) 9.1
【知识点】
三角形内心的定义，角平分线尺规作图，三角形内切圆面积公式
【点评】
本题包含基础作图和公式应用两部分，作图需准确掌握角平分线的尺规作图方法，牢记三角形面积与内切圆半径、周长的关系即可快速完成计算，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
