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6 直线$y=x$与函数$y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$的图象交于点A.将直线$y=x$向上平移2个单位长度后,与y轴交于点C,B是平移后的直线上一点,且在第一象限内.若BC的长为$\sqrt{2}$,则线段AB的长为
$\sqrt{2}$
.答案
6. $\sqrt{2}$
解析
【分析】
要计算线段AB的长，需先求出点A和点B的坐标：①先联立直线y=x与反比例函数$y=\dfrac{4}{x}$的解析式，解方程组即可得到交点A的坐标；②根据一次函数平移“上加下减”的规律，求出平移后直线的解析式，进而得到与y轴交点C的坐标；③设点B的坐标，结合BC的长度为$\sqrt{2}$，利用两点间距离公式列方程求出点B的坐标；④最后代入两点间距离公式计算AB的长度即可。
【解析】
1. 求点A的坐标：
联立$\begin{cases}y=x \\ y=\dfrac{4}{x}(x＞0)\end{cases}$，将$y=x$代入$y=\dfrac{4}{x}$得$x=\dfrac{4}{x}$，即$x^2=4$，因为$x＞0$，所以$x=2$，$y=2$，即$A(2,2)$。
2. 求平移后直线解析式及点C坐标：
直线$y=x$向上平移2个单位，根据平移规律得新直线解析式为$y=x+2$；
令$x=0$，得$y=2$，所以与y轴交点$C(0,2)$。
3. 求点B的坐标：
设点B的坐标为$(a,a+2)$，因为B在第一象限，所以$a＞0$；
根据两点间距离公式，$BC=\sqrt{(a-0)^2+(a+2-2)^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$；
已知$BC=\sqrt{2}$，所以$a\sqrt{2}=\sqrt{2}$，解得$a=1$，则$a+2=3$，即$B(1,3)$。
4. 计算AB的长度：
根据两点间距离公式：
$AB=\sqrt{(2-1)^2+(2-3)^2}=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
一次函数图象平移；反比例函数与一次函数交点；两点间距离公式
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，解题核心是依次求出各关键点的坐标，再结合距离公式计算，考察的都是函数部分的核心基础知识点，解题思路清晰，只要掌握相关基础概念和公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要计算线段AB的长，需先求出点A和点B的坐标：①先联立直线y=x与反比例函数$y=\dfrac{4}{x}$的解析式，解方程组即可得到交点A的坐标；②根据一次函数平移“上加下减”的规律，求出平移后直线的解析式，进而得到与y轴交点C的坐标；③设点B的坐标，结合BC的长度为$\sqrt{2}$，利用两点间距离公式列方程求出点B的坐标；④最后代入两点间距离公式计算AB的长度即可。
【解析】
1. 求点A的坐标：
联立$\begin{cases}y=x \\ y=\dfrac{4}{x}(x＞0)\end{cases}$，将$y=x$代入$y=\dfrac{4}{x}$得$x=\dfrac{4}{x}$，即$x^2=4$，因为$x＞0$，所以$x=2$，$y=2$，即$A(2,2)$。
2. 求平移后直线解析式及点C坐标：
直线$y=x$向上平移2个单位，根据平移规律得新直线解析式为$y=x+2$；
令$x=0$，得$y=2$，所以与y轴交点$C(0,2)$。
3. 求点B的坐标：
设点B的坐标为$(a,a+2)$，因为B在第一象限，所以$a＞0$；
根据两点间距离公式，$BC=\sqrt{(a-0)^2+(a+2-2)^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$；
已知$BC=\sqrt{2}$，所以$a\sqrt{2}=\sqrt{2}$，解得$a=1$，则$a+2=3$，即$B(1,3)$。
4. 计算AB的长度：
根据两点间距离公式：
$AB=\sqrt{(2-1)^2+(2-3)^2}=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
一次函数图象平移；反比例函数与一次函数交点；两点间距离公式
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，解题核心是依次求出各关键点的坐标，再结合距离公式计算，考察的都是函数部分的核心基础知识点，解题思路清晰，只要掌握相关基础概念和公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
7 过点$P(0,n)$作平行于$x$轴的直线，分别与反比例函数$y=\frac{4}{x}$、一次函数$y=x+2$的图象相交于点$M,N$.当$PM=MN$时，在如图所示的平面直角坐标系中画出示意图，并求出$n$的值.
答案
7. 示意图如图所示.
$\because$ 过点 $P(0,n)$ 作平行于 $x$ 轴的直线,分别与反比例函数 $y=\frac{4}{x}$、一次函数 $y=x+2$ 的图象相交于点 $M$,$N$,$\therefore M(\frac{4}{n},n)$,$N(n-2,n)$. 当 $n＞2$ 时,$P_1M_1=M_1N_1$,$\therefore \frac{4}{n}=n-2-\frac{4}{n}$,整理,得 $n^2-2n-8=0$,解得 $n=4$ 或 $n=-2$(舍去). 当 $n＜0$ 时,$P_2M_2=M_2N_2$,$\therefore -\frac{4}{n}=-(n-2-\frac{4}{n})$,整理,得 $n^2-2n-8=0$,解得 $n=4$(舍去)或 $n=-2$. 当 $0＜n ≤ 2$ 时,易知当 $n=2$ 时,$P_3M_3=M_3N_3$. 综上所述,$n$ 的值为4或$-2$或2
解析
【分析】
解题时首先根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等的特点，将y=n分别代入两个函数解析式，用含n的代数式表示出M、N两点的横坐标，得到两点坐标；再根据PM=MN的条件，结合n的不同取值范围（n＞2、0＜n≤2、n＜0）分类讨论，将线段长度关系转化为横坐标的数量关系列方程，最后求解方程并结合取值范围舍去不符合要求的根，得到n的取值，同时按照要求画出对应的示意图即可。
【解析】
∵ 过点$P(0,n)$作平行于$x$轴的直线，该直线上所有点的纵坐标均为$n$，
将$y=n$代入反比例函数$y=\frac{4}{x}$，解得$x=\frac{4}{n}$，即$M(\frac{4}{n},n)$；
将$y=n$代入一次函数$y=x+2$，解得$x=n-2$，即$N(n-2,n)$。
接下来分三种情况讨论：
1. 当$n＞2$时，对应图中$P_1,M_1,N_1$的位置，$PM=\frac{4}{n}$，$MN=(n-2)-\frac{4}{n}$，
由$PM=MN$得：$\frac{4}{n}=n-2-\frac{4}{n}$，
整理得$n^2-2n-8=0$，解得$n=4$或$n=-2$，
∵ $n＞2$，
∴ 舍去$n=-2$，得$n=4$。
2. 当$n＜0$时，对应图中$P_2,M_2,N_2$的位置，横坐标均为负数，线段长度为横坐标差的绝对值，
由$PM=MN$得：$-\frac{4}{n}=-(n-2-\frac{4}{n})$，
整理同样得$n^2-2n-8=0$，解得$n=4$或$n=-2$，
∵ $n＜0$，
∴ 舍去$n=4$，得$n=-2$。
3. 当$0＜n≤2$时，验证得$n=2$时，$N$点坐标为$(0,2)$，与$P_3$重合，此时$M$点坐标为$(2,2)$，$PM=2$，$MN=2$，满足$PM=MN$，故$n=2$符合要求。
【答案】
示意图如图所示，$n$的值为$4$或$-2$或$2$。
【知识点】
反比例函数图象与性质，一次函数图象与性质，坐标系内线段长度计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，解题核心是利用平行于x轴的直线的坐标特征表示出两个交点的坐标，再结合线段相等的条件分类讨论列方程求解，解题时要注意根据参数的取值范围对根进行取舍，避免漏解。
【难度系数】
0.5
解题时首先根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等的特点，将y=n分别代入两个函数解析式，用含n的代数式表示出M、N两点的横坐标，得到两点坐标；再根据PM=MN的条件，结合n的不同取值范围（n＞2、0＜n≤2、n＜0）分类讨论，将线段长度关系转化为横坐标的数量关系列方程，最后求解方程并结合取值范围舍去不符合要求的根，得到n的取值，同时按照要求画出对应的示意图即可。
【解析】
∵ 过点$P(0,n)$作平行于$x$轴的直线，该直线上所有点的纵坐标均为$n$，
将$y=n$代入反比例函数$y=\frac{4}{x}$，解得$x=\frac{4}{n}$，即$M(\frac{4}{n},n)$；
将$y=n$代入一次函数$y=x+2$，解得$x=n-2$，即$N(n-2,n)$。
接下来分三种情况讨论：
1. 当$n＞2$时，对应图中$P_1,M_1,N_1$的位置，$PM=\frac{4}{n}$，$MN=(n-2)-\frac{4}{n}$，
由$PM=MN$得：$\frac{4}{n}=n-2-\frac{4}{n}$，
整理得$n^2-2n-8=0$，解得$n=4$或$n=-2$，
∵ $n＞2$，
∴ 舍去$n=-2$，得$n=4$。
2. 当$n＜0$时，对应图中$P_2,M_2,N_2$的位置，横坐标均为负数，线段长度为横坐标差的绝对值，
由$PM=MN$得：$-\frac{4}{n}=-(n-2-\frac{4}{n})$，
整理同样得$n^2-2n-8=0$，解得$n=4$或$n=-2$，
∵ $n＜0$，
∴ 舍去$n=4$，得$n=-2$。
3. 当$0＜n≤2$时，验证得$n=2$时，$N$点坐标为$(0,2)$，与$P_3$重合，此时$M$点坐标为$(2,2)$，$PM=2$，$MN=2$，满足$PM=MN$，故$n=2$符合要求。
【答案】
示意图如图所示
，$n$的值为$4$或$-2$或$2$。【知识点】
反比例函数图象与性质，一次函数图象与性质，坐标系内线段长度计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，解题核心是利用平行于x轴的直线的坐标特征表示出两个交点的坐标，再结合线段相等的条件分类讨论列方程求解，解题时要注意根据参数的取值范围对根进行取舍，避免漏解。
【难度系数】
0.5
8 如图,正比例函数$y=kx$与反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象相交于A,C两点,过点A作x轴的垂线,交x轴于点B,连接BC,则$△ ABC$的面积为(
A.8
B.6
C.4
D.2
C
)A.8
B.6
C.4
D.2
答案
8. C
解析
【分析】
首先回忆正比例函数与反比例函数的交点性质：二者的交点关于原点中心对称，因此A、C两点到x轴的距离相等。要求△ABC的面积，可将其拆分为△AOB和△COB的面积之和，两个三角形均以OB为底，高分别为A、C两点纵坐标的绝对值。再结合反比例函数k的几何意义，过反比例函数上任意一点作x轴垂线，该点、垂足、原点围成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，即可快速求出面积。
【解析】
设点A的坐标为$(a,b)$，
∵点A在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
∴$ab=4$。
∵AB⊥x轴，垂足为B，
∴点B的坐标为$(a,0)$，
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × OB × AB = \frac{1}{2} × |a| × |b| = \frac{1}{2}|ab| = \frac{1}{2} × 4 = 2$。
∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称，
∴交点A、C关于原点对称，
∴点C到x轴的距离等于点A到x轴的距离，即等于$|b|$，
∴$S_{△ COB}=\frac{1}{2} × OB × |y_C| = \frac{1}{2} × |a| × |b| = 2$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ COB}=2+2=4$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，中心对称的性质，三角形面积计算
【点评】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，利用函数图象的对称性简化计算是解题的突破口，熟练掌握反比例函数中k的几何意义可避免复杂的坐标运算，提高解题效率。
【难度系数】
0.7
首先回忆正比例函数与反比例函数的交点性质：二者的交点关于原点中心对称，因此A、C两点到x轴的距离相等。要求△ABC的面积，可将其拆分为△AOB和△COB的面积之和，两个三角形均以OB为底，高分别为A、C两点纵坐标的绝对值。再结合反比例函数k的几何意义，过反比例函数上任意一点作x轴垂线，该点、垂足、原点围成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，即可快速求出面积。
【解析】
设点A的坐标为$(a,b)$，
∵点A在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
∴$ab=4$。
∵AB⊥x轴，垂足为B，
∴点B的坐标为$(a,0)$，
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × OB × AB = \frac{1}{2} × |a| × |b| = \frac{1}{2}|ab| = \frac{1}{2} × 4 = 2$。
∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称，
∴交点A、C关于原点对称，
∴点C到x轴的距离等于点A到x轴的距离，即等于$|b|$，
∴$S_{△ COB}=\frac{1}{2} × OB × |y_C| = \frac{1}{2} × |a| × |b| = 2$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ COB}=2+2=4$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，中心对称的性质，三角形面积计算
【点评】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，利用函数图象的对称性简化计算是解题的突破口，熟练掌握反比例函数中k的几何意义可避免复杂的坐标运算，提高解题效率。
【难度系数】
0.7
9 如图，正比例函数 $ y = kx $ 与反比例函数 $ y = \frac{6}{x} $ 的图象交于A，B两点，$ BC // x $ 轴，$ AC // y $ 轴，则 $ S_{△ ABC} = $
12
。答案
9. 12
解析
【分析】
首先回忆正比例函数与反比例函数交点的性质：二者的交点关于原点中心对称，因此可设A点坐标为(a,b)，由A在反比例函数图象上可得ab=6，同时得到B点坐标为(-a,-b)；再根据BC//x轴、AC//y轴的条件，确定C点坐标，可发现△ABC是直角三角形，两条直角边长度可由A、B、C三点坐标表示，最后代入三角形面积公式结合ab=6即可算出结果。
【解析】
解：设点A的坐标为$(a,b)$，
∵ 点A在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上，
∴ $b=\frac{6}{a}$，即$ab=6$。
∵ 正比例函数与反比例函数的图象交点关于原点对称，
∴ 点B的坐标为$(-a,-b)$。
∵ $BC// x$轴，$AC// y$轴，
∴ 点C的横坐标与点A相同，纵坐标与点B相同，即$C(a,-b)$，且$∠ ACB=90°$。
∴ 直角边$AC = b - (-b) = 2b$，$BC = a - (-a) = 2a$，
则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BC=\frac{1}{2} × 2b × 2a=2ab$，
将$ab=6$代入得：$S_{△ ABC}=2×6=12$。
【答案】
12
【知识点】
反比例函数性质，中心对称性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数结合的典型题型，解题的核心是利用两类函数交点的中心对称性简化坐标表示，结合平行线的特征判断三角形为直角三角形，再借助反比例函数中横纵坐标乘积为定值的特点计算面积，无需算出具体坐标即可求解，技巧性较强。
【难度系数】
0.7
首先回忆正比例函数与反比例函数交点的性质：二者的交点关于原点中心对称，因此可设A点坐标为(a,b)，由A在反比例函数图象上可得ab=6，同时得到B点坐标为(-a,-b)；再根据BC//x轴、AC//y轴的条件，确定C点坐标，可发现△ABC是直角三角形，两条直角边长度可由A、B、C三点坐标表示，最后代入三角形面积公式结合ab=6即可算出结果。
【解析】
解：设点A的坐标为$(a,b)$，
∵ 点A在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上，
∴ $b=\frac{6}{a}$，即$ab=6$。
∵ 正比例函数与反比例函数的图象交点关于原点对称，
∴ 点B的坐标为$(-a,-b)$。
∵ $BC// x$轴，$AC// y$轴，
∴ 点C的横坐标与点A相同，纵坐标与点B相同，即$C(a,-b)$，且$∠ ACB=90°$。
∴ 直角边$AC = b - (-b) = 2b$，$BC = a - (-a) = 2a$，
则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BC=\frac{1}{2} × 2b × 2a=2ab$，
将$ab=6$代入得：$S_{△ ABC}=2×6=12$。
【答案】
12
【知识点】
反比例函数性质，中心对称性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数结合的典型题型，解题的核心是利用两类函数交点的中心对称性简化坐标表示，结合平行线的特征判断三角形为直角三角形，再借助反比例函数中横纵坐标乘积为定值的特点计算面积，无需算出具体坐标即可求解，技巧性较强。
【难度系数】
0.7
10 如图，一次函数 $y=2x+2$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{12}{x}$ 的图象的一个交点为A，将一次函数 $y=2x+2$ 的图象沿y轴向下平移12个单位长度，与反比例函数 $y=\frac{12}{x}$ 的图象相交于点B，C，求 $S_{△ ABC}$ 的值。
答案
10. 联立 $\begin{cases}y=2x+2, \\y=\frac{12}{x},\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=2, \\y=6\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=-3, \\y=-4,\end{cases}$ $\therefore A(2,6)$. 将一次函数 $y=2x+2$ 的图象沿 $y$ 轴向下平移 12 个单位长度,与反比例函数 $y=\frac{12}{x}$ 的图象相交于点 $B,C$,$\therefore$ 直线 $BC$ 对应的函数解析式为 $y=2x+2-12=2x-10$. 联立 $\begin{cases}y=2x-10, \\y=\frac{12}{x},\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=-1, \\y=-12\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=6, \\y=2.\end{cases}$ $\therefore B(-1,-12),C(6,2)$. 过点 $A$ 作 $AT // y$ 轴,交直线 $BC$ 于点 $T$. $\because A(2,6),\therefore$ 点 $T$ 的横坐标为 2. 在 $y=2x-10$ 中,当 $x=2$ 时,$y=2 × 2-10=-6. \therefore T(2,-6)$.
$\therefore AT=6-(-6)=12. \therefore S_{△ ABC}=S_{△ ABT}+S_{△ ACT}=\frac{1}{2} × 12 × [2-(-1)]+\frac{1}{2} × 12 × (6-2)=18+24=42$
$\therefore AT=6-(-6)=12. \therefore S_{△ ABC}=S_{△ ABT}+S_{△ ACT}=\frac{1}{2} × 12 × [2-(-1)]+\frac{1}{2} × 12 × (6-2)=18+24=42$
解析
【分析】
解题时首先要先求交点A的坐标，可通过联立一次函数与反比例函数的解析式，解方程组得到A点坐标；再根据一次函数沿y轴平移“上加下减”的规律，求出平移后直线BC的解析式，将其与反比例函数解析式联立，解方程组得到B、C两点的坐标；最后计算△ABC的面积，采用铅垂法简化计算：过A作平行于y轴的直线交BC于点T，先求出AT的长度，再将△ABC拆分为△ABT和△ACT，分别计算两个小三角形的面积后求和，即可得到△ABC的面积。
【解析】
1. 求点A的坐标：
联立$\begin{cases}y=2x+2 \\ y=\dfrac{12}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=2 \\ y=6\end{cases}$或$\begin{cases}x=-3 \\ y=-4\end{cases}$，结合图象A在第一象限，得$A(2,6)$。
2. 求直线BC的解析式及B、C坐标：
一次函数$y=2x+2$沿y轴向下平移12个单位，得直线BC的解析式为$y=2x+2-12=2x-10$。
联立$\begin{cases}y=2x-10 \\ y=\dfrac{12}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-1 \\ y=-12\end{cases}$或$\begin{cases}x=6 \\ y=2\end{cases}$，即$B(-1,-12)$，$C(6,2)$。
3. 计算△ABC的面积：
过点A作$AT// y$轴，交直线BC于点T，T点横坐标与A点相同为2。
将$x=2$代入$y=2x-10$，得$y=2×2-10=-6$，即$T(2,-6)$，则$AT=6-(-6)=12$。
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=S_{△ ABT}+S_{△ ACT}\\&=\frac{1}{2}× AT× (x_A-x_B)+\frac{1}{2}× AT× (x_C-x_A)\\&=\frac{1}{2}×12×[2-(-1)]+\frac{1}{2}×12×(6-2)\\&=18+24\\&=42\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{42}$
【知识点】
一次函数平移规律、函数交点求解、坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的典型综合题，考察的知识点都是函数模块的核心内容，解题时用铅垂法拆分三角形可以避免使用复杂的距离公式，有效降低计算量，是这类题型的常用解题技巧。
【难度系数】
0.6
解题时首先要先求交点A的坐标，可通过联立一次函数与反比例函数的解析式，解方程组得到A点坐标；再根据一次函数沿y轴平移“上加下减”的规律，求出平移后直线BC的解析式，将其与反比例函数解析式联立，解方程组得到B、C两点的坐标；最后计算△ABC的面积，采用铅垂法简化计算：过A作平行于y轴的直线交BC于点T，先求出AT的长度，再将△ABC拆分为△ABT和△ACT，分别计算两个小三角形的面积后求和，即可得到△ABC的面积。
【解析】
1. 求点A的坐标：
联立$\begin{cases}y=2x+2 \\ y=\dfrac{12}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=2 \\ y=6\end{cases}$或$\begin{cases}x=-3 \\ y=-4\end{cases}$，结合图象A在第一象限，得$A(2,6)$。
2. 求直线BC的解析式及B、C坐标：
一次函数$y=2x+2$沿y轴向下平移12个单位，得直线BC的解析式为$y=2x+2-12=2x-10$。
联立$\begin{cases}y=2x-10 \\ y=\dfrac{12}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-1 \\ y=-12\end{cases}$或$\begin{cases}x=6 \\ y=2\end{cases}$，即$B(-1,-12)$，$C(6,2)$。
3. 计算△ABC的面积：
过点A作$AT// y$轴，交直线BC于点T，T点横坐标与A点相同为2。
将$x=2$代入$y=2x-10$，得$y=2×2-10=-6$，即$T(2,-6)$，则$AT=6-(-6)=12$。
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=S_{△ ABT}+S_{△ ACT}\\&=\frac{1}{2}× AT× (x_A-x_B)+\frac{1}{2}× AT× (x_C-x_A)\\&=\frac{1}{2}×12×[2-(-1)]+\frac{1}{2}×12×(6-2)\\&=18+24\\&=42\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{42}$
【知识点】
一次函数平移规律、函数交点求解、坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的典型综合题，考察的知识点都是函数模块的核心内容，解题时用铅垂法拆分三角形可以避免使用复杂的距离公式，有效降低计算量，是这类题型的常用解题技巧。
【难度系数】
0.6
