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9.(2024·雅安)已知$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1(a+b≠0)$，则$\frac{a+ab}{a+b}$的值为（
A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.2
D.3
C
）A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.2
D.3
答案
9.C
解析
【分析】
本题属于分式化简求值类题目，解题思路如下：第一步先对已知的分式等式进行通分运算，推导得到ab与a、b的数量关系；第二步将推导得到的关系代入待求的分式中，对分子进行合并化简，再结合题目给出的a+b≠0的条件约分，即可得到最终结果。也可以采用特殊值代入法，选取满足已知等式的a、b的数值代入待求式计算，更快捷得出答案。
【解析】
方法一：常规化简法
1. 对已知等式$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$通分，公分母为$ab$，可得：
$\frac{2b}{ab}+\frac{a}{ab}=1$，即$\frac{a+2b}{ab}=1$
2. 等式两边同乘$ab$（由原式分母可知$a≠0,b≠0$，故$ab≠0$），得：
$a+2b=ab$
3. 将$ab=a+2b$代入待求式$\frac{a+ab}{a+b}$的分子中：
分子$=a+(a+2b)=2a+2b=2(a+b)$
4. 因此待求式可化为$\frac{2(a+b)}{a+b}$，已知$a+b≠0$，约分后得结果为$2$。
方法二：特殊值法
选取满足$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$的数值，例如令$b=2$，代入得$\frac{2}{a}+\frac{1}{2}=1$，解得$a=4$。
将$a=4,b=2$代入$\frac{a+ab}{a+b}$，得$\frac{4+4×2}{4+2}=\frac{12}{6}=2$。
【答案】
C
【知识点】
分式的加减运算、分式化简求值
【点评】
本题考查分式运算的灵活应用，将已知等式变形后代入待求式化简是分式求值的常用技巧，解题时要注意题干给出的分母不为0的条件，确保约分的合法性，也可利用特殊值法快速得到选择题的答案，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
本题属于分式化简求值类题目，解题思路如下：第一步先对已知的分式等式进行通分运算，推导得到ab与a、b的数量关系；第二步将推导得到的关系代入待求的分式中，对分子进行合并化简，再结合题目给出的a+b≠0的条件约分，即可得到最终结果。也可以采用特殊值代入法，选取满足已知等式的a、b的数值代入待求式计算，更快捷得出答案。
【解析】
方法一：常规化简法
1. 对已知等式$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$通分，公分母为$ab$，可得：
$\frac{2b}{ab}+\frac{a}{ab}=1$，即$\frac{a+2b}{ab}=1$
2. 等式两边同乘$ab$（由原式分母可知$a≠0,b≠0$，故$ab≠0$），得：
$a+2b=ab$
3. 将$ab=a+2b$代入待求式$\frac{a+ab}{a+b}$的分子中：
分子$=a+(a+2b)=2a+2b=2(a+b)$
4. 因此待求式可化为$\frac{2(a+b)}{a+b}$，已知$a+b≠0$，约分后得结果为$2$。
方法二：特殊值法
选取满足$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$的数值，例如令$b=2$，代入得$\frac{2}{a}+\frac{1}{2}=1$，解得$a=4$。
将$a=4,b=2$代入$\frac{a+ab}{a+b}$，得$\frac{4+4×2}{4+2}=\frac{12}{6}=2$。
【答案】
C
【知识点】
分式的加减运算、分式化简求值
【点评】
本题考查分式运算的灵活应用，将已知等式变形后代入待求式化简是分式求值的常用技巧，解题时要注意题干给出的分母不为0的条件，确保约分的合法性，也可利用特殊值法快速得到选择题的答案，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
10.下面是一道例题及其解答过程的一部分,其中 M 是单项式,请求出单项式 M,并将该例题的解答过程补充完整.
答案
10.解:由题意,得$\frac{M}{a+1}=\frac{Ma}{a(a+1)}=\frac{a^2}{a(a+1)}$,
所以$M=a$,
所以原式$=\frac{a^2}{a(a+1)}-\frac{1}{a(a+1)}=\frac{a^2-1}{a(a+1)}=\frac{(a+1)(a-1)}{a(a+1)}=\frac{a-1}{a}$.
当$a=100$时,原式$=\frac{100-1}{100}=\frac{99}{100}$.
所以$M=a$,
所以原式$=\frac{a^2}{a(a+1)}-\frac{1}{a(a+1)}=\frac{a^2-1}{a(a+1)}=\frac{(a+1)(a-1)}{a(a+1)}=\frac{a-1}{a}$.
当$a=100$时,原式$=\frac{100-1}{100}=\frac{99}{100}$.
解析
【分析】
首先确定单项式M：观察通分后的第一个分式，原分母$a+1$乘a得到公分母$a(a+1)$，根据分式的基本性质，分子M也要乘a，结合通分后分子为$a^2$即可求出M；再按照同分母分式减法法则计算，对分子因式分解后约分得到最简分式，最后代入$a=100$计算结果即可。
【解析】
根据分式的基本性质，对$\frac{M}{a+1}$通分可得：
$\frac{M}{a+1}=\frac{Ma}{a(a+1)}$
结合通分后该分式为$\frac{a^2}{a(a+1)}$，得$Ma=a^2$，解得$M=a$。
补充化简求值过程：
$\begin{aligned}原式&=\frac{a^2}{a(a+1)}-\frac{1}{a(a+1)}\\&=\frac{a^2-1}{a(a+1)}\\&=\frac{(a+1)(a-1)}{a(a+1)}\\&=\frac{a-1}{a}\end{aligned}$
将$a=100$代入$\frac{a-1}{a}$得：
原式$=\frac{100-1}{100}=\frac{99}{100}$
【答案】
$M=a$，最终计算结果为$\frac{99}{100}$
【知识点】
分式的基本性质、分式的加减运算、代数式求值
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题关键是熟练掌握分式通分的规则和加减运算方法，运算过程中要注意正确因式分解、约分，保证最终结果为最简形式。
【难度系数】
0.75
首先确定单项式M：观察通分后的第一个分式，原分母$a+1$乘a得到公分母$a(a+1)$，根据分式的基本性质，分子M也要乘a，结合通分后分子为$a^2$即可求出M；再按照同分母分式减法法则计算，对分子因式分解后约分得到最简分式，最后代入$a=100$计算结果即可。
【解析】
根据分式的基本性质，对$\frac{M}{a+1}$通分可得：
$\frac{M}{a+1}=\frac{Ma}{a(a+1)}$
结合通分后该分式为$\frac{a^2}{a(a+1)}$，得$Ma=a^2$，解得$M=a$。
补充化简求值过程：
$\begin{aligned}原式&=\frac{a^2}{a(a+1)}-\frac{1}{a(a+1)}\\&=\frac{a^2-1}{a(a+1)}\\&=\frac{(a+1)(a-1)}{a(a+1)}\\&=\frac{a-1}{a}\end{aligned}$
将$a=100$代入$\frac{a-1}{a}$得：
原式$=\frac{100-1}{100}=\frac{99}{100}$
【答案】
$M=a$，最终计算结果为$\frac{99}{100}$
【知识点】
分式的基本性质、分式的加减运算、代数式求值
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题关键是熟练掌握分式通分的规则和加减运算方法，运算过程中要注意正确因式分解、约分，保证最终结果为最简形式。
【难度系数】
0.75
11.计算：
(1)$\frac{x^2}{x+y} - x + y$；
(2)$\frac{x+2}{x^2 -4} - \frac{x^2 -2x}{x^2 -4x +4}$；
(3)$m -1 + \frac{2m -6}{m^2 -9} + \frac{2m +2}{m +3}$。
(1)$\frac{x^2}{x+y} - x + y$；
(2)$\frac{x+2}{x^2 -4} - \frac{x^2 -2x}{x^2 -4x +4}$；
(3)$m -1 + \frac{2m -6}{m^2 -9} + \frac{2m +2}{m +3}$。
答案
11.(1)$\frac{y^2}{x+y}$ (2)$\frac{1-x}{x-2}$ (3)$\frac{m^2+4m+1}{m+3}$
解析
【分析】
这三道题均为分式加减运算，解题思路如下：1. 先观察每个分式的分子、分母，能因式分解的先因式分解，优先约分简化计算；2. 遇到整式参与运算时，可将整式看作分母为1的“分式”；3. 异分母分式相加减先找最简公分母通分，转化为同分母分式后，分母不变、分子相加减；4. 最后将结果化为最简分式或整式，注意运算过程中的符号变化。
【解析】
(1) 解：将整式部分$-x+y$变形为$-(x-y)$，通分计算：
原式$=\frac{x^2}{x+y} - \frac{(x-y)(x+y)}{x+y}$
$=\frac{x^2 - (x^2 - y^2)}{x+y}$
$=\frac{x^2 - x^2 + y^2}{x+y}$
$=\frac{y^2}{x+y}$
(2) 解：先对分子分母因式分解，约分后再计算：
第一个分式分母$x^2-4=(x+2)(x-2)$，故$\frac{x+2}{x^2-4}=\frac{x+2}{(x+2)(x-2)}=\frac{1}{x-2}$；
第二个分式分母$x^2-4x+4=(x-2)^2$，分子$x^2-2x=x(x-2)$，故$\frac{x^2-2x}{x^2-4x+4}=\frac{x(x-2)}{(x-2)^2}=\frac{x}{x-2}$；
原式$=\frac{1}{x-2} - \frac{x}{x-2}$
$=\frac{1 - x}{x - 2}$
(3) 解：先对中间分式约分，再合并同分母分式，最后通分计算：
中间分式分母$m^2-9=(m-3)(m+3)$，分子$2m-6=2(m-3)$，故$\frac{2m-6}{m^2-9}=\frac{2(m-3)}{(m-3)(m+3)}=\frac{2}{m+3}$；
原式$=m - 1 + \frac{2}{m+3} + \frac{2m + 2}{m+3}$
先合并同分母分式：$\frac{2 + 2m + 2}{m+3}=\frac{2m + 4}{m+3}$
将$m-1$通分，分母为$m+3$：$m-1=\frac{(m-1)(m+3)}{m+3}=\frac{m^2 + 2m - 3}{m+3}$
原式$=\frac{m^2 + 2m - 3}{m+3} + \frac{2m + 4}{m+3}$
$=\frac{m^2 + 2m - 3 + 2m + 4}{m+3}$
$=\frac{m^2 + 4m + 1}{m+3}$
【答案】
(1)$\frac{y^2}{x+y}$；(2)$\frac{1-x}{x-2}$；(3)$\frac{m^2+4m+1}{m+3}$
【知识点】
分式的加减，因式分解，分式约分
【点评】
本题考查分式加减的基本运算，解题时优先约分可简化计算步骤，需注意整式通分的处理和运算过程中的符号问题，最终结果要保证是最简形式。
【难度系数】
0.7
这三道题均为分式加减运算，解题思路如下：1. 先观察每个分式的分子、分母，能因式分解的先因式分解，优先约分简化计算；2. 遇到整式参与运算时，可将整式看作分母为1的“分式”；3. 异分母分式相加减先找最简公分母通分，转化为同分母分式后，分母不变、分子相加减；4. 最后将结果化为最简分式或整式，注意运算过程中的符号变化。
【解析】
(1) 解：将整式部分$-x+y$变形为$-(x-y)$，通分计算：
原式$=\frac{x^2}{x+y} - \frac{(x-y)(x+y)}{x+y}$
$=\frac{x^2 - (x^2 - y^2)}{x+y}$
$=\frac{x^2 - x^2 + y^2}{x+y}$
$=\frac{y^2}{x+y}$
(2) 解：先对分子分母因式分解，约分后再计算：
第一个分式分母$x^2-4=(x+2)(x-2)$，故$\frac{x+2}{x^2-4}=\frac{x+2}{(x+2)(x-2)}=\frac{1}{x-2}$；
第二个分式分母$x^2-4x+4=(x-2)^2$，分子$x^2-2x=x(x-2)$，故$\frac{x^2-2x}{x^2-4x+4}=\frac{x(x-2)}{(x-2)^2}=\frac{x}{x-2}$；
原式$=\frac{1}{x-2} - \frac{x}{x-2}$
$=\frac{1 - x}{x - 2}$
(3) 解：先对中间分式约分，再合并同分母分式，最后通分计算：
中间分式分母$m^2-9=(m-3)(m+3)$，分子$2m-6=2(m-3)$，故$\frac{2m-6}{m^2-9}=\frac{2(m-3)}{(m-3)(m+3)}=\frac{2}{m+3}$；
原式$=m - 1 + \frac{2}{m+3} + \frac{2m + 2}{m+3}$
先合并同分母分式：$\frac{2 + 2m + 2}{m+3}=\frac{2m + 4}{m+3}$
将$m-1$通分，分母为$m+3$：$m-1=\frac{(m-1)(m+3)}{m+3}=\frac{m^2 + 2m - 3}{m+3}$
原式$=\frac{m^2 + 2m - 3}{m+3} + \frac{2m + 4}{m+3}$
$=\frac{m^2 + 2m - 3 + 2m + 4}{m+3}$
$=\frac{m^2 + 4m + 1}{m+3}$
【答案】
(1)$\frac{y^2}{x+y}$；(2)$\frac{1-x}{x-2}$；(3)$\frac{m^2+4m+1}{m+3}$
【知识点】
分式的加减，因式分解，分式约分
【点评】
本题考查分式加减的基本运算，解题时优先约分可简化计算步骤，需注意整式通分的处理和运算过程中的符号问题，最终结果要保证是最简形式。
【难度系数】
0.7
12.【新考法·阅读理解】(2024·葫芦岛龙港区期末)
[阅读学习]
阅读下面的材料：
已知$\frac{x}{x^2 +1}=\frac{1}{3}$，求$\frac{x^2}{x^4 +1}$的值.
解:由$\frac{x}{x^2 +1}=\frac{1}{3}$，得$x≠0$，
$\therefore \frac{x^2 +1}{x}=3$，即$x+\frac{1}{x}=3$，
$\therefore \frac{x^4 +1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 -2=3^2 -2=7$，$\therefore \frac{x^2}{x^4 +1}=\frac{1}{7}$.
[类比探究]
(1)上面的解题方法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知$\frac{x}{x^2 -3x +1}=-1$，求$\frac{x^2}{x^4 -7x^2 +1}$的值；
[拓展延伸]
(2)已知$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{6}$，$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{9}$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{15}$，求$\frac{abc}{ab + bc + ac}$的值.
[阅读学习]
阅读下面的材料：
已知$\frac{x}{x^2 +1}=\frac{1}{3}$，求$\frac{x^2}{x^4 +1}$的值.
解:由$\frac{x}{x^2 +1}=\frac{1}{3}$，得$x≠0$，
$\therefore \frac{x^2 +1}{x}=3$，即$x+\frac{1}{x}=3$，
$\therefore \frac{x^4 +1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 -2=3^2 -2=7$，$\therefore \frac{x^2}{x^4 +1}=\frac{1}{7}$.
[类比探究]
(1)上面的解题方法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知$\frac{x}{x^2 -3x +1}=-1$，求$\frac{x^2}{x^4 -7x^2 +1}$的值；
[拓展延伸]
(2)已知$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{6}$，$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{9}$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{15}$，求$\frac{abc}{ab + bc + ac}$的值.
答案
12.解:(1)由$\frac{x}{x^2-3x+1}=-1$,得$x≠0$,
$\therefore \frac{x^2-3x+1}{x}=-1$,$\therefore x+\frac{1}{x}=2$,
$\therefore \frac{x^4-7x^2+1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}-7=(x+\frac{1}{x})^2-2-7=2^2-2-7=-5$,
$\therefore \frac{x^2}{x^4-7x^2+1}=-\frac{1}{5}$.
(2)$\because \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{6}$,$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{9}$,$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{15}$,
$\therefore 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{15}=\frac{31}{90}$,
$\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{31}{180}$.
$\because \frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$,
$\therefore \frac{abc}{ab+bc+ac}=\frac{180}{31}$.
$\therefore \frac{x^2-3x+1}{x}=-1$,$\therefore x+\frac{1}{x}=2$,
$\therefore \frac{x^4-7x^2+1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}-7=(x+\frac{1}{x})^2-2-7=2^2-2-7=-5$,
$\therefore \frac{x^2}{x^4-7x^2+1}=-\frac{1}{5}$.
(2)$\because \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{6}$,$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{9}$,$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{15}$,
$\therefore 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{15}=\frac{31}{90}$,
$\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{31}{180}$.
$\because \frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$,
$\therefore \frac{abc}{ab+bc+ac}=\frac{180}{31}$.
解析
【分析】
（1）第一小问类比材料给出的倒数法，首先由已知分式的值不为0可得$x≠0$，对已知等式两边取倒数，整理可求出$x+\frac{1}{x}$的值；再对所求分式取倒数，将其变形为含$x^2+\frac{1}{x^2}$的式子，利用完全平方公式把$x+\frac{1}{x}$整体代入计算，最后再取倒数即可得到结果。
（2）第二小问先观察所求分式的结构，对其取倒数后可拆分为$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$的形式；将已知的三个等式左右两边分别相加，可求出$2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$的值，进而得到三个倒数的和，最后取倒数即可得到所求分式的值。
【解析】
(1) 由$\frac{x}{x^2 - 3x +1}=-1$，得$x≠0$，
$\therefore \frac{x^2 - 3x +1}{x}=-1$，整理得$x - 3 + \frac{1}{x}=-1$，即$x+\frac{1}{x}=2$，
对所求分式取倒数得：$\frac{x^4 -7x^2 +1}{x^2}=x^2 + \frac{1}{x^2} -7$，
由完全平方公式得$x^2 + \frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 - 2$，代入得：
$\frac{x^4 -7x^2 +1}{x^2}=2^2 - 2 -7=-5$，
$\therefore \frac{x^2}{x^4 -7x^2 +1}=-\frac{1}{5}$。
(2) $\because \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{6}$，$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{9}$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{15}$，
将三个等式左右两边分别相加，得：
$2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{15}=\frac{31}{90}$，
$\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{31}{180}$，
对所求分式取倒数得：$\frac{ab + bc + ac}{abc}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{31}{180}$，
$\therefore \frac{abc}{ab + bc + ac}=\frac{180}{31}$。
【答案】
(1) $-\frac{1}{5}$；(2) $\frac{180}{31}$
【知识点】
分式的基本性质，完全平方公式，分式化简求值
【点评】
本题通过阅读理解介绍倒数法的应用，考查学生的类比迁移能力和整体代入思想，解题的关键是根据分式的结构特征灵活取倒数变形，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
（1）第一小问类比材料给出的倒数法，首先由已知分式的值不为0可得$x≠0$，对已知等式两边取倒数，整理可求出$x+\frac{1}{x}$的值；再对所求分式取倒数，将其变形为含$x^2+\frac{1}{x^2}$的式子，利用完全平方公式把$x+\frac{1}{x}$整体代入计算，最后再取倒数即可得到结果。
（2）第二小问先观察所求分式的结构，对其取倒数后可拆分为$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$的形式；将已知的三个等式左右两边分别相加，可求出$2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$的值，进而得到三个倒数的和，最后取倒数即可得到所求分式的值。
【解析】
(1) 由$\frac{x}{x^2 - 3x +1}=-1$，得$x≠0$，
$\therefore \frac{x^2 - 3x +1}{x}=-1$，整理得$x - 3 + \frac{1}{x}=-1$，即$x+\frac{1}{x}=2$，
对所求分式取倒数得：$\frac{x^4 -7x^2 +1}{x^2}=x^2 + \frac{1}{x^2} -7$，
由完全平方公式得$x^2 + \frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 - 2$，代入得：
$\frac{x^4 -7x^2 +1}{x^2}=2^2 - 2 -7=-5$，
$\therefore \frac{x^2}{x^4 -7x^2 +1}=-\frac{1}{5}$。
(2) $\because \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{6}$，$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{9}$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{15}$，
将三个等式左右两边分别相加，得：
$2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{15}=\frac{31}{90}$，
$\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{31}{180}$，
对所求分式取倒数得：$\frac{ab + bc + ac}{abc}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{31}{180}$，
$\therefore \frac{abc}{ab + bc + ac}=\frac{180}{31}$。
【答案】
(1) $-\frac{1}{5}$；(2) $\frac{180}{31}$
【知识点】
分式的基本性质，完全平方公式，分式化简求值
【点评】
本题通过阅读理解介绍倒数法的应用，考查学生的类比迁移能力和整体代入思想，解题的关键是根据分式的结构特征灵活取倒数变形，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
