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1 [2025苏州]如图,在A,B两地间修一条笔直的公路,从A地测得公路的走向为北偏东$70°$.若A,B两地同时开工,要使公路准确接通,则$∠α$的度数应为（
A.$100°$
B.$105°$
C.$110°$
D.$115°$
C
）A.$100°$
B.$105°$
C.$110°$
D.$115°$
答案
1. C
解析
【分析】
首先明确所有指向正北的方向线都是互相平行的，因此A、B两点的正北方向线平行，线段AB为截线。观察可知，A地的北偏东70°角和∠α是一组同旁内角，根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，因此用180°减去70°即可求出∠α的度数。
【解析】
解：
∵A、B两点的正北方向线互相平行，
∴∠α与A处的70°角为同旁内角，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得：
$∠α + 70° = 180°$
解得$∠α = 180° - 70° = 110°$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，方向角
【点评】
本题结合实际施工场景考查平行线性质的应用，解题的关键是理解正北方向线互相平行，准确识别两个角的位置关系，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
首先明确所有指向正北的方向线都是互相平行的，因此A、B两点的正北方向线平行，线段AB为截线。观察可知，A地的北偏东70°角和∠α是一组同旁内角，根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，因此用180°减去70°即可求出∠α的度数。
【解析】
解：
∵A、B两点的正北方向线互相平行，
∴∠α与A处的70°角为同旁内角，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得：
$∠α + 70° = 180°$
解得$∠α = 180° - 70° = 110°$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，方向角
【点评】
本题结合实际施工场景考查平行线性质的应用，解题的关键是理解正北方向线互相平行，准确识别两个角的位置关系，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
2 新情境 学科融合 [2025甘孜]光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射。由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的。如图，$∠ 1=40°$，$∠ 2=120°$，则$∠ 3+∠ 4$的度数为（
A.$120°$
B.$140°$
C.$160°$
D.$170°$
C
）A.$120°$
B.$140°$
C.$160°$
D.$170°$
答案
2. C
解析
【分析】
首先提取题目给出的平行条件：水中的两条入射光线互相平行，折射进入空气后的两条光线也互相平行，水面是截这两组平行线的公共截线。我们可以利用平行线“两直线平行，同位角相等”的性质，分别求出∠3和∠4的度数，再相加得到结果。
【解析】
由题意得：两条折射光线互相平行，两条入射光线互相平行，水面为水平直线。
∵ 两条折射光线平行，水面为截线，∠1与∠3是同位角
∴ ∠3 = ∠1 = 40°（两直线平行，同位角相等）
∵ 两条入射光线平行，水面为截线，∠2与∠4是同位角
∴ ∠4 = ∠2 = 120°（两直线平行，同位角相等）
∴ ∠3 + ∠4 = 40° + 120° = 160°
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质
【点评】
本题结合光的折射的物理情境考查平行线的性质，属于跨学科融合类习题，解题核心是准确从题干中找到平行线条件，对应平行线的性质求解角度即可。
【难度系数】
0.7
首先提取题目给出的平行条件：水中的两条入射光线互相平行，折射进入空气后的两条光线也互相平行，水面是截这两组平行线的公共截线。我们可以利用平行线“两直线平行，同位角相等”的性质，分别求出∠3和∠4的度数，再相加得到结果。
【解析】
由题意得：两条折射光线互相平行，两条入射光线互相平行，水面为水平直线。
∵ 两条折射光线平行，水面为截线，∠1与∠3是同位角
∴ ∠3 = ∠1 = 40°（两直线平行，同位角相等）
∵ 两条入射光线平行，水面为截线，∠2与∠4是同位角
∴ ∠4 = ∠2 = 120°（两直线平行，同位角相等）
∴ ∠3 + ∠4 = 40° + 120° = 160°
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质
【点评】
本题结合光的折射的物理情境考查平行线的性质，属于跨学科融合类习题，解题核心是准确从题干中找到平行线条件，对应平行线的性质求解角度即可。
【难度系数】
0.7
3 [2025烟台]如图是一款儿童小推车的示意图，$AB// CD$，$∠ 1=30°$，$∠ 2=70°$，则$∠ 3$的度数为（
A.$40°$
B.$35°$
C.$30°$
D.$20°$
A
）A.$40°$
B.$35°$
C.$30°$
D.$20°$
答案
3. A
解析
【分析】
本题可结合平行线的性质与三角形外角的性质求解。首先观察图形，已知AB//CD，可先利用平行线的内错角相等得到与∠1相等的角，再分析∠2是所在三角形的外角，根据外角等于不相邻两内角和的性质，建立∠1、∠2、∠3之间的数量关系，代入数值计算即可得到∠3的度数。
【解析】
设AB与右侧斜线的交点为E，两条斜线的交点为F。
∵AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，
∴∠BED = ∠1 = 30°。
又
∵∠2是△EFD的外角，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，
∴∠2 = ∠3 + ∠BED，
∴∠3 = ∠2 - ∠BED = 70° - 30° = 40°。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础题，需要熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质，准确找到角之间的等量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题可结合平行线的性质与三角形外角的性质求解。首先观察图形，已知AB//CD，可先利用平行线的内错角相等得到与∠1相等的角，再分析∠2是所在三角形的外角，根据外角等于不相邻两内角和的性质，建立∠1、∠2、∠3之间的数量关系，代入数值计算即可得到∠3的度数。
【解析】
设AB与右侧斜线的交点为E，两条斜线的交点为F。
∵AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，
∴∠BED = ∠1 = 30°。
又
∵∠2是△EFD的外角，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，
∴∠2 = ∠3 + ∠BED，
∴∠3 = ∠2 - ∠BED = 70° - 30° = 40°。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础题，需要熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质，准确找到角之间的等量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4 [2024 陕西]如图，$AB// DC$，$BC// DE$，$∠ B=145°$，则$∠ D$的度数为
35°
。答案
4. 35°
解析
【分析】
解题时先根据已知的两组平行线，利用平行线的性质逐步推导角的数量关系：第一步，由AB//DC，结合两直线平行、同旁内角互补的性质，可求出与∠B互补的∠C的度数；第二步，由BC//DE，结合两直线平行、内错角相等的性质，可得∠D与∠C相等，代入∠C的度数即可求出∠D的大小。
【解析】
解：
∵AB//DC，∠B=145°，
∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠C=180°-145°=35°，
又
∵BC//DE，
∴∠D=∠C=35°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
35°
【知识点】
平行线的性质，角度计算
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题型，解题核心是正确判断平行线对应的角的位置关系，再结合已知角的度数推导未知角，是几何入门阶段的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先根据已知的两组平行线，利用平行线的性质逐步推导角的数量关系：第一步，由AB//DC，结合两直线平行、同旁内角互补的性质，可求出与∠B互补的∠C的度数；第二步，由BC//DE，结合两直线平行、内错角相等的性质，可得∠D与∠C相等，代入∠C的度数即可求出∠D的大小。
【解析】
解：
∵AB//DC，∠B=145°，
∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠C=180°-145°=35°，
又
∵BC//DE，
∴∠D=∠C=35°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
35°
【知识点】
平行线的性质，角度计算
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题型，解题核心是正确判断平行线对应的角的位置关系，再结合已知角的度数推导未知角，是几何入门阶段的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
5 如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB//CD，AG平分∠BAE，交CD于点G，∠2=30°，则∠1的度数为
60°
。答案
5. 60°
解析
【分析】
解题时先结合已知的AB//CD的平行关系，利用平行线的内错角相等得到∠BAG与∠2相等，再根据AG是∠BAE的角平分线，求出∠BAE的度数，最后再次利用平行线的同位角相等，即可求出∠1的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠BAG = ∠2 = 30°（两直线平行，内错角相等），
∵AG平分∠BAE，
∴∠BAE = 2∠BAG = 2×30° = 60°，
又
∵AB//CD，
∴∠1 = ∠BAE = 60°（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
60°
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是平行线性质与角平分线定义的基础综合题，解题的关键是熟练掌握平行线中内错角、同位角的相等关系，结合角平分线的倍数关系进行角度运算，是平行线章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先结合已知的AB//CD的平行关系，利用平行线的内错角相等得到∠BAG与∠2相等，再根据AG是∠BAE的角平分线，求出∠BAE的度数，最后再次利用平行线的同位角相等，即可求出∠1的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠BAG = ∠2 = 30°（两直线平行，内错角相等），
∵AG平分∠BAE，
∴∠BAE = 2∠BAG = 2×30° = 60°，
又
∵AB//CD，
∴∠1 = ∠BAE = 60°（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
60°
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是平行线性质与角平分线定义的基础综合题，解题的关键是熟练掌握平行线中内错角、同位角的相等关系，结合角平分线的倍数关系进行角度运算，是平行线章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
6 将一把直尺和一块直角三角尺(含$30°$角)按如图所示的方式摆放,直尺的一边与直角三角尺的两直角边分别交于A,D两点,另一边与直角三角尺的两直角边分别交于E,F两点,$∠ CEF=45°$,则$∠ BAD$的度数为
15°
。答案
6. 15°
解析
【分析】
解题思路可分为四步：第一步，根据直尺对边互相平行的特征，得到$EF// AD$；第二步，利用平行线“两直线平行，同位角相等”的性质，可得$∠ CAD=∠ CEF=45°$；第三步，结合含$30°$角的直角三角尺的角度特征，计算出$∠ BAC=60°$；第四步，用$∠ BAC$减去$∠ CAD$即可求出$∠ BAD$的度数。
【解析】
解：
∵直尺的两组对边互相平行，
∴$EF// AD$，
根据两直线平行，同位角相等，可得：$∠ CAD=∠ CEF=45°$，
∵直角三角尺含$30°$角，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，
∴$∠ BAC=180°-∠ C-∠ B=180°-90°-30°=60°$，
∴$∠ BAD=∠ BAC-∠ CAD=60°-45°=15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
平行线的性质；直角三角形内角和；角度计算
【点评】
本题结合日常学习工具的摆放考查几何性质的应用，属于基础题型，解题的关键是挖掘出直尺对边平行、三角尺角度固定的隐含条件，熟练运用平行线的性质进行角度推导计算。
【难度系数】
0.75
解题思路可分为四步：第一步，根据直尺对边互相平行的特征，得到$EF// AD$；第二步，利用平行线“两直线平行，同位角相等”的性质，可得$∠ CAD=∠ CEF=45°$；第三步，结合含$30°$角的直角三角尺的角度特征，计算出$∠ BAC=60°$；第四步，用$∠ BAC$减去$∠ CAD$即可求出$∠ BAD$的度数。
【解析】
解：
∵直尺的两组对边互相平行，
∴$EF// AD$，
根据两直线平行，同位角相等，可得：$∠ CAD=∠ CEF=45°$，
∵直角三角尺含$30°$角，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，
∴$∠ BAC=180°-∠ C-∠ B=180°-90°-30°=60°$，
∴$∠ BAD=∠ BAC-∠ CAD=60°-45°=15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
平行线的性质；直角三角形内角和；角度计算
【点评】
本题结合日常学习工具的摆放考查几何性质的应用，属于基础题型，解题的关键是挖掘出直尺对边平行、三角尺角度固定的隐含条件，熟练运用平行线的性质进行角度推导计算。
【难度系数】
0.75
7 新情境 生活实际 绿色出行，健康出行，你我同行.某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.如图①所示为某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB//CD，AM//BC.已知∠BCD＝65°，求∠MAB的度数.
答案
7.
∵ AB//CD,
∴ ∠ABC=∠BCD.
∵ AM//BC,
∴ ∠MAB+∠ABC=180°.
∴ ∠MAB+∠BCD=180°.
∵ ∠BCD=65°,
∴ ∠MAB=115°
∵ AB//CD,
∴ ∠ABC=∠BCD.
∵ AM//BC,
∴ ∠MAB+∠ABC=180°.
∴ ∠MAB+∠BCD=180°.
∵ ∠BCD=65°,
∴ ∠MAB=115°
解析
【分析】
本题要求∠MAB的度数，已知两组平行线和∠BCD的度数，可通过平行线的性质推导角的数量关系求解：首先根据AB//CD，可得内错角∠ABC与∠BCD相等；再根据AM//BC，可得同旁内角∠MAB与∠ABC互补，最后将已知的∠BCD的度数代入等量关系，即可算出∠MAB的度数。
【解析】
∵ AB//CD，
∴ ∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∵ AM//BC，
∴ ∠MAB+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠MAB+∠BCD=180°，
∵ ∠BCD=65°，
∴ ∠MAB=180°-65°=115°。
【答案】
115°
【知识点】
两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补
【点评】
本题结合共享单车的生活实际情境，考查平行线性质的应用，解题关键是准确识别平行线形成的特殊角，建立已知角和未知角的数量关系，属于基础应用题。
【难度系数】
0.85
本题要求∠MAB的度数，已知两组平行线和∠BCD的度数，可通过平行线的性质推导角的数量关系求解：首先根据AB//CD，可得内错角∠ABC与∠BCD相等；再根据AM//BC，可得同旁内角∠MAB与∠ABC互补，最后将已知的∠BCD的度数代入等量关系，即可算出∠MAB的度数。
【解析】
∵ AB//CD，
∴ ∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∵ AM//BC，
∴ ∠MAB+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠MAB+∠BCD=180°，
∵ ∠BCD=65°，
∴ ∠MAB=180°-65°=115°。
【答案】
115°
【知识点】
两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补
【点评】
本题结合共享单车的生活实际情境，考查平行线性质的应用，解题关键是准确识别平行线形成的特殊角，建立已知角和未知角的数量关系，属于基础应用题。
【难度系数】
0.85
8 如图，$∠ DAC + ∠ ACB = 180°$，$AD // EF$，$CE$平分$∠ BCF$，$∠ DAC = 3∠ BCF$，$∠ ACF = 20°$，求$∠ FEC$的度数. 
答案
8.
∵ CE 平分$∠BCF,∴ ∠BCE = ∠ECF$. 设$∠BCE = ∠ECF=x$,则$∠BCF=2x$. $∵ ∠DAC=3∠BCF,∴ ∠DAC=6x$. $∵ ∠ACB = ∠BCF + ∠ACF = 2x + 20°, ∠DAC + ∠ACB = 180°, ∴ 6x + 2x + 20° = 180°$, 解得 $x = 20°$, 即$∠BCE=20°$. $∵ ∠DAC+∠ACB=180°,∴ AD//BC$. $∵ AD//EF,∴ EF//BC$. $∴ ∠FEC=∠BCE=20°$
∵ CE 平分$∠BCF,∴ ∠BCE = ∠ECF$. 设$∠BCE = ∠ECF=x$,则$∠BCF=2x$. $∵ ∠DAC=3∠BCF,∴ ∠DAC=6x$. $∵ ∠ACB = ∠BCF + ∠ACF = 2x + 20°, ∠DAC + ∠ACB = 180°, ∴ 6x + 2x + 20° = 180°$, 解得 $x = 20°$, 即$∠BCE=20°$. $∵ ∠DAC+∠ACB=180°,∴ AD//BC$. $∵ AD//EF,∴ EF//BC$. $∴ ∠FEC=∠BCE=20°$
解析
【分析】
解题时首先从已知的同旁内角互补关系入手，可先判定AD与BC平行，再结合AD平行于EF的条件得到EF和BC的平行关系；遇到角平分线和角的倍数关系时，可通过设未知数表示出相关角度，利用∠DAC与∠ACB互补的等量关系列方程求解出∠BCE的度数，最后根据平行线的内错角相等的性质即可求出∠FEC的度数。
【解析】
∵ CE平分$∠BCF$，
∴ $∠BCE = ∠ECF$，
设$∠BCE = ∠ECF=x$，则$∠BCF=2x$，
∵ $∠DAC=3∠BCF$，
∴ $∠DAC=6x$，
∵ $∠ACB = ∠BCF + ∠ACF = 2x + 20°$，且$∠DAC + ∠ACB = 180°$，
∴ $6x + 2x + 20° = 180°$，
解得 $x = 20°$，即$∠BCE=20°$，
∵ $∠DAC+∠ACB=180°$，
∴ $AD// BC$（同旁内角互补，两直线平行），
∵ $AD// EF$，
∴ $EF// BC$（平行于同一直线的两条直线互相平行），
∴ $∠FEC=∠BCE=20°$（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
$20°$
【知识点】
平行线的判定，平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是角度计算的常见综合题型，将方程思想和几何性质结合考查，解题时需要理清各角之间的数量关系，熟练运用平行线的判定和性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的同旁内角互补关系入手，可先判定AD与BC平行，再结合AD平行于EF的条件得到EF和BC的平行关系；遇到角平分线和角的倍数关系时，可通过设未知数表示出相关角度，利用∠DAC与∠ACB互补的等量关系列方程求解出∠BCE的度数，最后根据平行线的内错角相等的性质即可求出∠FEC的度数。
【解析】
∵ CE平分$∠BCF$，
∴ $∠BCE = ∠ECF$，
设$∠BCE = ∠ECF=x$，则$∠BCF=2x$，
∵ $∠DAC=3∠BCF$，
∴ $∠DAC=6x$，
∵ $∠ACB = ∠BCF + ∠ACF = 2x + 20°$，且$∠DAC + ∠ACB = 180°$，
∴ $6x + 2x + 20° = 180°$，
解得 $x = 20°$，即$∠BCE=20°$，
∵ $∠DAC+∠ACB=180°$，
∴ $AD// BC$（同旁内角互补，两直线平行），
∵ $AD// EF$，
∴ $EF// BC$（平行于同一直线的两条直线互相平行），
∴ $∠FEC=∠BCE=20°$（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
$20°$
【知识点】
平行线的判定，平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是角度计算的常见综合题型，将方程思想和几何性质结合考查，解题时需要理清各角之间的数量关系，熟练运用平行线的判定和性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
