9 如图是纸风车的示意图，AC和BD的交点在风车杆上.若∠A=∠C=87°,∠B=56°,则∠D的度数为 ()

A.$56°$
B.$64°$
C.$76°$
D.$87°$
（第9题）

9. A

【分析】
本题可结合平行线的判定与性质求解，首先观察角的位置：∠A与∠C是直线AB、CD被直线AC所截得到的内错角，已知∠A=∠C，根据“内错角相等，两直线平行”可判定AB//CD；再观察∠B与∠D的位置，它们是直线AB、CD被直线BD所截得到的内错角，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”即可直接得到∠D=∠B，从而求出度数。
【解析】
∵∠A和∠C是直线AB、CD被AC所截形成的内错角，且∠A=∠C=87°，
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）。
又
∵∠B和∠D是直线AB、CD被BD所截形成的内错角，AB//CD，
∴∠D=∠B（两直线平行，内错角相等）。
已知∠B=56°，因此∠D=56°。
【答案】
A
【知识点】
平行线的判定，平行线的性质，内错角
【点评】
本题是平行线判定与性质的基础应用题目，解题关键是准确识别图形中的内错角，灵活运用平行线的判定和性质进行角的等量代换，解题过程无需计算复杂角度，能很好地考查学生对几何基本图形和性质的识别应用能力。
【难度系数】
0.8

10 如图，直线$AB// CD$，则$∠α$，$∠β$，$∠\gamma$之间的关系是 （）

A.$∠α+∠β - 2∠\gamma=180°$
B.$∠β - ∠α=∠\gamma$
C.$∠α+∠β + ∠\gamma=360°$
D.$∠β+∠\gamma - ∠α=180°$

10. D 【解析】如图,过点 E 作 $EF//AB$,则$∠FEA=∠α$.
$∴ ∠FED=∠β-∠FEA=∠β-∠α$. $∵ AB//CD,EF//AB$,
$∴ EF//CD$. $∴ ∠γ+∠FED=180°$,即$∠β+∠γ-∠α=180°$.

【分析】
本题是平行线间的拐角角度关系推导题，解题核心是过拐点作平行线构造三线八角模型。观察到AB与CD平行，点E是折线的拐点，因此过E作AB的平行线EF，可将∠β拆分为两个角，分别利用平行线的内错角相等、同旁内角互补的性质，建立三个角的数量关系，整理后即可得到结论。
【解析】
过点E作$EF// AB$，
∵ $EF// AB$，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠FEA=∠α$，
∴ $∠FED=∠β - ∠FEA=∠β - ∠α$，
又
∵ $AB// CD$，$EF// AB$，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，可得$EF// CD$，
∵ $EF// CD$，根据两直线平行，同旁内角互补，可得$∠γ + ∠FED=180°$，
将$∠FED=∠β - ∠α$代入得：$∠γ + ∠β - ∠α=180°$。

【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论
【点评】
本题是平行线性质的典型常考题，重点考察平行线间拐点问题的辅助线构造方法，熟练掌握过拐点作平行线的技巧，就能快速梳理出各角的关系解决此类问题。
【难度系数】
0.7

11 要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东$65°$方向到B村，从B村沿北偏西$25°$方向到C村，水渠从C村沿CE方向修建到E村.已知CE的方向与AB的方向一致，工程队从C村沿CE的方向开始施工，则$∠ BCE$的度数为.

11. 90°

【分析】首先明确隐含条件：所有正北方向的直线互相平行，方向相同的两条直线也互相平行。第一步，利用两正北方向直线平行的性质，结合已知的两个方位角，求出∠ABC的度数；第二步，由CE与AB方向一致可得CE//AB，再根据平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，即可求出∠BCE的度数。
【解析】解：
∵ 正北方向的直线互相平行，且A到B为北偏东65°方向，B到C为北偏西25°方向，
∴ ∠ABC = 180° - 65° - 25° = 90°。
又
∵ CE的方向与AB的方向一致，
∴ CE//AB，
∴ ∠BCE = ∠ABC = 90°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】90°
【知识点】平行线的性质，方位角的应用
【点评】本题结合实际的水渠修建问题考查平行线的性质，解题的关键是找准题目中隐含的平行关系，再结合平行线的性质进行角度计算，属于基础题型。
【难度系数】0.7

12 如图，DA平分∠BDC，∠1=∠2，∠B+∠F=180°.
（1）写出3个∠B的同旁内角；
（2）若∠B=105°，求∠ADC的度数；
（3）求证：CD//EF.

12. (1)答案不唯一,如$∠2,∠BDC,∠F$
(2) $∵ DA$ 平分$∠BDC,∴ ∠ADC=∠2=\frac{1}{2}∠BDC$. $∵ ∠1=∠2,∴ ∠1=∠ADC$. $∴ AB//CD$. $∴ ∠BDC=180°-∠B=180°-105°=75°$. $∴ ∠ADC=\frac{1}{2}∠BDC=\frac{1}{2}×75°=37.5°$
(3) 由(2),得$AB//CD$. $∵ ∠B+∠F=180°,∴ AB//EF$. $∴ CD//EF$

【分析】
（1）解题思路：先回忆同旁内角的定义：两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且夹在两条被截直线之间的角为同旁内角，按照定义寻找和∠B符合同特征的角即可，答案不唯一。
（2）解题思路：要求∠ADC的度数，首先结合角平分线定义可得∠ADC=∠2，结合已知∠1=∠2可推出∠1=∠ADC，根据内错角相等得到AB//CD；再利用平行线同旁内角互补的性质求出∠BDC的度数，最后根据角平分线的定义计算出∠ADC的度数即可。
（3）解题思路：要证CD//EF，先由（2）的结论得到AB//CD，再结合∠B+∠F=180°，根据同旁内角互补推出AB//EF，最后根据平行公理的推论（平行于同一直线的两直线互相平行）即可得证。
【解析】
（1）根据同旁内角的定义，∠B的同旁内角可写为：∠2、∠BDC、∠F（答案不唯一）。
（2）解：
∵ DA平分∠BDC，
∴ $∠ ADC=∠ 2=\frac{1}{2}∠ BDC$。
∵ $∠ 1=∠ 2$，
∴ $∠ 1=∠ ADC$，
∴ $AB// CD$（内错角相等，两直线平行），
∴ $∠ B+∠ BDC=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
已知$∠ B=105°$，
∴ $∠ BDC=180°-105°=75°$，
∴ $∠ ADC=\frac{1}{2}×75°=37.5°$。
（3）证明：由（2）可知$AB// CD$，
∵ $∠ B+∠ F=180°$，
∴ $AB// EF$（同旁内角互补，两直线平行），
∴ $CD// EF$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
【答案】
(1) 答案不唯一，如$∠ 2,∠ BDC,∠ F$
(2) $37.5°$
(3) 已证$CD// EF$
【知识点】
同旁内角识别；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何题，综合考查了同旁内角、角平分线和平行线相关的核心知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质定理，灵活运用平行公理的推论完成平行关系的证明。
【难度系数】
0.7

13 分类讨论思想 如图，$AB// CD$，$BE// FG$.
（1）如果$∠ 1=53°$，求$∠ 2$和$∠ 3$的度数；
（2）本题隐含着一个规律，请你根据(1)中的结果进行归纳，使用文字语言表达出来；
（3）利用(2)的结论解答：如果两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的2倍小$30°$，求这两个角的度数.

13. (1) $∵ AB//CD,∠1=53°,∴ ∠4=∠1=53°. ∵ BE//FG$,
$∴ ∠2=∠4=53°. ∵ ∠2+∠3=180°,∴ ∠3=180°-∠2=127°$
(2) 由(1)中的结果,可知如果两个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补
(3) 设一个角的度数为 $x°$,另一个角的度数为$(2x-30)°$.根据题意,得$x°+(2x-30)°=180°$或$x°=(2x-30)°$,解得 $x=70$ 或 $x=30$. 当 $x=70$ 时,$2x-30=110$;当 $x=30$ 时,$2x-30=30$. $∴$ 这两个角的度数分别是 $70°,110°$或$30°,30°$

【分析】
（1）求解∠2和∠3的度数时，可结合已知的两组平行关系，利用平行线“同位角相等”的性质推导角的等量关系，再结合邻补角和为180°计算即可：首先由AB//CD可得∠1和∠4相等，再由BE//FG可得∠2和∠4相等，即可求出∠2，最后利用∠2和∠3是邻补角的关系求出∠3。
（2）观察∠1和∠2、∠3的关系：∠1和∠2两边分别平行且相等，∠1和∠3两边分别平行且互补，即可归纳出对应的规律。
（3）根据（2）的结论，两个角的两边分别平行时存在相等、互补两种情况，分类列出方程求解即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) $\because AB// CD$，$∠ 1=53°$，根据两直线平行，同位角相等，$\therefore ∠ 4=∠ 1=53°$。
$\because BE// FG$，根据两直线平行，同位角相等，$\therefore ∠ 2=∠ 4=53°$。
$\because ∠ 2$与$∠ 3$是邻补角，$∠ 2+∠ 3=180°$，$\therefore ∠ 3=180°-∠ 2=180°-53°=127°$。
(2) 观察(1)中$∠ 1$与$∠ 2$两边分别平行且相等，$∠ 1$与$∠ 3$两边分别平行且互补，可得规律：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
(3) 设其中一个角的度数为$x°$，则另一个角的度数为$(2x-30)°$。
根据(2)的结论分两种情况讨论：
① 当两个角相等时：$x = 2x - 30$，解得$x=30$，此时$2x-30=30$，两个角均为$30°$；
② 当两个角互补时：$x + (2x - 30) = 180$，解得$x=70$，此时$2x-30=110$，两个角分别为$70°$、$110°$。
【答案】
(1) $∠ 2=53°$，$∠ 3=127°$；
(2) 如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；
(3) 这两个角的度数为$30°$和$30°$，或$70°$和$110°$。
【知识点】
平行线的性质，分类讨论思想，邻补角互补
【点评】
本题从平行线性质的基础应用出发，引导学生归纳一般规律，再利用规律解决实际问题，既考查了平行线相关性质的掌握程度，也锻炼了归纳推理能力和分类讨论的数学思维，解题时注意不要漏记两边分别平行的两个角存在相等、互补两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7

14 新考向 探究题 如图，给出$∠ ABC$，画直线$DE// BC$，$DE$与$AB$相交于点$O$.现将一个直角三角尺的直角顶点落在点$O$处，顶点$M$，$N$落在$DE$的同侧，并使$OM$平分$∠ AOD$.
（1）当$∠ ABC=54°$时，求$∠ AOM$的度数.
（2）画$∠ ABC$的平分线$BF$，那么$ON$与$BF$有怎样的位置关系？为什么？

14. (1) $∵ DE//BC,∠ABC=54°,∴ ∠ABC=∠AOE=54°$.
$∵ ∠AOD+∠AOE=180°,∴ ∠AOD=126°. ∵ OM$ 平分$∠AOD,∴ ∠AOM=\frac{1}{2}∠AOD=63°$
(2) $∠ABC$ 的平分线$BF$ 如图所示 $ON//BF$ $∵ DE//BC,∴ ∠ABC+∠EOB=180°$. $∵ ∠EOB=∠AOD,∴ ∠ABC+∠AOD=180°. ∵ OM$平分$∠AOD$,$BF$平分$∠ABC,∴ ∠AOD=2∠AOM,∠ABC=2∠ABF$. $∴ 2∠AOM+2∠ABF=180°. ∴ ∠AOM+∠ABF=90°. ∵ ∠AOM + ∠AON = 90°, ∴ ∠ABF = ∠AON$. $∴ ON//BF$

【分析】
（1）第一问先利用平行线的同位角相等性质，由$DE// BC$求出$∠ AOE$的度数，再根据邻补角和为$180°$计算$∠ AOD$的度数，最后结合角平分线的定义即可求出$∠ AOM$的度数。
（2）第二问要判断$ON$与$BF$的位置关系，先根据平行线的同旁内角互补、对顶角相等推出$∠ ABC$与$∠ AOD$的和为$180°$，再结合角平分线定义得到$∠ AOM$与$∠ ABF$的和为$90°$，结合直角三角尺的直角特征，利用同角的余角相等得到一组同位角相等，即可判定两直线平行。
【解析】
（1）$\because DE// BC$，$∠ ABC=54°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ AOE=54°$（两直线平行，同位角相等）。
$\because ∠ AOD+∠ AOE=180°$（邻补角的和为$180°$），
$\therefore ∠ AOD=180°-54°=126°$。
$\because OM$平分$∠ AOD$，
$\therefore ∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×126°=63°$。
（2）$∠ ABC$的平分线$BF$画图：以$B$为顶点，作射线$BF$平分$∠ ABC$，交$DE$于点$F$即可，如图所示。
$ON$与$BF$的位置关系为：$\boldsymbol{ON// BF}$，理由如下：
$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ ABC+∠ EOB=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
$\because ∠ EOB=∠ AOD$（对顶角相等），
$\therefore ∠ ABC+∠ AOD=180°$。
$\because OM$平分$∠ AOD$，$BF$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ AOD=2∠ AOM$，$∠ ABC=2∠ ABF$，
代入得$2∠ AOM+2∠ ABF=180°$，即$∠ AOM+∠ ABF=90°$。
$\because ∠ MON=90°$，即$∠ AOM+∠ AON=90°$，
$\therefore ∠ ABF=∠ AON$（同角的余角相等），
$\therefore ON// BF$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{63°}$
(2) $ON// BF$，画图如下：

【知识点】
1. 平行线的性质与判定
2. 角平分线的定义
3. 余角的性质
【点评】
本题结合三角尺操作的探究情境，综合考查了几何基础角的关系与平行线的相关知识，解题关键是梳理清楚图中角的等量、和差关系，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7