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5 如图所示为小红在一天中四个时刻看到的一棵树的影子的图，将它们按时间先后顺序排列为
④②①③
（填序号）。答案
5. ④②①③
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要掌握北半球一天中太阳光平行投影的影子变化规律：太阳的位置是东升西落，上午从东向南移动，正午在正南，下午从南向西移动，影子的方向与太阳的方向相反，因此影子朝向依次为正西→西北→正北→东北→正东，影子长度先变短、正午最短、后变长。接下来结合图中的方向标，判断每幅图的影子朝向，对应不同的时间段，再按时间先后排序即可。
【解析】
1. 明确平行投影规律：北半球一天中，太阳从正东升起，逐渐向正南移动，正午处于正南位置，之后逐渐向正西落下，影子方向与太阳方向相反，因此影子朝向的变化顺序为正西、西北、正北、东北、正东。
2. 结合方向标（上北下南、左西右东）判断各图影子朝向：
图④影子朝向正西，对应早晨时刻；
图②影子朝向西北，对应上午时刻；
图①影子朝向东北，对应下午时刻；
图③影子朝向正东，对应傍晚时刻。
3. 按时间先后顺序排列为④②①③。
【答案】
④②①③
【知识点】
平行投影规律，方位判断，日影变化规律
【点评】
本题结合生活实际考查平行投影的相关知识，解题的核心是掌握北半球一天中太阳位置与影子朝向的对应关系，需要将理论知识和生活常识结合起来分析，难度不高，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要掌握北半球一天中太阳光平行投影的影子变化规律：太阳的位置是东升西落，上午从东向南移动，正午在正南，下午从南向西移动，影子的方向与太阳的方向相反，因此影子朝向依次为正西→西北→正北→东北→正东，影子长度先变短、正午最短、后变长。接下来结合图中的方向标，判断每幅图的影子朝向，对应不同的时间段，再按时间先后排序即可。
【解析】
1. 明确平行投影规律：北半球一天中，太阳从正东升起，逐渐向正南移动，正午处于正南位置，之后逐渐向正西落下，影子方向与太阳方向相反，因此影子朝向的变化顺序为正西、西北、正北、东北、正东。
2. 结合方向标（上北下南、左西右东）判断各图影子朝向：
图④影子朝向正西，对应早晨时刻；
图②影子朝向西北，对应上午时刻；
图①影子朝向东北，对应下午时刻；
图③影子朝向正东，对应傍晚时刻。
3. 按时间先后顺序排列为④②①③。
【答案】
④②①③
【知识点】
平行投影规律，方位判断，日影变化规律
【点评】
本题结合生活实际考查平行投影的相关知识，解题的核心是掌握北半球一天中太阳位置与影子朝向的对应关系，需要将理论知识和生活常识结合起来分析，难度不高，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
1 新情境数学文化 下列投影是平行投影的为
（
A.孙敬“悬梁”在灯下读书的影子
B.朱买臣“负薪”在日光下读书的影子
C.车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子
D.匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子
（
B
）A.孙敬“悬梁”在灯下读书的影子
B.朱买臣“负薪”在日光下读书的影子
C.车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子
D.匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先回忆平行投影与中心投影的核心区别：二者的光源类型不同，平行投影由平行光线照射形成，最典型的平行光源是太阳光；中心投影由点光源发出的光线照射形成，常见的点光源有灯光、萤火虫光等。接下来逐一分析每个选项的光源类型，对应判断投影类型即可得出答案。
【解析】
首先明确概念：①平行投影：由平行光线（如太阳光）照射形成的投影；②中心投影：由点光源发出的光线照射形成的投影。
对各选项逐一分析：
A选项：光源是灯，属于点光源，形成的投影是中心投影，不符合题意；
B选项：光源是日光即太阳光，属于平行光线，形成的投影是平行投影，符合题意；
C选项：光源是萤火，属于点光源，形成的投影是中心投影，不符合题意；
D选项：光源是邻居家的灯光，属于点光源，形成的投影是中心投影，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平行投影的概念
2. 中心投影的概念
【点评】
本题结合传统历史典故考查投影类型的区分，既考查了数学基础概念的掌握情况，也融入了传统文化知识，只要能准确区分平行光线和点光源，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平行投影与中心投影的核心区别：二者的光源类型不同，平行投影由平行光线照射形成，最典型的平行光源是太阳光；中心投影由点光源发出的光线照射形成，常见的点光源有灯光、萤火虫光等。接下来逐一分析每个选项的光源类型，对应判断投影类型即可得出答案。
【解析】
首先明确概念：①平行投影：由平行光线（如太阳光）照射形成的投影；②中心投影：由点光源发出的光线照射形成的投影。
对各选项逐一分析：
A选项：光源是灯，属于点光源，形成的投影是中心投影，不符合题意；
B选项：光源是日光即太阳光，属于平行光线，形成的投影是平行投影，符合题意；
C选项：光源是萤火，属于点光源，形成的投影是中心投影，不符合题意；
D选项：光源是邻居家的灯光，属于点光源，形成的投影是中心投影，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平行投影的概念
2. 中心投影的概念
【点评】
本题结合传统历史典故考查投影类型的区分，既考查了数学基础概念的掌握情况，也融入了传统文化知识，只要能准确区分平行光线和点光源，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
2 在下列四幅图中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的是（
A
）答案
2. A
解析
【分析】
解决本题首先要明确同一时刻同一地点阳光下的影子是平行投影，结合平行投影的两个核心特点判断即可：一是所有物体的影子朝向相同，二是物体的高度和影长成正比，越高的物体影子越长。先排除影子朝向不同的选项，再验证剩余选项的物高和影长的比例关系是否符合要求，就能得出正确答案。
【解析】
同一时刻同一地点的阳光下的影子属于平行投影，具有两个性质：
1. 不同物体的影子朝向完全相同；
2. 物体高度与对应影长的比值相等，即物高越高，影长越长。
对各选项逐一判断：
选项B、C中两棵树的影子朝向相反，不符合平行投影的性质，排除；
选项D中更矮的小树影长反而高于更高的大树影长，不符合物高与影长成正比的规律，排除；
选项A中两棵树影子朝向一致，且更高的树影长更长，符合平行投影的所有性质，因此A正确。
【答案】
A
【知识点】
平行投影的性质，物高与影长的关系
【点评】
本题是平行投影的基础应用类题目，只要掌握平行投影的核心特征，结合图形简单分析就能快速得出结论，属于容易得分的题型。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确同一时刻同一地点阳光下的影子是平行投影，结合平行投影的两个核心特点判断即可：一是所有物体的影子朝向相同，二是物体的高度和影长成正比，越高的物体影子越长。先排除影子朝向不同的选项，再验证剩余选项的物高和影长的比例关系是否符合要求，就能得出正确答案。
【解析】
同一时刻同一地点的阳光下的影子属于平行投影，具有两个性质：
1. 不同物体的影子朝向完全相同；
2. 物体高度与对应影长的比值相等，即物高越高，影长越长。
对各选项逐一判断：
选项B、C中两棵树的影子朝向相反，不符合平行投影的性质，排除；
选项D中更矮的小树影长反而高于更高的大树影长，不符合物高与影长成正比的规律，排除；
选项A中两棵树影子朝向一致，且更高的树影长更长，符合平行投影的所有性质，因此A正确。
【答案】
A
【知识点】
平行投影的性质，物高与影长的关系
【点评】
本题是平行投影的基础应用类题目，只要掌握平行投影的核心特征，结合图形简单分析就能快速得出结论，属于容易得分的题型。
【难度系数】
0.8
3 [2025深圳龙华期末]如图,在水平放置的木板中央竖直钉一枚钉子.从早晨到傍晚,钉子在阳光照射下,投在木板上的影子长度的变化情况是 (
A.一直变短
B.短一长一短
C.一直变长
D.长一短一长
D
)A.一直变短
B.短一长一短
C.一直变长
D.长一短一长
答案
3. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确本题考查太阳光下的平行投影规律。解题思路为：先回忆一天中太阳高度角的变化趋势，再根据太阳高度角和物体影长的对应关系，判断影子长度的变化过程。具体来说：一天中太阳东升西落，太阳高度角（太阳光线与地平面的夹角）先逐渐增大，到正午时达到最大值，之后逐渐减小；物体的影长和太阳高度角成反比，高度角越小影子越长，高度角越大影子越短，据此即可推出影子的变化情况。
【解析】
太阳光照射属于平行投影，一天中太阳高度角的变化规律为：早晨太阳高度角小，钉子的影子较长；随着太阳升高，太阳高度角逐渐变大，影子逐渐变短，到正午时太阳高度角最大，此时影子最短；正午过后太阳逐渐下落，太阳高度角逐渐变小，影子又逐渐变长。因此从早晨到傍晚，钉子影子的长度变化是长—短—长，故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行投影；影长与太阳高度的关系
【点评】
本题结合生活实际考查平行投影的相关规律，只要掌握一天中阳光下物体影子的变化规律即可快速作答，体现了数学知识在生活中的应用。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确本题考查太阳光下的平行投影规律。解题思路为：先回忆一天中太阳高度角的变化趋势，再根据太阳高度角和物体影长的对应关系，判断影子长度的变化过程。具体来说：一天中太阳东升西落，太阳高度角（太阳光线与地平面的夹角）先逐渐增大，到正午时达到最大值，之后逐渐减小；物体的影长和太阳高度角成反比，高度角越小影子越长，高度角越大影子越短，据此即可推出影子的变化情况。
【解析】
太阳光照射属于平行投影，一天中太阳高度角的变化规律为：早晨太阳高度角小，钉子的影子较长；随着太阳升高，太阳高度角逐渐变大，影子逐渐变短，到正午时太阳高度角最大，此时影子最短；正午过后太阳逐渐下落，太阳高度角逐渐变小，影子又逐渐变长。因此从早晨到傍晚，钉子影子的长度变化是长—短—长，故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行投影；影长与太阳高度的关系
【点评】
本题结合生活实际考查平行投影的相关规律，只要掌握一天中阳光下物体影子的变化规律即可快速作答，体现了数学知识在生活中的应用。
【难度系数】
0.8
4 [2025烟台蓬莱期末]小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影可能是下列图中的
②③④
（填序号）。答案
4. ②③④
解析
【分析】
解题时首先明确太阳光属于平行光线，平行投影有核心性质：原图形中互相平行的边，投影后仍然保持平行或者共线。接下来结合矩形两组对边分别平行的特征，先排除只有一组对边平行的梯形（图①），再分矩形与光线平行、垂直、倾斜三种摆放情况分析对应的投影形状，即可得到正确结果。
【解析】
太阳光线为平行光线，矩形的平行投影符合平行投影的规律：
1. 若矩形木框所在平面与太阳光线平行，此时矩形四条边的投影会重合为一条线段，对应图②；
2. 若矩形木框所在平面与太阳光线垂直，此时投影和原矩形全等，为矩形，对应图③；
3. 若矩形木框所在平面与太阳光线呈一定倾斜角，且不与光线平行，此时矩形两组对边的投影仍然分别平行，投影为平行四边形，对应图④；
矩形两组对边均平行，平行投影不可能出现仅一组对边平行的情况，故①梯形不可能是其投影。
【答案】
②③④
【知识点】
平行投影的性质；矩形的性质；投影的判断
【点评】
本题结合生活实例考查平行投影的相关知识，解题时需要分类讨论矩形的不同摆放角度，牢记平行投影中平行边的投影仍平行（或共线）的性质，可快速排除错误选项，同时不要忽略投影为线段的特殊情况。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确太阳光属于平行光线，平行投影有核心性质：原图形中互相平行的边，投影后仍然保持平行或者共线。接下来结合矩形两组对边分别平行的特征，先排除只有一组对边平行的梯形（图①），再分矩形与光线平行、垂直、倾斜三种摆放情况分析对应的投影形状，即可得到正确结果。
【解析】
太阳光线为平行光线，矩形的平行投影符合平行投影的规律：
1. 若矩形木框所在平面与太阳光线平行，此时矩形四条边的投影会重合为一条线段，对应图②；
2. 若矩形木框所在平面与太阳光线垂直，此时投影和原矩形全等，为矩形，对应图③；
3. 若矩形木框所在平面与太阳光线呈一定倾斜角，且不与光线平行，此时矩形两组对边的投影仍然分别平行，投影为平行四边形，对应图④；
矩形两组对边均平行，平行投影不可能出现仅一组对边平行的情况，故①梯形不可能是其投影。
【答案】
②③④
【知识点】
平行投影的性质；矩形的性质；投影的判断
【点评】
本题结合生活实例考查平行投影的相关知识，解题时需要分类讨论矩形的不同摆放角度，牢记平行投影中平行边的投影仍平行（或共线）的性质，可快速排除错误选项，同时不要忽略投影为线段的特殊情况。
【难度系数】
0.7
6 教材变式题 如图是两棵树及其影子的情形.
（1）哪个图反映了阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？
（2）请分别画出图①②中表示小明影长的线段AB，CD.
（3）某一时刻阳光下小明的影长为1.20 m，同一时刻树的影长为2.40 m，小明的身高为1.88 m，求树的高度.
（1）哪个图反映了阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？
（2）请分别画出图①②中表示小明影长的线段AB，CD.
（3）某一时刻阳光下小明的影长为1.20 m，同一时刻树的影长为2.40 m，小明的身高为1.88 m，求树的高度.
答案
6. (1) 题图①反映了阳光下的情形,题图②反映了路灯下的情形
(2) 如图①②,线段AB,CD即为表示小明影长的线段
(3) 设树的高度为 x m. 由题意,得$\frac{1.88}{1.20}=\frac{x}{2.40}$,解得 $x=3.76$.
∴ 树的高度为 3.76 m
解析
【分析】
解题时首先明确两类投影的核心特征：平行投影（阳光照射）的光线互相平行，同一时刻不同物体的影子朝向相同，物高与影长成正比；中心投影（点光源如路灯照射）的光线是发散的，延长后会交于点光源位置。
(1) 对比两个图的影子特征即可判断投影类型；
(2) 画影长时，图①根据平行光线的特点，过小明头顶作与树的光线平行的直线，与地面的交点到小明脚底的线段就是影长；图②先确定点光源（两棵树顶端与影子顶端连线的交点），再连接点光源和小明头顶并延长交地面，交点到小明脚底的线段即为影长；
(3) 利用平行投影下同一时刻物高与影长的比值相等，列比例式即可求解树高。
【解析】
(1) 阳光下的投影为平行投影，光线平行，同一时刻所有物体影子朝向一致，因此图①反映了阳光下的情形；路灯下的投影为中心投影，光线是从点光源发出的，延长后交于同一点，因此图②反映了路灯下的情形。
(2) ①图①中：过小明头顶作与树的影子对应的光线平行的直线，与地面交于点B，小明脚底位置为A，线段AB即为小明的影长；
②图②中：先连接两棵树的顶端与各自影子的顶端，延长两条线交于一点即为路灯的位置，连接该点与小明头顶并延长，与地面交于点D，小明脚底位置为C，线段CD即为小明的影长。
(3) 设树的高度为x m，同一时刻阳光下物高与影长的比值相等，据此列比例式：
$\frac{\mathrm{小明身高}}{\mathrm{小明影长}}=\frac{\mathrm{树高}}{\mathrm{树的影长}}$，代入数据得$\frac{1.88}{1.20}=\frac{x}{2.40}$，
解得：$x=\frac{1.88×2.40}{1.20}=3.76$。
【答案】
(1) 题图①反映了阳光下的情形,题图②反映了路灯下的情形
(2) 如图①②,线段AB,CD即为表示小明影长的线段
(3) 树的高度为 3.76 m
【知识点】
平行投影，中心投影，平行投影的性质
【点评】
本题结合生活场景考查投影的相关知识，需要准确区分两类投影的特征，能灵活运用平行投影的比例关系解决实际测量问题，贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确两类投影的核心特征：平行投影（阳光照射）的光线互相平行，同一时刻不同物体的影子朝向相同，物高与影长成正比；中心投影（点光源如路灯照射）的光线是发散的，延长后会交于点光源位置。
(1) 对比两个图的影子特征即可判断投影类型；
(2) 画影长时，图①根据平行光线的特点，过小明头顶作与树的光线平行的直线，与地面的交点到小明脚底的线段就是影长；图②先确定点光源（两棵树顶端与影子顶端连线的交点），再连接点光源和小明头顶并延长交地面，交点到小明脚底的线段即为影长；
(3) 利用平行投影下同一时刻物高与影长的比值相等，列比例式即可求解树高。
【解析】
(1) 阳光下的投影为平行投影，光线平行，同一时刻所有物体影子朝向一致，因此图①反映了阳光下的情形；路灯下的投影为中心投影，光线是从点光源发出的，延长后交于同一点，因此图②反映了路灯下的情形。
(2) ①图①中：过小明头顶作与树的影子对应的光线平行的直线，与地面交于点B，小明脚底位置为A，线段AB即为小明的影长；
②图②中：先连接两棵树的顶端与各自影子的顶端，延长两条线交于一点即为路灯的位置，连接该点与小明头顶并延长，与地面交于点D，小明脚底位置为C，线段CD即为小明的影长。
(3) 设树的高度为x m，同一时刻阳光下物高与影长的比值相等，据此列比例式：
$\frac{\mathrm{小明身高}}{\mathrm{小明影长}}=\frac{\mathrm{树高}}{\mathrm{树的影长}}$，代入数据得$\frac{1.88}{1.20}=\frac{x}{2.40}$，
解得：$x=\frac{1.88×2.40}{1.20}=3.76$。
【答案】
(1) 题图①反映了阳光下的情形,题图②反映了路灯下的情形
(2) 如图①②,线段AB,CD即为表示小明影长的线段
(3) 树的高度为 3.76 m
【知识点】
平行投影，中心投影，平行投影的性质
【点评】
本题结合生活场景考查投影的相关知识，需要准确区分两类投影的特征，能灵活运用平行投影的比例关系解决实际测量问题，贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.8
7 下列是矩形在水平面上的投影，其中属于正投影的是（
A
）答案
7. A
解析
【分析】
解题时首先回忆正投影的核心定义：正投影属于平行投影，其核心特征是投影线垂直于投影面。我们可以按以下步骤思考：第一步先确定本题的投影面是水平面，因此正投影的投影线必须垂直于水平面（即竖直方向）；第二步先排除投影线不垂直水平面的选项，再验证剩余选项是否符合“矩形的投影”这一前提，最终锁定正确答案。
【解析】
正投影的定义为：平行投影中，投影线垂直于投影面的投影叫做正投影。
本题投影面为水平面，因此正投影的投影线需垂直于水平面：
1. 观察选项C、D，其投影线为倾斜方向，不垂直于水平面，属于斜投影，不符合正投影要求，直接排除；
2. 观察选项B，其投影物体不是矩形，不符合题干“矩形在水平面上的投影”的前提，排除；
3. 观察选项A，投影线竖直向下垂直于水平投影面，投影物体为平行于投影面的矩形，所得投影为与原矩形全等的矩形，符合正投影的所有特征。
综上，符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
正投影的概念；平行投影；投影判断
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点围绕正投影的核心特征设题，只要抓住“投影线垂直于投影面”这一关键判断依据，就能快速得出正确结论。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆正投影的核心定义：正投影属于平行投影，其核心特征是投影线垂直于投影面。我们可以按以下步骤思考：第一步先确定本题的投影面是水平面，因此正投影的投影线必须垂直于水平面（即竖直方向）；第二步先排除投影线不垂直水平面的选项，再验证剩余选项是否符合“矩形的投影”这一前提，最终锁定正确答案。
【解析】
正投影的定义为：平行投影中，投影线垂直于投影面的投影叫做正投影。
本题投影面为水平面，因此正投影的投影线需垂直于水平面：
1. 观察选项C、D，其投影线为倾斜方向，不垂直于水平面，属于斜投影，不符合正投影要求，直接排除；
2. 观察选项B，其投影物体不是矩形，不符合题干“矩形在水平面上的投影”的前提，排除；
3. 观察选项A，投影线竖直向下垂直于水平投影面，投影物体为平行于投影面的矩形，所得投影为与原矩形全等的矩形，符合正投影的所有特征。
综上，符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
正投影的概念；平行投影；投影判断
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点围绕正投影的核心特征设题，只要抓住“投影线垂直于投影面”这一关键判断依据，就能快速得出正确结论。
【难度系数】
0.8
8（易错题）一根笔直的小木棒（记为线段AB），它的正投影为线段CD，则下列各式中一定成立的为（
A.$AB=CD$
B.$AB≤ CD$
C.$AB＞CD$
D.$AB≥ CD$
D
）A.$AB=CD$
B.$AB≤ CD$
C.$AB＞CD$
D.$AB≥ CD$
答案
8. D
易因未考虑小木棒相对于投影面的位置致错,容易得到错答案 A.
易因未考虑小木棒相对于投影面的位置致错,容易得到错答案 A.
解析
【分析】
解决本题需要结合正投影的性质，分情况讨论线段AB与投影面的位置关系，逐一推导不同位置下AB和投影CD的长度关系，再归纳出普遍成立的结论。首先要明确正投影属于平行投影，投影线垂直于投影面，再分别分析线段平行、倾斜、垂直于投影面三种情况的投影长度特点，最后对比选项判断即可。
【解析】
正投影是投影线垂直于投影面的平行投影，线段的正投影分三种情况：
1. 当线段AB平行于投影面时，正投影CD的长度与AB相等，即$AB=CD$；
2. 当线段AB倾斜于投影面时，正投影CD的长度小于AB的长度，即$AB＞CD$；
3. 当线段AB垂直于投影面时，正投影CD为一个点，长度为0，显然$AB＞CD$。
综合三种情况可知，$AB≥CD$一定成立，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 正投影的性质
2. 线段正投影规律
【点评】
本题属于易错题，易错点是仅考虑线段平行于投影面的情况误选A，解题时需全面考虑线段与投影面的三类位置关系，通过分类讨论推导普遍成立的结论。
【难度系数】
0.6
解决本题需要结合正投影的性质，分情况讨论线段AB与投影面的位置关系，逐一推导不同位置下AB和投影CD的长度关系，再归纳出普遍成立的结论。首先要明确正投影属于平行投影，投影线垂直于投影面，再分别分析线段平行、倾斜、垂直于投影面三种情况的投影长度特点，最后对比选项判断即可。
【解析】
正投影是投影线垂直于投影面的平行投影，线段的正投影分三种情况：
1. 当线段AB平行于投影面时，正投影CD的长度与AB相等，即$AB=CD$；
2. 当线段AB倾斜于投影面时，正投影CD的长度小于AB的长度，即$AB＞CD$；
3. 当线段AB垂直于投影面时，正投影CD为一个点，长度为0，显然$AB＞CD$。
综合三种情况可知，$AB≥CD$一定成立，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 正投影的性质
2. 线段正投影规律
【点评】
本题属于易错题，易错点是仅考虑线段平行于投影面的情况误选A，解题时需全面考虑线段与投影面的三类位置关系，通过分类讨论推导普遍成立的结论。
【难度系数】
0.6
