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9 [2025沈阳大东期末]如图，球在灯光的照射下在地面上形成了影子，当球竖直向下运动时，球的影子的大小变化情况是（
A.越来越小
B.越来越大
C.大小不变
D.不能确定
A
）A.越来越小
B.越来越大
C.大小不变
D.不能确定
答案
9. A
解析
【分析】
首先判断该投影属于中心投影，光源为顶部的灯光（点光源）。解题思路如下：第一步回忆中心投影的影长变化规律：同一个物体，距离点光源越近，形成的影子越大；距离点光源越远，形成的影子越小。第二步分析球的运动状态：球竖直向下运动时，到顶部点光源的距离逐渐增大。第三步结合规律判断影子变化：距离点光源变远，影子就会越来越小，对应选项A。
【解析】
该现象属于中心投影，顶部的灯光是点光源。
根据中心投影的规律：同一物体，距离点光源越近，其投影（影子）越大；距离点光源越远，其投影（影子）越小。
当球竖直向下运动时，球与灯光（点光源）的距离逐渐变大，因此它在地面上的影子会越来越小。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
中心投影；中心投影影长变化规律
【点评】
本题结合生活场景考查中心投影的相关知识，解题的关键是掌握中心投影下物体到点光源的距离对影子大小的影响，属于基础应用题，易结合生活经验判断。
【难度系数】
0.8
首先判断该投影属于中心投影，光源为顶部的灯光（点光源）。解题思路如下：第一步回忆中心投影的影长变化规律：同一个物体，距离点光源越近，形成的影子越大；距离点光源越远，形成的影子越小。第二步分析球的运动状态：球竖直向下运动时，到顶部点光源的距离逐渐增大。第三步结合规律判断影子变化：距离点光源变远，影子就会越来越小，对应选项A。
【解析】
该现象属于中心投影，顶部的灯光是点光源。
根据中心投影的规律：同一物体，距离点光源越近，其投影（影子）越大；距离点光源越远，其投影（影子）越小。
当球竖直向下运动时，球与灯光（点光源）的距离逐渐变大，因此它在地面上的影子会越来越小。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
中心投影；中心投影影长变化规律
【点评】
本题结合生活场景考查中心投影的相关知识，解题的关键是掌握中心投影下物体到点光源的距离对影子大小的影响，属于基础应用题，易结合生活经验判断。
【难度系数】
0.8
10 [2024 凉山]如图，将一块面积为60 cm²的三角形硬纸板ABC平行于投影面放置时，在点光源O的照射下形成的投影是△A₁B₁C₁。若OB：BB₁=2：3，则△A₁B₁C₁的面积是
375
cm²。答案
10. 375
解析
【分析】
首先，根据中心投影的性质，平行于投影面的平面图形的投影与原图形是位似（相似）图形，相似比等于原图形与投影图形的对应点到位似中心（点O）的距离之比。解题步骤如下：第一步先根据已知的OB:BB₁的比值，求出OB与OB₁的比值，即两个三角形的相似比；第二步利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合已知△ABC的面积，即可求出△A₁B₁C₁的面积。
【解析】
解：
∵△ABC平行于投影面放置，在中心投影下得到△A₁B₁C₁
∴△ABC∽△A₁B₁C₁，且相似比$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{OB}{OB_1}$
已知$OB:BB_1=2:3$，则$OB:OB_1=OB:(OB+BB_1)=2:(2+3)=2:5$
∴两个三角形的相似比为$\frac{2}{5}$，面积比为$(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$
即$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A_1B_1C_1}}=\frac{4}{25}$
将$S_{△ ABC}=60\mathrm{cm}^2$代入得：
$\frac{60}{S_{△ A_1B_1C_1}}=\frac{4}{25}$
解得$S_{△ A_1B_1C_1}=60×\frac{25}{4}=375\mathrm{cm}^2$
【答案】
375
【知识点】
中心投影的性质，位似图形的性质，相似三角形面积比
【点评】
本题考查中心投影与相似三角形的结合应用，解题的关键是正确求出两个三角形的相似比，易错点是误将OB:BB₁当做相似比，属于基础类考题，需要熟练掌握相似与位似的对应比例关系。
【难度系数】
0.7
首先，根据中心投影的性质，平行于投影面的平面图形的投影与原图形是位似（相似）图形，相似比等于原图形与投影图形的对应点到位似中心（点O）的距离之比。解题步骤如下：第一步先根据已知的OB:BB₁的比值，求出OB与OB₁的比值，即两个三角形的相似比；第二步利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合已知△ABC的面积，即可求出△A₁B₁C₁的面积。
【解析】
解：
∵△ABC平行于投影面放置，在中心投影下得到△A₁B₁C₁
∴△ABC∽△A₁B₁C₁，且相似比$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{OB}{OB_1}$
已知$OB:BB_1=2:3$，则$OB:OB_1=OB:(OB+BB_1)=2:(2+3)=2:5$
∴两个三角形的相似比为$\frac{2}{5}$，面积比为$(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$
即$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A_1B_1C_1}}=\frac{4}{25}$
将$S_{△ ABC}=60\mathrm{cm}^2$代入得：
$\frac{60}{S_{△ A_1B_1C_1}}=\frac{4}{25}$
解得$S_{△ A_1B_1C_1}=60×\frac{25}{4}=375\mathrm{cm}^2$
【答案】
375
【知识点】
中心投影的性质，位似图形的性质，相似三角形面积比
【点评】
本题考查中心投影与相似三角形的结合应用，解题的关键是正确求出两个三角形的相似比，易错点是误将OB:BB₁当做相似比，属于基础类考题，需要熟练掌握相似与位似的对应比例关系。
【难度系数】
0.7
11 如图，小明站在灯光下，投在地面上的身影AB=2.4 m，蹲下来，则身影AC=1.05 m.已知小明的身高AD=1.6 m，蹲下时的高度等于站立时高度的一半，则灯离地面的高度PH=
7.2
m.答案
11. 7.2
解析
【分析】
本题属于中心投影的实际应用问题，灯光下的竖直物体均与地面垂直，因此小明站立、蹲下时的身高都与灯高PH平行，可得到两组相似三角形。我们可以设灯高PH和AH的长度为未知数，根据相似三角形对应边成比例列出两个方程，联立求解即可得到PH的高度。
【解析】
设灯离地面的高度$PH=h\ \mathrm{m}$，$AH=x\ \mathrm{m}$。
1. 小明站立时，$AD⊥ HB$，$PH⊥ HB$，故$AD// PH$，可得$△ ABD ∽ △ HBP$。
根据相似三角形对应边成比例：
$\frac{AD}{PH}=\frac{AB}{HB}$
其中$HB=AH+AB=x+2.4$，代入$AD=1.6\ \mathrm{m}$，$AB=2.4\ \mathrm{m}$得：
$\frac{1.6}{h}=\frac{2.4}{x+2.4} \tag{1}$
2. 小明蹲下时，身高为站立高度的一半，即蹲下高度为$\frac{1}{2}AD=0.8\ \mathrm{m}$，同理蹲下高度与PH平行，可得对应的三角形与$△ HCP$相似。
根据相似三角形对应边成比例：
$\frac{0.8}{h}=\frac{AC}{HC}$
其中$HC=AH+AC=x+1.05$，代入$AC=1.05\ \mathrm{m}$得：
$\frac{0.8}{h}=\frac{1.05}{x+1.05} \tag{2}$
3. 联立方程(1)(2)求解：
由(1)式整理得：$2.4h=1.6(x+2.4)$，化简得$x=1.5h-2.4$。
将$x=1.5h-2.4$代入(2)式：
$1.05h=0.8×(1.5h-2.4+1.05)$
$1.05h=1.2h-1.08$
解得$h=7.2$。
【答案】
7.2
【知识点】
1. 中心投影 2. 相似三角形的应用
【点评】
本题是中心投影的典型应用题，解题核心是利用竖直物体平行的特点构造相似三角形，再通过比例关系列方程求解，需要熟练掌握相似三角形的性质并具备联立方程求解的能力。
【难度系数】
0.65
本题属于中心投影的实际应用问题，灯光下的竖直物体均与地面垂直，因此小明站立、蹲下时的身高都与灯高PH平行，可得到两组相似三角形。我们可以设灯高PH和AH的长度为未知数，根据相似三角形对应边成比例列出两个方程，联立求解即可得到PH的高度。
【解析】
设灯离地面的高度$PH=h\ \mathrm{m}$，$AH=x\ \mathrm{m}$。
1. 小明站立时，$AD⊥ HB$，$PH⊥ HB$，故$AD// PH$，可得$△ ABD ∽ △ HBP$。
根据相似三角形对应边成比例：
$\frac{AD}{PH}=\frac{AB}{HB}$
其中$HB=AH+AB=x+2.4$，代入$AD=1.6\ \mathrm{m}$，$AB=2.4\ \mathrm{m}$得：
$\frac{1.6}{h}=\frac{2.4}{x+2.4} \tag{1}$
2. 小明蹲下时，身高为站立高度的一半，即蹲下高度为$\frac{1}{2}AD=0.8\ \mathrm{m}$，同理蹲下高度与PH平行，可得对应的三角形与$△ HCP$相似。
根据相似三角形对应边成比例：
$\frac{0.8}{h}=\frac{AC}{HC}$
其中$HC=AH+AC=x+1.05$，代入$AC=1.05\ \mathrm{m}$得：
$\frac{0.8}{h}=\frac{1.05}{x+1.05} \tag{2}$
3. 联立方程(1)(2)求解：
由(1)式整理得：$2.4h=1.6(x+2.4)$，化简得$x=1.5h-2.4$。
将$x=1.5h-2.4$代入(2)式：
$1.05h=0.8×(1.5h-2.4+1.05)$
$1.05h=1.2h-1.08$
解得$h=7.2$。
【答案】
7.2
【知识点】
1. 中心投影 2. 相似三角形的应用
【点评】
本题是中心投影的典型应用题，解题核心是利用竖直物体平行的特点构造相似三角形，再通过比例关系列方程求解，需要熟练掌握相似三角形的性质并具备联立方程求解的能力。
【难度系数】
0.65
12 如图所示为从正面看到的平面图形，线段AB表示一个圆形桌子，MN表示该桌子在路灯下的影子，CD表示一个圆形凳子.
（1）请你在图中标出路灯O的位置，并画出CD的影子PQ（保留作图痕迹，光线用虚线表示）；
（2）若桌面直径和桌面与地面之间的距离均为1.2 m，测得影子$MN=2\ \mathrm{m}$，求路灯O与地面之间的距离.
（1）请你在图中标出路灯O的位置，并画出CD的影子PQ（保留作图痕迹，光线用虚线表示）；
（2）若桌面直径和桌面与地面之间的距离均为1.2 m，测得影子$MN=2\ \mathrm{m}$，求路灯O与地面之间的距离.
答案
12.（1）如图,点O即为路灯O的位置,PQ即为CD的影子
（2）如图,过点O作$OF ⊥ MN$于点F,交AB于点E.由题意,得$AB=1.2\ \mathrm{m},EF=1.2\ \mathrm{m},MN=2\ \mathrm{m}.\because AB/\!/MN,\therefore$ 易得$△ OAB ∽ △ OMN.\therefore AB:MN=OE:OF.\therefore$ 易得$OF=3\ \mathrm{m}.$
$\therefore$ 路灯O与地面之间的距离为3 m
解析
【分析】
（1）中心投影的所有光线均从点光源（路灯O）发出，因此延长桌子顶端与影子顶端的连线MA、NB，交点即为路灯O的位置；再连接O与凳子顶端C、D并延长，与地面的交点即为凳子影子的端点P、Q，连接PQ就得到CD的影子。
（2）已知AB平行于MN，可判定△OAB与△OMN相似，相似三角形对应边的比等于对应高的比，据此设路灯高度为未知数列比例式求解即可。
【解析】
（1）作图步骤：①延长MA、NB，两条线的交点就是路灯O的位置；②连接OC、OD并延长，分别交地面所在直线于点P、Q，线段PQ就是CD的影子，作图时光线用虚线表示。
（2）过点O作$OF ⊥ MN$于点F，交AB于点E，易得$OE ⊥ AB$。
由题意得：$AB=1.2\ \mathrm{m}$，桌面与地面的距离$EF=1.2\ \mathrm{m}$，影子$MN=2\ \mathrm{m}$。
$\because AB// MN$，$\therefore ∠ OAB=∠ OMN$，$∠ OBA=∠ ONM$，
$\therefore △ OAB ∽ △ OMN$，
$\therefore$ 相似三角形对应边的比等于对应高的比，即$\frac{AB}{MN}=\frac{OE}{OF}$。
设路灯O与地面的距离$OF=x\ \mathrm{m}$，则$OE=OF-EF=(x-1.2)\ \mathrm{m}$，
代入数值得：$\frac{1.2}{2}=\frac{x-1.2}{x}$，
解方程：$1.2x=2(x-1.2)$，$1.2x=2x-2.4$，$0.8x=2.4$，得$x=3$。
【答案】
（1）如图,点O即为路灯O的位置,PQ即为CD的影子
（2）路灯O与地面之间的距离为$\boxed{3\ \mathrm{m}}$
【知识点】
中心投影；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的投影场景，既考查了中心投影的作图能力，又考查了利用相似三角形解决实际高度问题的能力，解题的关键是找准相似三角形，明确相似比与对应高的关系。
【难度系数】
0.7
（1）中心投影的所有光线均从点光源（路灯O）发出，因此延长桌子顶端与影子顶端的连线MA、NB，交点即为路灯O的位置；再连接O与凳子顶端C、D并延长，与地面的交点即为凳子影子的端点P、Q，连接PQ就得到CD的影子。
（2）已知AB平行于MN，可判定△OAB与△OMN相似，相似三角形对应边的比等于对应高的比，据此设路灯高度为未知数列比例式求解即可。
【解析】
（1）作图步骤：①延长MA、NB，两条线的交点就是路灯O的位置；②连接OC、OD并延长，分别交地面所在直线于点P、Q，线段PQ就是CD的影子，作图时光线用虚线表示。
（2）过点O作$OF ⊥ MN$于点F，交AB于点E，易得$OE ⊥ AB$。
由题意得：$AB=1.2\ \mathrm{m}$，桌面与地面的距离$EF=1.2\ \mathrm{m}$，影子$MN=2\ \mathrm{m}$。
$\because AB// MN$，$\therefore ∠ OAB=∠ OMN$，$∠ OBA=∠ ONM$，
$\therefore △ OAB ∽ △ OMN$，
$\therefore$ 相似三角形对应边的比等于对应高的比，即$\frac{AB}{MN}=\frac{OE}{OF}$。
设路灯O与地面的距离$OF=x\ \mathrm{m}$，则$OE=OF-EF=(x-1.2)\ \mathrm{m}$，
代入数值得：$\frac{1.2}{2}=\frac{x-1.2}{x}$，
解方程：$1.2x=2(x-1.2)$，$1.2x=2x-2.4$，$0.8x=2.4$，得$x=3$。
【答案】
（1）如图,点O即为路灯O的位置,PQ即为CD的影子
（2）路灯O与地面之间的距离为$\boxed{3\ \mathrm{m}}$
【知识点】
中心投影；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的投影场景，既考查了中心投影的作图能力，又考查了利用相似三角形解决实际高度问题的能力，解题的关键是找准相似三角形，明确相似比与对应高的关系。
【难度系数】
0.7
13 如图,点 A,B 在同一条直线上,小明从点 A出发沿 AB 方向匀速前进,4 s 后走到点 D处,此时他(CD)在某一路灯下的影长为AD,继续沿 AB 方向以同样的速度匀速前进,4 s 后走到点 F 处,此时他(EF)的影长为 2 m,然后他沿 AB 方向以同样的速度匀速前进,2 s 后走到点 H 处,此时他(GH)处于路灯正下方.
(1) 请在图中画出路灯 O 的位置,并画出小明位于点 F 处时在这个路灯下的影长 FM(不写画法);
(2) 求小明沿 AB 方向匀速前进的速度.
(第 13 题)
(1) 请在图中画出路灯 O 的位置,并画出小明位于点 F 处时在这个路灯下的影长 FM(不写画法);
(2) 求小明沿 AB 方向匀速前进的速度.
(第 13 题)
答案
13.（1）路灯O与影长FM如图所示
（2）设小明沿AB方向匀速前进的速度为$x\ \mathrm{m/s}$. 根据题意,得 $CG=DH=6x\ \mathrm{m}$,$AH=10x\ \mathrm{m},EG=FH=2x\ \mathrm{m},CG/\!/AH.\therefore ∠ OCG=∠ OAH.$
又$\because ∠ COG=∠ AOH,\therefore △ COG ∽ △ AOH.\therefore \frac{CG}{AH}=\frac{OG}{OH}.$
$\therefore \frac{OG}{OH}=\frac{3}{5}.$又$\because CG/\!/AH,\therefore ∠ OEG=∠ OMH.\because ∠ EOG=∠ MOH,\therefore △ EOG ∽ △ MOH.\therefore \frac{EG}{MH}=\frac{OG}{OH}.$由题意,得$MF=2\ \mathrm{m},\therefore MH=MF+FH=(2x+2)\mathrm{m}.\therefore \frac{2x}{2x+2}=\frac{3}{5},$解得$x=\frac{3}{2}.$经检验,$x=\frac{3}{2}$是原分式方程的解,且符合题意.$\therefore$ 小明沿AB方向匀速前进的速度为$\frac{3}{2}\ \mathrm{m/s}$
解析
【分析】
(1) 中心投影的光源为点光源，光线沿直线传播，因此分别延长过物体顶端和对应影子顶端的两条光线，交点就是路灯的位置O；再连接OE并延长交AB于点M，FM就是小明在F处的影长。
(2) 要求运动速度，可先设速度为$x\ \mathrm{m/s}$，结合行走时间把图中相关线段长度用含$x$的代数式表示；再根据$CG// AB$得到两组相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质建立关于$x$的分式方程，解方程并检验即可得到速度。
【解析】
(1) 延长AC、HG，两条延长线的交点即为路灯O的位置；连接OE并延长，交AB于点M，FM即为所求影长。
(2) 设小明沿AB方向匀速前进的速度为$x\ \mathrm{m/s}$。
根据题意得：$AD=4x\ \mathrm{m}$，$DF=4x\ \mathrm{m}$，$FH=2x\ \mathrm{m}$，因此$DH=DF+FH=6x\ \mathrm{m}$，$AH=AD+DF+FH=10x\ \mathrm{m}$。
由矩形性质可得$CG=DH=6x\ \mathrm{m}$，$EG=FH=2x\ \mathrm{m}$，且$CG// AH$。
$\because CG// AH$，$\therefore ∠ OCG=∠ OAH$，又$\because ∠ COG=∠ AOH$，$\therefore △ COG ∽ △ AOH$，
$\therefore \frac{CG}{AH}=\frac{OG}{OH}$，代入得$\frac{6x}{10x}=\frac{OG}{OH}$，即$\frac{OG}{OH}=\frac{3}{5}$。
同理，$\because CG// AH$，$\therefore ∠ OEG=∠ OMH$，又$\because ∠ EOG=∠ MOH$，$\therefore △ EOG ∽ △ MOH$，
$\therefore \frac{EG}{MH}=\frac{OG}{OH}=\frac{3}{5}$。
由题意知影长$FM=2\ \mathrm{m}$，因此$MH=FM+FH=(2+2x)\ \mathrm{m}$，代入比例式得：
$\frac{2x}{2+2x}=\frac{3}{5}$，
交叉相乘解得$x=\frac{3}{2}$。
检验：当$x=\frac{3}{2}$时，$2+2x=5≠ 0$，所以$x=\frac{3}{2}$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
(1) 路灯O与影长FM如图所示
(2) 小明沿AB方向匀速前进的速度为$\frac{3}{2}\ \mathrm{m/s}$
【知识点】
中心投影，相似三角形的应用，分式方程求解
【点评】
本题结合生活中的投影场景出题，既考查了中心投影的基本性质，又需要运用相似三角形的性质建立等量关系求解，解题时要注意把实际问题转化为几何模型，分式方程求解后要检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6
(1) 中心投影的光源为点光源，光线沿直线传播，因此分别延长过物体顶端和对应影子顶端的两条光线，交点就是路灯的位置O；再连接OE并延长交AB于点M，FM就是小明在F处的影长。
(2) 要求运动速度，可先设速度为$x\ \mathrm{m/s}$，结合行走时间把图中相关线段长度用含$x$的代数式表示；再根据$CG// AB$得到两组相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质建立关于$x$的分式方程，解方程并检验即可得到速度。
【解析】
(1) 延长AC、HG，两条延长线的交点即为路灯O的位置；连接OE并延长，交AB于点M，FM即为所求影长。
(2) 设小明沿AB方向匀速前进的速度为$x\ \mathrm{m/s}$。
根据题意得：$AD=4x\ \mathrm{m}$，$DF=4x\ \mathrm{m}$，$FH=2x\ \mathrm{m}$，因此$DH=DF+FH=6x\ \mathrm{m}$，$AH=AD+DF+FH=10x\ \mathrm{m}$。
由矩形性质可得$CG=DH=6x\ \mathrm{m}$，$EG=FH=2x\ \mathrm{m}$，且$CG// AH$。
$\because CG// AH$，$\therefore ∠ OCG=∠ OAH$，又$\because ∠ COG=∠ AOH$，$\therefore △ COG ∽ △ AOH$，
$\therefore \frac{CG}{AH}=\frac{OG}{OH}$，代入得$\frac{6x}{10x}=\frac{OG}{OH}$，即$\frac{OG}{OH}=\frac{3}{5}$。
同理，$\because CG// AH$，$\therefore ∠ OEG=∠ OMH$，又$\because ∠ EOG=∠ MOH$，$\therefore △ EOG ∽ △ MOH$，
$\therefore \frac{EG}{MH}=\frac{OG}{OH}=\frac{3}{5}$。
由题意知影长$FM=2\ \mathrm{m}$，因此$MH=FM+FH=(2+2x)\ \mathrm{m}$，代入比例式得：
$\frac{2x}{2+2x}=\frac{3}{5}$，
交叉相乘解得$x=\frac{3}{2}$。
检验：当$x=\frac{3}{2}$时，$2+2x=5≠ 0$，所以$x=\frac{3}{2}$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
(1) 路灯O与影长FM如图所示
(2) 小明沿AB方向匀速前进的速度为$\frac{3}{2}\ \mathrm{m/s}$
【知识点】
中心投影，相似三角形的应用，分式方程求解
【点评】
本题结合生活中的投影场景出题，既考查了中心投影的基本性质，又需要运用相似三角形的性质建立等量关系求解，解题时要注意把实际问题转化为几何模型，分式方程求解后要检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6
