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9 如图所示的几何体在平面P上的正投影图形是
圆
。答案
9. 圆
解析
【分析】
解题时首先判断投影类型：本题中投影线垂直于投影面P，属于正投影；接下来观察几何体特征：题中几何体为竖直放置的圆柱，上下底面是平行于投影面P的圆形；最后结合正投影的性质推导：平行于投影面的平面图形的正投影与原图形全等，圆柱侧面的正投影会和底面圆的边缘重合，因此可得最终投影形状。
【解析】
解：由题意可知，投影线垂直于平面P，该投影为正投影。
题中的几何体是竖直放置的圆柱，其上下底面为平行于平面P的圆，根据正投影的性质：平行于投影面的平面图形的正投影与原图形全等，且圆柱侧面的正投影与底面圆的圆周重合，因此该圆柱在平面P上的正投影图形是圆。
【答案】
圆
【知识点】
正投影的性质，常见几何体的投影
【点评】
本题考查正投影的相关应用，解题关键是明确投影类型和几何体的摆放特征，结合正投影规律即可求解，是投影类的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先判断投影类型：本题中投影线垂直于投影面P，属于正投影；接下来观察几何体特征：题中几何体为竖直放置的圆柱，上下底面是平行于投影面P的圆形；最后结合正投影的性质推导：平行于投影面的平面图形的正投影与原图形全等，圆柱侧面的正投影会和底面圆的边缘重合，因此可得最终投影形状。
【解析】
解：由题意可知，投影线垂直于平面P，该投影为正投影。
题中的几何体是竖直放置的圆柱，其上下底面为平行于平面P的圆，根据正投影的性质：平行于投影面的平面图形的正投影与原图形全等，且圆柱侧面的正投影与底面圆的圆周重合，因此该圆柱在平面P上的正投影图形是圆。
【答案】
圆
【知识点】
正投影的性质，常见几何体的投影
【点评】
本题考查正投影的相关应用，解题关键是明确投影类型和几何体的摆放特征，结合正投影规律即可求解，是投影类的基础题型。
【难度系数】
0.8
10 教材变式题 一天下午小红先参加了校运动会女子200 m比赛，过一段时间又参加了女子400 m比赛，如图是摄影师在同一位置拍摄的两张照片，那么下列说法正确的是（
A.乙照片是参加200 m比赛时拍摄的
B.甲照片是参加200 m比赛时拍摄的
C.乙照片是参加400 m比赛时拍摄的
D.无法判断甲、乙两张照片是何时拍摄的
A
）A.乙照片是参加200 m比赛时拍摄的
B.甲照片是参加200 m比赛时拍摄的
C.乙照片是参加400 m比赛时拍摄的
D.无法判断甲、乙两张照片是何时拍摄的
答案
10. A
解析
【分析】
本题考查平行投影的实际应用，解题思路如下：首先明确下午太阳光下影子的变化规律：下午太阳位于偏西方向，影子朝偏东方向，且时间越晚，太阳高度角越小，影子越长。结合题意，200m比赛举办时间更早，400m比赛更晚，因此200m比赛时影子更短，400m比赛时影子更长，对比两张照片的影子长度即可判断对应拍摄时间。
【解析】
太阳光下的影子属于平行投影，下午时段的投影有两个规律：
1. 太阳位于偏西方向，因此影子朝向偏东方向，与图中方位一致；
2. 时间越晚，太阳高度越小，同一物体的影子长度越长。
由题意可知，200m比赛先进行，时间更早，对应的影子更短；400m比赛后进行，时间更晚，对应的影子更长。观察甲乙两图，乙图中小红的影子更短，对应200m比赛，甲图影子更长，对应400m比赛。因此乙照片是参加200m比赛时拍摄的，A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
平行投影，影子变化规律
【点评】
本题结合生活场景考查平行投影的应用，解题关键是掌握下午时段影子长度随时间推移逐渐变长的规律，难度不高，贴近生活实际。
【难度系数】
0.7
本题考查平行投影的实际应用，解题思路如下：首先明确下午太阳光下影子的变化规律：下午太阳位于偏西方向，影子朝偏东方向，且时间越晚，太阳高度角越小，影子越长。结合题意，200m比赛举办时间更早，400m比赛更晚，因此200m比赛时影子更短，400m比赛时影子更长，对比两张照片的影子长度即可判断对应拍摄时间。
【解析】
太阳光下的影子属于平行投影，下午时段的投影有两个规律：
1. 太阳位于偏西方向，因此影子朝向偏东方向，与图中方位一致；
2. 时间越晚，太阳高度越小，同一物体的影子长度越长。
由题意可知，200m比赛先进行，时间更早，对应的影子更短；400m比赛后进行，时间更晚，对应的影子更长。观察甲乙两图，乙图中小红的影子更短，对应200m比赛，甲图影子更长，对应400m比赛。因此乙照片是参加200m比赛时拍摄的，A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
平行投影，影子变化规律
【点评】
本题结合生活场景考查平行投影的应用，解题关键是掌握下午时段影子长度随时间推移逐渐变长的规律，难度不高，贴近生活实际。
【难度系数】
0.7
11 如图，长方体的一个底面ABCD在投影面P上，M，N分别是侧棱BF，CG的中点，矩形EFGH与矩形EMNH的投影都是矩形ABCD，设它们的面积分别是$S_1$，$S_2$，$S$，则$S_1$，$S_2$，$S$的大小关系是
$S_1=S＜S_2$
。答案
11. $S_1=S＜S_2$
解析
【分析】
解题时先结合平行投影的性质分析$S_1$和$S$的关系：首先长方体的上下底面互相平行，底面ABCD在投影面P上，因此上底面EFGH与投影面P平行，根据平行投影的性质，与投影面平行的平面图形的投影和原图形全等，面积相等，因此可得$S_1=S$。再分析$S_2$和$S_1$的关系：矩形EMNH和矩形EFGH有公共边EH，只需比较另一边EM和EF的长度即可，M是侧棱BF的中点，侧棱垂直底面，因此EM是直角三角形的斜边，长度大于直角边EF，结合矩形面积公式就能得到$S_2＞S_1$，最终得出三者的大小关系。
【解析】
∵长方体的底面ABCD与上底面EFGH互相平行，且ABCD位于投影面P上，
根据平行投影的性质：当平面图形与投影面平行时，其投影与原图形全等，面积相等，
∴矩形EFGH的面积等于其投影矩形ABCD的面积，即$S_1 = S$。
∵M、N分别是侧棱BF、CG的中点，侧棱BF垂直于底面ABCD，
∴在$Rt△ EFM$中，EM为斜边，因此$EM ＞ EF$。
又
∵矩形EFGH和矩形EMNH的公共边$EH = EH$，
矩形面积公式为$面积=长×宽$，
∴$S_1 = EF·EH$，$S_2 = EM·EH$，
∵$EM＞EF$，
∴$S_2 ＞ S_1$。
综上可得$S_1=S＜S_2$。
【答案】
$S_1=S＜S_2$
【知识点】
平行投影的性质，矩形面积计算，长方体的特征
【点评】
本题重点考查平行投影相关性质的实际应用，解题的关键是准确判断平面与投影面的位置关系，结合矩形面积公式比较边长即可得到面积大小关系，注意倾斜平面的投影面积小于原平面的面积。
【难度系数】
0.7
解题时先结合平行投影的性质分析$S_1$和$S$的关系：首先长方体的上下底面互相平行，底面ABCD在投影面P上，因此上底面EFGH与投影面P平行，根据平行投影的性质，与投影面平行的平面图形的投影和原图形全等，面积相等，因此可得$S_1=S$。再分析$S_2$和$S_1$的关系：矩形EMNH和矩形EFGH有公共边EH，只需比较另一边EM和EF的长度即可，M是侧棱BF的中点，侧棱垂直底面，因此EM是直角三角形的斜边，长度大于直角边EF，结合矩形面积公式就能得到$S_2＞S_1$，最终得出三者的大小关系。
【解析】
∵长方体的底面ABCD与上底面EFGH互相平行，且ABCD位于投影面P上，
根据平行投影的性质：当平面图形与投影面平行时，其投影与原图形全等，面积相等，
∴矩形EFGH的面积等于其投影矩形ABCD的面积，即$S_1 = S$。
∵M、N分别是侧棱BF、CG的中点，侧棱BF垂直于底面ABCD，
∴在$Rt△ EFM$中，EM为斜边，因此$EM ＞ EF$。
又
∵矩形EFGH和矩形EMNH的公共边$EH = EH$，
矩形面积公式为$面积=长×宽$，
∴$S_1 = EF·EH$，$S_2 = EM·EH$，
∵$EM＞EF$，
∴$S_2 ＞ S_1$。
综上可得$S_1=S＜S_2$。
【答案】
$S_1=S＜S_2$
【知识点】
平行投影的性质，矩形面积计算，长方体的特征
【点评】
本题重点考查平行投影相关性质的实际应用，解题的关键是准确判断平面与投影面的位置关系，结合矩形面积公式比较边长即可得到面积大小关系，注意倾斜平面的投影面积小于原平面的面积。
【难度系数】
0.7
12 新情境 生活实际 小明吃早饭后进行植树，如图，他栽了两棵树，其中一棵是樟树，另一棵是柳树，则他先栽的是
樟树
。答案
樟树
解析
【分析】
本题考查平行投影在实际生活中的应用，解题思路如下：首先明确上午太阳高度角的变化规律：早饭后属于上午时段，随着时间推移，太阳逐渐升高，太阳高度角逐渐变大，同一高度的物体在太阳光下的影长会逐渐缩短。其次，刚栽种的两棵树苗高度相近，因此影长更长的树对应的栽种时间更早，结合题图中两棵树的影长即可判断先栽的树种。
【解析】
解：太阳光下的投影属于平行投影，早饭后为上午时段，随着时间推移，太阳高度角逐渐增大，高度相同的物体的影长会逐渐缩短。
刚栽种的樟树和柳树树苗高度相近，结合题图可知樟树的影长大于柳树的影长，说明栽种樟树时太阳高度角更小，对应的时间更早，因此先栽的是樟树。
【答案】
樟树
【知识点】
平行投影规律，投影的实际应用
【点评】
本题结合植树的生活情境考查投影相关知识，需要同学们掌握一天中不同时段太阳光下物体影子的变化规律，学会将数学知识与生活常识结合解决问题。
【难度系数】
0.8
本题考查平行投影在实际生活中的应用，解题思路如下：首先明确上午太阳高度角的变化规律：早饭后属于上午时段，随着时间推移，太阳逐渐升高，太阳高度角逐渐变大，同一高度的物体在太阳光下的影长会逐渐缩短。其次，刚栽种的两棵树苗高度相近，因此影长更长的树对应的栽种时间更早，结合题图中两棵树的影长即可判断先栽的树种。
【解析】
解：太阳光下的投影属于平行投影，早饭后为上午时段，随着时间推移，太阳高度角逐渐增大，高度相同的物体的影长会逐渐缩短。
刚栽种的樟树和柳树树苗高度相近，结合题图可知樟树的影长大于柳树的影长，说明栽种樟树时太阳高度角更小，对应的时间更早，因此先栽的是樟树。
【答案】
樟树
【知识点】
平行投影规律，投影的实际应用
【点评】
本题结合植树的生活情境考查投影相关知识，需要同学们掌握一天中不同时段太阳光下物体影子的变化规律，学会将数学知识与生活常识结合解决问题。
【难度系数】
0.8
13 如图，MN 为教学楼，线段 DE 表示“T”字形小建筑的横梁，阳光下，小俊(AB)在地面上的影子为线段 BC.
(1) 请你在图中画出横梁 DE 在同一时刻的阳光照射下形成的影子；
(2) 如果小俊的身高 AB＝1.5 m，他的影子 BC＝2.5 m，“T”字形小建筑的横梁 DE＝4 m，与教学楼之间的距离 FN＝16 m，求(1)中横梁 DE 的影子长.
(1) 请你在图中画出横梁 DE 在同一时刻的阳光照射下形成的影子；
(2) 如果小俊的身高 AB＝1.5 m，他的影子 BC＝2.5 m，“T”字形小建筑的横梁 DE＝4 m，与教学楼之间的距离 FN＝16 m，求(1)中横梁 DE 的影子长.
答案
(1) 连接AC，过点D作DG//AC交MN于点G，过点E作EH//AC交地面于点H，则线段GH即为横梁DE的影子。
(2) 解：设横梁DE的影子长为x m，根据同一时刻物高与影长成正比，可得$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{x}$，代入数值$\frac{1.5}{2.5}=\frac{4}{x}$，解得$x=\frac{20}{3}$。
答：横梁DE的影子长为$\frac{20}{3}\ \mathrm{m}$。
(2) 解：设横梁DE的影子长为x m，根据同一时刻物高与影长成正比，可得$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{x}$，代入数值$\frac{1.5}{2.5}=\frac{4}{x}$，解得$x=\frac{20}{3}$。
答：横梁DE的影子长为$\frac{20}{3}\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
(1) 同一时刻太阳光为平行光线，首先根据小俊的身高AB和影子BC可确定光线方向为直线AC的方向。要作横梁DE的影子，只需分别过D、E两点作AC的平行线，其中过E的平行线与地面交于点H，过D的平行线被教学楼MN遮挡，与MN交于点G，线段GH就是DE在阳光下的影子。
(2) 平行投影的核心性质为：同一时刻，物体的长度和其对应影长的比值相等，因此小俊身高与影长的比等于横梁DE的长度与其影子长度的比，据此设未知数列比例式即可求解。
【解析】
(1) 作图步骤：①连接AC，确定太阳光线的方向；②过点D作$DG// AC$，交MN于点G；③过点E作$EH// AC$，交地面于点H，线段GH即为横梁DE的影子。
(2) 解：设横梁DE的影子长为$x\ \mathrm{m}$，根据同一时刻物高与影长成正比例，可得：
$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{x}$
将$AB=1.5\ \mathrm{m}$，$BC=2.5\ \mathrm{m}$，$DE=4\ \mathrm{m}$代入上式：
$\frac{1.5}{2.5}=\frac{4}{x}$
交叉相乘得$1.5x=4×2.5$，解得$x=\frac{20}{3}$。
【答案】
(1) 线段GH为所求影子（作图方法见解析）；
(2) $\frac{20}{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
1. 平行投影性质
2. 比例方程求解
3. 平行线作图
【点评】
本题结合生活场景考查平行投影的实际应用，作图时要抓住同一时刻光线平行的特点，计算时需准确运用物高与影长成正比的关系，注意不要混淆比例的前后项。
【难度系数】
0.7
(1) 同一时刻太阳光为平行光线，首先根据小俊的身高AB和影子BC可确定光线方向为直线AC的方向。要作横梁DE的影子，只需分别过D、E两点作AC的平行线，其中过E的平行线与地面交于点H，过D的平行线被教学楼MN遮挡，与MN交于点G，线段GH就是DE在阳光下的影子。
(2) 平行投影的核心性质为：同一时刻，物体的长度和其对应影长的比值相等，因此小俊身高与影长的比等于横梁DE的长度与其影子长度的比，据此设未知数列比例式即可求解。
【解析】
(1) 作图步骤：①连接AC，确定太阳光线的方向；②过点D作$DG// AC$，交MN于点G；③过点E作$EH// AC$，交地面于点H，线段GH即为横梁DE的影子。
(2) 解：设横梁DE的影子长为$x\ \mathrm{m}$，根据同一时刻物高与影长成正比例，可得：
$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{x}$
将$AB=1.5\ \mathrm{m}$，$BC=2.5\ \mathrm{m}$，$DE=4\ \mathrm{m}$代入上式：
$\frac{1.5}{2.5}=\frac{4}{x}$
交叉相乘得$1.5x=4×2.5$，解得$x=\frac{20}{3}$。
【答案】
(1) 线段GH为所求影子（作图方法见解析）；
(2) $\frac{20}{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
1. 平行投影性质
2. 比例方程求解
3. 平行线作图
【点评】
本题结合生活场景考查平行投影的实际应用，作图时要抓住同一时刻光线平行的特点，计算时需准确运用物高与影长成正比的关系，注意不要混淆比例的前后项。
【难度系数】
0.7
14 如图，投影面上有一根直立的木棒AB，长为2 cm.
（1）当平行光线垂直照射投影面时，木棒在投影面上的投影是什么图形？请在图①中画出来.
（2）当光源在木棒AB的左侧，且平行光线与投影面的夹角为$60°$时，木棒在投影面上的投影是什么图形？请在图②中画出投影示意图，并求出投影的长.
（3）上面（1）（2）中的投影都是正投影吗？为什么？
（1）当平行光线垂直照射投影面时，木棒在投影面上的投影是什么图形？请在图①中画出来.
（2）当光源在木棒AB的左侧，且平行光线与投影面的夹角为$60°$时，木棒在投影面上的投影是什么图形？请在图②中画出投影示意图，并求出投影的长.
（3）上面（1）（2）中的投影都是正投影吗？为什么？
答案
（1）投影是长度为2 cm的线段，示意图见[图1]。
（2）投影是线段，示意图见[图2]。设投影长为l，由平行光线与投影面夹角为60°，可得$\tan60°=\frac{AB}{l}$，即$\sqrt{3}=\frac{2}{l}$，解得$l=\frac{2\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$，即投影长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$。
（3）（1）中的投影是正投影，（2）中的投影不是正投影。理由：正投影要求平行投射线垂直于投影面，（1）中平行光线垂直照射投影面，符合正投影的定义；（2）中平行光线与投影面夹角为60°，投射线不垂直于投影面，因此不属于正投影。
（2）投影是线段，示意图见[图2]。设投影长为l，由平行光线与投影面夹角为60°，可得$\tan60°=\frac{AB}{l}$，即$\sqrt{3}=\frac{2}{l}$，解得$l=\frac{2\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$，即投影长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$。
（3）（1）中的投影是正投影，（2）中的投影不是正投影。理由：正投影要求平行投射线垂直于投影面，（1）中平行光线垂直照射投影面，符合正投影的定义；（2）中平行光线与投影面夹角为60°，投射线不垂直于投影面，因此不属于正投影。
解析
【分析】
解题时需结合平行投影、正投影的定义，以及三角函数的应用分步思考：
1. 第（1）问：首先明确直立木棒AB与投影面平行，当平行光线垂直照射投影面时，平行于投影面的线段的正投影与原线段长度相等，据此可判断投影的形状与长度，再按要求画图即可。
2. 第（2）问：平行光线倾斜照射投影面时，直立木棒的投影仍为线段，求投影长时，可将木棒、投影、平行光线三者的位置关系抽象为直角三角形，利用光线与投影面的夹角为60°，结合正切函数的定义列等式求解即可。
3. 第（3）问：紧扣正投影的定义“投射线垂直于投影面的平行投影是正投影”，分别验证两问中投射线是否垂直投影面，即可判断是否为正投影。
【解析】
（1）当平行光线垂直照射投影面时，木棒AB平行于投影面，此时线段的投影与原线段全等，因此投影为长度2cm的线段，在图①的投影面上画出与AB等长的竖直线段即可。
（2）当平行光线与投影面夹角为60°时，木棒的投影为线段，在图②中沿光线投射方向画出对应投影即可。设投影长为$l$，由木棒与投影面垂直，光线、木棒、投影可构成直角三角形，结合光线与投影面夹角为60°，可得$\tan60°=\frac{AB}{l}$，将$AB=2\mathrm{cm}$代入得：
$\sqrt{3}=\frac{2}{l}$
解得$l=\frac{2\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$。
（3）根据正投影定义判断：正投影是投射线垂直于投影面的平行投影。（1）中投射线垂直投影面，符合正投影定义；（2）中投射线与投影面夹角为60°，不垂直，不符合正投影定义。
【答案】
（1）投影是长度为2 cm的线段，示意图见[图1]。
（2）投影是线段，示意图见[图2]；投影长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$。
（3）（1）中的投影是正投影，（2）中的投影不是正投影。理由：正投影要求平行投射线垂直于投影面，（1）中平行光线垂直照射投影面，符合正投影的定义；（2）中平行光线与投影面夹角为60°，投射线不垂直于投影面，因此不属于正投影。
【知识点】
平行投影；正投影；解直角三角形
【点评】
本题结合生活中的投影场景，考查投影相关基础概念和三角函数的简单应用，解题关键是准确理解正投影的定义，能将投影问题转化为几何图形问题求解，侧重对基础知识掌握情况的考查。
【难度系数】
0.7
解题时需结合平行投影、正投影的定义，以及三角函数的应用分步思考：
1. 第（1）问：首先明确直立木棒AB与投影面平行，当平行光线垂直照射投影面时，平行于投影面的线段的正投影与原线段长度相等，据此可判断投影的形状与长度，再按要求画图即可。
2. 第（2）问：平行光线倾斜照射投影面时，直立木棒的投影仍为线段，求投影长时，可将木棒、投影、平行光线三者的位置关系抽象为直角三角形，利用光线与投影面的夹角为60°，结合正切函数的定义列等式求解即可。
3. 第（3）问：紧扣正投影的定义“投射线垂直于投影面的平行投影是正投影”，分别验证两问中投射线是否垂直投影面，即可判断是否为正投影。
【解析】
（1）当平行光线垂直照射投影面时，木棒AB平行于投影面，此时线段的投影与原线段全等，因此投影为长度2cm的线段，在图①的投影面上画出与AB等长的竖直线段即可。
（2）当平行光线与投影面夹角为60°时，木棒的投影为线段，在图②中沿光线投射方向画出对应投影即可。设投影长为$l$，由木棒与投影面垂直，光线、木棒、投影可构成直角三角形，结合光线与投影面夹角为60°，可得$\tan60°=\frac{AB}{l}$，将$AB=2\mathrm{cm}$代入得：
$\sqrt{3}=\frac{2}{l}$
解得$l=\frac{2\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$。
（3）根据正投影定义判断：正投影是投射线垂直于投影面的平行投影。（1）中投射线垂直投影面，符合正投影定义；（2）中投射线与投影面夹角为60°，不垂直，不符合正投影定义。
【答案】
（1）投影是长度为2 cm的线段，示意图见[图1]。
（2）投影是线段，示意图见[图2]；投影长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$。
（3）（1）中的投影是正投影，（2）中的投影不是正投影。理由：正投影要求平行投射线垂直于投影面，（1）中平行光线垂直照射投影面，符合正投影的定义；（2）中平行光线与投影面夹角为60°，投射线不垂直于投影面，因此不属于正投影。
【知识点】
平行投影；正投影；解直角三角形
【点评】
本题结合生活中的投影场景，考查投影相关基础概念和三角函数的简单应用，解题关键是准确理解正投影的定义，能将投影问题转化为几何图形问题求解，侧重对基础知识掌握情况的考查。
【难度系数】
0.7
