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1 有下列各式：①$π$；②$\sqrt[3]{8}$；③$\sqrt{π -1}$；④$\sqrt{-5}$；⑤$\sqrt{b^2 +1}$；⑥$\sqrt{x^2 +2x +1}$，其中有意义的二次根式是（
A.①②③
B.③⑤⑥
C.②④⑥
D.①③⑤
B
）。A.①②③
B.③⑤⑥
C.②④⑥
D.①③⑤
答案
1.B
解析
【分析】
要判断哪些是有意义的二次根式，首先要明确二次根式的判定标准：第一，根指数必须是2（即带有二次根号“√”）；第二，被开方数（根号下的数或式子）必须是非负数（≥0），两个条件同时满足才符合要求。接下来我们逐个分析每个式子是否满足这两个条件即可。
【解析】
我们逐一判断每个式子：
1. ①$π$：是常数，没有二次根号，不属于二次根式，排除；
2. ②$\sqrt[3]{8}$：根指数是3，属于三次根式，不是二次根式，排除；
3. ③$\sqrt{π -1}$：带有二次根号，且$π\approx3.14$，因此$π-1＞0$，被开方数为正数，满足二次根式有意义的条件，符合要求；
4. ④$\sqrt{-5}$：被开方数是-5，为负数，二次根号下负数无意义，排除；
5. ⑤$\sqrt{b^2 +1}$：带有二次根号，且对任意实数$b$，$b^2≥0$，因此$b^2+1≥1＞0$，被开方数为正数，符合要求；
6. ⑥$\sqrt{x^2 +2x +1}$：带有二次根号，先对被开方数因式分解得$x^2+2x+1=(x+1)^2$，对任意实数$x$，平方数$(x+1)^2≥0$，被开方数非负，符合要求。
综上，有意义的二次根式是③⑤⑥，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的定义，二次根式有意义的条件，偶次幂的非负性
【点评】
本题是二次根式判定的基础题型，解题核心是牢记二次根式的两个判定要素，不要误把三次根式、不含根号的整式当成二次根式，同时要能熟练判断根号下整式的正负性。
【难度系数】
0.8
要判断哪些是有意义的二次根式，首先要明确二次根式的判定标准：第一，根指数必须是2（即带有二次根号“√”）；第二，被开方数（根号下的数或式子）必须是非负数（≥0），两个条件同时满足才符合要求。接下来我们逐个分析每个式子是否满足这两个条件即可。
【解析】
我们逐一判断每个式子：
1. ①$π$：是常数，没有二次根号，不属于二次根式，排除；
2. ②$\sqrt[3]{8}$：根指数是3，属于三次根式，不是二次根式，排除；
3. ③$\sqrt{π -1}$：带有二次根号，且$π\approx3.14$，因此$π-1＞0$，被开方数为正数，满足二次根式有意义的条件，符合要求；
4. ④$\sqrt{-5}$：被开方数是-5，为负数，二次根号下负数无意义，排除；
5. ⑤$\sqrt{b^2 +1}$：带有二次根号，且对任意实数$b$，$b^2≥0$，因此$b^2+1≥1＞0$，被开方数为正数，符合要求；
6. ⑥$\sqrt{x^2 +2x +1}$：带有二次根号，先对被开方数因式分解得$x^2+2x+1=(x+1)^2$，对任意实数$x$，平方数$(x+1)^2≥0$，被开方数非负，符合要求。
综上，有意义的二次根式是③⑤⑥，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的定义，二次根式有意义的条件，偶次幂的非负性
【点评】
本题是二次根式判定的基础题型，解题核心是牢记二次根式的两个判定要素，不要误把三次根式、不含根号的整式当成二次根式，同时要能熟练判断根号下整式的正负性。
【难度系数】
0.8
② 若$\sqrt{a}$有意义，则$a$的值不可以是（
A.4
B.$\frac{1}{9}$
C.0
D.$-2.1$
D
）。A.4
B.$\frac{1}{9}$
C.0
D.$-2.1$
答案
2.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确二次根式有意义的核心条件：二次根号下的被开方数必须是非负数（即大于或等于0）。题目要求找出a不可以取的值，本质就是判断四个选项中哪个数不符合“a≥0”的要求，只要找到小于0的数就是正确答案。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：若$\sqrt{a}$有意义，则被开方数$a≥ 0$。
我们逐个分析选项：
A. $4＞0$，满足$a≥ 0$，$\sqrt{4}$有意义，不符合题意；
B. $\frac{1}{9}＞0$，满足$a≥ 0$，$\sqrt{\frac{1}{9}}$有意义，不符合题意；
C. $0=0$，满足$a≥ 0$，$\sqrt{0}$有意义，不符合题意；
D. $-2.1＜0$，不满足$a≥ 0$，$\sqrt{-2.1}$无意义，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要牢记二次根式的被开方数为非负数这一核心规则，就能快速判断得到答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确二次根式有意义的核心条件：二次根号下的被开方数必须是非负数（即大于或等于0）。题目要求找出a不可以取的值，本质就是判断四个选项中哪个数不符合“a≥0”的要求，只要找到小于0的数就是正确答案。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：若$\sqrt{a}$有意义，则被开方数$a≥ 0$。
我们逐个分析选项：
A. $4＞0$，满足$a≥ 0$，$\sqrt{4}$有意义，不符合题意；
B. $\frac{1}{9}＞0$，满足$a≥ 0$，$\sqrt{\frac{1}{9}}$有意义，不符合题意；
C. $0=0$，满足$a≥ 0$，$\sqrt{0}$有意义，不符合题意；
D. $-2.1＜0$，不满足$a≥ 0$，$\sqrt{-2.1}$无意义，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要牢记二次根式的被开方数为非负数这一核心规则，就能快速判断得到答案。
【难度系数】
0.9
3 如果$\sqrt{\dfrac{1}{x-2}}$有意义，那么$x$应满足的条件是（
A.$x ≠ 2$
B.$x ＞ 2$
C.$x ＜ 2$
D.$x ＞ 0$且$x ≠ 2$
B
）。A.$x ≠ 2$
B.$x ＞ 2$
C.$x ＜ 2$
D.$x ＞ 0$且$x ≠ 2$
答案
3.B
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要结合二次根式和分式有意义的两个条件推导：首先回忆相关知识点，1. 二次根式的被开方数必须是非负数（大于等于0），否则二次根式无意义；2. 分式的分母不能为0，否则分式无意义。本题中被开方数是分式$\dfrac{1}{x-2}$，所以需要同时满足两个条件：①被开方数$\dfrac{1}{x-2}≥0$；②分式的分母$x-2≠0$。接下来分析分式的符号：分子1是正数，要让整个分式大于等于0且分母不为0，那么分母必须是正数，据此列不等式求解即可。
【解析】
要使$\sqrt{\dfrac{1}{x-2}}$有意义，需同时满足二次根式和分式有意义的条件：
1. 由二次根式有意义的条件可得：$\dfrac{1}{x-2}≥0$
2. 由分式有意义的条件可得：$x-2≠0$
结合两个条件可知$\dfrac{1}{x-2}＞0$，因为分子1是正数，正数除以正数结果为正，因此分母$x-2＞0$，解得$x＞2$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念应用题，易错点是只考虑分母不为0误选A，或对被开方数的符号判断错误。解题时要注意综合考虑两个代数式的成立条件，结合分子的符号准确判断分母的取值范围。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，我们需要结合二次根式和分式有意义的两个条件推导：首先回忆相关知识点，1. 二次根式的被开方数必须是非负数（大于等于0），否则二次根式无意义；2. 分式的分母不能为0，否则分式无意义。本题中被开方数是分式$\dfrac{1}{x-2}$，所以需要同时满足两个条件：①被开方数$\dfrac{1}{x-2}≥0$；②分式的分母$x-2≠0$。接下来分析分式的符号：分子1是正数，要让整个分式大于等于0且分母不为0，那么分母必须是正数，据此列不等式求解即可。
【解析】
要使$\sqrt{\dfrac{1}{x-2}}$有意义，需同时满足二次根式和分式有意义的条件：
1. 由二次根式有意义的条件可得：$\dfrac{1}{x-2}≥0$
2. 由分式有意义的条件可得：$x-2≠0$
结合两个条件可知$\dfrac{1}{x-2}＞0$，因为分子1是正数，正数除以正数结果为正，因此分母$x-2＞0$，解得$x＞2$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念应用题，易错点是只考虑分母不为0误选A，或对被开方数的符号判断错误。解题时要注意综合考虑两个代数式的成立条件，结合分子的符号准确判断分母的取值范围。
【难度系数】
0.75
④ 使$\frac{\sqrt{x+1}}{x-3}$有意义的x的取值范围是
$x ≥-1$且$x ≠ 3$
。答案
4.$x ≥-1$且$x ≠ 3$
解析
【分析】
要使同时包含二次根式和分式的代数式有意义，需同时满足两类限制条件：第一，二次根式的被开方数必须是非负数，保证二次根式有意义；第二，分式的分母不能为0，保证分式有意义。我们可以分别根据这两个条件列出对应的不等式，再取两个不等式解集的公共部分，就能得到x的取值范围。
【解析】
要使$\frac{\sqrt{x+1}}{x-3}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式的被开方数为非负数：$x+1≥0$，解得$x≥-1$；
2. 分式的分母不为0：$x-3≠0$，解得$x≠3$。
两个条件需同时成立，因此x的取值范围是$x≥-1$且$x≠3$。
【答案】
$x≥-1$且$x≠3$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是代数式有意义的常考基础题型，解题时要注意兼顾不同类型代数式的成立要求，避免遗漏分母不为0的限制条件。
【难度系数】
0.8
要使同时包含二次根式和分式的代数式有意义，需同时满足两类限制条件：第一，二次根式的被开方数必须是非负数，保证二次根式有意义；第二，分式的分母不能为0，保证分式有意义。我们可以分别根据这两个条件列出对应的不等式，再取两个不等式解集的公共部分，就能得到x的取值范围。
【解析】
要使$\frac{\sqrt{x+1}}{x-3}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式的被开方数为非负数：$x+1≥0$，解得$x≥-1$；
2. 分式的分母不为0：$x-3≠0$，解得$x≠3$。
两个条件需同时成立，因此x的取值范围是$x≥-1$且$x≠3$。
【答案】
$x≥-1$且$x≠3$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是代数式有意义的常考基础题型，解题时要注意兼顾不同类型代数式的成立要求，避免遗漏分母不为0的限制条件。
【难度系数】
0.8
5 若$\sqrt{x^2 - 2x +1}$有意义，则$x$的取值范围为
任何实数
。答案
5.任何实数
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数。因此我们首先列出关于x的不等式，再对被开方数进行因式分解，发现其为完全平方式，最后结合平方的非负性判断不等式的解集，即可得到x的取值范围。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{x^2 - 2x +1}$有意义，需满足被开方数为非负数，即：
$x^2 - 2x + 1 ≥ 0$
根据完全平方公式，将左边因式分解可得：
$(x-1)^2 ≥ 0$
由平方的非负性可知，任意实数的平方都大于或等于0，因此上述不等式对所有实数$x$都恒成立。
【答案】
任何实数
【知识点】
二次根式有意义的条件，完全平方公式，平方的非负性
【点评】
本题属于二次根式的基础题型，解题核心是先明确二次根式有意义的要求，再对被开方数合理变形，结合平方的性质即可判断取值范围，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数。因此我们首先列出关于x的不等式，再对被开方数进行因式分解，发现其为完全平方式，最后结合平方的非负性判断不等式的解集，即可得到x的取值范围。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{x^2 - 2x +1}$有意义，需满足被开方数为非负数，即：
$x^2 - 2x + 1 ≥ 0$
根据完全平方公式，将左边因式分解可得：
$(x-1)^2 ≥ 0$
由平方的非负性可知，任意实数的平方都大于或等于0，因此上述不等式对所有实数$x$都恒成立。
【答案】
任何实数
【知识点】
二次根式有意义的条件，完全平方公式，平方的非负性
【点评】
本题属于二次根式的基础题型，解题核心是先明确二次根式有意义的要求，再对被开方数合理变形，结合平方的性质即可判断取值范围，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.9
6 化简 $|a - 2| + (\sqrt{2 - a})^2$ 的结果是
$4-2a$
。答案
6.$4-2a$
解析
【分析】
解题首先需要明确二次根式有意义的前提：被开方数必须是非负数，因此先根据√(2-a)有意义求出a的取值范围，这是后续化简的基础；再根据a的取值范围判断a-2的正负，利用绝对值的性质去掉绝对值符号；最后结合二次根式的性质(√x)²=x（x≥0）化简二次根式部分，合并同类项即可得到结果。
【解析】
第一步：确定a的取值范围
要使二次根式$\sqrt{2-a}$有意义，被开方数需满足非负：
$2-a≥0$，即$a≤2$
第二步：化简绝对值
$\because a≤2$，$\therefore a-2≤0$
根据负数的绝对值等于它的相反数，可得：
$|a-2|=2-a$
第三步：化简二次根式
根据二次根式的性质：$(\sqrt{x})^2=x$（$x≥0$），可得：
$(\sqrt{2-a})^2=2-a$
第四步：合并计算
$|a-2|+(\sqrt{2-a})^2=(2-a)+(2-a)=4-2a$
【答案】
$4-2a$
【知识点】
二次根式有意义的条件；绝对值的化简；二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式性质应用的基础题型，解题关键是先确定字母的取值范围再化简，不可忽略二次根式有意义的条件直接去绝对值，否则容易出现符号错误。
【难度系数】
0.7
解题首先需要明确二次根式有意义的前提：被开方数必须是非负数，因此先根据√(2-a)有意义求出a的取值范围，这是后续化简的基础；再根据a的取值范围判断a-2的正负，利用绝对值的性质去掉绝对值符号；最后结合二次根式的性质(√x)²=x（x≥0）化简二次根式部分，合并同类项即可得到结果。
【解析】
第一步：确定a的取值范围
要使二次根式$\sqrt{2-a}$有意义，被开方数需满足非负：
$2-a≥0$，即$a≤2$
第二步：化简绝对值
$\because a≤2$，$\therefore a-2≤0$
根据负数的绝对值等于它的相反数，可得：
$|a-2|=2-a$
第三步：化简二次根式
根据二次根式的性质：$(\sqrt{x})^2=x$（$x≥0$），可得：
$(\sqrt{2-a})^2=2-a$
第四步：合并计算
$|a-2|+(\sqrt{2-a})^2=(2-a)+(2-a)=4-2a$
【答案】
$4-2a$
【知识点】
二次根式有意义的条件；绝对值的化简；二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式性质应用的基础题型，解题关键是先确定字母的取值范围再化简，不可忽略二次根式有意义的条件直接去绝对值，否则容易出现符号错误。
【难度系数】
0.7
7 已知$\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}=y+4$，则$x^y$的平方根为
$\pm1$
。答案
7.$\pm1$
解析
【分析】
解题首先要利用二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，先列出关于x的不等式组，求出x的取值，再代入原式求出y的值，接着计算$x^y$的结果，最后根据平方根的定义求出最终结果，注意平方根有正负两个，不要漏解。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{x-1}$和$\sqrt{1-x}$有意义，需满足被开方数非负，即：
$\begin{cases}x-1≥0 \\1-x≥0\end{cases}$
解不等式$x-1≥0$得$x≥1$，解不等式$1-x≥0$得$x≤1$，因此$x=1$。
将$x=1$代入原式$\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}=y+4$，得：
$0+0=y+4$，解得$y=-4$。
计算$x^y=1^{-4}=\frac{1}{1^4}=1$。
根据平方根的定义，1的平方根为$\pm\sqrt{1}=\pm1$。
【答案】
$\pm1$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 负整数指数幂运算
3. 平方根的定义
【点评】
本题是二次根式相关的基础典型题，核心考点是二次根式被开方数非负的隐含条件，解题时需要先挖掘这个隐含条件求出x的值，再逐步推导计算，注意区分平方根和算术平方根，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
解题首先要利用二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，先列出关于x的不等式组，求出x的取值，再代入原式求出y的值，接着计算$x^y$的结果，最后根据平方根的定义求出最终结果，注意平方根有正负两个，不要漏解。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{x-1}$和$\sqrt{1-x}$有意义，需满足被开方数非负，即：
$\begin{cases}x-1≥0 \\1-x≥0\end{cases}$
解不等式$x-1≥0$得$x≥1$，解不等式$1-x≥0$得$x≤1$，因此$x=1$。
将$x=1$代入原式$\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}=y+4$，得：
$0+0=y+4$，解得$y=-4$。
计算$x^y=1^{-4}=\frac{1}{1^4}=1$。
根据平方根的定义，1的平方根为$\pm\sqrt{1}=\pm1$。
【答案】
$\pm1$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 负整数指数幂运算
3. 平方根的定义
【点评】
本题是二次根式相关的基础典型题，核心考点是二次根式被开方数非负的隐含条件，解题时需要先挖掘这个隐含条件求出x的值，再逐步推导计算，注意区分平方根和算术平方根，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
8 已知$ab ＞ 0$,则二次根式$\sqrt{-ab^2}$化简的结果是
$-b \sqrt{-a}$
。答案
8.$-b \sqrt{-a}$
解析
【分析】
要化简二次根式，首先需明确两个核心依据：一是二次根式的被开方数必须为非负数，二是题目给出的$ab＞0$的符号限制。首先根据被开方数非负判断$a$的符号，再结合$ab＞0$判断$b$的符号，最后利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$化简即可，化简时要注意根据$b$的符号去掉绝对值符号，保证结果非负。
【解析】
第一步：确定字母的符号范围
∵ 二次根式$\sqrt{-ab^2}$有意义，
∴ 被开方数满足$-ab^2 ≥ 0$。
又
∵ $ab＞0$，
∴ $a≠0$，$b≠0$，因此$b^2＞0$，不等式两边同时除以正数$b^2$，不等号方向不变，可得$-a≥0$，即$a＜0$。
∵ $ab＞0$，$a$、$b$同号，
∴ $b＜0$。
第二步：化简二次根式
根据二次根式的性质$\sqrt{xy}=\sqrt{x}·\sqrt{y}$（$x≥0,y≥0$），可得：
$\sqrt{-ab^2}=\sqrt{b^2· (-a)}=\sqrt{b^2}·\sqrt{-a}$
再根据性质$\sqrt{x^2}=|x|$，得$\sqrt{b^2}=|b|$，结合$b＜0$，可知$|b|=-b$。
因此原式化简为$-b\sqrt{-a}$。
【答案】
$-b\sqrt{-a}$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式的化简性质
3. 绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简的典型易错题，解题的核心是先根据已知条件准确判断出字母的正负性，再结合二次根式的性质化简，尤其要注意开方后所得的结果必须是非负的，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.6
要化简二次根式，首先需明确两个核心依据：一是二次根式的被开方数必须为非负数，二是题目给出的$ab＞0$的符号限制。首先根据被开方数非负判断$a$的符号，再结合$ab＞0$判断$b$的符号，最后利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$化简即可，化简时要注意根据$b$的符号去掉绝对值符号，保证结果非负。
【解析】
第一步：确定字母的符号范围
∵ 二次根式$\sqrt{-ab^2}$有意义，
∴ 被开方数满足$-ab^2 ≥ 0$。
又
∵ $ab＞0$，
∴ $a≠0$，$b≠0$，因此$b^2＞0$，不等式两边同时除以正数$b^2$，不等号方向不变，可得$-a≥0$，即$a＜0$。
∵ $ab＞0$，$a$、$b$同号，
∴ $b＜0$。
第二步：化简二次根式
根据二次根式的性质$\sqrt{xy}=\sqrt{x}·\sqrt{y}$（$x≥0,y≥0$），可得：
$\sqrt{-ab^2}=\sqrt{b^2· (-a)}=\sqrt{b^2}·\sqrt{-a}$
再根据性质$\sqrt{x^2}=|x|$，得$\sqrt{b^2}=|b|$，结合$b＜0$，可知$|b|=-b$。
因此原式化简为$-b\sqrt{-a}$。
【答案】
$-b\sqrt{-a}$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式的化简性质
3. 绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简的典型易错题，解题的核心是先根据已知条件准确判断出字母的正负性，再结合二次根式的性质化简，尤其要注意开方后所得的结果必须是非负的，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.6
9 当a
$=-5$
时，$\sqrt{2a+10}$的值最小，最小值为$0$
。答案
9.$=-5, 0$
解析
【分析】
解题首先回忆二次根式的基本性质：二次根式的值具有非负性，即$\sqrt{x}≥0$（$x≥0$），因此二次根式的最小值为0。要让$\sqrt{2a+10}$取最小值，只需让其值为0即可，此时对应的被开方数必须为0，据此列方程求解就能得到a的取值。
【解析】
根据二次根式的性质可得：
被开方数$2a+10≥0$，且$\sqrt{2a+10}≥0$
因此$\sqrt{2a+10}$的最小值为0，此时满足：
$2a+10=0$
解得$a=-5$
【答案】
$=-5$；$0$
【知识点】
1. 二次根式的非负性
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次根式非负性的应用，解题关键是明确二次根式的最小值为0、对应被开方数为0，掌握二次根式基本性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解题首先回忆二次根式的基本性质：二次根式的值具有非负性，即$\sqrt{x}≥0$（$x≥0$），因此二次根式的最小值为0。要让$\sqrt{2a+10}$取最小值，只需让其值为0即可，此时对应的被开方数必须为0，据此列方程求解就能得到a的取值。
【解析】
根据二次根式的性质可得：
被开方数$2a+10≥0$，且$\sqrt{2a+10}≥0$
因此$\sqrt{2a+10}$的最小值为0，此时满足：
$2a+10=0$
解得$a=-5$
【答案】
$=-5$；$0$
【知识点】
1. 二次根式的非负性
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次根式非负性的应用，解题关键是明确二次根式的最小值为0、对应被开方数为0，掌握二次根式基本性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9
⑩ 如果 $ m + |m| = 0 $，那么 $ \sqrt{(m - 1)^2} + \sqrt{m^2} = $
$1-2m$
。答案
10.$1-2m$
解析
【分析】
解题时首先从已知条件$m + |m| = 0$入手，根据绝对值的非负性推导得出$m$的取值范围；再利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将待化简的两个二次根式转化为含绝对值的代数式；最后结合$m$的取值范围去掉绝对值符号，合并同类项即可得到结果。
【解析】
第一步：确定$m$的取值范围
由$m + |m| = 0$移项可得$|m| = -m$，
因为绝对值具有非负性，即$|m|≥0$，所以$-m≥0$，解得$m≤0$。
第二步：利用二次根式的性质转化式子
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(m - 1)^2}=|m - 1|$，$\sqrt{m^2}=|m|$。
第三步：去绝对值并化简
因为$m≤0$，所以$m - 1 ＜ 0$，
因此$|m - 1|=-(m - 1)=1 - m$，$|m|=-m$。
将上述结果代入原式得：
$\sqrt{(m - 1)^2} + \sqrt{m^2}=(1 - m) + (-m)=1 - 2m$。
【答案】
$1-2m$
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 二次根式的性质
3. 整式的加减
【点评】
本题是二次根式化简的基础常考题，解题核心是先通过已知条件确定字母的取值范围，再结合二次根式和绝对值的性质正确去绝对值符号，考察对基础性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件$m + |m| = 0$入手，根据绝对值的非负性推导得出$m$的取值范围；再利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将待化简的两个二次根式转化为含绝对值的代数式；最后结合$m$的取值范围去掉绝对值符号，合并同类项即可得到结果。
【解析】
第一步：确定$m$的取值范围
由$m + |m| = 0$移项可得$|m| = -m$，
因为绝对值具有非负性，即$|m|≥0$，所以$-m≥0$，解得$m≤0$。
第二步：利用二次根式的性质转化式子
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(m - 1)^2}=|m - 1|$，$\sqrt{m^2}=|m|$。
第三步：去绝对值并化简
因为$m≤0$，所以$m - 1 ＜ 0$，
因此$|m - 1|=-(m - 1)=1 - m$，$|m|=-m$。
将上述结果代入原式得：
$\sqrt{(m - 1)^2} + \sqrt{m^2}=(1 - m) + (-m)=1 - 2m$。
【答案】
$1-2m$
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 二次根式的性质
3. 整式的加减
【点评】
本题是二次根式化简的基础常考题，解题核心是先通过已知条件确定字母的取值范围，再结合二次根式和绝对值的性质正确去绝对值符号，考察对基础性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
11 先化简，再求值：$2a - \sqrt{a^2 - 4a + 4}$，其中$a = \sqrt{2}$。
答案
11.化简结果为$2a - | a - 2 |$。当$a=\sqrt{2}$时,原式$=2\sqrt{2} - | \sqrt{2} - 2 | =3\sqrt{2} - 2$。
解析
【分析】
这道题是二次根式化简求值类基础题，解题思路可分为三步：第一步，先观察根号内的多项式，可因式分解为完全平方式，先对根号内的式子变形；第二步，利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将二次根式转化为绝对值形式，避免直接开方出现符号错误；第三步，根据给出的$a$的取值，判断绝对值内代数式的正负，去掉绝对值符号后化简，最后代入$a$的数值计算结果即可。
【解析】
解：先对原式化简：
$\because a^2-4a+4=(a-2)^2$
$\therefore$ 原式$=2a-\sqrt{(a-2)^2}$
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
原式$=2a-|a-2|$
已知$a=\sqrt{2}\approx1.414＜2$，因此$a-2＜0$，根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，即$|a-2|=2-a$
代入化简得：
原式$=2a-(2-a)=2a-2+a=3a-2$
将$a=\sqrt{2}$代入$3a-2$得：
$3×\sqrt{2}-2=3\sqrt{2}-2$
【答案】
$3\sqrt{2}-2$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，完全平方公式
【点评】
本题核心考查二次根式的化简求值，易错点是忽略二次根式的非负性，直接将$\sqrt{(a-2)^2}$开方为$a-2$导致符号错误，解题时需先将二次根式转化为绝对值，再结合字母的取值范围去绝对值计算即可。
【难度系数】
0.7
这道题是二次根式化简求值类基础题，解题思路可分为三步：第一步，先观察根号内的多项式，可因式分解为完全平方式，先对根号内的式子变形；第二步，利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将二次根式转化为绝对值形式，避免直接开方出现符号错误；第三步，根据给出的$a$的取值，判断绝对值内代数式的正负，去掉绝对值符号后化简，最后代入$a$的数值计算结果即可。
【解析】
解：先对原式化简：
$\because a^2-4a+4=(a-2)^2$
$\therefore$ 原式$=2a-\sqrt{(a-2)^2}$
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
原式$=2a-|a-2|$
已知$a=\sqrt{2}\approx1.414＜2$，因此$a-2＜0$，根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，即$|a-2|=2-a$
代入化简得：
原式$=2a-(2-a)=2a-2+a=3a-2$
将$a=\sqrt{2}$代入$3a-2$得：
$3×\sqrt{2}-2=3\sqrt{2}-2$
【答案】
$3\sqrt{2}-2$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，完全平方公式
【点评】
本题核心考查二次根式的化简求值，易错点是忽略二次根式的非负性，直接将$\sqrt{(a-2)^2}$开方为$a-2$导致符号错误，解题时需先将二次根式转化为绝对值，再结合字母的取值范围去绝对值计算即可。
【难度系数】
0.7
