变式2 如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO=10,BO=DO,且AB=12,BC=16。
(1)求证:四边形ABCD是矩形。
(2)若∠ADF:∠FDC=3:2,DF⊥AC于点E,求∠BDF的度数。

(1)证明:因为AO=CO=10,BO=DO,所以四边形ABCD是平行四边形,AC=AO+CO=20,因为AB=12,BC=16,AB²+BC²=12²+16²=400,AC²=20²=400,因为AB²+BC²=AC²,所以△ABC为直角三角形且∠ABC=90°,所以四边形ABCD是矩形。
(2)因为四边形ABCD是矩形,所以∠ADC=90°,因为∠ADF:∠FDC=3:2,∠ADF+∠FDC=∠ADC=90°,所以∠FDC=2/5∠ADC=36°,因为DF⊥AC,所以∠DCO=90°-∠FDC=90°-36°=54°,因为四边形ABCD是矩形,所以CO=OD,所以∠ODC=∠DCO=54°,所以∠BDF=∠ODC-∠FDC=54°-36°=18°。

例3 （真题·宁波市南三县）如图，BD是菱形ABCD的对角线，$AE⊥BC$于点E，交BD于点F，若$∠C=140°$，则$∠BFA=$。

知识归纳
1.菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫菱形。
2.菱形的性质:①菱形的四条边相等;②菱形对角线互相垂直。

110°

变式3 （真题·台州路桥）如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作$AE ⊥ BC$于点E,连结OE。若$OE=3$,$BD=10$,则菱形ABCD的面积为……（）

A.30
B.40
C.50
D.60

A

例4 (真题·舟山定海)已知在$□ ABCD$中，对角线$AC,BD$交于点$O$，添加下列条件后，不一定能使其成为菱形的是$\dots\dots$（）

A.$AD=AB$
B.$∠ ADB=∠ CDB$
C.$OA=OB$
D.$AC⊥ BD$

C