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变式4 （真题·宁波海曙）如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=10 cm,点D从点B出发沿BA方向以$\sqrt{2}$ cm/s的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AC方向以1 cm/s的速度向点C匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动,设点D,E运动的时间为t s。过点D作DF⊥BC于点F,若平面内存在一点H,使得以H,E,F,D为顶点的四边形为菱形,则t的值为
5或20/3或20-10√2
。答案
5或$\frac{20}{3}$或$20-10\sqrt{2}$
解析:根据题意,可得$BD=\sqrt{2}t\mathrm{cm},DF=BF=t\mathrm{cm},AE=t\mathrm{cm},EC=CF=(10-t)\mathrm{cm}$,所以$EF^2=(10-t)^2+(10-t)^2=200-40t+2t^2$,过点D作$DG⊥AC$,则$DG=FC=(10-t)\mathrm{cm},EG=|10-t-t|\mathrm{cm}$,所以$ED^2=(10-t)^2+(10-2t)^2=200-60t+5t^2$,因为点E,F,D为菱形的三个顶点,所以△EFD为等腰三角形,则分三种情况讨论:①当EF=ED时,则$200-40t+2t^2=200-60t+5t^2$,解得$t_1=0$(舍去),$t_2=\frac{20}{3}$;②当EF=DF时,则$200-40t+2t^2=t^2$,解得$t_1=20+10\sqrt{2}$(舍去),$t_2=20-10\sqrt{2}$;③当ED=DF时,则$t^2=200-60t+5t^2$,解得$t_1=10$(舍去),$t_2=5$;综上所述,$t=5$或$\frac{20}{3}$或$20-10\sqrt{2}$。
解析:根据题意,可得$BD=\sqrt{2}t\mathrm{cm},DF=BF=t\mathrm{cm},AE=t\mathrm{cm},EC=CF=(10-t)\mathrm{cm}$,所以$EF^2=(10-t)^2+(10-t)^2=200-40t+2t^2$,过点D作$DG⊥AC$,则$DG=FC=(10-t)\mathrm{cm},EG=|10-t-t|\mathrm{cm}$,所以$ED^2=(10-t)^2+(10-2t)^2=200-60t+5t^2$,因为点E,F,D为菱形的三个顶点,所以△EFD为等腰三角形,则分三种情况讨论:①当EF=ED时,则$200-40t+2t^2=200-60t+5t^2$,解得$t_1=0$(舍去),$t_2=\frac{20}{3}$;②当EF=DF时,则$200-40t+2t^2=t^2$,解得$t_1=20+10\sqrt{2}$(舍去),$t_2=20-10\sqrt{2}$;③当ED=DF时,则$t^2=200-60t+5t^2$,解得$t_1=10$(舍去),$t_2=5$;综上所述,$t=5$或$\frac{20}{3}$或$20-10\sqrt{2}$。
例5 (1)(真题·金华金东)如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形CDE,连结AE,BE,则∠AEB的度数为
(2)(真题·绍兴新昌)如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形,若$BG=2CG$,则小正方形与大正方形的边长之比为（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{5}$
D.$\frac{1}{5}$
30°
。(2)(真题·绍兴新昌)如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形,若$BG=2CG$,则小正方形与大正方形的边长之比为（
B
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{5}$
D.$\frac{1}{5}$
答案
(1)30° (2)B
知识归纳
1.正方形的定义:一组邻边相等，且一个角是直角的平行四边形叫正方形。
2.正方形的性质:①四个角都是直角;②四条边相等;③对角线相等，并且互相垂直平分。
1.正方形的定义:一组邻边相等，且一个角是直角的平行四边形叫正方形。
2.正方形的性质:①四个角都是直角;②四条边相等;③对角线相等，并且互相垂直平分。
答案
证明：
∵ 正方形是满足“一组邻边相等，且一个角是直角”的平行四边形
1. 证四个角都是直角：
设正方形ABCD中，∠A=90°
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ ∠A=∠C=90°，∠A+∠B=180°
∴ ∠B=90°，同理可得∠D=90°
即正方形的四个角都是直角。
2. 证四条边相等：
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB=CD，AD=BC
又∵ 正方形有一组邻边相等，设AB=AD
∴ AB=BC=CD=DA
即正方形的四条边相等。
3. 证对角线相等且互相垂直平分：
∵ 平行四边形的对角线互相平分
∴ 正方形的对角线互相平分
由正方形四个角都是直角，可知正方形是特殊的矩形
∴ 正方形的对角线相等
由正方形四条边相等，可知正方形是特殊的菱形
∴ 正方形的对角线互相垂直
综上，正方形的对角线相等，并且互相垂直平分。
∵ 正方形是满足“一组邻边相等，且一个角是直角”的平行四边形
1. 证四个角都是直角：
设正方形ABCD中，∠A=90°
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ ∠A=∠C=90°，∠A+∠B=180°
∴ ∠B=90°，同理可得∠D=90°
即正方形的四个角都是直角。
2. 证四条边相等：
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB=CD，AD=BC
又∵ 正方形有一组邻边相等，设AB=AD
∴ AB=BC=CD=DA
即正方形的四条边相等。
3. 证对角线相等且互相垂直平分：
∵ 平行四边形的对角线互相平分
∴ 正方形的对角线互相平分
由正方形四个角都是直角，可知正方形是特殊的矩形
∴ 正方形的对角线相等
由正方形四条边相等，可知正方形是特殊的菱形
∴ 正方形的对角线互相垂直
综上，正方形的对角线相等，并且互相垂直平分。
变式5 （真题·宁波海曙）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放入较大的正方形内(A，J分别是它们的顶点)，若已知图2中两块阴影部分的面积和与周长和分别为16和36，则可知图1中的正方形$ACJH$的面积为$\dots\dots$（
A.25
B.64
C.100
D.169
D
）A.25
B.64
C.100
D.169
答案
D
解析:设$AB=c,BC=a,AC=b(b＞a＞c)$,因为图2中两块阴影部分的面积和与周长和分别为16和36,所以$(b-c)(b-a)+(b-a)(b-c)=16,4(b-c+b-a)=36$,所以$(b-a)(b-c)=8,b-c+b-a=9$,设$b-a=x,b-c=y$,所以$\begin{cases}xy=8,\\x+y=9,\end{cases}$所以$x^2+y^2=81-16=65$,因为$x-y=b-a-b+c=c-a$,所以$(x-y)^2=(c-a)^2$,所以$(c-a)^2=65-16=49$,所以$a=c+7$,把$a=c+7$代入$2b-c-a=9$中得:$2b-c-c-7=9$,所以$b-c=8$,所以$b=c+8$,因为$a^2+c^2=b^2$,所以$(c+7)^2+c^2=(c+8)^2$,所以$c^2-2c-15=0$,所以$c_1=5,c_2=-3$(舍),所以$b=13$,所以正方形ACJH的面积为169;故答案为:D。
解析:设$AB=c,BC=a,AC=b(b＞a＞c)$,因为图2中两块阴影部分的面积和与周长和分别为16和36,所以$(b-c)(b-a)+(b-a)(b-c)=16,4(b-c+b-a)=36$,所以$(b-a)(b-c)=8,b-c+b-a=9$,设$b-a=x,b-c=y$,所以$\begin{cases}xy=8,\\x+y=9,\end{cases}$所以$x^2+y^2=81-16=65$,因为$x-y=b-a-b+c=c-a$,所以$(x-y)^2=(c-a)^2$,所以$(c-a)^2=65-16=49$,所以$a=c+7$,把$a=c+7$代入$2b-c-a=9$中得:$2b-c-c-7=9$,所以$b-c=8$,所以$b=c+8$,因为$a^2+c^2=b^2$,所以$(c+7)^2+c^2=(c+8)^2$,所以$c^2-2c-15=0$,所以$c_1=5,c_2=-3$(舍),所以$b=13$,所以正方形ACJH的面积为169;故答案为:D。
例6 (真题·宁波余姚)如图,已知$□ ABCD$,从下列四个条件中选两个作为补充条件,使$□ ABCD$成为正方形。①$∠ABC=$
$90°$;②$AC⊥BD$;③$AB=BC$;④$AC=BD$。则下列四种选法中错误的是 ……………………（
A.①②
B.①③
C.②③
D.③④
$90°$;②$AC⊥BD$;③$AB=BC$;④$AC=BD$。则下列四种选法中错误的是 ……………………（
C
）A.①②
B.①③
C.②③
D.③④
答案
C
