11.(10分)(2025·海淀区期末)已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(m-3)x+2-m=0$.
(1)求证:该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的实数根均为非负数,求$m$的取值范围.

11.(1)证明:在一元二次方程 $x^{2}+(m-3)x+2-m=0$中,
$\Delta=(m-3)^2-4×1×(2-m)=m^2-6m+9-8+4m=m^2-2m+1=(m-1)^2$.
又因为$(m-1)^2≥0$,
所以该方程总有两个实数根.
(2)解:$x^2+(m-3)x+2-m=0$,
$(x-1)(x+m-2)=0$,
则$x_1=1,x_2=-m+2$.
因为该方程的实数根均为非负数,
所以$-m+2≥0$,解得$m≤2$,
故$m$的取值范围是$m≤2$.

12.(15分)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -6x +2m -1=0$有两个实数根，分别为$x_1,x_2$.
(1)若$x_1=1$，求$x_2$及$m$的值.
(2)是否存在实数$m$，满足$(x_1 -1)(x_2 -1)=\frac{6}{m-5}$？若存在，求出实数$m$的值；若不存在，请说明理由.

12.解:(1)根据题意,得$\Delta=(-6)^2-4(2m-1)≥0$,
解得$m≤5$.$\because x_1+x_2=6,x_1x_2=2m-1$,
$x_1=1,\therefore1+x_2=6,x_2=2m-1,\therefore x_2=5,m=3$.
(2)存在.$\because(x_1-1)(x_2-1)=\frac{6}{m-5}$,
$\therefore x_1x_2-(x_1+x_2)+1=\frac{6}{m-5}$,
即$2m-1-6+1=\frac{6}{m-5}$,
整理,得$m^2-8m+12=0$,解得$m_1=2,m_2=6$.
由(1)知$m≤5$,又$\because m≠5,\therefore m=2$.

13.(15分)已知关于$x$的一元二次方程$mx^2-(4m+2)x+3m+6=0$.
(1)试讨论该方程的根的情况并说明理由；
(2)若无论$m$为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根.

13.解:(1)$\because\Delta=[-(4m+2)]^2-4m(3m+6)=16m^2+16m+4-12m^2-24m=4m^2-8m+4=4(m-1)^2≥0$,
$\therefore$关于$x$的一元二次方程$mx^2-(4m+2)x+3m+6=0$有实数根.
(2)$\because$无论$m$为何值,该方程都有一个固定的实数根,
又$mx^2-(4m+2)x+3m+6=m(x^2-4x+3)-2x+6=0$,
$\therefore x^2-4x+3=0$,且$-2x+6=0$,解得$x=3$,
$\therefore$这个固定的实数根为3.