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9. 如图，直线AB//CD，∠AEP=∠CFQ. 试说明∠EPM=∠FQM. 
答案
9. 解:$\because AB// CD,\therefore ∠AEF=∠CFM.$
又$\because ∠AEP=∠CFQ,$
$\therefore ∠AEF+∠AEP=∠CFM+∠CFQ,$
即$∠PEM=∠QFM.$
$\therefore PE// QF.\therefore ∠EPM=∠FQM.$
又$\because ∠AEP=∠CFQ,$
$\therefore ∠AEF+∠AEP=∠CFM+∠CFQ,$
即$∠PEM=∠QFM.$
$\therefore PE// QF.\therefore ∠EPM=∠FQM.$
解析
【分析】
首先结合已知的AB//CD，利用平行线的性质可得到一组同位角相等；再结合题目给出的∠AEP=∠CFQ，通过角的和差运算得到新的一组相等的同位角，根据同位角相等即可判定PE和QF平行；最后再利用平行线的性质，就能推导得出待证的∠EPM=∠FQM。
【解析】
证明：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠AEF=∠CFM$（两直线平行，同位角相等）。
又$\because ∠AEP=∠CFQ$，
$\therefore ∠AEF+∠AEP=∠CFM+∠CFQ$（等式的性质），
即$∠PEM=∠QFM$。
$\therefore PE// QF$（同位角相等，两直线平行）。
$\therefore ∠EPM=∠FQM$（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
$\because AB// CD,\therefore ∠AEF=∠CFM.$
又$\because ∠AEP=∠CFQ,$
$\therefore ∠AEF+∠AEP=∠CFM+∠CFQ,$
即$∠PEM=∠QFM.$
$\therefore PE// QF.\therefore ∠EPM=∠FQM.$
【知识点】
平行线的性质，平行线的判定，等式的性质
【点评】
本题是平行线性质与判定的基础综合题，解题遵循“由平行得等角，由等角判平行，再由平行得等角”的推导逻辑，熟练掌握平行线相关定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
首先结合已知的AB//CD，利用平行线的性质可得到一组同位角相等；再结合题目给出的∠AEP=∠CFQ，通过角的和差运算得到新的一组相等的同位角，根据同位角相等即可判定PE和QF平行；最后再利用平行线的性质，就能推导得出待证的∠EPM=∠FQM。
【解析】
证明：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠AEF=∠CFM$（两直线平行，同位角相等）。
又$\because ∠AEP=∠CFQ$，
$\therefore ∠AEF+∠AEP=∠CFM+∠CFQ$（等式的性质），
即$∠PEM=∠QFM$。
$\therefore PE// QF$（同位角相等，两直线平行）。
$\therefore ∠EPM=∠FQM$（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
$\because AB// CD,\therefore ∠AEF=∠CFM.$
又$\because ∠AEP=∠CFQ,$
$\therefore ∠AEF+∠AEP=∠CFM+∠CFQ,$
即$∠PEM=∠QFM.$
$\therefore PE// QF.\therefore ∠EPM=∠FQM.$
【知识点】
平行线的性质，平行线的判定，等式的性质
【点评】
本题是平行线性质与判定的基础综合题，解题遵循“由平行得等角，由等角判平行，再由平行得等角”的推导逻辑，熟练掌握平行线相关定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
10. 小明从A处出发沿正东方向行驶至B处，又沿南偏东$75°$方向行驶至C处，此时需把方向调整到正东方向，则小明应该（
A.右转$165°$
B.左转$75°$
C.右转$15°$
D.左转$15°$
D
）A.右转$165°$
B.左转$75°$
C.右转$15°$
D.左转$15°$
答案
10.D
解析
【分析】
解决这道题的核心是理清各行驶方向的夹角关系，我们可以通过画方向示意图辅助分析：首先明确正东、正南方向互相垂直，先算出BC段行驶方向和正东方向的夹角，再判断从当前行驶方向调整到正东的转向角度和转向方向即可。
【解析】
1. 画方向示意图：标记B点方位为上北下南、左西右东，AB为正东方向（水平向右）。
2. 计算夹角：已知从B到C是南偏东$75°$方向，即BC与正南方向的东向夹角为$75°$，因为正东和正南垂直（夹角为$90°$），所以BC与正东方向的南向夹角为$90°-75°=15°$，即BC的行驶方向比正东偏南$15°$。
3. 判断转向：小明到达C点时，当前朝向是BC的前进方向，比正东偏南$15°$，要调整到正东方向，需要向北转$15°$，面朝前进方向时向北转就是左转，因此应该左转$15°$。
【答案】
D
【知识点】
方向角识别，角度计算
【点评】
本题结合生活中的方向调整场景出题，解题关键是准确理解方向角的定义，通过画示意图可以清晰梳理各方向的夹角关系，避免凭空想象出错。
【难度系数】
0.7
解决这道题的核心是理清各行驶方向的夹角关系，我们可以通过画方向示意图辅助分析：首先明确正东、正南方向互相垂直，先算出BC段行驶方向和正东方向的夹角，再判断从当前行驶方向调整到正东的转向角度和转向方向即可。
【解析】
1. 画方向示意图：标记B点方位为上北下南、左西右东，AB为正东方向（水平向右）。
2. 计算夹角：已知从B到C是南偏东$75°$方向，即BC与正南方向的东向夹角为$75°$，因为正东和正南垂直（夹角为$90°$），所以BC与正东方向的南向夹角为$90°-75°=15°$，即BC的行驶方向比正东偏南$15°$。
3. 判断转向：小明到达C点时，当前朝向是BC的前进方向，比正东偏南$15°$，要调整到正东方向，需要向北转$15°$，面朝前进方向时向北转就是左转，因此应该左转$15°$。
【答案】
D
【知识点】
方向角识别，角度计算
【点评】
本题结合生活中的方向调整场景出题，解题关键是准确理解方向角的定义，通过画示意图可以清晰梳理各方向的夹角关系，避免凭空想象出错。
【难度系数】
0.7
11.如图是某款自行车的结构示意图.经测得$AB// CD$，且都与地面$l$平行，$∠ BAC=∠ ABC=60°$.有如下四个结论：①$∠ ACD=120°$；②若$∠ MAC=60°$，则$AM// BC$；③若$∠ CBD=30°$，则$AC// BD$；④若$∠ DBF=60°$，则$AC// BD$.在这四个结论中，正确的有________.(填序号)
（第11题图）
（第12题图）
（第11题图）
（第12题图）
答案
11.①②④
解析
【分析】
本题考查平行线的性质与判定的综合应用，解题思路如下：首先根据已知的∠BAC=∠ABC=60°，利用三角形内角和先求出∠ACB的度数；再结合AB//CD的条件，依次对四个结论进行验证：判断角的度数是否正确用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补、内错角相等），判断两直线是否平行用平行线的判定定理（同位角/内错角相等，两直线平行），逐个筛选出正确结论即可。
【解析】
已知∠BAC=∠ABC=60°，在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-60°=60°
逐个验证结论：
① 因为AB//CD，两直线平行，同旁内角互补，所以∠BAC+∠ACD=180°，代入∠BAC=60°，得∠ACD=180°-60°=120°，故①正确；
② 若∠MAC=60°，则∠MAC=∠ACB=60°，二者是直线AM、BC被AC所截形成的内错角，内错角相等，两直线平行，所以AM//BC，故②正确；
③ 若∠CBD=30°，则∠CBD≠∠ACB=60°，直线AC、BD被BC所截的内错角不相等，因此AC与BD不平行，故③错误；
④ 若∠DBF=60°，则∠DBF=∠BAC=60°，二者是直线AC、BD被AF所截形成的同位角，同位角相等，两直线平行，所以AC//BD，故④正确。
综上，正确的结论为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定；三角形内角和
【点评】
本题属于基础的几何综合题，侧重对平行线相关定理的理解与应用，解题时要注意准确识别截线和被截直线，找到对应的角的关系，避免因错认角的位置关系判断失误。
【难度系数】
0.7
本题考查平行线的性质与判定的综合应用，解题思路如下：首先根据已知的∠BAC=∠ABC=60°，利用三角形内角和先求出∠ACB的度数；再结合AB//CD的条件，依次对四个结论进行验证：判断角的度数是否正确用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补、内错角相等），判断两直线是否平行用平行线的判定定理（同位角/内错角相等，两直线平行），逐个筛选出正确结论即可。
【解析】
已知∠BAC=∠ABC=60°，在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-60°=60°
逐个验证结论：
① 因为AB//CD，两直线平行，同旁内角互补，所以∠BAC+∠ACD=180°，代入∠BAC=60°，得∠ACD=180°-60°=120°，故①正确；
② 若∠MAC=60°，则∠MAC=∠ACB=60°，二者是直线AM、BC被AC所截形成的内错角，内错角相等，两直线平行，所以AM//BC，故②正确；
③ 若∠CBD=30°，则∠CBD≠∠ACB=60°，直线AC、BD被BC所截的内错角不相等，因此AC与BD不平行，故③错误；
④ 若∠DBF=60°，则∠DBF=∠BAC=60°，二者是直线AC、BD被AF所截形成的同位角，同位角相等，两直线平行，所以AC//BD，故④正确。
综上，正确的结论为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定；三角形内角和
【点评】
本题属于基础的几何综合题，侧重对平行线相关定理的理解与应用，解题时要注意准确识别截线和被截直线，找到对应的角的关系，避免因错认角的位置关系判断失误。
【难度系数】
0.7
12. 如图，$AB// CD$，$EP_2$平分$∠ P_1EB$，$FP_2$平分$∠ P_1FD$。若设$∠ P_1EB = x°$，$∠ P_1FD = y°$，则$∠ P_1= \_\_\_\_\_\_°$（用含$x$，$y$的代数式表示）。若$EP_3$平分$∠ P_2EB$，$FP_3$平分$∠ P_2FD$，可得$∠ P_3$；$EP_4$平分$∠ P_3EB$，$FP_4$平分$∠ P_3FD$，可得$∠ P_4$……依次平分下去，则$∠ P_n= \_\_\_\_\_\_°$。
答案
12.$(x+y)$ $\dfrac{x+y}{2^{n-1}}$
解析
【分析】
第一空可通过过拐点作平行线的常用辅助线方法，结合平行线内错角相等的性质推导∠P₁的表达式；第二空为规律探究题，先根据角平分线的定义依次求出∠P₂、∠P₃的表达式，观察表达式和序号的对应关系，即可总结出∠Pₙ的通用规律。
【解析】
1. 求∠P₁的度数：
过点$P_1$作$P_1G// AB$，
$\because AB// CD$，$\therefore P_1G// CD$，
根据平行线内错角相等可得：
$∠ EP_1G=∠ P_1EB=x°$，$∠ FP_1G=∠ P_1FD=y°$，
$\therefore ∠ P_1=∠ EP_1G+∠ FP_1G=(x+y)°$。
2. 求∠Pₙ的规律：
$\because EP_2$平分$∠ P_1EB$，$FP_2$平分$∠ P_1FD$，
$\therefore ∠ P_2EB=\frac{1}{2}x°$，$∠ P_2FD=\frac{1}{2}y°$，
同理可得$∠ P_2=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=\frac{x+y}{2}°$；
同理，$EP_3$平分$∠ P_2EB$，$FP_3$平分$∠ P_2FD$，可得$∠ P_3=\frac{x+y}{4}=\frac{x+y}{2^2}°$；
观察规律：$∠ P_1=\frac{x+y}{2^{0}}$，$∠ P_2=\frac{x+y}{2^{1}}$，$∠ P_3=\frac{x+y}{2^{2}}$，
由此可推得$∠ P_n=\frac{x+y}{2^{n-1}}°$。
【答案】
$(x+y)$；$\dfrac{x+y}{2^{n-1}}$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；规律探究
【点评】
本题结合平行线经典拐点模型和规律探究进行考查，解题的关键是熟练掌握过拐点作平行线的辅助线方法，通过计算前几个角的表达式总结通用规律，是几何与规律结合的典型题型。
【难度系数】
0.65
第一空可通过过拐点作平行线的常用辅助线方法，结合平行线内错角相等的性质推导∠P₁的表达式；第二空为规律探究题，先根据角平分线的定义依次求出∠P₂、∠P₃的表达式，观察表达式和序号的对应关系，即可总结出∠Pₙ的通用规律。
【解析】
1. 求∠P₁的度数：
过点$P_1$作$P_1G// AB$，
$\because AB// CD$，$\therefore P_1G// CD$，
根据平行线内错角相等可得：
$∠ EP_1G=∠ P_1EB=x°$，$∠ FP_1G=∠ P_1FD=y°$，
$\therefore ∠ P_1=∠ EP_1G+∠ FP_1G=(x+y)°$。
2. 求∠Pₙ的规律：
$\because EP_2$平分$∠ P_1EB$，$FP_2$平分$∠ P_1FD$，
$\therefore ∠ P_2EB=\frac{1}{2}x°$，$∠ P_2FD=\frac{1}{2}y°$，
同理可得$∠ P_2=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=\frac{x+y}{2}°$；
同理，$EP_3$平分$∠ P_2EB$，$FP_3$平分$∠ P_2FD$，可得$∠ P_3=\frac{x+y}{4}=\frac{x+y}{2^2}°$；
观察规律：$∠ P_1=\frac{x+y}{2^{0}}$，$∠ P_2=\frac{x+y}{2^{1}}$，$∠ P_3=\frac{x+y}{2^{2}}$，
由此可推得$∠ P_n=\frac{x+y}{2^{n-1}}°$。
【答案】
$(x+y)$；$\dfrac{x+y}{2^{n-1}}$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；规律探究
【点评】
本题结合平行线经典拐点模型和规律探究进行考查，解题的关键是熟练掌握过拐点作平行线的辅助线方法，通过计算前几个角的表达式总结通用规律，是几何与规律结合的典型题型。
【难度系数】
0.65
