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四、计算题(第13小题12分,第14小题13分,共25分)
13[2025黑龙江哈尔滨期末,中]有一个容积为$500\ \mathrm{cm}^3$的瓶子,瓶内盛有$300\ \mathrm{g}$水,一只口渴的乌鸦想喝这个瓶子中的水,但是瓶中的水和瓶口有一段距离,乌鸦无法直接喝到(假设只有水面与瓶口相平时,乌鸦才能喝到),此时聪明的乌鸦发现瓶子旁边有很多规格相同的小石块,每个小石块的质量都是$39\ \mathrm{g}$。当乌鸦向瓶中投入一些小石块后,水面升到了瓶口,乌鸦便喝到了水。($\rho_{石}=2.6\ \mathrm{g/cm}^3$,$\rho_{水}=1.0\ \mathrm{g/cm}^3$,石块不吸水)
(1)求瓶内水的体积。
(2)乌鸦至少要向瓶内投入多少个小石块才能喝到瓶中的水？
13[2025黑龙江哈尔滨期末,中]有一个容积为$500\ \mathrm{cm}^3$的瓶子,瓶内盛有$300\ \mathrm{g}$水,一只口渴的乌鸦想喝这个瓶子中的水,但是瓶中的水和瓶口有一段距离,乌鸦无法直接喝到(假设只有水面与瓶口相平时,乌鸦才能喝到),此时聪明的乌鸦发现瓶子旁边有很多规格相同的小石块,每个小石块的质量都是$39\ \mathrm{g}$。当乌鸦向瓶中投入一些小石块后,水面升到了瓶口,乌鸦便喝到了水。($\rho_{石}=2.6\ \mathrm{g/cm}^3$,$\rho_{水}=1.0\ \mathrm{g/cm}^3$,石块不吸水)
(1)求瓶内水的体积。
(2)乌鸦至少要向瓶内投入多少个小石块才能喝到瓶中的水？
答案
13.【解】(1)瓶内盛有300 g水,根据 $\rho = \frac{m}{V}$ 可知,瓶内水的体积为 $V_{水} = \frac{m_{水}}{\rho_{水}} = \frac{300\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3} = 300\ \mathrm{cm}^3$。(2)瓶内空余部分的体积为 $V_{剩} = V_{总} - V_{水} = 500\ \mathrm{cm}^3 - 300\ \mathrm{cm}^3 = 200\ \mathrm{cm}^3$ ,一个小石块的体积为 $V_{石} = \frac{m_{石}}{\rho_{石}} = \frac{39\ \mathrm{g}}{2.6\ \mathrm{g/cm}^3} = 15\ \mathrm{cm}^3$ ;乌鸦向瓶内投入的小石块的个数应为 $n = \frac{V_{剩}}{V_{石}} = \frac{200\ \mathrm{cm}^3}{15\ \mathrm{cm}^3} ≈ 13.3$(个),所以乌鸦至少要向瓶内投入 14 个小石块才能喝到瓶中的水。
解析
【分析】
本题是利用密度公式解决实际问题的计算题，分为两小问。第(1)问已知水的质量和密度，根据密度公式变形可直接计算水的体积；第(2)问需明确：要让水面升到瓶口，投入石块的总体积需等于瓶子空余部分的体积，因此先算出瓶子空余体积和单个石块体积，再通过除法计算石块个数，注意石块个数必须为整数，需向上取整。
【解析】
(1) 根据密度公式$\rho = \frac{m}{V}$，变形可得瓶内水的体积：
$V_{水} = \frac{m_{水}}{\rho_{水}} = \frac{300\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3} = 300\ \mathrm{cm}^3$。
(2) 瓶子空余部分的体积：
$V_{剩} = V_{总} - V_{水} = 500\ \mathrm{cm}^3 - 300\ \mathrm{cm}^3 = 200\ \mathrm{cm}^3$；
单个小石块的体积：
$V_{石} = \frac{m_{石}}{\rho_{石}} = \frac{39\ \mathrm{g}}{2.6\ \mathrm{g/cm}^3} = 15\ \mathrm{cm}^3$；
需要投入的石块个数：
$n = \frac{V_{剩}}{V_{石}} = \frac{200\ \mathrm{cm}^3}{15\ \mathrm{cm}^3} ≈ 13.3$，由于石块个数必须为整数，需保证水面到达瓶口，因此至少需要14个小石块。
【答案】
(1) 瓶内水的体积为$300\ \mathrm{cm}^3$；(2) 乌鸦至少要向瓶内投入14个小石块才能喝到瓶中的水。
【知识点】
密度公式的应用、体积计算
【点评】
本题结合“乌鸦喝水”的生活场景，考查密度公式的实际应用，解题关键是明确石块总体积需等于瓶子空余体积，需注意石块个数需取整数，不能直接取小数，整体难度适中，侧重公式的灵活运用。
【难度系数】
0.6
本题是利用密度公式解决实际问题的计算题，分为两小问。第(1)问已知水的质量和密度，根据密度公式变形可直接计算水的体积；第(2)问需明确：要让水面升到瓶口，投入石块的总体积需等于瓶子空余部分的体积，因此先算出瓶子空余体积和单个石块体积，再通过除法计算石块个数，注意石块个数必须为整数，需向上取整。
【解析】
(1) 根据密度公式$\rho = \frac{m}{V}$，变形可得瓶内水的体积：
$V_{水} = \frac{m_{水}}{\rho_{水}} = \frac{300\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3} = 300\ \mathrm{cm}^3$。
(2) 瓶子空余部分的体积：
$V_{剩} = V_{总} - V_{水} = 500\ \mathrm{cm}^3 - 300\ \mathrm{cm}^3 = 200\ \mathrm{cm}^3$；
单个小石块的体积：
$V_{石} = \frac{m_{石}}{\rho_{石}} = \frac{39\ \mathrm{g}}{2.6\ \mathrm{g/cm}^3} = 15\ \mathrm{cm}^3$；
需要投入的石块个数：
$n = \frac{V_{剩}}{V_{石}} = \frac{200\ \mathrm{cm}^3}{15\ \mathrm{cm}^3} ≈ 13.3$，由于石块个数必须为整数，需保证水面到达瓶口，因此至少需要14个小石块。
【答案】
(1) 瓶内水的体积为$300\ \mathrm{cm}^3$；(2) 乌鸦至少要向瓶内投入14个小石块才能喝到瓶中的水。
【知识点】
密度公式的应用、体积计算
【点评】
本题结合“乌鸦喝水”的生活场景，考查密度公式的实际应用，解题关键是明确石块总体积需等于瓶子空余体积，需注意石块个数需取整数，不能直接取小数，整体难度适中，侧重公式的灵活运用。
【难度系数】
0.6
14[2026湖北黄冈期末,偏难]镁锂合金属于超轻金属材料,在航天、军工等领域有着广泛的应用前景,但因技术原因一直很难量产。我国科研人员历经三年技术攻关,终于研发出了“400 kg镁锂合金熔炼系统”。该熔炼系统年生产力至少400 t,下表为其生产的产品的牌号及对应的密度值。请解答以下问题:
(1)该熔炼系统平均每月至少可生产多少千克镁锂合金?
(2)30 cm³LA113E牌号的镁锂合金的质量是多少克?
(3)据了解,卫星的质量每降低1 kg,便能节约耗损成本约10万元。某卫星上一零件质量为270 g,密度为2.7 g/cm³。在确保安全的前提下,若将其替换为等体积的LA91牌号镁锂合金零件,可节约耗损成本约多少万元?
(1)该熔炼系统平均每月至少可生产多少千克镁锂合金?
(2)30 cm³LA113E牌号的镁锂合金的质量是多少克?
(3)据了解,卫星的质量每降低1 kg,便能节约耗损成本约10万元。某卫星上一零件质量为270 g,密度为2.7 g/cm³。在确保安全的前提下,若将其替换为等体积的LA91牌号镁锂合金零件,可节约耗损成本约多少万元?
答案
14.【解】(1)该熔炼系统平均每月至少可生产镁锂合金的质量 $m_{月} = \frac{m_{年}}{12} = \frac{400×10^3\ \mathrm{kg}}{12} ≈ 3.3×10^4\ \mathrm{kg}$。(2)由表中数据可知,LA113E 牌号的镁锂合金的密度为 $\rho = 1.5\ \mathrm{g/cm}^3$ ,根据 $\rho = \frac{m}{V}$ 可得,30 cm³LA113E 牌号的镁锂合金的质量 $m = \rho V = 1.5\ \mathrm{g/cm}^3 × 30\ \mathrm{cm}^3 = 45\ \mathrm{g}$。(3)零件的体积 $V_{零} = \frac{m_{零}}{\rho_{零}} = \frac{270\ \mathrm{g}}{2.7\ \mathrm{g/cm}^3} = 100\ \mathrm{cm}^3$ ,由表中数据可知,LA91 牌号镁锂合金的密度为 $\rho' = 1.45\ \mathrm{g/cm}^3$ ,根据 $\rho = \frac{m}{V}$ 可得,LA91 牌号镁锂合金零件的质量 $m' = \rho' V_{零} = 1.45\ \mathrm{g/cm}^3 × 100\ \mathrm{cm}^3 = 145\ \mathrm{g}$ ,零件减少的质量 $\Delta m = m_{零} - m' = 270\ \mathrm{g} - 145\ \mathrm{g} = 125\ \mathrm{g} = 0.125\ \mathrm{kg}$ ,由题意可知,节约的耗损成本为 10 万元/kg × 0.125 kg = 1.25 万元。
解析
【分析】
本题围绕镁锂合金的生产与零件替换问题，核心是运用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$及其变形公式解决实际问题。第(1)问需将年生产力换算为月生产力，注意质量单位的换算；第(2)问已知密度和体积，用密度公式变形求质量；第(3)问需先算原零件体积，再求替换后零件质量，通过质量差计算节约成本，需注意体积不变的条件和单位统一。
【解析】
(1) 年生产力为$400\ \mathrm{t}$，换算为千克：$400\ \mathrm{t}=400×10^3\ \mathrm{kg}$，
平均每月生产的镁锂合金质量：
$m_{月}=\frac{m_{年}}{12}=\frac{400×10^3\ \mathrm{kg}}{12}≈3.3×10^4\ \mathrm{kg}$。
(2) 由表格知，LA113E牌号镁锂合金的密度$\rho=1.5\ \mathrm{g/cm}^3$，
根据$\rho=\frac{m}{V}$，得$30\ \mathrm{cm}^3$该合金的质量：
$m=\rho V=1.5\ \mathrm{g/cm}^3×30\ \mathrm{cm}^3=45\ \mathrm{g}$。
(3) 原零件的体积：
$V_{零}=\frac{m_{零}}{\rho_{零}}=\frac{270\ \mathrm{g}}{2.7\ \mathrm{g/cm}^3}=100\ \mathrm{cm}^3$，
LA91牌号镁锂合金的密度$\rho'=1.45\ \mathrm{g/cm}^3$，替换后零件质量：
$m'=\rho' V_{零}=1.45\ \mathrm{g/cm}^3×100\ \mathrm{cm}^3=145\ \mathrm{g}$，
零件减少的质量：
$\Delta m=m_{零}-m'=270\ \mathrm{g}-145\ \mathrm{g}=125\ \mathrm{g}=0.125\ \mathrm{kg}$，
节约的耗损成本：
$10\ \mathrm{万元/kg}×0.125\ \mathrm{kg}=1.25\ \mathrm{万元}$。
【答案】
(1) 约$3.3×10^4\ \mathrm{kg}$；(2) $45\ \mathrm{g}$；(3) $1.25$万元
【知识点】
密度公式应用，质量体积计算，单位换算
【点评】
本题结合实际场景考查密度公式的灵活运用，涉及单位换算和实际问题的分析，需准确掌握公式变形与物理量对应关系，是密度应用的典型题型，步骤清晰即可解决。
【难度系数】
0.4
本题围绕镁锂合金的生产与零件替换问题，核心是运用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$及其变形公式解决实际问题。第(1)问需将年生产力换算为月生产力，注意质量单位的换算；第(2)问已知密度和体积，用密度公式变形求质量；第(3)问需先算原零件体积，再求替换后零件质量，通过质量差计算节约成本，需注意体积不变的条件和单位统一。
【解析】
(1) 年生产力为$400\ \mathrm{t}$，换算为千克：$400\ \mathrm{t}=400×10^3\ \mathrm{kg}$，
平均每月生产的镁锂合金质量：
$m_{月}=\frac{m_{年}}{12}=\frac{400×10^3\ \mathrm{kg}}{12}≈3.3×10^4\ \mathrm{kg}$。
(2) 由表格知，LA113E牌号镁锂合金的密度$\rho=1.5\ \mathrm{g/cm}^3$，
根据$\rho=\frac{m}{V}$，得$30\ \mathrm{cm}^3$该合金的质量：
$m=\rho V=1.5\ \mathrm{g/cm}^3×30\ \mathrm{cm}^3=45\ \mathrm{g}$。
(3) 原零件的体积：
$V_{零}=\frac{m_{零}}{\rho_{零}}=\frac{270\ \mathrm{g}}{2.7\ \mathrm{g/cm}^3}=100\ \mathrm{cm}^3$，
LA91牌号镁锂合金的密度$\rho'=1.45\ \mathrm{g/cm}^3$，替换后零件质量：
$m'=\rho' V_{零}=1.45\ \mathrm{g/cm}^3×100\ \mathrm{cm}^3=145\ \mathrm{g}$，
零件减少的质量：
$\Delta m=m_{零}-m'=270\ \mathrm{g}-145\ \mathrm{g}=125\ \mathrm{g}=0.125\ \mathrm{kg}$，
节约的耗损成本：
$10\ \mathrm{万元/kg}×0.125\ \mathrm{kg}=1.25\ \mathrm{万元}$。
【答案】
(1) 约$3.3×10^4\ \mathrm{kg}$；(2) $45\ \mathrm{g}$；(3) $1.25$万元
【知识点】
密度公式应用，质量体积计算，单位换算
【点评】
本题结合实际场景考查密度公式的灵活运用，涉及单位换算和实际问题的分析，需准确掌握公式变形与物理量对应关系，是密度应用的典型题型，步骤清晰即可解决。
【难度系数】
0.4
