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1.填一填。
(1)一个圆环形垫片,它的内圆半径是2 cm,外圆半径是5 cm,这个垫片的面积是()cm²。
(2)如图,圆形池塘的直径是30 m,池塘的外围铺了一条5 m宽的水泥路,水泥路的面积是()m²。
(3)一座雕塑的基座是圆形,半径是5 m,在它的周围铺上5 m宽的草坪,草坪的面积是()m²。
(1)一个圆环形垫片,它的内圆半径是2 cm,外圆半径是5 cm,这个垫片的面积是()cm²。
(2)如图,圆形池塘的直径是30 m,池塘的外围铺了一条5 m宽的水泥路,水泥路的面积是()m²。
(3)一座雕塑的基座是圆形,半径是5 m,在它的周围铺上5 m宽的草坪,草坪的面积是()m²。
答案
(1)
$3.14×(5^2 - 2^2)$
$=3.14×21$
$=65.94\ (\mathrm{cm}^2)$
(2)
内圆半径：$30÷2=15\ (\mathrm{m})$
外圆半径：$15+5=20\ (\mathrm{m})$
$3.14×(20^2 - 15^2)$
$=3.14×175$
$=549.5\ (\mathrm{m}^2)$
(3)
外圆半径：$5+5=10\ (\mathrm{m})$
$3.14×(10^2 - 5^2)$
$=3.14×75$
$=235.5\ (\mathrm{m}^2)$
答案依次为：65.94；549.5；235.5
$3.14×(5^2 - 2^2)$
$=3.14×21$
$=65.94\ (\mathrm{cm}^2)$
(2)
内圆半径：$30÷2=15\ (\mathrm{m})$
外圆半径：$15+5=20\ (\mathrm{m})$
$3.14×(20^2 - 15^2)$
$=3.14×175$
$=549.5\ (\mathrm{m}^2)$
(3)
外圆半径：$5+5=10\ (\mathrm{m})$
$3.14×(10^2 - 5^2)$
$=3.14×75$
$=235.5\ (\mathrm{m}^2)$
答案依次为：65.94；549.5；235.5
解析
【分析】
这三道题均考查圆环面积的计算，解题核心是牢记圆环面积公式：$S_{\mathrm{圆环}}=π(R^2-r^2)$，其中$R$是外圆半径，$r$是内圆半径。解题步骤分为三步：第一步先确定内圆和外圆的半径，若题目给出的是直径，要先除以2换算成半径；第二步将内外半径代入圆环面积公式；第三步准确计算出结果即可。
（1）题直接给出内、外圆的半径，可直接代入公式计算；
（2）题给出的是池塘（内圆）的直径，先换算出内圆半径，再加水泥路宽度得到外圆半径，再代入公式；
（3）题给出基座（内圆）的半径，加草坪宽度得到外圆半径，代入公式计算即可。
【解析】
(1) 已知内圆半径$r=2\mathrm{cm}$，外圆半径$R=5\mathrm{cm}$，代入圆环面积公式：
$\begin{aligned}S&=3.14×(5^2 - 2^2)\\&=3.14×21\\&=65.94\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
(2) 先求内圆（池塘）半径：$r=30÷2=15\ (\mathrm{m})$
外圆（含水泥路）半径：$R=15+5=20\ (\mathrm{m})$
代入公式得：
$\begin{aligned}S&=3.14×(20^2 - 15^2)\\&=3.14×175\\&=549.5\ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
(3) 内圆（基座）半径$r=5\mathrm{m}$，外圆（含草坪）半径：$R=5+5=10\ (\mathrm{m})$
代入公式得：
$\begin{aligned}S&=3.14×(10^2 - 5^2)\\&=3.14×75\\&=235.5\ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
【答案】
65.94；549.5；235.5
【知识点】
圆环面积计算；直径半径换算；环形实际应用
【点评】
这组题目是圆环面积公式的基础应用，解题关键是先准确找出内、外圆的半径，注意区分题目给出的条件是半径还是直径，计算时要仔细，避免平方运算和加减法出错。
【难度系数】
0.8
这三道题均考查圆环面积的计算，解题核心是牢记圆环面积公式：$S_{\mathrm{圆环}}=π(R^2-r^2)$，其中$R$是外圆半径，$r$是内圆半径。解题步骤分为三步：第一步先确定内圆和外圆的半径，若题目给出的是直径，要先除以2换算成半径；第二步将内外半径代入圆环面积公式；第三步准确计算出结果即可。
（1）题直接给出内、外圆的半径，可直接代入公式计算；
（2）题给出的是池塘（内圆）的直径，先换算出内圆半径，再加水泥路宽度得到外圆半径，再代入公式；
（3）题给出基座（内圆）的半径，加草坪宽度得到外圆半径，代入公式计算即可。
【解析】
(1) 已知内圆半径$r=2\mathrm{cm}$，外圆半径$R=5\mathrm{cm}$，代入圆环面积公式：
$\begin{aligned}S&=3.14×(5^2 - 2^2)\\&=3.14×21\\&=65.94\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
(2) 先求内圆（池塘）半径：$r=30÷2=15\ (\mathrm{m})$
外圆（含水泥路）半径：$R=15+5=20\ (\mathrm{m})$
代入公式得：
$\begin{aligned}S&=3.14×(20^2 - 15^2)\\&=3.14×175\\&=549.5\ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
(3) 内圆（基座）半径$r=5\mathrm{m}$，外圆（含草坪）半径：$R=5+5=10\ (\mathrm{m})$
代入公式得：
$\begin{aligned}S&=3.14×(10^2 - 5^2)\\&=3.14×75\\&=235.5\ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
【答案】
65.94；549.5；235.5
【知识点】
圆环面积计算；直径半径换算；环形实际应用
【点评】
这组题目是圆环面积公式的基础应用，解题关键是先准确找出内、外圆的半径，注意区分题目给出的条件是半径还是直径，计算时要仔细，避免平方运算和加减法出错。
【难度系数】
0.8
2. 选择正确答案的字母填在括号里。
(1)在一个圆环中,外圆的直径是10 cm,内圆的直径是4 cm,环宽是()。
A. 2 cm
B. 3 cm
C. 5 cm
D. 6 cm
(2)一个同心圆中大圆的半径是小圆半径的2倍,圆环的面积是大圆面积的()。
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{3}{4}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{4}{5}$
(1)在一个圆环中,外圆的直径是10 cm,内圆的直径是4 cm,环宽是()。
A. 2 cm
B. 3 cm
C. 5 cm
D. 6 cm
(2)一个同心圆中大圆的半径是小圆半径的2倍,圆环的面积是大圆面积的()。
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{3}{4}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{4}{5}$
答案
(1)
10÷2 - 4÷2
=5 - 2
=3(cm)
答：环宽是3 cm，选B。
(2)
设小圆半径为r，则大圆半径为2r。
[π×(2r)² - πr²] ÷ [π×(2r)²]
=(4πr² - πr²)÷4πr²
=3πr²÷4πr²
=$\frac{3}{4}$
答：圆环的面积是大圆面积的$\frac{3}{4}$，选B。
10÷2 - 4÷2
=5 - 2
=3(cm)
答：环宽是3 cm，选B。
(2)
设小圆半径为r，则大圆半径为2r。
[π×(2r)² - πr²] ÷ [π×(2r)²]
=(4πr² - πr²)÷4πr²
=3πr²÷4πr²
=$\frac{3}{4}$
答：圆环的面积是大圆面积的$\frac{3}{4}$，选B。
解析
【分析】
(1) 解题首先要明确环宽的定义：环宽是外圆半径与内圆半径的差值。已知内外圆的直径，我们可以先分别求出外圆和内圆的半径，再用外圆半径减去内圆半径即可得到环宽。
(2) 要计算圆环面积占大圆面积的几分之几，需要先分别表示出圆环面积和大圆面积。题目仅给出半径的倍数关系，我们可以设小圆半径为r，根据题意大圆半径就是2r，再代入圆环面积公式（圆环面积=大圆面积-小圆面积）求出圆环面积，最后用圆环面积除以大圆面积，计算过程中π和r²会相互抵消，就能得到最终占比。
【解析】
(1) 先计算内外圆的半径：
外圆半径：$10÷2=5(\mathrm{cm})$
内圆半径：$4÷2=2(\mathrm{cm})$
环宽：$5-2=3(\mathrm{cm})$
故选B。
(2) 设小圆半径为$r$，则大圆半径为$2r$。
圆环面积：$π×(2r)^2 - π r^2=4π r^2 - π r^2=3π r^2$
大圆面积：$π×(2r)^2=4π r^2$
圆环面积占大圆面积的比例：$3π r^2 ÷ 4π r^2=\frac{3}{4}$
故选B。
【答案】
(1)B；(2)B
【知识点】
环宽的计算、圆环面积公式、求占比问题
【点评】
这两道题是圆环相关的基础常考题，第一题重点考查对环宽概念的理解，注意不要直接用内外圆直径相减求环宽；第二题运用设数法可以简化计算，熟练掌握圆环面积公式是解题的核心。
【难度系数】
0.8
(1) 解题首先要明确环宽的定义：环宽是外圆半径与内圆半径的差值。已知内外圆的直径，我们可以先分别求出外圆和内圆的半径，再用外圆半径减去内圆半径即可得到环宽。
(2) 要计算圆环面积占大圆面积的几分之几，需要先分别表示出圆环面积和大圆面积。题目仅给出半径的倍数关系，我们可以设小圆半径为r，根据题意大圆半径就是2r，再代入圆环面积公式（圆环面积=大圆面积-小圆面积）求出圆环面积，最后用圆环面积除以大圆面积，计算过程中π和r²会相互抵消，就能得到最终占比。
【解析】
(1) 先计算内外圆的半径：
外圆半径：$10÷2=5(\mathrm{cm})$
内圆半径：$4÷2=2(\mathrm{cm})$
环宽：$5-2=3(\mathrm{cm})$
故选B。
(2) 设小圆半径为$r$，则大圆半径为$2r$。
圆环面积：$π×(2r)^2 - π r^2=4π r^2 - π r^2=3π r^2$
大圆面积：$π×(2r)^2=4π r^2$
圆环面积占大圆面积的比例：$3π r^2 ÷ 4π r^2=\frac{3}{4}$
故选B。
【答案】
(1)B；(2)B
【知识点】
环宽的计算、圆环面积公式、求占比问题
【点评】
这两道题是圆环相关的基础常考题，第一题重点考查对环宽概念的理解，注意不要直接用内外圆直径相减求环宽；第二题运用设数法可以简化计算，熟练掌握圆环面积公式是解题的核心。
【难度系数】
0.8
3. 计算下面各图形中涂色部分的面积。
(1)
(2)
(1)
(2)
答案
(1)
$3.14×(9^2 - 5^2)$
$=3.14×56$
$=175.84\ (\mathrm{cm}^2)$
(2)
$6÷2=3\ (\mathrm{cm})$
$3+1=4\ (\mathrm{cm})$
$3.14×(4^2 - 3^2)÷2$
$=3.14×7÷2$
$=10.99\ (\mathrm{cm}^2)$
答：(1)涂色部分的面积是175.84平方厘米，(2)涂色部分的面积是10.99平方厘米。
$3.14×(9^2 - 5^2)$
$=3.14×56$
$=175.84\ (\mathrm{cm}^2)$
(2)
$6÷2=3\ (\mathrm{cm})$
$3+1=4\ (\mathrm{cm})$
$3.14×(4^2 - 3^2)÷2$
$=3.14×7÷2$
$=10.99\ (\mathrm{cm}^2)$
答：(1)涂色部分的面积是175.84平方厘米，(2)涂色部分的面积是10.99平方厘米。
解析
【分析】
(1) 第一个图形是完整的圆环，涂色部分面积就是圆环面积，圆环面积公式为$S=π(R^2-r^2)$，其中$R$为外圆半径，$r$为内圆半径，本题已知外圆半径9cm、内圆半径5cm，直接代入公式计算即可。
(2) 第二个图形是半圆环，先根据内圆直径求出内圆半径，再结合环宽求出外圆半径，先按圆环公式算出整圆环面积，再除以2就能得到半圆环的涂色面积。
【解析】
(1) 代入圆环面积公式计算：
$3.14×(9^2 - 5^2)$
$=3.14×(81-25)$
$=3.14×56$
$=175.84\ (\mathrm{cm}^2)$
(2) 先求内外圆半径：
内圆半径：$6÷2=3\ (\mathrm{cm})$
外圆半径：$3+1=4\ (\mathrm{cm})$
再计算半圆环面积：
$3.14×(4^2 - 3^2)÷2$
$=3.14×(16-9)÷2$
$=3.14×7÷2$
$=21.98÷2$
$=10.99\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1)涂色部分的面积是175.84平方厘米，(2)涂色部分的面积是10.99平方厘米。
【知识点】
圆环面积计算、圆的直径半径关系、半圆环面积计算
【点评】
本题主要考察圆环相关的面积计算，解题关键是准确找到内外圆的半径，再结合图形是完整圆环还是半圆环选择对应计算方法，计算时注意运算顺序，半圆环不要遗漏除以2的步骤。
【难度系数】
0.75
(1) 第一个图形是完整的圆环，涂色部分面积就是圆环面积，圆环面积公式为$S=π(R^2-r^2)$，其中$R$为外圆半径，$r$为内圆半径，本题已知外圆半径9cm、内圆半径5cm，直接代入公式计算即可。
(2) 第二个图形是半圆环，先根据内圆直径求出内圆半径，再结合环宽求出外圆半径，先按圆环公式算出整圆环面积，再除以2就能得到半圆环的涂色面积。
【解析】
(1) 代入圆环面积公式计算：
$3.14×(9^2 - 5^2)$
$=3.14×(81-25)$
$=3.14×56$
$=175.84\ (\mathrm{cm}^2)$
(2) 先求内外圆半径：
内圆半径：$6÷2=3\ (\mathrm{cm})$
外圆半径：$3+1=4\ (\mathrm{cm})$
再计算半圆环面积：
$3.14×(4^2 - 3^2)÷2$
$=3.14×(16-9)÷2$
$=3.14×7÷2$
$=21.98÷2$
$=10.99\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1)涂色部分的面积是175.84平方厘米，(2)涂色部分的面积是10.99平方厘米。
【知识点】
圆环面积计算、圆的直径半径关系、半圆环面积计算
【点评】
本题主要考察圆环相关的面积计算，解题关键是准确找到内外圆的半径，再结合图形是完整圆环还是半圆环选择对应计算方法，计算时注意运算顺序，半圆环不要遗漏除以2的步骤。
【难度系数】
0.75
4. 如图，涂色部分的面积是 30 cm²，求圆环的面积。
答案
设大圆半径为$R$，小圆半径为$r$。
$\frac{1}{2}R^2 - \frac{1}{2}r^2 = 30$
$R^2 - r^2 = 30 × 2 = 60$
圆环面积：$3.14 × (R^2 - r^2) = 3.14 × 60 = 188.4 \ (\mathrm{cm}^2)$
答：圆环的面积是$188.4\ \mathrm{cm}^2$。
$\frac{1}{2}R^2 - \frac{1}{2}r^2 = 30$
$R^2 - r^2 = 30 × 2 = 60$
圆环面积：$3.14 × (R^2 - r^2) = 3.14 × 60 = 188.4 \ (\mathrm{cm}^2)$
答：圆环的面积是$188.4\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
首先观察图形，涂色部分是直角边为大圆半径的等腰直角三角形减去直角边为小圆半径的等腰直角三角形得到的。我们可以先设大圆半径为R，小圆半径为r，根据涂色部分面积是30cm²列出等式，求出R²与r²的差值，再直接代入圆环的面积公式计算即可，不需要求出R和r的具体数值，用整体代换的方法更简便。
【解析】
解：设大圆半径为$R$，小圆半径为$r$。
涂色部分面积 = 大等腰直角三角形面积 - 小等腰直角三角形面积
即：$\frac{1}{2}R^2 - \frac{1}{2}r^2 = 30$
等式两边同时乘2得：$R^2 - r^2 = 30 × 2 = 60$
圆环面积公式为$S_{\mathrm{圆环}}=π(R^2 - r^2)$，代入数值计算：
$3.14 × 60 = 188.4 \ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$188.4\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆环面积计算、三角形面积计算、整体代换
【点评】
本题考查组合图形的面积关系推导，解题关键是找到涂色部分面积与圆环面积所需的$(R^2 - r^2)$之间的联系，通过整体代换的思路简化计算，能够锻炼对图形中数量关系的观察分析能力。
【难度系数】
0.6
首先观察图形，涂色部分是直角边为大圆半径的等腰直角三角形减去直角边为小圆半径的等腰直角三角形得到的。我们可以先设大圆半径为R，小圆半径为r，根据涂色部分面积是30cm²列出等式，求出R²与r²的差值，再直接代入圆环的面积公式计算即可，不需要求出R和r的具体数值，用整体代换的方法更简便。
【解析】
解：设大圆半径为$R$，小圆半径为$r$。
涂色部分面积 = 大等腰直角三角形面积 - 小等腰直角三角形面积
即：$\frac{1}{2}R^2 - \frac{1}{2}r^2 = 30$
等式两边同时乘2得：$R^2 - r^2 = 30 × 2 = 60$
圆环面积公式为$S_{\mathrm{圆环}}=π(R^2 - r^2)$，代入数值计算：
$3.14 × 60 = 188.4 \ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$188.4\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆环面积计算、三角形面积计算、整体代换
【点评】
本题考查组合图形的面积关系推导，解题关键是找到涂色部分面积与圆环面积所需的$(R^2 - r^2)$之间的联系，通过整体代换的思路简化计算，能够锻炼对图形中数量关系的观察分析能力。
【难度系数】
0.6
5.环形过街天桥的出现方便了行人通行，下图中的天桥内圆周长是157 m，天桥上人行道的宽是4 m，环形人行道的面积是多少？
答案
内圆半径：
157÷3.14÷2 = 25（m）
外圆半径：
25 + 4 = 29（m）
环形人行道面积：
3.14×(29² - 25²)
= 3.14×(841 - 625)
= 3.14×216
= 678.24（m²）
答：环形人行道的面积是678.24平方米。
157÷3.14÷2 = 25（m）
外圆半径：
25 + 4 = 29（m）
环形人行道面积：
3.14×(29² - 25²)
= 3.14×(841 - 625)
= 3.14×216
= 678.24（m²）
答：环形人行道的面积是678.24平方米。
解析
【分析】
要求环形人行道的面积，本质是求圆环的面积，圆环面积公式为$S=π(R^2-r^2)$，其中$R$为外圆半径，$r$为内圆半径。解题思路如下：第一步先根据已知的内圆周长，利用圆的周长公式$C=2π r$求出内圆半径$r$；第二步人行道的宽度就是环宽，用内圆半径加环宽即可得到外圆半径$R$；最后将外圆半径和内圆半径代入圆环面积公式，计算就能得到最终结果。
【解析】
1. 计算内圆半径：
已知内圆周长为157m，根据圆的周长公式$C=2π r$，可得内圆半径$r=C÷π÷2$，代入数值计算：
$157÷3.14÷2=25(\mathrm{m})$
2. 计算外圆半径：
人行道宽4m即环宽为4m，外圆半径$R=$内圆半径$+$环宽：
$25+4=29(\mathrm{m})$
3. 计算环形人行道面积，代入圆环面积公式：
$3.14×(29^2 - 25^2)$
$=3.14×(841 - 625)$
$=3.14×216$
$=678.24(\mathrm{m}^2)$
【答案】
环形人行道的面积是678.24平方米。
【知识点】
圆的周长计算，圆环面积计算
【点评】
本题属于环形面积的实际应用类题目，解题核心是掌握环形面积的计算逻辑，需要先通过周长推导内圆半径，再结合环宽得到外圆半径后代入公式求解，能很好地锻炼学生把数学知识运用到实际生活场景的能力。
【难度系数】
0.8
要求环形人行道的面积，本质是求圆环的面积，圆环面积公式为$S=π(R^2-r^2)$，其中$R$为外圆半径，$r$为内圆半径。解题思路如下：第一步先根据已知的内圆周长，利用圆的周长公式$C=2π r$求出内圆半径$r$；第二步人行道的宽度就是环宽，用内圆半径加环宽即可得到外圆半径$R$；最后将外圆半径和内圆半径代入圆环面积公式，计算就能得到最终结果。
【解析】
1. 计算内圆半径：
已知内圆周长为157m，根据圆的周长公式$C=2π r$，可得内圆半径$r=C÷π÷2$，代入数值计算：
$157÷3.14÷2=25(\mathrm{m})$
2. 计算外圆半径：
人行道宽4m即环宽为4m，外圆半径$R=$内圆半径$+$环宽：
$25+4=29(\mathrm{m})$
3. 计算环形人行道面积，代入圆环面积公式：
$3.14×(29^2 - 25^2)$
$=3.14×(841 - 625)$
$=3.14×216$
$=678.24(\mathrm{m}^2)$
【答案】
环形人行道的面积是678.24平方米。
【知识点】
圆的周长计算，圆环面积计算
【点评】
本题属于环形面积的实际应用类题目，解题核心是掌握环形面积的计算逻辑，需要先通过周长推导内圆半径，再结合环宽得到外圆半径后代入公式求解，能很好地锻炼学生把数学知识运用到实际生活场景的能力。
【难度系数】
0.8
