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1. 泥塑,俗称“彩塑”,泥塑艺术是中国一种古老常见的民间艺术。师徒两人制作一批泥塑,师父单独做10小时完成,徒弟单独做15小时完成。
(1)两人合作多少小时完成这批泥塑?
想: ÷ =工作时间
方法一:假设这批泥塑有30个。下面列式正确的是()。
A. $30÷(10+15)$ B. $30÷(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})$ C. $30÷(30÷10+30÷15)$
方法二:假设这批泥塑是“1”
①师父每小时完成了$\frac{(\quad)}{(\quad)}$,徒弟每小时完成了$\frac{(\quad)}{(\quad)}$,两人合作每小时完成了$\frac{(\quad)}{(\quad)}$。
②两人合作多少小时完成这批泥塑?(列式解答)
③$1-(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})×5$表示。
(2)如果这批泥塑先由徒弟做3小时,剩下的泥塑师徒合做,那么还需要多少小时完成这批泥塑?
(1)两人合作多少小时完成这批泥塑?
想: ÷ =工作时间
方法一:假设这批泥塑有30个。下面列式正确的是()。
A. $30÷(10+15)$ B. $30÷(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})$ C. $30÷(30÷10+30÷15)$
方法二:假设这批泥塑是“1”
①师父每小时完成了$\frac{(\quad)}{(\quad)}$,徒弟每小时完成了$\frac{(\quad)}{(\quad)}$,两人合作每小时完成了$\frac{(\quad)}{(\quad)}$。
②两人合作多少小时完成这批泥塑?(列式解答)
③$1-(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})×5$表示。
(2)如果这批泥塑先由徒弟做3小时,剩下的泥塑师徒合做,那么还需要多少小时完成这批泥塑?
答案
工作总量 ÷ 工作效率和 =工作时间
方法一：C
方法二:
①$\frac{1}{10}$，$\frac{1}{15}$，$\frac{1}{6}$
②
$1÷(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})$
$=1÷\frac{1}{6}$
$=6$（小时）
③两人合作5小时后，剩余未完成的泥塑占这批泥塑的几分之几。
(2)
$(1-\frac{1}{15}×3)÷(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})$
$=\frac{4}{5}÷\frac{1}{6}$
$=\frac{24}{5}$（小时）
答：两人合作6小时完成这批泥塑；剩下的泥塑师徒合做还需要$\frac{24}{5}$小时完成这批泥塑。
方法一：C
方法二:
①$\frac{1}{10}$，$\frac{1}{15}$，$\frac{1}{6}$
②
$1÷(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})$
$=1÷\frac{1}{6}$
$=6$（小时）
③两人合作5小时后，剩余未完成的泥塑占这批泥塑的几分之几。
(2)
$(1-\frac{1}{15}×3)÷(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})$
$=\frac{4}{5}÷\frac{1}{6}$
$=\frac{24}{5}$（小时）
答：两人合作6小时完成这批泥塑；剩下的泥塑师徒合做还需要$\frac{24}{5}$小时完成这批泥塑。
解析
【分析】
这是典型的工程问题，解题核心是利用“工作总量÷工作效率和=工作时间”的基本关系求解。思考步骤如下：1. 解决合作完工时间问题时，可通过两种方式设工作总量：一是假设为具体数量（如本题的30个），先分别算出师徒每小时做的数量，求和得到效率和，再用总数量除以效率和得到时间；二是把工作总量看作单位“1”，用几分之一表示各自的工作效率，再求和得到合作效率，用单位1除以合作效率得到时间。2. 解决“先单独做再合作”的问题时，先算出单独做的工作量，用总工作量减去单独完成的部分得到剩余工作量，再用剩余工作量除以合作效率即可求出还需要的时间。
【解析】
首先明确工程问题基本公式：$\boldsymbol{工作总量 ÷ 工作效率和 =工作时间}$
(1)求两人合作完成的时间
方法一：假设这批泥塑有30个
师父每小时做的数量：$30÷10$（个），徒弟每小时做的数量：$30÷15$（个），两人每小时共做$(30÷10+30÷15)$个，总时间=总数量÷效率和，即列式为$30÷(30÷10+30÷15)$，因此选C。
方法二：假设这批泥塑是“1”
①把总工作量看作单位“1”，师父单独10小时完成，每小时完成总工作量的$\frac{1}{10}$；徒弟单独15小时完成，每小时完成总工作量的$\frac{1}{15}$；两人合作每小时完成的分率：$\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{1}{6}$。
②合作时间=总工作量÷合作效率，列式计算：
$\begin{aligned}1÷(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})&=1÷\frac{1}{6}\\&=6（小时）\end{aligned}$
③式子中$(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})×5$表示两人合作5小时完成的工作量占总工作量的分率，用总工作量1减去这个分率，就表示两人合作5小时后，剩余未完成的泥塑占这批泥塑的几分之几。
(2)求徒弟先做3小时后剩余工作的合作时间
先算徒弟单独做3小时完成的工作量：$\frac{1}{15}×3=\frac{1}{5}$，剩余工作量为$1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$，剩余工作由两人合作完成，所需时间计算如下：
$\begin{aligned}(1-\frac{1}{15}×3)÷(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})&=\frac{4}{5}÷\frac{1}{6}\\&=\frac{24}{5}（小时）\end{aligned}$
【答案】
工作总量 ÷ 工作效率和 =工作时间
方法一：C
方法二:
①$\frac{1}{10}$，$\frac{1}{15}$，$\frac{1}{6}$
②两人合作6小时完成这批泥塑。
③两人合作5小时后，剩余未完成的泥塑占这批泥塑的几分之几。
(2)剩下的泥塑师徒合做还需要$\frac{24}{5}$小时完成这批泥塑。
【知识点】
工程问题，分数除法应用，工作三量关系
【点评】
本题是工程问题的常规基础题型，侧重对工程问题基本公式的理解和运用，通过假设具体数量或单位“1”两种思路均可解题，有助于学生掌握工程问题的基础解题逻辑，为后续复杂工程问题的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
这是典型的工程问题，解题核心是利用“工作总量÷工作效率和=工作时间”的基本关系求解。思考步骤如下：1. 解决合作完工时间问题时，可通过两种方式设工作总量：一是假设为具体数量（如本题的30个），先分别算出师徒每小时做的数量，求和得到效率和，再用总数量除以效率和得到时间；二是把工作总量看作单位“1”，用几分之一表示各自的工作效率，再求和得到合作效率，用单位1除以合作效率得到时间。2. 解决“先单独做再合作”的问题时，先算出单独做的工作量，用总工作量减去单独完成的部分得到剩余工作量，再用剩余工作量除以合作效率即可求出还需要的时间。
【解析】
首先明确工程问题基本公式：$\boldsymbol{工作总量 ÷ 工作效率和 =工作时间}$
(1)求两人合作完成的时间
方法一：假设这批泥塑有30个
师父每小时做的数量：$30÷10$（个），徒弟每小时做的数量：$30÷15$（个），两人每小时共做$(30÷10+30÷15)$个，总时间=总数量÷效率和，即列式为$30÷(30÷10+30÷15)$，因此选C。
方法二：假设这批泥塑是“1”
①把总工作量看作单位“1”，师父单独10小时完成，每小时完成总工作量的$\frac{1}{10}$；徒弟单独15小时完成，每小时完成总工作量的$\frac{1}{15}$；两人合作每小时完成的分率：$\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{1}{6}$。
②合作时间=总工作量÷合作效率，列式计算：
$\begin{aligned}1÷(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})&=1÷\frac{1}{6}\\&=6（小时）\end{aligned}$
③式子中$(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})×5$表示两人合作5小时完成的工作量占总工作量的分率，用总工作量1减去这个分率，就表示两人合作5小时后，剩余未完成的泥塑占这批泥塑的几分之几。
(2)求徒弟先做3小时后剩余工作的合作时间
先算徒弟单独做3小时完成的工作量：$\frac{1}{15}×3=\frac{1}{5}$，剩余工作量为$1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$，剩余工作由两人合作完成，所需时间计算如下：
$\begin{aligned}(1-\frac{1}{15}×3)÷(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})&=\frac{4}{5}÷\frac{1}{6}\\&=\frac{24}{5}（小时）\end{aligned}$
【答案】
工作总量 ÷ 工作效率和 =工作时间
方法一：C
方法二:
①$\frac{1}{10}$，$\frac{1}{15}$，$\frac{1}{6}$
②两人合作6小时完成这批泥塑。
③两人合作5小时后，剩余未完成的泥塑占这批泥塑的几分之几。
(2)剩下的泥塑师徒合做还需要$\frac{24}{5}$小时完成这批泥塑。
【知识点】
工程问题，分数除法应用，工作三量关系
【点评】
本题是工程问题的常规基础题型，侧重对工程问题基本公式的理解和运用，通过假设具体数量或单位“1”两种思路均可解题，有助于学生掌握工程问题的基础解题逻辑，为后续复杂工程问题的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
2.研究表明,长时间不眨眼睛,泪液分泌会减少,导致眼睛干涩、易疲劳。据统计,人在看书时平均每分钟眨眼15次,是正常状态下的$\frac{3}{5}$。人在正常状态下平均每分钟眨眼多少次？
答案
解：设人在正常状态下平均每分钟眨眼$x$次。
$\frac{3}{5}x = 15$
$x = 15 ÷ \frac{3}{5}$
$x = 25$
答：人在正常状态下平均每分钟眨眼25次。
$\frac{3}{5}x = 15$
$x = 15 ÷ \frac{3}{5}$
$x = 25$
答：人在正常状态下平均每分钟眨眼25次。
解析
【分析】
解题时首先读题提取关键信息：看书时平均每分钟眨眼15次，是正常状态下的$\frac{3}{5}$，所求问题是正常状态下平均每分钟眨眼的次数。第一步先判定单位“1”：“是正常状态下的$\frac{3}{5}$”说明正常状态下平均每分钟眨眼次数是单位“1”，单位“1”的量未知。第二步梳理等量关系：$\mathrm{正常状态下每分钟眨眼次数} × \frac{3}{5} = \mathrm{看书时每分钟眨眼次数}$，可以设单位“1”的量为未知数列方程求解，思路更直观易懂。
【解析】
解：设人在正常状态下平均每分钟眨眼$x$次。
$\frac{3}{5}x = 15$
$x = 15 ÷ \frac{3}{5}$
$x = 15 × \frac{5}{3}$
$x = 25$
答：人在正常状态下平均每分钟眨眼25次。
【答案】
人在正常状态下平均每分钟眨眼25次
【知识点】
分数除法应用、单位“1”判定、列方程解应用题
【点评】
本题是分数除法的基础应用题型，解题核心是准确识别单位“1”、梳理清楚数量间的等量关系，能有效检验学生对分数除法意义的掌握程度和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先读题提取关键信息：看书时平均每分钟眨眼15次，是正常状态下的$\frac{3}{5}$，所求问题是正常状态下平均每分钟眨眼的次数。第一步先判定单位“1”：“是正常状态下的$\frac{3}{5}$”说明正常状态下平均每分钟眨眼次数是单位“1”，单位“1”的量未知。第二步梳理等量关系：$\mathrm{正常状态下每分钟眨眼次数} × \frac{3}{5} = \mathrm{看书时每分钟眨眼次数}$，可以设单位“1”的量为未知数列方程求解，思路更直观易懂。
【解析】
解：设人在正常状态下平均每分钟眨眼$x$次。
$\frac{3}{5}x = 15$
$x = 15 ÷ \frac{3}{5}$
$x = 15 × \frac{5}{3}$
$x = 25$
答：人在正常状态下平均每分钟眨眼25次。
【答案】
人在正常状态下平均每分钟眨眼25次
【知识点】
分数除法应用、单位“1”判定、列方程解应用题
【点评】
本题是分数除法的基础应用题型，解题核心是准确识别单位“1”、梳理清楚数量间的等量关系，能有效检验学生对分数除法意义的掌握程度和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
