1. 分式乘方的运算法则
分式的乘方就是把分子、分母。
即 $( \dfrac{f}{g} )^n = \dfrac{f^n}{g^n}$。

1. 各自乘方

【分析】
这道题考查分式乘方的基本运算法则，解题时可结合题干给出的公式推导空缺内容：观察公式$(\dfrac{f}{g})^n = \dfrac{f^n}{g^n}$，等号左侧是分式整体乘n次方，等号右侧是原分子f乘n次方作为新分子、原分母g乘n次方作为新分母，说明分式乘方时需要对分子、分母分别进行乘方操作，对应法则的文字表述即可得到答案。
【解析】
根据分式乘方的运算法则：分式的乘方就是把分子、分母各自乘方，再结合题干给出的公式$(\dfrac{f}{g})^n = \dfrac{f^n}{g^n}$，可验证该表述符合公式含义，因此空缺处应填“各自乘方”。
【答案】
各自乘方
【知识点】
分式乘方的运算法则
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对基本运算法则的记忆，难度低，掌握基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9

【例1】(保定模拟)化简$(\dfrac{y^2}{x})^3$的结果正确的是（）

A.$\dfrac{y^5}{x^3}$
B.$\dfrac{y}{x}$
C.$\dfrac{y^6}{x}$
D.$\dfrac{y^6}{x^3}$

【例1】 D

【分析】
本题考查分式的乘方运算，解题思路如下：首先回忆分式乘方的运算法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方；再结合幂的乘方运算法则计算分子部分，最后化简得到结果，匹配选项即可。
【解析】
根据分式乘方的运算法则：$(\dfrac{a}{b})^n=\dfrac{a^n}{b^n}$（$n$为正整数，$b≠0$），可得：
$(\dfrac{y^2}{x})^3=\dfrac{(y^2)^3}{x^3}$
再根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m、n$为正整数），计算分子部分：
$(y^2)^3=y^{2×3}=y^6$
因此原式化简结果为$\dfrac{y^6}{x^3}$。
【答案】
D
【知识点】
分式的乘方运算、幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是对分式乘方和幂的乘方运算规则的应用，熟练掌握相关运算法则即可快速准确求解。
【难度系数】
0.9

【变式1】计算：$(\frac{b}{5a})^2 =$

【变式1】 $\dfrac{b^2}{25a^2}$

【分析】
这是分式乘方的基础计算题目，解题时先回忆分式乘方的运算法则：分式乘方需把分子、分母分别乘方。思考步骤：首先判断运算类型为分式的平方运算，先将分子、分母分别进行乘方运算，再对分母中系数和字母组成的乘积形式，应用积的乘方法则展开计算，就能得到最终结果。
【解析】
根据分式乘方的运算法则$(\frac{A}{B})^n=\frac{A^n}{B^n}$（$n$为正整数），可得：
$(\frac{b}{5a})^2=\frac{b^2}{(5a)^2}$
再根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$计算分母：
$(5a)^2=5^2· a^2=25a^2$
因此原式化简结果为$\frac{b^2}{25a^2}$。
【答案】
$\dfrac{b^2}{25a^2}$
【知识点】
1. 分式乘方法则
2. 积的乘方法则
【点评】
本题是基础运算类题型，主要考查对分式乘方、积的乘方运算规则的掌握，计算时要注意不要遗漏分母中系数的乘方，是巩固分式乘方基础的典型习题。
【难度系数】
0.9

【变式2】计算：$(-\dfrac{3b}{2a^2})^3 =$

【变式2】 $-\dfrac{27b^3}{8a^6}$

【分析】
本题是分式的乘方运算，解题时先遵循分式乘方的运算规则：分式乘方要把分子、分母分别乘方，同时注意负数的奇次幂为负，再结合积的乘方、幂的乘方法则分别计算分子和分母的结果，最后整理得到最简分式即可。
【解析】
根据分式乘方的运算法则计算：
$\begin{aligned}(-\dfrac{3b}{2a^2})^3&=(-1)^3 · \dfrac{(3b)^3}{(2a^2)^3}\\&=-\dfrac{3^3 · b^3}{2^3 · (a^2)^3}\\&=-\dfrac{27b^3}{8a^{2×3}}\\&=-\dfrac{27b^3}{8a^6}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{27b^3}{8a^6}$
【知识点】
分式的乘方、积的乘方、幂的乘方
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是熟练掌握分式乘方及相关幂的运算规则，运算时要注意先判断结果的符号，再准确计算指数，避免出现符号错误或指数运算错误。
【难度系数】
0.8

【例2】(东营模拟)计算：$\frac{2x}{3y} · ( \frac{3y}{z} )^2 ÷ \frac{xy}{z^2}$

解:原式$=\dfrac{2x}{3y} · \dfrac{9y^2}{z^2} · \dfrac{z^2}{xy}=6$。

【分析】
本题是分式的乘方与乘除混合运算题，解题需遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除。第一步先根据分式乘方的法则计算$(\frac{3y}{z})^2$；第二步将除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘以这个分式的倒数；第三步对所有分式的分子、分母中的公因式逐一约分，最后计算化简后的结果即可。
【解析】
解：先计算乘方，再将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{2x}{3y} · \dfrac{9y^2}{z^2} · \dfrac{z^2}{xy}$
对分子分母分别约分：系数部分$\frac{2×9}{3}=6$，字母部分$x$、$y^2$、$z^2$分别与分母中对应的公因式约去，最终化简得结果为6。
【答案】
$6$
【知识点】
分式的乘方运算、分式的乘除运算、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查分式混合运算的运算顺序及运算法则，解题时需注意先算乘方，再将除法统一为乘法后约分计算，计算过程中细心找全公因式即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8

【变式1】计算$-\dfrac{b^4}{2a^3} · (\dfrac{2b}{a})^2 ÷ (\dfrac{3b}{2a})^3$的结果是（）

A.$-\dfrac{16b}{27a^2}$
B.$-\dfrac{16b^3}{27a^2}$
C.$-\dfrac{8a^4}{27b^3}$
D.$\dfrac{8a^4}{27b^3}$

【变式1】 B

【分析】
本题是分式的乘方、乘除混合运算题，解题时遵循先乘方、后乘除的运算顺序：第一步先根据分式乘方法则，分别计算两个乘方式的结果；第二步将除法运算转化为乘法运算；第三步分别计算系数的乘积、同底数幂的乘积，最后约分得到最简结果即可。
【解析】
按照运算顺序逐步计算：
1. 先计算乘方：
$(\dfrac{2b}{a})^2=\dfrac{(2b)^2}{a^2}=\dfrac{4b^2}{a^2}$，$(\dfrac{3b}{2a})^3=\dfrac{(3b)^3}{(2a)^3}=\dfrac{27b^3}{8a^3}$
2. 将除法转化为乘法，原式变形为：
$-\dfrac{b^4}{2a^3} · \dfrac{4b^2}{a^2} · \dfrac{8a^3}{27b^3}$
3. 分别计算系数部分和字母部分：
系数部分：$-\dfrac{1}{2}×4×\dfrac{8}{27}=-\dfrac{16}{27}$
字母部分：$b$的指数为$4+2-3=3$，$a$的指数为$-(3+2)+3=-2$，即$\dfrac{b^3}{a^2}$
4. 合并结果：$-\dfrac{16}{27}×\dfrac{b^3}{a^2}=-\dfrac{16b^3}{27a^2}$
【答案】
B
【知识点】
分式的乘方运算、分式的乘除运算、同底数幂的运算
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题时要严格遵循运算顺序，注意系数符号的处理，将除法转化为乘法后再约分能大幅简化计算过程，避免幂的运算指数计算错误是得分的关键。
【难度系数】
0.7

【变式2】计算：
(1)$(\dfrac{n}{-3m})^2 · (-\dfrac{m}{n^2}) ÷ \dfrac{n}{m}$；
(2)$(-\dfrac{2a}{b^2})^3 · (\dfrac{2b}{a})^2 ÷ (-\dfrac{2b}{a})^2$。

(1) 原式$=\dfrac{n^2}{9m^2} · \dfrac{-m}{n^2} · \dfrac{m}{n} = -\dfrac{1}{9n}$。
(2) 原式$= (-\dfrac{8a^3}{b^6}) · \dfrac{4b^2}{a^2} ÷ \dfrac{4b^2}{a^2} = -\dfrac{8a^3}{b^6} · \dfrac{4b^2}{a^2} · \dfrac{a^2}{4b^2} = -\dfrac{8a^3}{b^6}$。

【分析】
这两道题为分式的乘方、乘除混合运算，解题遵循“先乘方，再乘除”的运算顺序：①先根据分式乘方法则，将分子、分母分别乘方，同时注意确定运算结果的符号（负数的偶次幂为正，奇次幂为负）；②再将所有除法运算转化为乘法运算，统一为分式连乘的形式；③最后对分子、分母中的公因式进行约分，化简得到最简分式即可，计算时可先约分再计算，降低运算量。
【解析】
(1) 先计算乘方，再将除法转化为乘法，最后约分：
原式$=\dfrac{n^2}{(-3m)^2} · (-\dfrac{m}{n^2}) · \dfrac{m}{n}$
$=\dfrac{n^2}{9m^2} · (-\dfrac{m}{n^2}) · \dfrac{m}{n}$
约去分子分母的公因式$n^2$、$m^2$，可得：
$=-\dfrac{1}{9n}$
(2) 先计算各部分的乘方，再将除法转化为乘法，可发现后两项直接约分即可简化计算：
原式$=\dfrac{(-2a)^3}{(b^2)^3} · \dfrac{(2b)^2}{a^2} ÷ \dfrac{(2b)^2}{a^2}$
$= -\dfrac{8a^3}{b^6} · \dfrac{4b^2}{a^2} · \dfrac{a^2}{4b^2}$
约去公因式$\dfrac{4b^2}{a^2}$，可得：
$=-\dfrac{8a^3}{b^6}$
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{9n}$；(2) $-\dfrac{8a^3}{b^6}$
【知识点】
分式乘方法则；分式乘除运算；分式约分
【点评】
本题核心考查分式混合运算的运算顺序和运算法则，计算时需优先确定符号，计算过程中尽量先约分再计算，既可以减少运算量，也能降低出错概率。
【难度系数】
0.7

1. (信阳模拟)计算$( \dfrac{-2a^2}{3b} )^2$的结果是（）

A.$-\dfrac{4a^2}{9b^2}$
B.$\dfrac{4a^2}{9b^2}$
C.$-\dfrac{4a^4}{9b^2}$
D.$\dfrac{4a^4}{9b^2}$

1. D

【分析】
要解决这道分式乘方的计算题，首先回忆分式乘方的运算规则：分式乘方要把分子、分母分别乘方；其次还要用到积的乘方（把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）和幂的乘方（底数不变，指数相乘）的规则，另外注意负数的偶次幂是正数，先判断结果的符号可以快速排除错误选项。
【解析】
根据分式乘方的运算法则：$(\dfrac{A}{B})^n=\dfrac{A^n}{B^n}$（$n$为正整数，$B≠0$），计算如下：
$\begin{aligned}( \dfrac{-2a^2}{3b} )^2&=\dfrac{(-2a^2)^2}{(3b)^2}\\&=\dfrac{(-2)^2· (a^2)^2}{3^2· b^2}\\&=\dfrac{4a^{2×2}}{9b^2}\\&=\dfrac{4a^4}{9b^2}\end{aligned}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
分式的乘方、积的乘方、幂的乘方
【点评】
本题是分式乘方的基础运算题，解题的关键是熟练掌握相关幂的运算规则，注意运算过程中符号的判断和指数的计算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8

2. 计算$(\dfrac{3n}{p})^2 ÷ \dfrac{mn}{p^2}$的结果是（）

A.$\dfrac{9mn^3}{p^3}$
B.$\dfrac{3mn^3}{p^3}$
C.$\dfrac{3n}{m}$
D.$\dfrac{9n}{m}$

2. D

【分析】
本题考查分式的混合运算，解题时遵循先乘方后乘除的运算顺序：第一步先根据分式乘方法则计算乘方部分，第二步将分式除法转化为乘法运算，第三步通过约分化简得到最终结果，再对应选项选择即可。
【解析】
解：第一步先计算分式的乘方，根据分式乘方法则，分子分母分别乘方：
$(\dfrac{3n}{p})^2 = \dfrac{(3n)^2}{p^2} = \dfrac{9n^2}{p^2}$
第二步将分式除法转化为乘法，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数：
$\dfrac{9n^2}{p^2} ÷ \dfrac{mn}{p^2} = \dfrac{9n^2}{p^2} × \dfrac{p^2}{mn}$
第三步对分子分母约分，约去公因式$p^2$和$n$：
$\dfrac{9n^2 · p^2}{p^2 · mn} = \dfrac{9n}{m}$
结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式乘方运算、分式乘除运算、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的常规基础题，核心考察分式运算的顺序和相关法则的应用，计算时注意运算顺序不能出错，约分要彻底，即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8