3. 计算$\frac{81 - a^2}{a^2 + 6a + 9} ÷ \frac{a - 9}{2a + 6} · \frac{a + 3}{a + 9}$的结果是（）

A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$-1$
D.$-2$

3. D

【分析】
要解决分式的乘除混合运算问题，需按照分式运算的逻辑逐步推导：第一步，根据分式除法法则，将除法运算统一转化为乘法运算；第二步，对分子、分母中的多项式进行因式分解，其中81-a²是平方差结构，a²+6a+9是完全平方结构，2a+6可提取公因式，分解时要注意符号的处理；第三步，将分解后的式子代入原式，约去所有公因式，计算剩余部分即可得到最终结果。
【解析】
首先将分式除法转化为乘法，可得：
原式$=\frac{81 - a^2}{a^2 + 6a + 9} × \frac{2a + 6}{a - 9} × \frac{a + 3}{a + 9}$
对各多项式因式分解：
$81-a^2=9^2-a^2=(9-a)(9+a)=-(a-9)(a+9)$
$a^2+6a+9=(a+3)^2$
$2a+6=2(a+3)$
将分解结果代入原式：
$=\frac{-(a-9)(a+9)}{(a+3)^2} × \frac{2(a+3)}{a - 9} × \frac{a + 3}{a + 9}$
约去公因式$(a-9)$、$(a+9)$、$(a+3)^2$后计算得：
$=-1 × 2 = -2$
【答案】
D
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式乘除运算的典型题型，解题核心是先统一运算为乘法，再准确对多项式因式分解，需要特别注意平方差分解时的符号问题，避免因符号处理错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.6

4.老师设计了接力游戏,用合作的方式完成分式化简,规则是:每人只能看到前一人给的式子,并进行下一步的计算,再将结果传递给下一人,最后完成化简.过程如图所示:
老师
$\frac{x^2-2x}{x-1} ÷ \frac{x^2}{1-x}$
甲
$\frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{1-x}{x^2}$
乙

丙
$\frac{x(x-2)}{x-1} · \frac{x-1}{x^2}$
丁
$\frac{x-2}{2}$
接力中,自己负责的一步出现错误的是
（）

A.只有乙
B.甲和丁
C.乙和丙
D.乙和丁

4. D

【分析】
要判断接力中哪一步出错，需按照分式乘除的运算法则依次核对每人的计算步骤：首先根据分式除法法则判断甲的步骤是否正确；再根据$1-x$和$x-1$互为相反数的特点，核对乙的符号处理是否正确；接着核对丙的因式分解是否正确；最后核对丁的约分步骤是否正确。
【解析】
我们逐步核对每一步计算：
1. 核对甲的步骤：
老师给出的式子为$\frac{x^2-2x}{x-1} ÷ \frac{x^2}{1-x}$，根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，可变形为$\frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{1-x}{x^2}$，甲的计算正确。
2. 核对乙的步骤：
甲给出的式子中第二个因式的分子为$1-x$，$1-x=-(x-1)$，因此正确变形应为$\frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{-(x-1)}{x^2}$，但乙直接将$1-x$改为$x-1$，没有添加负号，符号处理错误，故乙的步骤出错。
3. 核对丙的步骤：
乙给出的式子为$\frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{x-1}{x^2}$，丙对分子$x^2-2x$因式分解得$x(x-2)$，变形为$\frac{x(x-2)}{x-1} · \frac{x-1}{x^2}$，因式分解正确，故丙的计算正确。
4. 核对丁的步骤：
丙给出的式子约分：分子的$x$和分母的$x^2$约去$x$，分子分母的$x-1$约去，可得结果为$\frac{x-2}{x}$，但丁得到的结果是$\frac{x-2}{2}$，约分错误，故丁的步骤出错。
综上，出现错误的是乙和丁。
【答案】
D
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题考查分式的乘除化简，解题时要注意除法变乘法的转换规则、互为相反数的因式变形时的符号处理，约分时要找准公因式，避免出现符号错误或约分错误。
【难度系数】
0.7

5. 老师在黑板上写了一个分式的除法计算题，如图，用手遮住了一部分，让同学们通过计算求出被遮住部分的式子，则被遮住的式子是。
$\frac{x}{x+1} ÷ $$ = \frac{2x^2}{x^2 -1}$

5. $\frac{x-1}{2x}$

【分析】
我们可根据除法运算中各部分的关系求解：已知被除数÷除数=商，那么除数=被除数÷商。首先据此列出计算被遮式子的算式，再按照分式除法的运算规则，先将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分即可得到结果。
【解析】
设被遮住的式子为$A$，根据题意得：
$\frac{x}{x+1} ÷ A = \frac{2x^2}{x^2 -1}$
则 $A = \frac{x}{x+1} ÷ \frac{2x^2}{x^2 -1}$
根据平方差公式先分解因式：$x^2 -1 = (x+1)(x-1)$
由分式除法法则，除以一个分式等于乘它的倒数，将除法转化为乘法：
$A = \frac{x}{x+1} × \frac{(x+1)(x-1)}{2x^2}$
约分：约去分子分母的公因式$x$和$x+1$，得
$A = \frac{x-1}{2x}$
【答案】
$\frac{x-1}{2x}$
【知识点】
分式的除法运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础应用题，解题核心是先利用除法各部分关系确定运算式，计算时先对多项式因式分解再约分，能有效降低计算出错率。
【难度系数】
0.8

6. 计算：
(1)$\frac{a-2}{a+3} ÷ \frac{a^2 -4}{a^2 +6a +9}$；
(2)$\frac{4x^2 -4xy + y^2}{2x - y} ÷ (4x^2 - y^2) · \frac{1}{2x + y}$；
(3)$8x^2 y^4 · (-\frac{3x}{4y^3}) ÷ (-\frac{x^2 y}{2})$。

解:(1)原式$=\frac{a-2}{a+3} · \frac{(a+3)^2}{(a+2)(a-2)} =\frac{a+3}{a+2}.$
(2)原式$=\frac{(2x-y)^2}{2x-y} · \frac{1}{(2x-y)(2x+y)} · \frac{1}{2x+y} =\frac{1}{(2x+y)^2}.$
(3)原式$=8x^2 y^4 · \frac{3x}{4y^3} · \frac{2}{x^2 y} =12x.$

【分析】
这三道题均为分式的乘除混合运算，解题思路可统一为：①先将所有除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘以这个分式的倒数），同时注意确定运算符号；②对分子、分母中的多项式进行因式分解，单项式则单独整理系数和字母的幂；③约去分子分母的公因式，将结果化为最简分式或整式。运算时注意遵循从左到右的顺序，不能随意调换运算顺序。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法，再对多项式因式分解后约分：
原式$=\frac{a-2}{a+3} · \frac{a^2 +6a +9}{a^2 -4}$
其中$a^2 +6a +9=(a+3)^2$，$a^2 -4=(a+2)(a-2)$，代入后约去公因式$(a-2)$和$(a+3)$：
$=\frac{a-2}{a+3} · \frac{(a+3)^2}{(a+2)(a-2)} =\frac{a+3}{a+2}$
(2) 先将除法转化为乘法，再分解因式后约分：
原式$=\frac{4x^2 -4xy + y^2}{2x - y} · \frac{1}{4x^2 - y^2} · \frac{1}{2x + y}$
其中$4x^2 -4xy + y^2=(2x-y)^2$，$4x^2 - y^2=(2x-y)(2x+y)$，代入后约去公因式$(2x-y)$：
$=\frac{(2x-y)^2}{2x-y} · \frac{1}{(2x-y)(2x+y)} · \frac{1}{2x+y} =\frac{1}{(2x+y)^2}$
(3) 先将除法转化为乘法，负负得正，再分别计算系数和同底数幂的乘除：
原式$=8x^2 y^4 · \frac{3x}{4y^3} · \frac{2}{x^2 y}$
系数部分：$8 × \frac{3}{4} × 2=12$；
$x$的幂次：$x^2 · x · \frac{1}{x^2}=x$；
$y$的幂次：$y^4 · \frac{1}{y^3} · \frac{1}{y}=1$；
合并得结果为$12x$。
【答案】
(1)$\frac{a+3}{a+2}$；(2)$\frac{1}{(2x+y)^2}$；(3)$12x$
【知识点】
分式乘除法则、因式分解、幂的运算
【点评】
本题是分式乘除运算的基础题型，核心考察运算规则的应用与因式分解的熟练度，计算时需先统一为乘法运算再约分，同时注意运算顺序和符号的判断，避免因细节失误失分。
【难度系数】
0.8

7.当$x=1984,y=1916$时，代数式$\frac{x^4 - y^4}{x^2 - 2xy + y^2} · \frac{y - x}{x^2 + y^2}$的值为（）

A.68
B.$-68$
C.$3900$
D.$-3900$

7. D

【分析】
这是一道分式化简求值题，直接代入数值计算运算量过大，解题思路为：先利用因式分解的相关公式对分式的分子、分母进行因式分解，再根据分式乘法的运算法则约分，将代数式化为最简形式，最后代入x、y的数值计算结果即可，解题时要注意y-x与x-y互为相反数，变形时不要漏写负号。
【解析】
解：先对原式因式分解再约分：
第一步，分解各多项式：
$x^4 - y^4=(x^2+y^2)(x^2-y^2)=(x^2+y^2)(x-y)(x+y)$
$x^2 - 2xy + y^2=(x-y)^2$
$y - x=-(x-y)$
第二步，代入原式约分：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(x^2+y^2)(x-y)(x+y)}{(x-y)^2} · \frac{-(x-y)}{x^2+y^2}\\&=-(x+y)\end{aligned}$
第三步，代入$x=1984,y=1916$计算：
$原式=-(1984+1916)=-3900$
【答案】
D
【知识点】
分式的乘法运算；因式分解；代数式求值
【点评】
本题考查分式的化简求值，解题的核心是先化简再求值，能大幅降低运算量，解题的易错点是处理$y-x$和$x-y$的变形时容易漏掉负号，需特别注意符号问题。
【难度系数】
0.7

8.(南通模拟)学校绿化养护原本采用漫灌的方式，b吨水可用a天.为了节约用水，现采用喷灌的方式，b吨水可多用10天，则漫灌每天的用水量是喷灌每天用水量的倍.

8. $\frac{a+10}{a}$

【分析】
要解决这个问题，我们可以分三步思考：第一步，明确“每天用水量=总用水量÷使用天数”这个基本数量关系；第二步，分别表示出漫灌和喷灌两种方式下每天的用水量；第三步，根据“求一个量是另一个量的几倍用除法”，列出分式运算式子，化简后即可得到结果。
【解析】
首先计算漫灌每天的用水量：
已知总水量为b吨，漫灌可用a天，根据日用水量=总水量÷使用天数，得漫灌每天用水量为 $\frac{b}{a}$ 吨。
再计算喷灌每天的用水量：
喷灌方式下b吨水可多用10天，即总使用天数为$(a+10)$天，因此喷灌每天用水量为 $\frac{b}{a+10}$ 吨。
最后求漫灌日用水量是喷灌日用水量的倍数：
用漫灌日用水量除以喷灌日用水量，即
$\frac{b}{a} ÷ \frac{b}{a+10} = \frac{b}{a} × \frac{a+10}{b} = \frac{a+10}{a}$
【答案】
$\frac{a+10}{a}$
【知识点】
列代数式；分式的除法运算；分式的约分
【点评】
本题结合生活中的节水场景考查分式的实际应用，解题核心是准确用分式表示出两种灌溉方式的日用水量，再按照倍数关系列式计算，计算过程中注意遵循分式除法的运算规则、正确约分化简即可。
【难度系数】
0.8

9. 先将$\dfrac{m^2 - 1}{m^2 + 4m + 4} ÷ (m + 1) · \dfrac{m^2 + 2m}{m - 1}$化简，再选取一个你认为合适的$m$的值代入求值.

解:原式$=\frac{(m+1)(m-1)}{(m+2)^2} · \frac{1}{m+1} · \frac{m(m+2)}{m-1} =\frac{m}{m+2}.$
当$m=6$时，
原式$=\frac{6}{6+2} =\frac{3}{4}.$(注意:$m≠-1,m≠1,m≠-2$)

【分析】
这是分式乘除混合运算的化简求值题，解题思路如下：第一步，先将原式中能因式分解的分子、分母进行因式分解，同时依据分式除法法则，把除法运算转化为乘法运算；第二步，找出所有分子、分母的公因式约分，得到最简分式；第三步，选取合适的m值代入计算，注意选取的m必须保证原分式所有分母、除式都不为0，排除使分式无意义的取值后再代入即可。
【解析】
解：先对原式各部分因式分解，再将除法转为乘法：
原式$=\frac{(m+1)(m-1)}{(m+2)^2} · \frac{1}{m+1} · \frac{m(m+2)}{m-1}$
约去分子分母的公因式$(m+1)$、$(m-1)$、$(m+2)$，得：
原式$=\frac{m}{m+2}$
根据分式有意义的条件，需满足$m≠-2,m≠-1,m≠1$，选取$m=6$代入：
原式$=\frac{6}{6+2} =\frac{3}{4}$
（m取除-2、-1、1以外的数值均可）
【答案】
化简结果为$\dfrac{m}{m+2}$，当$m=6$时，原式的值为$\dfrac{3}{4}$（$m$取值满足$m≠-2,m≠-1,m≠1$即可）
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，解题的关键是熟练掌握多项式因式分解的方法和分式乘除的运算规则，要特别注意代入的数值必须保证原分式所有分母、除式均有意义，不能随意取值代入。
【难度系数】
0.7

10. 已知$A=\dfrac{2x+y}{x^2 - 2xy + y^2} · (x - y)$。
(1)化简$A$；
(2)若$x^2 -6xy +9y^2=0$，求$A$的值。

解:(1)$A=\frac{2x+y}{(x-y)^2} · (x-y) =\frac{2x+y}{x-y}.$
(2)因为$x^2 -6xy +9y^2=0$，
所以$(x-3y)^2=0$,则$x-3y=0$,故$x=3y$,
所以$A=\frac{2x+y}{x-y} =\frac{6y+y}{3y-y} =\frac{7}{2}.$

【分析】
(1)化简A时，首先利用完全平方公式将分母$x^2-2xy+y^2$因式分解为$(x-y)^2$，再根据分式乘法的运算法则，约去分子分母的公因式$(x-y)$（需满足$x≠ y$保证分式有意义），即可得到最简形式。
(2)求A的值时，先对已知等式左边的多项式用完全平方公式因式分解，结合平方的非负性推出$x=3y$，再将$x=3y$代入化简后的A的表达式，约分计算即可得到结果，注意需满足$y≠0$避免分母为0。
【解析】
(1) 对分母因式分解后约分：
$\begin{aligned}A&=\frac{2x+y}{x^2 - 2xy + y^2} · (x - y)\\&=\frac{2x+y}{(x-y)^2} · (x-y)\\&=\frac{2x+y}{x-y} \quad (x≠ y)\end{aligned}$
(2) 对已知等式变形后代入计算：
$\because x^2 -6xy +9y^2=0$
$\therefore (x-3y)^2=0$，即$x-3y=0$，得$x=3y$（$y≠0$）
将$x=3y$代入化简后的A：
$\begin{aligned}A&=\frac{2×3y+y}{3y-y}\\&=\frac{7y}{2y}\\&=\frac{7}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$A=\dfrac{2x+y}{x-y}$；(2)$\dfrac{7}{2}$
【知识点】
完全平方公式，分式乘法运算，代数式求值
【点评】
本题属于分式运算的基础常考题，核心解题思路是先通过因式分解对分式约分化简，再结合已知条件得到变量的等量关系代入计算，解题时要注意牢记分式有意义的隐含条件，避免出现分母为0的错误。
【难度系数】
0.8