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一、以三角形为背景的综合应用
1. (2025 湘西期末)如图,在$△ ABC$和$△ DEC$中,$∠ BCE=∠ ACD,∠ B=∠ CED$.
(1)求证:$△ ABC ∽ △ DEC$;
(2)若$S_{△ ABC}:S_{△ DEC}=4:9,BC=12$,求$EC$的长.
1. (2025 湘西期末)如图,在$△ ABC$和$△ DEC$中,$∠ BCE=∠ ACD,∠ B=∠ CED$.
(1)求证:$△ ABC ∽ △ DEC$;
(2)若$S_{△ ABC}:S_{△ DEC}=4:9,BC=12$,求$EC$的长.
答案
1. (1) 证明:$\because ∠BCE=∠ACD$,
$\therefore ∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE,\therefore ∠ACB=∠DCE$,
$\because ∠B=∠CED,\therefore △ABC∽△DEC$.
(2) 解:由(1)得,$△ABC∽△DEC$,
$\because S_{△ABC}:S_{△DEC}=4:9,\therefore \frac{S_{△ABC}}{S_{△DEC}}=\frac{4}{9}=(\frac{BC}{EC})^2$,
$\because BC=12,\therefore EC=18$.
$\therefore ∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE,\therefore ∠ACB=∠DCE$,
$\because ∠B=∠CED,\therefore △ABC∽△DEC$.
(2) 解:由(1)得,$△ABC∽△DEC$,
$\because S_{△ABC}:S_{△DEC}=4:9,\therefore \frac{S_{△ABC}}{S_{△DEC}}=\frac{4}{9}=(\frac{BC}{EC})^2$,
$\because BC=12,\therefore EC=18$.
解析
【分析】
(1)要证明△ABC∽△DEC，已知∠B=∠CED，只需再证一组对应角相等即可。已知∠BCE=∠ACD，给两个角同时加上公共角∠ACE，就能得到对应角∠ACB=∠DCE，结合两组角对应相等即可判定三角形相似。
(2)根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知两个三角形的面积比可求出对应边的相似比，再结合BC的长度即可求出EC的长。
【解析】
(1) 证明：$\because ∠BCE=∠ACD$，
$\therefore ∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE$，即$∠ACB=∠DCE$，
又$\because ∠B=∠CED$，
$\therefore △ABC∽△DEC$。
(2) 解：由(1)得$△ABC∽△DEC$，
$\because S_{△ABC}:S_{△DEC}=4:9$，
$\therefore \frac{S_{△ABC}}{S_{△DEC}}=\frac{4}{9}=(\frac{BC}{EC})^2$，
$\because BC=12$，
$\therefore EC=18$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $EC=18$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础综合题，解题关键是先通过角的和差关系得到相等的对应角完成相似判定，再利用相似三角形面积比与相似比的关系求解边长，属于常规考查题型。
【难度系数】
0.8
(1)要证明△ABC∽△DEC，已知∠B=∠CED，只需再证一组对应角相等即可。已知∠BCE=∠ACD，给两个角同时加上公共角∠ACE，就能得到对应角∠ACB=∠DCE，结合两组角对应相等即可判定三角形相似。
(2)根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知两个三角形的面积比可求出对应边的相似比，再结合BC的长度即可求出EC的长。
【解析】
(1) 证明：$\because ∠BCE=∠ACD$，
$\therefore ∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE$，即$∠ACB=∠DCE$，
又$\because ∠B=∠CED$，
$\therefore △ABC∽△DEC$。
(2) 解：由(1)得$△ABC∽△DEC$，
$\because S_{△ABC}:S_{△DEC}=4:9$，
$\therefore \frac{S_{△ABC}}{S_{△DEC}}=\frac{4}{9}=(\frac{BC}{EC})^2$，
$\because BC=12$，
$\therefore EC=18$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $EC=18$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础综合题，解题关键是先通过角的和差关系得到相等的对应角完成相似判定，再利用相似三角形面积比与相似比的关系求解边长，属于常规考查题型。
【难度系数】
0.8
2.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,CD是边AB上的中线,过点C作CD的垂线交AB的延长线于点E,过点B作$BF⊥ CE$于点F.求证:
(1)$BC$平分$∠ ABF$;
(2)$BC^2=2BF· BD$.
(1)$BC$平分$∠ ABF$;
(2)$BC^2=2BF· BD$.
答案
2. 证明:(1)$\because ∠ACB=90°$,CD是边AB上的中线,
$\therefore DC=DB,\therefore ∠CBD=∠BCD$.
$\because CD⊥CE,BF⊥CE,\therefore BF// CD$,
$\therefore ∠CBF=∠BCD,\therefore ∠CBD=∠CBF,\therefore BC$平分$∠ABF$.
(2)$\because ∠CBA=∠CBF,∠BFC=∠BCA$,
$\therefore △ABC∽△CBF,\therefore BC:BF=AB:BC$,
$\therefore BC^2=BF· AB$.
$\because AB=2BD,\therefore BC^2=2BF· BD$.
$\therefore DC=DB,\therefore ∠CBD=∠BCD$.
$\because CD⊥CE,BF⊥CE,\therefore BF// CD$,
$\therefore ∠CBF=∠BCD,\therefore ∠CBD=∠CBF,\therefore BC$平分$∠ABF$.
(2)$\because ∠CBA=∠CBF,∠BFC=∠BCA$,
$\therefore △ABC∽△CBF,\therefore BC:BF=AB:BC$,
$\therefore BC^2=BF· AB$.
$\because AB=2BD,\therefore BC^2=2BF· BD$.
解析
【分析】
(1) 要证BC平分∠ABF，本质是证明∠CBD=∠CBF。首先根据直角三角形斜边中线的性质可得DC=DB，推出∠CBD=∠BCD；再由CD、BF都垂直于CE，可判定CD//BF，根据平行线内错角相等得∠CBF=∠BCD，等量代换即可得到两个角相等，完成角平分线的证明。
(2) 要证明等积式$BC^2=2BF· BD$，可先将等积式转化为比例式，通过证明相似三角形得到对应边成比例：由(1)的结论得∠CBA=∠CBF，结合∠ACB=∠CFB=90°，可证$△ABC∽△CBF$，得到$BC^2=BF·AB$；再结合直角三角形斜边中线的性质，AB=2BD，代入即可完成证明。
【解析】
(1) $\because ∠ACB=90°$，CD是边AB上的中线，
$\therefore DC=DB$，$\therefore ∠CBD=∠BCD$。
$\because CD⊥CE$，$BF⊥CE$，$\therefore BF// CD$，
$\therefore ∠CBF=∠BCD$，$\therefore ∠CBD=∠CBF$，即$BC$平分$∠ABF$。
(2) $\because ∠CBA=∠CBF$，$∠BFC=∠BCA=90°$，
$\therefore △ABC∽△CBF$，$\therefore BC:BF=AB:BC$，
$\therefore BC^2=BF· AB$。
$\because $CD是AB边上的中线，$\therefore AB=2BD$，
$\therefore BC^2=2BF· BD$。
【答案】
(1) $BC$平分$∠ABF$，得证；
(2) $BC^2=2BF· BD$，得证。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合证明题，解题时需要结合已知条件逐步推导角的等量关系，再利用相似三角形的性质转化等积式，重点考察几何性质的综合运用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证BC平分∠ABF，本质是证明∠CBD=∠CBF。首先根据直角三角形斜边中线的性质可得DC=DB，推出∠CBD=∠BCD；再由CD、BF都垂直于CE，可判定CD//BF，根据平行线内错角相等得∠CBF=∠BCD，等量代换即可得到两个角相等，完成角平分线的证明。
(2) 要证明等积式$BC^2=2BF· BD$，可先将等积式转化为比例式，通过证明相似三角形得到对应边成比例：由(1)的结论得∠CBA=∠CBF，结合∠ACB=∠CFB=90°，可证$△ABC∽△CBF$，得到$BC^2=BF·AB$；再结合直角三角形斜边中线的性质，AB=2BD，代入即可完成证明。
【解析】
(1) $\because ∠ACB=90°$，CD是边AB上的中线，
$\therefore DC=DB$，$\therefore ∠CBD=∠BCD$。
$\because CD⊥CE$，$BF⊥CE$，$\therefore BF// CD$，
$\therefore ∠CBF=∠BCD$，$\therefore ∠CBD=∠CBF$，即$BC$平分$∠ABF$。
(2) $\because ∠CBA=∠CBF$，$∠BFC=∠BCA=90°$，
$\therefore △ABC∽△CBF$，$\therefore BC:BF=AB:BC$，
$\therefore BC^2=BF· AB$。
$\because $CD是AB边上的中线，$\therefore AB=2BD$，
$\therefore BC^2=2BF· BD$。
【答案】
(1) $BC$平分$∠ABF$，得证；
(2) $BC^2=2BF· BD$，得证。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合证明题，解题时需要结合已知条件逐步推导角的等量关系，再利用相似三角形的性质转化等积式，重点考察几何性质的综合运用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
二、以四边形为背景的综合应用
3. (2025永州月考)如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,DF⊥AE,垂足为F.
(1)求证:$△ ABE ∽ △ DFA$;
(2)若$AB=6$,$BC=4$,求AF的长.
3. (2025永州月考)如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,DF⊥AE,垂足为F.
(1)求证:$△ ABE ∽ △ DFA$;
(2)若$AB=6$,$BC=4$,求AF的长.
答案
3. (1) 证明:$\because$ 四边形ABCD是矩形,
$\therefore AD// BC,∠B=90°,\therefore ∠DAF=∠AEB$.
$\because DF⊥AE,\therefore ∠AFD=∠B=90°,\therefore △ABE∽△DFA$,
(2) 解:由(1)知,$△ABE∽△DFA$,
$\therefore \frac{BE}{AF}=\frac{AE}{AD},\therefore AF=\frac{BE· AD}{AE}$.
$\because E$是BC的中点,$\therefore BE=\frac{1}{2}BC=2$.
$\because$ 四边形ABCD是矩形,$\therefore AD=BC=4$.
$\because ∠B=90°,\therefore AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$,
$\therefore AF=\frac{BE· AD}{AE}=\frac{2×4}{2\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$.
$\therefore AD// BC,∠B=90°,\therefore ∠DAF=∠AEB$.
$\because DF⊥AE,\therefore ∠AFD=∠B=90°,\therefore △ABE∽△DFA$,
(2) 解:由(1)知,$△ABE∽△DFA$,
$\therefore \frac{BE}{AF}=\frac{AE}{AD},\therefore AF=\frac{BE· AD}{AE}$.
$\because E$是BC的中点,$\therefore BE=\frac{1}{2}BC=2$.
$\because$ 四边形ABCD是矩形,$\therefore AD=BC=4$.
$\because ∠B=90°,\therefore AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$,
$\therefore AF=\frac{BE· AD}{AE}=\frac{2×4}{2\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$.
解析
【分析】
（1）要证明△ABE∽△DFA，可通过“两角分别相等的两个三角形相似”推导：首先结合矩形性质得到直角和线段平行关系，再找两组对应角相等即可完成证明。
（2）求AF的长可利用（1）的相似结论，根据相似三角形对应边成比例列关系式求解：先求出BE、AD的长度，再用勾股定理算出AE的长度，最后代入比例式计算即可得到AF的值。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 四边形ABCD是矩形，
$\therefore AD// BC,∠B=90°$，
$\therefore ∠DAF=∠AEB$（两直线平行，内错角相等）。
$\because DF⊥AE,\therefore ∠AFD=90°$，
$\therefore ∠AFD=∠B=90°$，
$\therefore △ABE∽△DFA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：由(1)知$△ABE∽△DFA$，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{BE}{AF}=\frac{AE}{AD}$，即$AF=\frac{BE· AD}{AE}$。
$\because E$是BC的中点，$BC=4$，
$\therefore BE=\frac{1}{2}BC=2$。
$\because$ 四边形ABCD是矩形，$\therefore AD=BC=4$。
在$Rt△ABE$中，$∠B=90°$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$，
代入$AF$的表达式计算得：
$\therefore AF=\frac{2×4}{2\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$。
【答案】
(1) 证明成立，$△ABE∽△DFA$；
(2) $AF=\frac{2\sqrt{10}}{5}$
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，侧重考查对相似三角形判定、性质的掌握程度，结合矩形的边角特性即可找到解题突破口，计算时要注意二次根式分母有理化的规范。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△ABE∽△DFA，可通过“两角分别相等的两个三角形相似”推导：首先结合矩形性质得到直角和线段平行关系，再找两组对应角相等即可完成证明。
（2）求AF的长可利用（1）的相似结论，根据相似三角形对应边成比例列关系式求解：先求出BE、AD的长度，再用勾股定理算出AE的长度，最后代入比例式计算即可得到AF的值。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 四边形ABCD是矩形，
$\therefore AD// BC,∠B=90°$，
$\therefore ∠DAF=∠AEB$（两直线平行，内错角相等）。
$\because DF⊥AE,\therefore ∠AFD=90°$，
$\therefore ∠AFD=∠B=90°$，
$\therefore △ABE∽△DFA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：由(1)知$△ABE∽△DFA$，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{BE}{AF}=\frac{AE}{AD}$，即$AF=\frac{BE· AD}{AE}$。
$\because E$是BC的中点，$BC=4$，
$\therefore BE=\frac{1}{2}BC=2$。
$\because$ 四边形ABCD是矩形，$\therefore AD=BC=4$。
在$Rt△ABE$中，$∠B=90°$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$，
代入$AF$的表达式计算得：
$\therefore AF=\frac{2×4}{2\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$。
【答案】
(1) 证明成立，$△ABE∽△DFA$；
(2) $AF=\frac{2\sqrt{10}}{5}$
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，侧重考查对相似三角形判定、性质的掌握程度，结合矩形的边角特性即可找到解题突破口，计算时要注意二次根式分母有理化的规范。
【难度系数】
0.7
4. 如图，四边形ABCD是菱形，M是BC上一点，连接AM交对角线BD于点G，且$∠ ABC=2∠ BAM$.
(1)求证:$AG=BG$；
(2)若M为BC的中点，且$S_{△ BGM}=1$，求$△ ADG$的面积.
(1)求证:$AG=BG$；
(2)若M为BC的中点，且$S_{△ BGM}=1$，求$△ ADG$的面积.
答案
4. (1) 证明:$\because$ 四边形ABCD是菱形,
$\therefore BD$平分$∠ABC,\therefore ∠ABC=2∠ABG$.
又$\because ∠ABC=2∠BAM,\therefore ∠BAM=∠ABG,\therefore AG=BG$.
(2) 解:$\because$ 四边形ABCD是菱形,
$\therefore AD// BC,AD=BC,\therefore ∠GAD=∠BMG,∠ADG=∠GBM$,
$\therefore △BGM∽△DGA$.
$\because M$是BC的中点,$\therefore BM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD$.
$\therefore △BGM$与$△DGA$的相似比为$1:2$,
$\therefore S_{△BGM}:S_{△DGA}=1:4$.
$\because S_{△BGM}=1,\therefore S_{△DGA}=4$.
$\therefore BD$平分$∠ABC,\therefore ∠ABC=2∠ABG$.
又$\because ∠ABC=2∠BAM,\therefore ∠BAM=∠ABG,\therefore AG=BG$.
(2) 解:$\because$ 四边形ABCD是菱形,
$\therefore AD// BC,AD=BC,\therefore ∠GAD=∠BMG,∠ADG=∠GBM$,
$\therefore △BGM∽△DGA$.
$\because M$是BC的中点,$\therefore BM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD$.
$\therefore △BGM$与$△DGA$的相似比为$1:2$,
$\therefore S_{△BGM}:S_{△DGA}=1:4$.
$\because S_{△BGM}=1,\therefore S_{△DGA}=4$.
解析
【分析】
(1) 要证$AG=BG$，可利用等腰三角形“等角对等边”的判定，只需证明$∠BAM=∠ABG$即可。根据菱形对角线平分一组对角的性质，可得$∠ABC=2∠ABG$，结合已知条件$∠ABC=2∠BAM$，即可推导出两角相等，完成证明。
(2) 要求$△ADG$的面积，首先根据菱形对边平行且相等的性质，可证$△BGM$与$△DGA$相似；再结合M是BC中点，得到两个三角形的相似比为$1:2$；根据相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，结合已知$△BGM$的面积，即可求出$△ADG$的面积。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 四边形ABCD是菱形，
$\therefore BD$平分$∠ABC$，$\therefore ∠ABC=2∠ABG$。
又$\because ∠ABC=2∠BAM$，$\therefore ∠BAM=∠ABG$，
$\therefore AG=BG$。
(2) 解：$\because$ 四边形ABCD是菱形，
$\therefore AD// BC$，$AD=BC$，
$\therefore ∠GAD=∠GMB$，$∠ADG=∠MBG$，
$\therefore △BGM∽△DGA$。
$\because M$是BC的中点，
$\therefore BM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD$，
$\therefore △BGM$与$△DGA$的相似比为$1:2$，
$\therefore S_{△BGM}:S_{△DGA}=1^2:2^2=1:4$。
$\because S_{△BGM}=1$，
$\therefore S_{△DGA}=4×1=4$。
【答案】
(1) $AG=BG$得证；(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
菱形的性质；相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题综合考查菱形性质和相似三角形的应用，第一问难度较低，熟练掌握菱形对角线的性质即可解答；第二问需要准确识别相似三角形，牢记相似三角形面积比与相似比的关系是解题核心，属于常规几何综合题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证$AG=BG$，可利用等腰三角形“等角对等边”的判定，只需证明$∠BAM=∠ABG$即可。根据菱形对角线平分一组对角的性质，可得$∠ABC=2∠ABG$，结合已知条件$∠ABC=2∠BAM$，即可推导出两角相等，完成证明。
(2) 要求$△ADG$的面积，首先根据菱形对边平行且相等的性质，可证$△BGM$与$△DGA$相似；再结合M是BC中点，得到两个三角形的相似比为$1:2$；根据相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，结合已知$△BGM$的面积，即可求出$△ADG$的面积。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 四边形ABCD是菱形，
$\therefore BD$平分$∠ABC$，$\therefore ∠ABC=2∠ABG$。
又$\because ∠ABC=2∠BAM$，$\therefore ∠BAM=∠ABG$，
$\therefore AG=BG$。
(2) 解：$\because$ 四边形ABCD是菱形，
$\therefore AD// BC$，$AD=BC$，
$\therefore ∠GAD=∠GMB$，$∠ADG=∠MBG$，
$\therefore △BGM∽△DGA$。
$\because M$是BC的中点，
$\therefore BM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD$，
$\therefore △BGM$与$△DGA$的相似比为$1:2$，
$\therefore S_{△BGM}:S_{△DGA}=1^2:2^2=1:4$。
$\because S_{△BGM}=1$，
$\therefore S_{△DGA}=4×1=4$。
【答案】
(1) $AG=BG$得证；(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
菱形的性质；相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题综合考查菱形性质和相似三角形的应用，第一问难度较低，熟练掌握菱形对角线的性质即可解答；第二问需要准确识别相似三角形，牢记相似三角形面积比与相似比的关系是解题核心，属于常规几何综合题。
【难度系数】
0.7
