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一、根据函数的性质求二次函数的表达式
1.已知一抛物线与抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2 +3$ 的形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(－5，0).根据以上特点，试写出该抛物线的函数表达式.
1.已知一抛物线与抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2 +3$ 的形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(－5，0).根据以上特点，试写出该抛物线的函数表达式.
答案
1. 解:设所求的抛物线的函数表达式为 $y=a(x+5)^2$.
∵ 抛物线 $y=a(x+5)^2$ 与抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2+3$ 的形状相同,开口方向相反,
∴$a=\frac{1}{2}$,
∴该抛物线的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}(x+5)^2$.
∵ 抛物线 $y=a(x+5)^2$ 与抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2+3$ 的形状相同,开口方向相反,
∴$a=\frac{1}{2}$,
∴该抛物线的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}(x+5)^2$.
解析
【分析】
解题时首先结合已知的顶点坐标，选择二次函数的顶点式设出待求表达式；再根据两个抛物线形状相同则二次项系数的绝对值相等，开口方向相反则二次项系数符号相反，确定待求表达式中a的值，最后代入即可得到结果。
【解析】
解：设所求的抛物线的函数表达式为 $y=a(x+5)^2$，
∵ 抛物线 $y=a(x+5)^2$ 与抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2+3$ 的形状相同，开口方向相反，
∴$a=\frac{1}{2}$，
∴该抛物线的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}(x+5)^2$。
【答案】
$y=\frac{1}{2}(x+5)^2$
【知识点】
1.二次函数顶点式 2.二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是求二次函数表达式的基础题型，解题关键是根据已知条件选择合适的表达式形式，同时要明确抛物线的形状、开口方向与二次项系数的对应关系，选用顶点式可简化计算过程。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知的顶点坐标，选择二次函数的顶点式设出待求表达式；再根据两个抛物线形状相同则二次项系数的绝对值相等，开口方向相反则二次项系数符号相反，确定待求表达式中a的值，最后代入即可得到结果。
【解析】
解：设所求的抛物线的函数表达式为 $y=a(x+5)^2$，
∵ 抛物线 $y=a(x+5)^2$ 与抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2+3$ 的形状相同，开口方向相反，
∴$a=\frac{1}{2}$，
∴该抛物线的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}(x+5)^2$。
【答案】
$y=\frac{1}{2}(x+5)^2$
【知识点】
1.二次函数顶点式 2.二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是求二次函数表达式的基础题型，解题关键是根据已知条件选择合适的表达式形式，同时要明确抛物线的形状、开口方向与二次项系数的对应关系，选用顶点式可简化计算过程。
【难度系数】
0.8
二、根据顶点式求二次函数的表达式
2. 已知抛物线的顶点坐标为$(-1,-3)$，与$y$轴的交点坐标为$(0,-5)$，求此抛物线的函数表达式。
2. 已知抛物线的顶点坐标为$(-1,-3)$，与$y$轴的交点坐标为$(0,-5)$，求此抛物线的函数表达式。
答案
2. 解:设抛物线的函数表达式为 $y=a(x+1)^2-3$,
将$(0,-5)$代入,得 $a-3=-5$,
解得 $a=-2$,
∴抛物线的函数表达式为 $y=-2(x+1)^2-3$.
将$(0,-5)$代入,得 $a-3=-5$,
解得 $a=-2$,
∴抛物线的函数表达式为 $y=-2(x+1)^2-3$.
解析
【分析】
已知抛物线的顶点坐标，优先选择二次函数顶点式设解析式可简化计算。首先回忆二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$为顶点坐标，将已知顶点$(-1,-3)$代入即可得到仅含参数$a$的表达式；再根据抛物线上的点的坐标满足函数解析式，将与y轴的交点$(0,-5)$代入表达式，求解得到$a$的值，最后将$a$代回所设表达式即可得到最终的函数解析式。
【解析】
解：设抛物线的函数表达式为 $y=a(x+1)^2-3$（$a≠0$），
将点$(0,-5)$代入表达式，得 $a×(0+1)^2 -3=-5$，即$a-3=-5$，
解得 $a=-2$，
将$a=-2$代入所设表达式，得抛物线的函数表达式为 $y=-2(x+1)^2-3$。
【答案】
$y=-2(x+1)^2-3$
【知识点】
二次函数顶点式；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题核心是根据已知条件选择合适的解析式形式，已知顶点坐标时选用顶点式可大幅降低计算量，仅需代入一个额外已知点即可求出未知参数。
【难度系数】
0.8
已知抛物线的顶点坐标，优先选择二次函数顶点式设解析式可简化计算。首先回忆二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$为顶点坐标，将已知顶点$(-1,-3)$代入即可得到仅含参数$a$的表达式；再根据抛物线上的点的坐标满足函数解析式，将与y轴的交点$(0,-5)$代入表达式，求解得到$a$的值，最后将$a$代回所设表达式即可得到最终的函数解析式。
【解析】
解：设抛物线的函数表达式为 $y=a(x+1)^2-3$（$a≠0$），
将点$(0,-5)$代入表达式，得 $a×(0+1)^2 -3=-5$，即$a-3=-5$，
解得 $a=-2$，
将$a=-2$代入所设表达式，得抛物线的函数表达式为 $y=-2(x+1)^2-3$。
【答案】
$y=-2(x+1)^2-3$
【知识点】
二次函数顶点式；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题核心是根据已知条件选择合适的解析式形式，已知顶点坐标时选用顶点式可大幅降低计算量，仅需代入一个额外已知点即可求出未知参数。
【难度系数】
0.8
三、根据一般式求二次函数的表达式
3.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$中的部分自变量$x$与所对应的函数值$y$如下表：
求该二次函数的表达式.
3.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$中的部分自变量$x$与所对应的函数值$y$如下表：
求该二次函数的表达式.
答案
3. 解:由表格可知,当 $x=-2$ 时,$y=-5$;当 $x=-1$ 时,$y=0$;当 $x=0$ 时,$y=3$.
∴$\begin{cases}4a-2b+c=-5,\\a-b+c=0,\\c=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-1,\\b=2,\\c=3,\end{cases}$
∴该二次函数的表达式为 $y=-x^2+2x+3$.
∴$\begin{cases}4a-2b+c=-5,\\a-b+c=0,\\c=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-1,\\b=2,\\c=3,\end{cases}$
∴该二次函数的表达式为 $y=-x^2+2x+3$.
解析
【分析】
要求二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c$，需要确定$a、b、c$三个未知系数，因此可以从表格中选取三组$x、y$的对应值，代入一般式得到三元一次方程组，解方程组即可求出三个系数的值，进而得到函数表达式。为了简化计算，优先选取$x=0$的对应值，可以直接得到$c$的值，再选另外两组数值代入求解$a、b$即可。
【解析】
解：由表格可得三组对应值：当$x=-2$时，$y=-5$；当$x=-1$时，$y=0$；当$x=0$时，$y=3$。
将三组值分别代入$y=ax^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}4a-2b+c=-5,\\a-b+c=0,\\c=3,\end{cases}$
把$c=3$代入前两个方程，得到关于$a、b$的二元一次方程组，解得$\begin{cases}a=-1,\\b=2,\\c=3,\end{cases}$
因此该二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$。
【答案】
$y=-x^2+2x+3$
【知识点】
1.待定系数法 2.三元一次方程组求解 3.二次函数一般式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题核心是利用三组函数对应值构造方程组求解，选取$x=0$的对应值可有效降低计算量，熟练掌握待定系数法是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.8
要求二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c$，需要确定$a、b、c$三个未知系数，因此可以从表格中选取三组$x、y$的对应值，代入一般式得到三元一次方程组，解方程组即可求出三个系数的值，进而得到函数表达式。为了简化计算，优先选取$x=0$的对应值，可以直接得到$c$的值，再选另外两组数值代入求解$a、b$即可。
【解析】
解：由表格可得三组对应值：当$x=-2$时，$y=-5$；当$x=-1$时，$y=0$；当$x=0$时，$y=3$。
将三组值分别代入$y=ax^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}4a-2b+c=-5,\\a-b+c=0,\\c=3,\end{cases}$
把$c=3$代入前两个方程，得到关于$a、b$的二元一次方程组，解得$\begin{cases}a=-1,\\b=2,\\c=3,\end{cases}$
因此该二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$。
【答案】
$y=-x^2+2x+3$
【知识点】
1.待定系数法 2.三元一次方程组求解 3.二次函数一般式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题核心是利用三组函数对应值构造方程组求解，选取$x=0$的对应值可有效降低计算量，熟练掌握待定系数法是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.8
4. (2025泉州月考)如图,已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过A,B,C三点.求该二次函数的表达式.
答案
4. 解:由图象可得,$A(-1,0),B(0,-3),C(4,5)$,
把 $A(-1,0),B(0,-3),C(4,5)$ 分别代入二次函数表达式$y=ax^2+bx+c$,得$\begin{cases}a-b+c=0,\\c=-3,\\16a+4b+c=5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=1,\\b=-2,\\c=-3,\end{cases}$
∴该二次函数的表达式为 $y=x^2-2x-3$.
把 $A(-1,0),B(0,-3),C(4,5)$ 分别代入二次函数表达式$y=ax^2+bx+c$,得$\begin{cases}a-b+c=0,\\c=-3,\\16a+4b+c=5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=1,\\b=-2,\\c=-3,\end{cases}$
∴该二次函数的表达式为 $y=x^2-2x-3$.
解析
【分析】
要确定二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c$，需要求出未知系数$a$、$b$、$c$的取值，需要3组$x$、$y$的对应值作为条件。首先从函数图象中读取A、B、C三个点的坐标，再将三个点的坐标分别代入一般式，即可得到关于$a$、$b$、$c$的三元一次方程组，解方程组求出三个系数的值，代入一般式就能得到二次函数的表达式。
【解析】
由图象可得三个点的坐标：$A(-1,0)$，$B(0,-3)$，$C(4,5)$。
将三点坐标分别代入二次函数表达式$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}a-b+c=0,\\c=-3,\\16a+4b+c=5,\end{cases}$
把$c=-3$代入前两个方程，化简得：
$\begin{cases}a-b=3,\\4a+b=2,\end{cases}$
两式相加得$5a=5$，解得$a=1$，将$a=1$代入$a-b=3$，解得$b=-2$。
即方程组的解为$\begin{cases}a=1,\\b=-2,\\c=-3,\end{cases}$
因此该二次函数的表达式为$y=x^2-2x-3$。
【答案】
$y=x^2-2x-3$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；三元一次方程组的解法
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题核心是掌握待定系数法的应用步骤，能正确从图象中读取点的坐标，再通过解方程组求出系数即可。
【难度系数】
0.85
要确定二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c$，需要求出未知系数$a$、$b$、$c$的取值，需要3组$x$、$y$的对应值作为条件。首先从函数图象中读取A、B、C三个点的坐标，再将三个点的坐标分别代入一般式，即可得到关于$a$、$b$、$c$的三元一次方程组，解方程组求出三个系数的值，代入一般式就能得到二次函数的表达式。
【解析】
由图象可得三个点的坐标：$A(-1,0)$，$B(0,-3)$，$C(4,5)$。
将三点坐标分别代入二次函数表达式$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}a-b+c=0,\\c=-3,\\16a+4b+c=5,\end{cases}$
把$c=-3$代入前两个方程，化简得：
$\begin{cases}a-b=3,\\4a+b=2,\end{cases}$
两式相加得$5a=5$，解得$a=1$，将$a=1$代入$a-b=3$，解得$b=-2$。
即方程组的解为$\begin{cases}a=1,\\b=-2,\\c=-3,\end{cases}$
因此该二次函数的表达式为$y=x^2-2x-3$。
【答案】
$y=x^2-2x-3$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；三元一次方程组的解法
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题核心是掌握待定系数法的应用步骤，能正确从图象中读取点的坐标，再通过解方程组求出系数即可。
【难度系数】
0.85
四、根据交点式求二次函数的表达式
5. 如图，抛物线与直线都经过坐标轴的正半轴上$A(4,0)$，$B$两点，该抛物线的对称轴为直线$x=-1$，与$x$轴交于点$C$，且$∠ ABC=90°$.求：
(1)直线$AB$的函数表达式；
(2)抛物线的函数表达式.
5. 如图，抛物线与直线都经过坐标轴的正半轴上$A(4,0)$，$B$两点，该抛物线的对称轴为直线$x=-1$，与$x$轴交于点$C$，且$∠ ABC=90°$.求：
(1)直线$AB$的函数表达式；
(2)抛物线的函数表达式.
答案
5. 解:(1)
∵点 A 的坐标为$(4,0)$,点 C 的坐标为$(-1,0)$,
∴$OA=4,OC=1$.
∵$∠ABC=∠BOC=90°$.
∴$∠CBO+∠BCO=∠BAO+∠BCO=90°$.
∴$∠CBO=∠BAO$.
又
∵$∠BOC=∠BOA=90°$,
∴$\mathrm{Rt}△ CBO ∽ \mathrm{Rt}△ BAO$,
∴$OB:OA=OC:OB$,即 $OB:4=1:OB$,
∴$OB=2$,
∴点 B 的坐标为$(0,2)$.
设直线 AB 的函数表达式为 $y=mx+n$,
把点 $A(4,0),B(0,2)$ 分别代入表达式,得$\begin{cases}4m+n=0,\\n=2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-\frac{1}{2},\\n=2.\end{cases}$
∴直线 AB 的函数表达式为 $y=-\frac{1}{2}x+2$.
(2)
∵该抛物线的对称轴为直线 $x=-1$,点 A 的坐标为$(4,0)$,
∴抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为$(-6,0)$.
设抛物线的函数表达式为 $y=a(x+6)(x-4)$,
把点 $B(0,2)$代入,得 $a×6×(-4)=2$,
解得 $a=-\frac{1}{12}$.
∴抛物线的函数表达式为 $y=-\frac{1}{12}(x+6)(x-4)$,
即 $y=-\frac{1}{12}x^2-\frac{1}{6}x+2$.
∵点 A 的坐标为$(4,0)$,点 C 的坐标为$(-1,0)$,
∴$OA=4,OC=1$.
∵$∠ABC=∠BOC=90°$.
∴$∠CBO+∠BCO=∠BAO+∠BCO=90°$.
∴$∠CBO=∠BAO$.
又
∵$∠BOC=∠BOA=90°$,
∴$\mathrm{Rt}△ CBO ∽ \mathrm{Rt}△ BAO$,
∴$OB:OA=OC:OB$,即 $OB:4=1:OB$,
∴$OB=2$,
∴点 B 的坐标为$(0,2)$.
设直线 AB 的函数表达式为 $y=mx+n$,
把点 $A(4,0),B(0,2)$ 分别代入表达式,得$\begin{cases}4m+n=0,\\n=2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-\frac{1}{2},\\n=2.\end{cases}$
∴直线 AB 的函数表达式为 $y=-\frac{1}{2}x+2$.
(2)
∵该抛物线的对称轴为直线 $x=-1$,点 A 的坐标为$(4,0)$,
∴抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为$(-6,0)$.
设抛物线的函数表达式为 $y=a(x+6)(x-4)$,
把点 $B(0,2)$代入,得 $a×6×(-4)=2$,
解得 $a=-\frac{1}{12}$.
∴抛物线的函数表达式为 $y=-\frac{1}{12}(x+6)(x-4)$,
即 $y=-\frac{1}{12}x^2-\frac{1}{6}x+2$.
解析
【分析】
要解决这道题，我们分两部分思考：
(1) 求直线AB的表达式：已知A点坐标，需先求B点坐标。B在y轴正半轴，先由对称轴x=-1得C点坐标(-1,0)，得到OC=1、OA=4；再结合∠ABC=90°、BO⊥AC，证明Rt△CBO∽Rt△BAO，利用相似的比例关系求出OB的长度，得到B点坐标后，用待定系数法即可求出直线AB的解析式。
(2) 求抛物线的表达式：已知抛物线对称轴为x=-1，且过x轴上的A(4,0)，先利用对称轴性质求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，设二次函数交点式，代入B点坐标求出系数a，整理后即可得到抛物线解析式。
【解析】
(1) 由抛物线对称轴为直线$x=-1$，可得对称轴与x轴交点C的坐标为$(-1,0)$，因此$OC=1$，已知$A(4,0)$，则$OA=4$。
∵$∠ABC=90°$，$∠BOC=90°$，
∴$∠CBO+∠BCO=90°$，$∠BAO+∠BCO=90°$，
∴$∠CBO=∠BAO$。
又
∵$∠BOC=∠BOA=90°$，
∴$\mathrm{Rt}△ CBO ∽ \mathrm{Rt}△ BAO$，
∴$\frac{OB}{OA}=\frac{OC}{OB}$，即$\frac{OB}{4}=\frac{1}{OB}$，解得$OB=2$（B在y轴正半轴，舍去负解），
∴点B坐标为$(0,2)$。
设直线AB的函数表达式为$y=mx+n$，将$A(4,0)$、$B(0,2)$代入得：
$\begin{cases}4m+n=0\\n=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-\frac{1}{2}\\n=2\end{cases}$
∴直线AB的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x+2$。
(2) 已知抛物线对称轴为直线$x=-1$，且与x轴交于$A(4,0)$，设抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(x,0)$，由对称轴性质得$\frac{x+4}{2}=-1$，解得$x=-6$，即另一个交点为$(-6,0)$。
设抛物线的交点式为$y=a(x+6)(x-4)$，将$B(0,2)$代入得：
$a×6×(-4)=2$，解得$a=-\frac{1}{12}$。
∴抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{12}(x+6)(x-4)$，展开整理得：
$y=-\frac{1}{12}x^2-\frac{1}{6}x+2$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{2}x+2$
(2) $y=-\frac{1}{12}x^2-\frac{1}{6}x+2$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是函数与几何结合的典型题，将几何性质与函数解析式求解相结合，解题核心是先通过相似三角形求出未知点B的坐标，再结合待定系数法和二次函数的对称轴性质求解对应解析式，能较好地考查学生对函数基础知识和几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们分两部分思考：
(1) 求直线AB的表达式：已知A点坐标，需先求B点坐标。B在y轴正半轴，先由对称轴x=-1得C点坐标(-1,0)，得到OC=1、OA=4；再结合∠ABC=90°、BO⊥AC，证明Rt△CBO∽Rt△BAO，利用相似的比例关系求出OB的长度，得到B点坐标后，用待定系数法即可求出直线AB的解析式。
(2) 求抛物线的表达式：已知抛物线对称轴为x=-1，且过x轴上的A(4,0)，先利用对称轴性质求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，设二次函数交点式，代入B点坐标求出系数a，整理后即可得到抛物线解析式。
【解析】
(1) 由抛物线对称轴为直线$x=-1$，可得对称轴与x轴交点C的坐标为$(-1,0)$，因此$OC=1$，已知$A(4,0)$，则$OA=4$。
∵$∠ABC=90°$，$∠BOC=90°$，
∴$∠CBO+∠BCO=90°$，$∠BAO+∠BCO=90°$，
∴$∠CBO=∠BAO$。
又
∵$∠BOC=∠BOA=90°$，
∴$\mathrm{Rt}△ CBO ∽ \mathrm{Rt}△ BAO$，
∴$\frac{OB}{OA}=\frac{OC}{OB}$，即$\frac{OB}{4}=\frac{1}{OB}$，解得$OB=2$（B在y轴正半轴，舍去负解），
∴点B坐标为$(0,2)$。
设直线AB的函数表达式为$y=mx+n$，将$A(4,0)$、$B(0,2)$代入得：
$\begin{cases}4m+n=0\\n=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-\frac{1}{2}\\n=2\end{cases}$
∴直线AB的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x+2$。
(2) 已知抛物线对称轴为直线$x=-1$，且与x轴交于$A(4,0)$，设抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(x,0)$，由对称轴性质得$\frac{x+4}{2}=-1$，解得$x=-6$，即另一个交点为$(-6,0)$。
设抛物线的交点式为$y=a(x+6)(x-4)$，将$B(0,2)$代入得：
$a×6×(-4)=2$，解得$a=-\frac{1}{12}$。
∴抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{12}(x+6)(x-4)$，展开整理得：
$y=-\frac{1}{12}x^2-\frac{1}{6}x+2$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{2}x+2$
(2) $y=-\frac{1}{12}x^2-\frac{1}{6}x+2$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是函数与几何结合的典型题，将几何性质与函数解析式求解相结合，解题核心是先通过相似三角形求出未知点B的坐标，再结合待定系数法和二次函数的对称轴性质求解对应解析式，能较好地考查学生对函数基础知识和几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
