登录
2.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的自变量$x$与函数值$y$的几组对应值如下表：
则下列说法正确的是（
A.顶点坐标为$(0,0)$
B.当$x＞0$时，$y$的值随$x$值的增大而增大
C.图象的对称轴是直线$x=1$
D.图象经过第一、二、三象限
则下列说法正确的是（
C
）A.顶点坐标为$(0,0)$
B.当$x＞0$时，$y$的值随$x$值的增大而增大
C.图象的对称轴是直线$x=1$
D.图象经过第一、二、三象限
答案
2. C
解析
【分析】
解决本题的核心是利用二次函数的对称性先确定对称轴，再结合抛物线的开口方向、增减性、顶点坐标等性质逐一判断选项。首先观察表格中y值相等的两个点，这两个点关于对称轴对称，由此可计算出对称轴，再根据对称轴和已知点的函数值推导抛物线的其他性质，依次判断各选项的正误。
【解析】
1. 求抛物线对称轴：观察表格可知，当$x=-2$和$x=4$时，函数值$y$均为8，说明这两个点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴为直线$x=\frac{-2+4}{2}=1$，故C选项表述正确。
2. 判断A选项：抛物线的顶点在对称轴上，将$x=1$代入得$y=-1$，因此顶点坐标为$(1,-1)$，不是$(0,0)$，A错误。
3. 判断B选项：由$x=0$时$y=0$、$x=1$时$y=-1$、$x=3$时$y=3$，可知抛物线开口向上，因此抛物线在对称轴右侧（$x＞1$）时，$y$随$x$的增大而增大；在$0＜x＜1$区间时，$y$随$x$的增大而减小，故B错误。
4. 判断D选项：抛物线开口向上，顶点$(1,-1)$在第四象限，与y轴交于原点$(0,0)$，且$x＜0$时$y$值均为正（如$x=-2$时$y=8＞0$），因此图象不会经过第三象限，D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的性质；二次函数的图象
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题关键是利用纵坐标相同的对称点快速求出对称轴，再结合抛物线的开口方向、增减性等性质逐一分析选项，是二次函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用二次函数的对称性先确定对称轴，再结合抛物线的开口方向、增减性、顶点坐标等性质逐一判断选项。首先观察表格中y值相等的两个点，这两个点关于对称轴对称，由此可计算出对称轴，再根据对称轴和已知点的函数值推导抛物线的其他性质，依次判断各选项的正误。
【解析】
1. 求抛物线对称轴：观察表格可知，当$x=-2$和$x=4$时，函数值$y$均为8，说明这两个点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴为直线$x=\frac{-2+4}{2}=1$，故C选项表述正确。
2. 判断A选项：抛物线的顶点在对称轴上，将$x=1$代入得$y=-1$，因此顶点坐标为$(1,-1)$，不是$(0,0)$，A错误。
3. 判断B选项：由$x=0$时$y=0$、$x=1$时$y=-1$、$x=3$时$y=3$，可知抛物线开口向上，因此抛物线在对称轴右侧（$x＞1$）时，$y$随$x$的增大而增大；在$0＜x＜1$区间时，$y$随$x$的增大而减小，故B错误。
4. 判断D选项：抛物线开口向上，顶点$(1,-1)$在第四象限，与y轴交于原点$(0,0)$，且$x＜0$时$y$值均为正（如$x=-2$时$y=8＞0$），因此图象不会经过第三象限，D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的性质；二次函数的图象
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题关键是利用纵坐标相同的对称点快速求出对称轴，再结合抛物线的开口方向、增减性等性质逐一分析选项，是二次函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
3.二次函数的图象经过点$(4,-3)$，且当$x=3$时，有最大值$-1$，则该二次函数的表达式为
$y=-2(x-3)^2-1$
.答案
3. $y=-2(x-3)^2-1$
解析
【分析】
已知二次函数当x=3时有最大值-1，说明该二次函数的顶点坐标为(3,-1)，且抛物线开口向下。对于已知顶点坐标的二次函数，设顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标，$a≠0$）求解最为简便，先代入顶点坐标得到含参数$a$的解析式，再将已知经过的点$(4,-3)$代入解析式求出$a$的值，即可得到二次函数的表达式。
【解析】
解：
∵二次函数当$x=3$时，有最大值$-1$，
∴该二次函数的顶点坐标为$(3, -1)$，
∴设二次函数的解析式为$y=a(x-3)^2-1$（$a≠0$），
∵函数图象经过点$(4, -3)$，
∴将$x=4$，$y=-3$代入解析式得：
$-3 = a(4-3)^2 - 1$，
即$-3 = a - 1$，
解得$a = -2$，
∴该二次函数的表达式为$y=-2(x-3)^2-1$。
【答案】
$y=-2(x-3)^2-1$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的顶点式；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，解题的关键是根据函数的最值条件准确得到顶点坐标，选择合适的解析式形式简化计算，是二次函数部分的基础题型。
【难度系数】
0.7
已知二次函数当x=3时有最大值-1，说明该二次函数的顶点坐标为(3,-1)，且抛物线开口向下。对于已知顶点坐标的二次函数，设顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标，$a≠0$）求解最为简便，先代入顶点坐标得到含参数$a$的解析式，再将已知经过的点$(4,-3)$代入解析式求出$a$的值，即可得到二次函数的表达式。
【解析】
解：
∵二次函数当$x=3$时，有最大值$-1$，
∴该二次函数的顶点坐标为$(3, -1)$，
∴设二次函数的解析式为$y=a(x-3)^2-1$（$a≠0$），
∵函数图象经过点$(4, -3)$，
∴将$x=4$，$y=-3$代入解析式得：
$-3 = a(4-3)^2 - 1$，
即$-3 = a - 1$，
解得$a = -2$，
∴该二次函数的表达式为$y=-2(x-3)^2-1$。
【答案】
$y=-2(x-3)^2-1$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的顶点式；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，解题的关键是根据函数的最值条件准确得到顶点坐标，选择合适的解析式形式简化计算，是二次函数部分的基础题型。
【难度系数】
0.7
4. 根据下面的条件，分别求二次函数的表达式.
(1)已知二次函数的图象经过点$(1,-4)$，$(-1,0)$，$(-2,5)$；
(2)已知二次函数的图象的顶点坐标是$(-2,3)$，且过点$(-1,5)$；
(3)已知抛物线与$x$轴交于点$(1,0)$，$(3,0)$，且图象过点$(0,-3)$.
(1)已知二次函数的图象经过点$(1,-4)$，$(-1,0)$，$(-2,5)$；
(2)已知二次函数的图象的顶点坐标是$(-2,3)$，且过点$(-1,5)$；
(3)已知抛物线与$x$轴交于点$(1,0)$，$(3,0)$，且图象过点$(0,-3)$.
答案
4. 解:(1)设二次函数的表达式为 $y=ax^2+bx+c(a≠0)$。
依题意,得$\begin{cases}-4=a+b+c,\\0=a-b+c,\\5=4a-2b+c,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=1,\\b=-2,\\c=-3.\end{cases}$
∴二次函数的表达式为 $y=x^2-2x-3$。
(2)设二次函数的表达式为 $y=a(x+2)^2+3(a≠0)$。
∵二次函数的图象过点$(-1,5)$，
∴$5=a(-1+2)^2+3$,解得 $a=2$，
∴二次函数的表达式为 $y=2(x+2)^2+3$。
(3)设二次函数的表达式为 $y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
将$(1,0),(3,0),(0,-3)$三点代入,得
$\begin{cases}a+b+c=0,\\9a+3b+c=0,\\c=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=4,\\c=-3,\end{cases}$
∴二次函数的表达式为 $y=-x^2+4x-3$。
依题意,得$\begin{cases}-4=a+b+c,\\0=a-b+c,\\5=4a-2b+c,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=1,\\b=-2,\\c=-3.\end{cases}$
∴二次函数的表达式为 $y=x^2-2x-3$。
(2)设二次函数的表达式为 $y=a(x+2)^2+3(a≠0)$。
∵二次函数的图象过点$(-1,5)$，
∴$5=a(-1+2)^2+3$,解得 $a=2$，
∴二次函数的表达式为 $y=2(x+2)^2+3$。
(3)设二次函数的表达式为 $y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
将$(1,0),(3,0),(0,-3)$三点代入,得
$\begin{cases}a+b+c=0,\\9a+3b+c=0,\\c=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=4,\\c=-3,\end{cases}$
∴二次函数的表达式为 $y=-x^2+4x-3$。
解析
【分析】
(1) 已知二次函数图象上3个普通点坐标，无顶点、与x轴交点等特殊点，因此选择设二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，将3个点坐标分别代入得到关于$a、b、c$的三元一次方程组，解方程组求出系数即可得到解析式。
(2) 已知二次函数顶点坐标，优先选择顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$（其中$(h,k)$为顶点坐标），代入顶点坐标后仅需解未知系数$a$，再代入另一个已知点即可求出解析式，比一般式计算更简便。
(3) 已知抛物线与x轴的两个交点，可选择交点式简化计算，也可设一般式代入3个已知点列方程组求解，两种方法均可得到正确结果。
【解析】
(1) 设二次函数的表达式为 $y=ax^2+bx+c(a≠0)$。
依题意，将点$(1,-4)$，$(-1,0)$，$(-2,5)$分别代入，得
$\begin{cases}-4=a+b+c,\\0=a-b+c,\\5=4a-2b+c,\end{cases}$
用消元法解方程组：第一个方程减第二个方程得$b=-2$，将$b=-2$代入后两个式子可解得$a=1,c=-3$。
∴二次函数的表达式为 $y=x^2-2x-3$。
(2) 已知顶点坐标为$(-2,3)$，设二次函数的表达式为 $y=a(x+2)^2+3(a≠0)$。
∵二次函数的图象过点$(-1,5)$，代入得$5=a(-1+2)^2+3$，解得 $a=2$，
∴二次函数的表达式为 $y=2(x+2)^2+3$。
(3) 设二次函数的表达式为 $y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
将$(1,0),(3,0),(0,-3)$三点代入，得
$\begin{cases}a+b+c=0,\\9a+3b+c=0,\\c=-3,\end{cases}$
将$c=-3$代入前两个方程，化简求解得$a=-1,b=4$。
∴二次函数的表达式为 $y=-x^2+4x-3$。
【答案】
(1) $y=x^2-2x-3$
(2) $y=2(x+2)^2+3$（或展开为$y=2x^2+8x+11$）
(3) $y=-x^2+4x-3$
【知识点】
待定系数法；二次函数的三种形式；三元一次方程组求解
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心是根据已知条件选择最简便的解析式形式，可有效减少计算量、降低出错概率，是二次函数相关内容的基础，需熟练掌握不同表达式的适用场景。
【难度系数】
0.8
(1) 已知二次函数图象上3个普通点坐标，无顶点、与x轴交点等特殊点，因此选择设二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，将3个点坐标分别代入得到关于$a、b、c$的三元一次方程组，解方程组求出系数即可得到解析式。
(2) 已知二次函数顶点坐标，优先选择顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$（其中$(h,k)$为顶点坐标），代入顶点坐标后仅需解未知系数$a$，再代入另一个已知点即可求出解析式，比一般式计算更简便。
(3) 已知抛物线与x轴的两个交点，可选择交点式简化计算，也可设一般式代入3个已知点列方程组求解，两种方法均可得到正确结果。
【解析】
(1) 设二次函数的表达式为 $y=ax^2+bx+c(a≠0)$。
依题意，将点$(1,-4)$，$(-1,0)$，$(-2,5)$分别代入，得
$\begin{cases}-4=a+b+c,\\0=a-b+c,\\5=4a-2b+c,\end{cases}$
用消元法解方程组：第一个方程减第二个方程得$b=-2$，将$b=-2$代入后两个式子可解得$a=1,c=-3$。
∴二次函数的表达式为 $y=x^2-2x-3$。
(2) 已知顶点坐标为$(-2,3)$，设二次函数的表达式为 $y=a(x+2)^2+3(a≠0)$。
∵二次函数的图象过点$(-1,5)$，代入得$5=a(-1+2)^2+3$，解得 $a=2$，
∴二次函数的表达式为 $y=2(x+2)^2+3$。
(3) 设二次函数的表达式为 $y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
将$(1,0),(3,0),(0,-3)$三点代入，得
$\begin{cases}a+b+c=0,\\9a+3b+c=0,\\c=-3,\end{cases}$
将$c=-3$代入前两个方程，化简求解得$a=-1,b=4$。
∴二次函数的表达式为 $y=-x^2+4x-3$。
【答案】
(1) $y=x^2-2x-3$
(2) $y=2(x+2)^2+3$（或展开为$y=2x^2+8x+11$）
(3) $y=-x^2+4x-3$
【知识点】
待定系数法；二次函数的三种形式；三元一次方程组求解
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心是根据已知条件选择最简便的解析式形式，可有效减少计算量、降低出错概率，是二次函数相关内容的基础，需熟练掌握不同表达式的适用场景。
【难度系数】
0.8
5. 如图，在“探索函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的系数 $ a, b, c $ 与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的四个点：$ A(0,2), B(1,0), C(3,1), D(2,3) $。同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中 $ a $ 的值最大为（
A.$\frac{5}{2}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{5}{6}$
D.$\frac{1}{2}$
A
）A.$\frac{5}{2}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{5}{6}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
5. A
解析
【分析】
首先，四个点中任选三个点共有4种不同的组合，每组不共线的三个点可以确定唯一的二次函数解析式。我们可以用待定系数法，分别求出每组三点对应的二次函数的二次项系数$a$，再比较所有$a$的大小，即可得到最大值。由于点A的横坐标为0，代入解析式可直接得到$c$的值，能简化包含A点的组合的计算过程。
【解析】
四个点选三个共有4种组合，分别计算每组对应的$a$值：
1. 选$A(0,2)$、$B(1,0)$、$C(3,1)$三点：
代入$y=ax^2+bx+c$得：
$\begin{cases}c=2\\a+b+c=0\\9a+3b+c=1\end{cases}$
将$c=2$代入后两个方程，得$\begin{cases}a+b=-2\\9a+3b=-1\end{cases}$，解得$a=\frac{5}{6}$。
2. 选$A(0,2)$、$B(1,0)$、$D(2,3)$三点：
代入得：
$\begin{cases}c=2\\a+b+c=0\\4a+2b+c=3\end{cases}$
将$c=2$代入后两个方程，得$\begin{cases}a+b=-2\\4a+2b=1\end{cases}$，解得$a=\frac{5}{2}$。
3. 选$A(0,2)$、$C(3,1)$、$D(2,3)$三点：
代入得：
$\begin{cases}c=2\\9a+3b+c=1\\4a+2b+c=3\end{cases}$
解得$a=-\frac{5}{6}$。
4. 选$B(1,0)$、$C(3,1)$、$D(2,3)$三点：
代入得：
$\begin{cases}a+b+c=0\\9a+3b+c=1\\4a+2b+c=3\end{cases}$
解得$a=-\frac{5}{2}$。
比较所有$a$值：$\frac{5}{2}＞\frac{5}{6}＞-\frac{5}{6}＞-\frac{5}{2}$，故$a$的最大值为$\frac{5}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，分类讨论思想，有理数大小比较
【点评】
本题需要先枚举出所有三点组合，再通过待定系数法逐一计算二次项系数$a$，解题时要注意计算的准确性，避免因漏算组合或计算错误失分。
【难度系数】
0.6
首先，四个点中任选三个点共有4种不同的组合，每组不共线的三个点可以确定唯一的二次函数解析式。我们可以用待定系数法，分别求出每组三点对应的二次函数的二次项系数$a$，再比较所有$a$的大小，即可得到最大值。由于点A的横坐标为0，代入解析式可直接得到$c$的值，能简化包含A点的组合的计算过程。
【解析】
四个点选三个共有4种组合，分别计算每组对应的$a$值：
1. 选$A(0,2)$、$B(1,0)$、$C(3,1)$三点：
代入$y=ax^2+bx+c$得：
$\begin{cases}c=2\\a+b+c=0\\9a+3b+c=1\end{cases}$
将$c=2$代入后两个方程，得$\begin{cases}a+b=-2\\9a+3b=-1\end{cases}$，解得$a=\frac{5}{6}$。
2. 选$A(0,2)$、$B(1,0)$、$D(2,3)$三点：
代入得：
$\begin{cases}c=2\\a+b+c=0\\4a+2b+c=3\end{cases}$
将$c=2$代入后两个方程，得$\begin{cases}a+b=-2\\4a+2b=1\end{cases}$，解得$a=\frac{5}{2}$。
3. 选$A(0,2)$、$C(3,1)$、$D(2,3)$三点：
代入得：
$\begin{cases}c=2\\9a+3b+c=1\\4a+2b+c=3\end{cases}$
解得$a=-\frac{5}{6}$。
4. 选$B(1,0)$、$C(3,1)$、$D(2,3)$三点：
代入得：
$\begin{cases}a+b+c=0\\9a+3b+c=1\\4a+2b+c=3\end{cases}$
解得$a=-\frac{5}{2}$。
比较所有$a$值：$\frac{5}{2}＞\frac{5}{6}＞-\frac{5}{6}＞-\frac{5}{2}$，故$a$的最大值为$\frac{5}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，分类讨论思想，有理数大小比较
【点评】
本题需要先枚举出所有三点组合，再通过待定系数法逐一计算二次项系数$a$，解题时要注意计算的准确性，避免因漏算组合或计算错误失分。
【难度系数】
0.6
6. (2025湛江期末)如图,已知抛物线$y=x^2 - mx +n$经过点A与B(2,0),与y轴交于点C(0,-2).点D在抛物线上,且与点C关于对称轴l对称.
(1)求该抛物线的函数表达式和对称轴;
(2)求$△ BCD$的面积.
(1)求该抛物线的函数表达式和对称轴;
(2)求$△ BCD$的面积.
答案
解:(1)
∵抛物线 $y=x^2-mx+n$ 过点 $B(2,0).C(0,-2)$。
∴将$(2,0),(0,-2)$代入,得$\begin{cases}0=4-2m+n,\\n=-2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=1,\\n=-2,\end{cases}$
则该抛物线的函数表达式为 $y=x^2-x-2$，
$\therefore -\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2×1}=\frac{1}{2}$，
即抛物线的对称轴 $l$ 为直线 $x=\frac{1}{2}$。
(2)
∵点 $D$ 与点 $C$ 关于对称轴 $l$ 对称,点 $C(0,-2)$，
∴点 $D$ 的坐标为 $(1,-2)$，
∴$CD=1$,且 $CD// x$ 轴。
$\therefore S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×1×2=1$。
∵抛物线 $y=x^2-mx+n$ 过点 $B(2,0).C(0,-2)$。
∴将$(2,0),(0,-2)$代入,得$\begin{cases}0=4-2m+n,\\n=-2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=1,\\n=-2,\end{cases}$
则该抛物线的函数表达式为 $y=x^2-x-2$，
$\therefore -\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2×1}=\frac{1}{2}$，
即抛物线的对称轴 $l$ 为直线 $x=\frac{1}{2}$。
(2)
∵点 $D$ 与点 $C$ 关于对称轴 $l$ 对称,点 $C(0,-2)$，
∴点 $D$ 的坐标为 $(1,-2)$，
∴$CD=1$,且 $CD// x$ 轴。
$\therefore S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×1×2=1$。
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线经过B、C两个定点，可将两点坐标代入二次函数一般式，得到关于m、n的方程组，求解即可得到解析式；再利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$即可求出对称轴。
(2) 求$△ BCD$的面积时，先根据点D与C关于对称轴对称，结合C点坐标和对称轴求出D点坐标，可得CD平行于x轴，算出CD的长度，再求出点B到CD的垂直距离作为高，代入三角形面积公式即可计算结果。
【解析】
(1) 将$B(2,0)$、$C(0,-2)$代入$y=x^2 - mx +n$，得：
$\begin{cases}0=4-2m+n\\n=-2\end{cases}$
把$n=-2$代入$0=4-2m+n$，解得$m=1$，
因此抛物线的函数表达式为$y=x^2 -x -2$。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，此处$a=1,b=-1$，代入得：
$x=-\frac{-1}{2×1}=\frac{1}{2}$，即对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$。
(2)
∵点D与$C(0,-2)$关于对称轴$x=\frac{1}{2}$对称，
∴D点纵坐标为-2，横坐标满足$\frac{0+x_D}{2}=\frac{1}{2}$，解得$x_D=1$，即$D(1,-2)$。
∴$CD=1-0=1$，且$CD// x$轴，点B到直线CD的垂直距离为$0-(-2)=2$。
根据三角形面积公式：$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× CD × 高=\frac{1}{2}×1×2=1$。
【答案】
(1) 抛物线的函数表达式为$\boldsymbol{y=x^2 -x -2}$，对称轴为直线$\boldsymbol{x=\frac{1}{2}}$；
(2) $△ BCD$的面积为$\boldsymbol{1}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性；三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础常考题，侧重考查对二次函数基础性质的掌握，解题核心是熟练运用待定系数法求解析式，结合对称性求对应点坐标，准确找到三角形的底和高计算面积。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线经过B、C两个定点，可将两点坐标代入二次函数一般式，得到关于m、n的方程组，求解即可得到解析式；再利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$即可求出对称轴。
(2) 求$△ BCD$的面积时，先根据点D与C关于对称轴对称，结合C点坐标和对称轴求出D点坐标，可得CD平行于x轴，算出CD的长度，再求出点B到CD的垂直距离作为高，代入三角形面积公式即可计算结果。
【解析】
(1) 将$B(2,0)$、$C(0,-2)$代入$y=x^2 - mx +n$，得：
$\begin{cases}0=4-2m+n\\n=-2\end{cases}$
把$n=-2$代入$0=4-2m+n$，解得$m=1$，
因此抛物线的函数表达式为$y=x^2 -x -2$。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，此处$a=1,b=-1$，代入得：
$x=-\frac{-1}{2×1}=\frac{1}{2}$，即对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$。
(2)
∵点D与$C(0,-2)$关于对称轴$x=\frac{1}{2}$对称，
∴D点纵坐标为-2，横坐标满足$\frac{0+x_D}{2}=\frac{1}{2}$，解得$x_D=1$，即$D(1,-2)$。
∴$CD=1-0=1$，且$CD// x$轴，点B到直线CD的垂直距离为$0-(-2)=2$。
根据三角形面积公式：$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× CD × 高=\frac{1}{2}×1×2=1$。
【答案】
(1) 抛物线的函数表达式为$\boldsymbol{y=x^2 -x -2}$，对称轴为直线$\boldsymbol{x=\frac{1}{2}}$；
(2) $△ BCD$的面积为$\boldsymbol{1}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性；三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础常考题，侧重考查对二次函数基础性质的掌握，解题核心是熟练运用待定系数法求解析式，结合对称性求对应点坐标，准确找到三角形的底和高计算面积。
【难度系数】
0.7
