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1. 两直角边长分别为1和3的直角三角形的斜边长是(
A.整数
B.分数
C.有限小数
D.无限不循环小数
D
)。A.整数
B.分数
C.有限小数
D.无限不循环小数
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先结合直角三角形的边长条件，想到用勾股定理计算斜边的长度表达式，再根据实数的分类判断该长度对应的数的类型，最后匹配选项即可。第一步：回忆勾股定理内容，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，代入两直角边的长度求出斜边平方；第二步：根据斜边为正数，写出斜边的具体表达式；第三步：判断该表达式对应的数是有理数还是无理数，对应选项选出答案。
【解析】
根据勾股定理，设斜边长为$ c $，可得：
$ c^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 $
因为三角形边长为正数，所以$ c = \sqrt{10} $。
由于10不是完全平方数，$ \sqrt{10} $是开方开不尽的数，属于无理数，即无限不循环小数。
对比选项：A整数、B分数、C有限小数都属于有理数，不符合要求；D无限不循环小数符合$ \sqrt{10} $的性质。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；无理数的概念；实数的分类
【点评】
本题是基础概念结合型题目，将几何的勾股定理和代数的实数分类知识结合考查，解题的关键是正确求出斜边的表达式并准确判断数的类型，掌握相关基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合直角三角形的边长条件，想到用勾股定理计算斜边的长度表达式，再根据实数的分类判断该长度对应的数的类型，最后匹配选项即可。第一步：回忆勾股定理内容，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，代入两直角边的长度求出斜边平方；第二步：根据斜边为正数，写出斜边的具体表达式；第三步：判断该表达式对应的数是有理数还是无理数，对应选项选出答案。
【解析】
根据勾股定理，设斜边长为$ c $，可得：
$ c^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 $
因为三角形边长为正数，所以$ c = \sqrt{10} $。
由于10不是完全平方数，$ \sqrt{10} $是开方开不尽的数，属于无理数，即无限不循环小数。
对比选项：A整数、B分数、C有限小数都属于有理数，不符合要求；D无限不循环小数符合$ \sqrt{10} $的性质。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；无理数的概念；实数的分类
【点评】
本题是基础概念结合型题目，将几何的勾股定理和代数的实数分类知识结合考查，解题的关键是正确求出斜边的表达式并准确判断数的类型，掌握相关基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
2. 体积是9的正方体的棱长是（
A.整数
B.分数
C.有限小数
D.无限不循环小数
D
）。A.整数
B.分数
C.有限小数
D.无限不循环小数
答案
2. D
解析
【分析】
解题时首先回忆正方体体积和棱长的关系：正方体体积等于棱长的立方，因此已知体积求棱长本质是求体积的立方根；接下来依次判断该立方根所属的数的类型即可：先找相邻整数的立方对比判断是否为整数；再根据有理数的性质，分数、有限小数都属于有理数，有理数的立方仍为有理数，且分数的立方仍是分数，不可能等于整数9，因此可排除前三个选项，最终确定该数为无限不循环小数。
【解析】
解：设正方体的棱长为$a$，根据正方体体积公式$V=a^3$，已知体积$V=9$，可得：
$a^3=9$，即$a=\sqrt[3]{9}$。
1. 排除A选项：因为$2^3=8$，$3^3=27$，$8＜9＜27$，所以$2＜\sqrt[3]{9}＜3$，可知$\sqrt[3]{9}$不是整数；
2. 排除B、C选项：分数和有限小数都属于有理数，最简分数的立方仍然是分数，不可能等于整数9，因此$\sqrt[3]{9}$既不是分数也不是有限小数；
3. $\sqrt[3]{9}$是开立方开不尽的数，属于无理数，而无理数就是无限不循环小数，因此D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
正方体体积计算；立方根的定义；实数的分类
【点评】
本题结合几何体积公式考查实数的相关概念，解题核心是明确开方开不尽的数属于无理数，要注意区分有理数和无理数的范畴，避免混淆分数与无理数的定义。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆正方体体积和棱长的关系：正方体体积等于棱长的立方，因此已知体积求棱长本质是求体积的立方根；接下来依次判断该立方根所属的数的类型即可：先找相邻整数的立方对比判断是否为整数；再根据有理数的性质，分数、有限小数都属于有理数，有理数的立方仍为有理数，且分数的立方仍是分数，不可能等于整数9，因此可排除前三个选项，最终确定该数为无限不循环小数。
【解析】
解：设正方体的棱长为$a$，根据正方体体积公式$V=a^3$，已知体积$V=9$，可得：
$a^3=9$，即$a=\sqrt[3]{9}$。
1. 排除A选项：因为$2^3=8$，$3^3=27$，$8＜9＜27$，所以$2＜\sqrt[3]{9}＜3$，可知$\sqrt[3]{9}$不是整数；
2. 排除B、C选项：分数和有限小数都属于有理数，最简分数的立方仍然是分数，不可能等于整数9，因此$\sqrt[3]{9}$既不是分数也不是有限小数；
3. $\sqrt[3]{9}$是开立方开不尽的数，属于无理数，而无理数就是无限不循环小数，因此D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
正方体体积计算；立方根的定义；实数的分类
【点评】
本题结合几何体积公式考查实数的相关概念，解题核心是明确开方开不尽的数属于无理数，要注意区分有理数和无理数的范畴，避免混淆分数与无理数的定义。
【难度系数】
0.7
3. 一个正方形的边长为有理数，该正方形的面积可能是(
A.8
B.10
C.14
D.16
D
)。A.8
B.10
C.14
D.16
答案
3. D
解析
【分析】
要解这道题，首先回忆正方形的面积公式：正方形面积等于边长的平方，即$S=a^2$。题目已知边长$a$是有理数，根据有理数的运算性质，两个有理数相乘的结果仍是有理数，因此面积$S$一定是某个有理数的平方。接下来只需逐个判断四个选项的算术平方根是否为有理数，就能选出正确答案。
【解析】
设该正方形的边长为$a$（$a$为有理数），根据正方形面积公式可得：面积$S=a^2$。
因为有理数的平方仍为有理数，因此$S$的算术平方根$\sqrt{S}=a$必须是有理数。
对各选项逐一分析：
选项A：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，是无理数，不符合要求；
选项B：$\sqrt{10}$是无理数，不符合要求；
选项C：$\sqrt{14}$是无理数，不符合要求；
选项D：$\sqrt{16}=4$，4是有理数，符合要求。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
正方形面积计算；有理数的性质；算术平方根
【点评】
本题是基础概念结合的应用题，解题核心是抓住“边长为有理数”这一条件，推导得出面积的算术平方根必须是有理数，再逐一验证选项即可，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.9
要解这道题，首先回忆正方形的面积公式：正方形面积等于边长的平方，即$S=a^2$。题目已知边长$a$是有理数，根据有理数的运算性质，两个有理数相乘的结果仍是有理数，因此面积$S$一定是某个有理数的平方。接下来只需逐个判断四个选项的算术平方根是否为有理数，就能选出正确答案。
【解析】
设该正方形的边长为$a$（$a$为有理数），根据正方形面积公式可得：面积$S=a^2$。
因为有理数的平方仍为有理数，因此$S$的算术平方根$\sqrt{S}=a$必须是有理数。
对各选项逐一分析：
选项A：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，是无理数，不符合要求；
选项B：$\sqrt{10}$是无理数，不符合要求；
选项C：$\sqrt{14}$是无理数，不符合要求；
选项D：$\sqrt{16}=4$，4是有理数，符合要求。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
正方形面积计算；有理数的性质；算术平方根
【点评】
本题是基础概念结合的应用题，解题核心是抓住“边长为有理数”这一条件，推导得出面积的算术平方根必须是有理数，再逐一验证选项即可，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.9
4. 如图2-1-1，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，每条线段的端点都在格点上，则长度不是有理数的线段的编号是
①②③④
。答案
4. ①②③④
解析
【分析】
要判断线段长度是否为有理数，可借助勾股定理计算每条线段的长度：将每条线段看作直角三角形的斜边，数出对应直角边的格数（即横向、纵向相差的长度），计算得到斜边长度后，判断其是否为有理数，依次对每条线段计算验证即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理分别计算各线段的长度：
①号线段：直角边长度分别为1、1，长度为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，不是有理数；
②号线段：直角边长度分别为1、2，长度为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，不是有理数；
③号线段：直角边长度分别为1、3，长度为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，不是有理数；
④号线段：直角边长度分别为2、2，长度为$\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，不是有理数；
⑤号线段：直角边长度分别为3、4，长度为$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$，是有理数。
因此长度不是有理数的线段编号为①②③④。
【答案】
①②③④
【知识点】
勾股定理；有理数的概念；网格线段计算
【点评】
本题结合网格考查勾股定理和有理数的判定，解题时注意准确数出每条线段对应的直角边格数，逐一计算即可，属于基础类题型，解题易错点为格数计数错误。
【难度系数】
0.8
要判断线段长度是否为有理数，可借助勾股定理计算每条线段的长度：将每条线段看作直角三角形的斜边，数出对应直角边的格数（即横向、纵向相差的长度），计算得到斜边长度后，判断其是否为有理数，依次对每条线段计算验证即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理分别计算各线段的长度：
①号线段：直角边长度分别为1、1，长度为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，不是有理数；
②号线段：直角边长度分别为1、2，长度为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，不是有理数；
③号线段：直角边长度分别为1、3，长度为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，不是有理数；
④号线段：直角边长度分别为2、2，长度为$\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，不是有理数；
⑤号线段：直角边长度分别为3、4，长度为$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$，是有理数。
因此长度不是有理数的线段编号为①②③④。
【答案】
①②③④
【知识点】
勾股定理；有理数的概念；网格线段计算
【点评】
本题结合网格考查勾股定理和有理数的判定，解题时注意准确数出每条线段对应的直角边格数，逐一计算即可，属于基础类题型，解题易错点为格数计数错误。
【难度系数】
0.8
5. 根据下列条件判断是不是有理数。（填“是”或“不是”）
（1）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AB = 5$，$AC = 3$，则直角边$BC$的长度
（2）在长方形$ABCD$中，$AB = 5$，$AD = 2$，则对角线$AC$的长度
（3）正方形$ABCD$的面积为$8$，则边长$AB$的长度
（1）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AB = 5$，$AC = 3$，则直角边$BC$的长度
是
有理数；（2）在长方形$ABCD$中，$AB = 5$，$AD = 2$，则对角线$AC$的长度
不是
有理数；（3）正方形$ABCD$的面积为$8$，则边长$AB$的长度
不是
有理数。答案
5. (1) 是 (2) 不是 (3) 不是
解析
【分析】
要判断边长是不是有理数，首先明确有理数是整数和分数的统称，无限不循环小数属于无理数。解题时先结合对应几何图形的性质，运用勾股定理求出未知边的长度，再根据有理数的定义判断即可。
【解析】
（1）在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$
4是整数，属于有理数，因此BC的长度是有理数。
（2）长方形中$∠ B=90°$，$BC=AD=2$，对角线AC与AB、BC构成直角三角形，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}$
$\sqrt{29}$是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数，因此AC的长度不是有理数。
（3）正方形的面积等于边长的平方，因此$AB^2=8$，可得：
$AB=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
$\sqrt{2}$是无理数，因此$2\sqrt{2}$也是无理数，因此AB的长度不是有理数。
【答案】
(1) 是 (2) 不是 (3) 不是
【知识点】
1. 勾股定理 2. 有理数的定义 3. 无理数的识别
【点评】
本题结合常见几何图形的性质，考查勾股定理的应用和有理数、无理数的区分，解题核心是准确计算对应边长，再根据定义判断，掌握基础概念和勾股定理就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
要判断边长是不是有理数，首先明确有理数是整数和分数的统称，无限不循环小数属于无理数。解题时先结合对应几何图形的性质，运用勾股定理求出未知边的长度，再根据有理数的定义判断即可。
【解析】
（1）在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$
4是整数，属于有理数，因此BC的长度是有理数。
（2）长方形中$∠ B=90°$，$BC=AD=2$，对角线AC与AB、BC构成直角三角形，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}$
$\sqrt{29}$是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数，因此AC的长度不是有理数。
（3）正方形的面积等于边长的平方，因此$AB^2=8$，可得：
$AB=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
$\sqrt{2}$是无理数，因此$2\sqrt{2}$也是无理数，因此AB的长度不是有理数。
【答案】
(1) 是 (2) 不是 (3) 不是
【知识点】
1. 勾股定理 2. 有理数的定义 3. 无理数的识别
【点评】
本题结合常见几何图形的性质，考查勾股定理的应用和有理数、无理数的区分，解题核心是准确计算对应边长，再根据定义判断，掌握基础概念和勾股定理就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
6. 把下列各数分别填入相应的集合中：
-(-3), $\frac{1}{3}$, 0, -0.99, 1.31, 5, -$\frac{2}{5}$。
(1)整数集合：{
(2)非正数集合：{
(3)正有理数集合：{
-(-3), $\frac{1}{3}$, 0, -0.99, 1.31, 5, -$\frac{2}{5}$。
(1)整数集合：{
-(-3),0,5
…}；(2)非正数集合：{
0,-0.99,$-\frac{2}{5}$
…}；(3)正有理数集合：{
-(-3),$\frac{1}{3}$,1.31,5
…}。答案
6. 解:(1)整数集合:$\{-(-3),0,5,\dots\}$；
(2)非正数集合:$\{0,-0.99,-\frac{2}{5},\dots\}$；
(3)正有理数集合:$\{-(-3),\frac{1}{3},1.31,5,\dots\}$。
(2)非正数集合:$\{0,-0.99,-\frac{2}{5},\dots\}$；
(3)正有理数集合:$\{-(-3),\frac{1}{3},1.31,5,\dots\}$。
解析
【分析】
解题第一步先化简多重符号的数：$-(-3)=3$，再明确各集合的定义：①整数包含正整数、0、负整数；②非正数是指小于或等于0的数，包含0和所有负数；③正有理数是指大于0的有理数，包含正整数、正分数（正有限小数也属于正分数）。接下来将给出的7个数逐个对照定义归类，注意不要重复或遗漏，尤其要明确0的归属，0既不是正数也不是负数。
【解析】
首先化简得：$-(-3)=3$。
(1) 整数是正整数、0、负整数的统称，题中符合要求的数为$-(-3)$、$0$、$5$，填入整数集合。
(2) 非正数包含0和所有负数，题中符合要求的数为$0$、$-0.99$、$-\frac{2}{5}$，填入非正数集合。
(3) 正有理数包含正整数和正分数，题中符合要求的数为$-(-3)$、$\frac{1}{3}$、$1.31$、$5$，填入正有理数集合。
【答案】
(1)整数集合:$\{-(-3),0,5,\dots\}$；
(2)非正数集合:$\{0,-0.99,-\frac{2}{5},\dots\}$；
(3)正有理数集合:$\{-(-3),\frac{1}{3},1.31,5,\dots\}$
【知识点】
有理数的分类，整数的概念，非正数的定义
【点评】
本题是有理数分类的基础题型，解题关键是先对多重符号的数化简，再准确掌握各类数的定义，尤其要注意0的属性，避免归类时出现漏填、错填的问题。
【难度系数】
0.85
解题第一步先化简多重符号的数：$-(-3)=3$，再明确各集合的定义：①整数包含正整数、0、负整数；②非正数是指小于或等于0的数，包含0和所有负数；③正有理数是指大于0的有理数，包含正整数、正分数（正有限小数也属于正分数）。接下来将给出的7个数逐个对照定义归类，注意不要重复或遗漏，尤其要明确0的归属，0既不是正数也不是负数。
【解析】
首先化简得：$-(-3)=3$。
(1) 整数是正整数、0、负整数的统称，题中符合要求的数为$-(-3)$、$0$、$5$，填入整数集合。
(2) 非正数包含0和所有负数，题中符合要求的数为$0$、$-0.99$、$-\frac{2}{5}$，填入非正数集合。
(3) 正有理数包含正整数和正分数，题中符合要求的数为$-(-3)$、$\frac{1}{3}$、$1.31$、$5$，填入正有理数集合。
【答案】
(1)整数集合:$\{-(-3),0,5,\dots\}$；
(2)非正数集合:$\{0,-0.99,-\frac{2}{5},\dots\}$；
(3)正有理数集合:$\{-(-3),\frac{1}{3},1.31,5,\dots\}$
【知识点】
有理数的分类，整数的概念，非正数的定义
【点评】
本题是有理数分类的基础题型，解题关键是先对多重符号的数化简，再准确掌握各类数的定义，尤其要注意0的属性，避免归类时出现漏填、错填的问题。
【难度系数】
0.85
7.【综合与实践】如图2-1-2，把两个面积均为18 cm²的小正方形纸片分别沿对角线裁剪后拼成一个大的正方形纸片。
(1)大正方形纸片的面积为
(2)大正方形纸片的边长是不是有理数？试说明理由。
(1)大正方形纸片的面积为
36
cm²。(2)大正方形纸片的边长是不是有理数？试说明理由。
答案
7. (1) 36
(2) 解:大正方形纸片的边长是有理数,理由如下:
因为 $6^2=36$，
所以大正方形纸片的边长是6 cm。
因为6是整数，
所以大正方形纸片的边长是有理数。
(2) 解:大正方形纸片的边长是有理数,理由如下:
因为 $6^2=36$，
所以大正方形纸片的边长是6 cm。
因为6是整数，
所以大正方形纸片的边长是有理数。
解析
【分析】
第(1)问：图形裁剪拼接过程中总面积不发生损耗，大正方形由两个小正方形拼接得到，因此大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和，直接求和计算即可。
第(2)问：要判断边长是否为有理数，首先根据正方形面积与边长的关系（正方形面积=边长²），由大正方形面积求出边长，再结合有理数的定义（整数和分数统称有理数），判断求得的边长是否属于有理数即可。
【解析】
(1) 拼接前后总面积不变，已知每个小正方形面积为18 cm²，因此大正方形面积为：18+18=36 cm²。
(2) 大正方形纸片的边长是有理数，理由如下：
设大正方形边长为$a$（$a＞0$），根据正方形面积公式可得$a^2=36$，
因为$6^2=36$，且正方形边长为正数，因此$a=6$ cm，
又因为整数属于有理数，6是整数，因此大正方形纸片的边长是有理数。
【答案】
(1) $\boxed{36}$
(2) 大正方形纸片的边长是有理数，理由如下：因为 $6^2=36$，所以大正方形纸片的边长是6 cm，因为6是整数，所以大正方形纸片的边长是有理数。
【知识点】
拼接面积计算、算术平方根、有理数的概念
【点评】
本题结合图形拼接场景考查基础概念的应用，解题关键是抓住拼接前后总面积不变的规律，再结合正方形面积公式、有理数的定义逐步推导即可，考查内容较为基础。
【难度系数】
0.85
第(1)问：图形裁剪拼接过程中总面积不发生损耗，大正方形由两个小正方形拼接得到，因此大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和，直接求和计算即可。
第(2)问：要判断边长是否为有理数，首先根据正方形面积与边长的关系（正方形面积=边长²），由大正方形面积求出边长，再结合有理数的定义（整数和分数统称有理数），判断求得的边长是否属于有理数即可。
【解析】
(1) 拼接前后总面积不变，已知每个小正方形面积为18 cm²，因此大正方形面积为：18+18=36 cm²。
(2) 大正方形纸片的边长是有理数，理由如下：
设大正方形边长为$a$（$a＞0$），根据正方形面积公式可得$a^2=36$，
因为$6^2=36$，且正方形边长为正数，因此$a=6$ cm，
又因为整数属于有理数，6是整数，因此大正方形纸片的边长是有理数。
【答案】
(1) $\boxed{36}$
(2) 大正方形纸片的边长是有理数，理由如下：因为 $6^2=36$，所以大正方形纸片的边长是6 cm，因为6是整数，所以大正方形纸片的边长是有理数。
【知识点】
拼接面积计算、算术平方根、有理数的概念
【点评】
本题结合图形拼接场景考查基础概念的应用，解题关键是抓住拼接前后总面积不变的规律，再结合正方形面积公式、有理数的定义逐步推导即可，考查内容较为基础。
【难度系数】
0.85
