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1.「2026北京一零一中学期末」下列运用等式的性质正确的是 (
A.如果 $a=b$,那么 $a+c=b-c$
B.如果 $a=b$,那么 $\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c}$
C.如果 $a+b=2b$,那么 $a=b$
D.如果 $a=3$,那么 $a^2=3a^2$
C
)A.如果 $a=b$,那么 $a+c=b-c$
B.如果 $a=b$,那么 $\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c}$
C.如果 $a+b=2b$,那么 $a=b$
D.如果 $a=3$,那么 $a^2=3a^2$
答案
A.根据 $a=b$ 不能得到 $a+c=b-c$;B.当 $c=0$ 时,$\frac{a}{c}$,$\frac{b}{c}$无意义;C.如果 $a+b=2b$,那么在等式两边同时减去$b$,得到 $a=b$;D.当 $a=3$ 时,$a^2=9$,$3a^2=3×3^2=27$,$9≠27$,即 $a^2≠3a^2$.故选 C.
解析
【分析】
本题考查等式性质的应用，解题时首先要明确等式的两个基本性质：①等式两边加或减同一个数（或整式），等式仍然成立；②等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来逐个验证选项的变形是否符合等式性质，同时注意除数不能为0的隐含限制，最终选出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 若$a=b$，根据等式性质1，两边同时加$c$应得到$a+c=b+c$，无法推出$a+c=b-c$，故A错误；
B. 若$a=b$，根据等式性质2，两边同时除以$c$时必须满足$c≠0$，当$c=0$时，$\frac{a}{c}$和$\frac{b}{c}$无意义，故B错误；
C. 若$a+b=2b$，根据等式性质1，等式两边同时减去$b$，可得$a+b-b=2b-b$，化简得$a=b$，变形正确，故C正确；
D. 当$a=3$时，左边$a^2=3^2=9$，右边$3a^2=3×3^2=27$，显然$9≠27$，即$a^2≠3a^2$，故D错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质、代数式求值、除数不为0
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对等式性质的理解与应用，易错点是分析B选项时忽略除数不能为0的限制条件，牢记等式性质的适用规则即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
本题考查等式性质的应用，解题时首先要明确等式的两个基本性质：①等式两边加或减同一个数（或整式），等式仍然成立；②等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来逐个验证选项的变形是否符合等式性质，同时注意除数不能为0的隐含限制，最终选出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 若$a=b$，根据等式性质1，两边同时加$c$应得到$a+c=b+c$，无法推出$a+c=b-c$，故A错误；
B. 若$a=b$，根据等式性质2，两边同时除以$c$时必须满足$c≠0$，当$c=0$时，$\frac{a}{c}$和$\frac{b}{c}$无意义，故B错误；
C. 若$a+b=2b$，根据等式性质1，等式两边同时减去$b$，可得$a+b-b=2b-b$，化简得$a=b$，变形正确，故C正确；
D. 当$a=3$时，左边$a^2=3^2=9$，右边$3a^2=3×3^2=27$，显然$9≠27$，即$a^2≠3a^2$，故D错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质、代数式求值、除数不为0
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对等式性质的理解与应用，易错点是分析B选项时忽略除数不能为0的限制条件，牢记等式性质的适用规则即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
2. 学科特色 整体思想 设“○”“□”表示两种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，则第2次天平右端的砝码质量为
45
g.答案
答案 45
解析 第一次称量:2个○+1个□=15 g,第二次称量:6个○+3个□,所以右端的砝码质量为 15×3=45(g).
解析 第一次称量:2个○+1个□=15 g,第二次称量:6个○+3个□,所以右端的砝码质量为 15×3=45(g).
解析
【分析】
解题时首先根据天平平衡时左右两端质量相等，从第一次称量结果得到2个○和1个□的总质量为15g；再观察第二次天平左端的物体，发现6个○和3个□刚好是3组“2个○+1个□”，因此可以利用整体代入的思想，直接用第一次的总质量乘3就能得到第二次左端的总质量，也就是右端砝码的质量，不需要单独计算○和□各自的质量。
【解析】
解：由第一次天平平衡可得等量关系：
$2○ + □ = 15\ \mathrm{g}$
观察第二次天平左端的物体，共有6个○和3个□，可变形为：
$6○ + 3□ = 3×(2○ + □)$
将$2○ + □ = 15\ \mathrm{g}$代入上式，得：
$6○ + 3□ = 3×15 = 45\ \mathrm{g}$
因为天平平衡时左右两端质量相等，所以第二次天平右端的砝码质量为45g。
【答案】
45
【知识点】
天平平衡原理；整体代入思想；等式的性质
【点评】
本题侧重考查整体思想的应用，避免了单独求解单个物体质量的繁琐步骤，有助于培养学生观察式子特点、灵活简化计算的思维能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据天平平衡时左右两端质量相等，从第一次称量结果得到2个○和1个□的总质量为15g；再观察第二次天平左端的物体，发现6个○和3个□刚好是3组“2个○+1个□”，因此可以利用整体代入的思想，直接用第一次的总质量乘3就能得到第二次左端的总质量，也就是右端砝码的质量，不需要单独计算○和□各自的质量。
【解析】
解：由第一次天平平衡可得等量关系：
$2○ + □ = 15\ \mathrm{g}$
观察第二次天平左端的物体，共有6个○和3个□，可变形为：
$6○ + 3□ = 3×(2○ + □)$
将$2○ + □ = 15\ \mathrm{g}$代入上式，得：
$6○ + 3□ = 3×15 = 45\ \mathrm{g}$
因为天平平衡时左右两端质量相等，所以第二次天平右端的砝码质量为45g。
【答案】
45
【知识点】
天平平衡原理；整体代入思想；等式的性质
【点评】
本题侧重考查整体思想的应用，避免了单独求解单个物体质量的繁琐步骤，有助于培养学生观察式子特点、灵活简化计算的思维能力。
【难度系数】
0.8
3.下列方程中,是一元一次方程的是 （
A.$x+2(x-2)=3$
B.$2x^2+3-4=0$
C.$\dfrac{2}{x}-3=4$
D.$x+y=1$
A
）A.$x+2(x-2)=3$
B.$2x^2+3-4=0$
C.$\dfrac{2}{x}-3=4$
D.$x+y=1$
答案
一元一次方程需满足:①只含一个未知数;②未知数的次数为1;③整式方程.满足条件的方程是 $x+2(x-2)=3$.故选 A.
解析
【分析】
解这道题首先要明确一元一次方程的三个核心判定条件，再对照条件逐一分析每个选项，排除不符合要求的选项就能得到正确答案。首先回忆判定规则：一是只含有1个未知数，二是未知数的最高次数是1，三是属于整式方程（分母中不含未知数），之后逐个验证四个选项是否同时满足这三个条件即可。
【解析】
一元一次方程需同时满足三个条件：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数为1；③是整式方程（分母不含未知数）。
对各选项逐一分析：
选项A：方程$x+2(x-2)=3$化简后为$3x-7=0$，只含未知数$x$，$x$的次数为1，且是整式方程，符合一元一次方程的定义。
选项B：方程$2x^2+3-4=0$中未知数$x$的最高次数是2，不满足次数为1的要求，不是一元一次方程。
选项C：方程$\dfrac{2}{x}-3=4$的分母含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求。
选项D：方程$x+y=1$含有$x$、$y$两个未知数，不满足只含一个未知数的要求，不是一元一次方程。
综上只有选项A符合条件。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的定义；整式方程的判定
【点评】
本题属于基础概念考察题，解题关键是牢牢掌握一元一次方程的三个判定标准，逐一排查选项即可，注意区分整式方程和分式方程，避免误选分母含未知数的选项。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要明确一元一次方程的三个核心判定条件，再对照条件逐一分析每个选项，排除不符合要求的选项就能得到正确答案。首先回忆判定规则：一是只含有1个未知数，二是未知数的最高次数是1，三是属于整式方程（分母中不含未知数），之后逐个验证四个选项是否同时满足这三个条件即可。
【解析】
一元一次方程需同时满足三个条件：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数为1；③是整式方程（分母不含未知数）。
对各选项逐一分析：
选项A：方程$x+2(x-2)=3$化简后为$3x-7=0$，只含未知数$x$，$x$的次数为1，且是整式方程，符合一元一次方程的定义。
选项B：方程$2x^2+3-4=0$中未知数$x$的最高次数是2，不满足次数为1的要求，不是一元一次方程。
选项C：方程$\dfrac{2}{x}-3=4$的分母含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求。
选项D：方程$x+y=1$含有$x$、$y$两个未知数，不满足只含一个未知数的要求，不是一元一次方程。
综上只有选项A符合条件。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的定义；整式方程的判定
【点评】
本题属于基础概念考察题，解题关键是牢牢掌握一元一次方程的三个判定标准，逐一排查选项即可，注意区分整式方程和分式方程，避免误选分母含未知数的选项。
【难度系数】
0.8
4.「2026宁夏银川期末」关于x的方程$3kx - 2k = 8$的解是$x = -2$，则$k=$
-1
。答案
答案 -1
解析 把 $x=-2$ 代入方程 $3kx-2k=8$,得 $3k×(-2)-2k=8$,解得 $k=-1$.
解析 把 $x=-2$ 代入方程 $3kx-2k=8$,得 $3k×(-2)-2k=8$,解得 $k=-1$.
解析
【分析】
本题已知一元一次方程的解求参数k，解题核心是利用方程解的定义：方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值。因此只需将x=-2代入原方程，即可得到只含未知数k的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤求解就能得到k的值。
【解析】
把 $x=-2$ 代入方程 $3kx-2k=8$，得：
$3k×(-2)-2k=8$
计算化简左边得：$-6k-2k=8$
合并同类项得：$-8k=8$
系数化为1得：$k=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的应用，将已知解代入原方程转化为关于参数的一元一次方程求解是此类题的通用解法，计算量小，掌握基础概念和运算规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
本题已知一元一次方程的解求参数k，解题核心是利用方程解的定义：方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值。因此只需将x=-2代入原方程，即可得到只含未知数k的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤求解就能得到k的值。
【解析】
把 $x=-2$ 代入方程 $3kx-2k=8$，得：
$3k×(-2)-2k=8$
计算化简左边得：$-6k-2k=8$
合并同类项得：$-8k=8$
系数化为1得：$k=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的应用，将已知解代入原方程转化为关于参数的一元一次方程求解是此类题的通用解法，计算量小，掌握基础概念和运算规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
5.已知$(3 - m)x^{|m| - 2} - 2 = 3$是关于x的一元一次方程，则m的值为
-3
.答案
答案 -3
解析 因为$(3-m)x^{|m|-2}-2=3$是关于$x$的一元一次方程,所以$|m|-2=1$,且$3-m≠0$,解得$m=-3$.
解析 因为$(3-m)x^{|m|-2}-2=3$是关于$x$的一元一次方程,所以$|m|-2=1$,且$3-m≠0$,解得$m=-3$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确一元一次方程的判定条件：一是方程只含1个未知数，二是未知数的最高次数为1，三是未知数的系数不为0。我们可以分两步思考：第一步根据未知数次数为1列出关于m的绝对值方程，求出m的可能取值；第二步根据一次项系数不为0的要求排除不符合的取值，最终得到正确的m值。
【解析】
已知$(3 - m)x^{|m| - 2} - 2 = 3$是关于x的一元一次方程，根据一元一次方程的定义可得两个条件：
1. 未知数x的次数为1，即$\vert m\vert -2=1$
化简得$\vert m\vert=3$，因此$m=3$或$m=-3$
2. 一次项系数不为0，即$3-m≠0$
解得$m≠3$
结合两个条件排除$m=3$，最终得$m=-3$
【答案】
-3
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 绝对值的运算
【点评】
本题是一元一次方程定义的基础应用题型，易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制条件，误将$m=3$纳入正确结果，解题时需牢记一元一次方程的核心判定要素，全面考虑限制条件，避免漏判出错。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要明确一元一次方程的判定条件：一是方程只含1个未知数，二是未知数的最高次数为1，三是未知数的系数不为0。我们可以分两步思考：第一步根据未知数次数为1列出关于m的绝对值方程，求出m的可能取值；第二步根据一次项系数不为0的要求排除不符合的取值，最终得到正确的m值。
【解析】
已知$(3 - m)x^{|m| - 2} - 2 = 3$是关于x的一元一次方程，根据一元一次方程的定义可得两个条件：
1. 未知数x的次数为1，即$\vert m\vert -2=1$
化简得$\vert m\vert=3$，因此$m=3$或$m=-3$
2. 一次项系数不为0，即$3-m≠0$
解得$m≠3$
结合两个条件排除$m=3$，最终得$m=-3$
【答案】
-3
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 绝对值的运算
【点评】
本题是一元一次方程定义的基础应用题型，易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制条件，误将$m=3$纳入正确结果，解题时需牢记一元一次方程的核心判定要素，全面考虑限制条件，避免漏判出错。
【难度系数】
0.7
6.「2026 安徽滁州期末」若单项式$\frac{1}{3}a^{m+1}b^3$与$-2a^3b^n$的和仍是单项式，则方程$\frac{x-7}{n}-\frac{x+1}{m}=1$的解为（
A.$x=-23$
B.$x=23$
C.$x=-29$
D.$x=29$
A
）A.$x=-23$
B.$x=23$
C.$x=-29$
D.$x=29$
答案
因为单项式$\frac{1}{3}a^{m+1}b^3$与$-2a^3b^n$的和仍是单项式,所以这两个单项式是同类项,
所以 $m+1=3$,$n=3$,所以 $m=2$,
将 $m=2$,$n=3$ 代入方程得$\frac{x-7}{3}-\frac{x+1}{2}=1$,
去分母可得 $2x-14-3x-3=6$,
移项、合并同类项,得$-x=23$,
系数化为 1,得 $x=-23$.故选 A.
所以 $m+1=3$,$n=3$,所以 $m=2$,
将 $m=2$,$n=3$ 代入方程得$\frac{x-7}{3}-\frac{x+1}{2}=1$,
去分母可得 $2x-14-3x-3=6$,
移项、合并同类项,得$-x=23$,
系数化为 1,得 $x=-23$.故选 A.
解析
【分析】
首先，两个单项式的和仍为单项式，说明这两个单项式是同类项，根据同类项“相同字母的指数对应相等”的性质，可列等式求出m、n的值；再将求得的m、n代入给定的一元一次方程，按照解一元一次方程的常规步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）计算，即可得到方程的解。
【解析】
因为单项式$\frac{1}{3}a^{m+1}b^3$与$-2a^3b^n$的和仍是单项式，所以二者是同类项，相同字母的指数对应相等，可得：
$m+1=3$，$n=3$，解得$m=2$。
将$m=2$，$n=3$代入方程$\frac{x-7}{n}-\frac{x+1}{m}=1$，得：
$\frac{x-7}{3}-\frac{x+1}{2}=1$
去分母，两边同时乘以6得：$2(x-7)-3(x+1)=6$
去括号得：$2x-14-3x-3=6$
移项、合并同类项得：$-x=23$
系数化为1得：$x=-23$
【答案】
A
【知识点】
同类项的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础综合题，将整式的概念与一元一次方程的求解相结合，解题的核心是先根据同类项的性质求出未知参数的值，再代入解方程，计算时需注意去分母、去括号时的符号变化，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8
首先，两个单项式的和仍为单项式，说明这两个单项式是同类项，根据同类项“相同字母的指数对应相等”的性质，可列等式求出m、n的值；再将求得的m、n代入给定的一元一次方程，按照解一元一次方程的常规步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）计算，即可得到方程的解。
【解析】
因为单项式$\frac{1}{3}a^{m+1}b^3$与$-2a^3b^n$的和仍是单项式，所以二者是同类项，相同字母的指数对应相等，可得：
$m+1=3$，$n=3$，解得$m=2$。
将$m=2$，$n=3$代入方程$\frac{x-7}{n}-\frac{x+1}{m}=1$，得：
$\frac{x-7}{3}-\frac{x+1}{2}=1$
去分母，两边同时乘以6得：$2(x-7)-3(x+1)=6$
去括号得：$2x-14-3x-3=6$
移项、合并同类项得：$-x=23$
系数化为1得：$x=-23$
【答案】
A
【知识点】
同类项的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础综合题，将整式的概念与一元一次方程的求解相结合，解题的核心是先根据同类项的性质求出未知参数的值，再代入解方程，计算时需注意去分母、去括号时的符号变化，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8
7.「2026甘肃酒泉期末改编」定义一种新运算“☆”：
$x☆y=\frac{x}{2}+y$，例如：$2☆1=\frac{2}{2}+1=2$。
(1)计算：$(-2)☆(-6)=$
(2)若$x☆2=\frac{3x+1}{2}$，则$x$的值为
$x☆y=\frac{x}{2}+y$，例如：$2☆1=\frac{2}{2}+1=2$。
(1)计算：$(-2)☆(-6)=$
-7
。(2)若$x☆2=\frac{3x+1}{2}$，则$x$的值为
$\frac{3}{2}$
。答案
答案 (1)$-7$;(2)$\frac{3}{2}$
解析 (1)因为 $x☆y=\frac{x}{2}+y$,
所以$(-2)☆(-6)=\frac{-2}{2}+(-6)=-1+(-6)=-7$.
(2)因为 $x☆2=\frac{3x+1}{2}$,所以$\frac{x}{2}+2=\frac{3x+1}{2}$.
去分母,得 $x+4=3x+1$,
移项、合并同类项,得$-2x=-3$,
系数化为 1,得 $x=\frac{3}{2}$.
解析 (1)因为 $x☆y=\frac{x}{2}+y$,
所以$(-2)☆(-6)=\frac{-2}{2}+(-6)=-1+(-6)=-7$.
(2)因为 $x☆2=\frac{3x+1}{2}$,所以$\frac{x}{2}+2=\frac{3x+1}{2}$.
去分母,得 $x+4=3x+1$,
移项、合并同类项,得$-2x=-3$,
系数化为 1,得 $x=\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
解决这类新定义运算题目，首先要准确理解新运算的规则：本题中“☆”的运算规则为，运算结果等于第一个数除以2再加上第二个数。(1)问直接将对应x=-2、y=-6代入运算规则计算即可；(2)问先根据运算规则将x☆2转化为常规代数式，得到关于x的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤逐步求解即可。
【解析】
(1) 根据新运算规则$x☆y=\frac{x}{2}+y$，将x=-2，y=-6代入得：
$(-2)☆(-6)=\frac{-2}{2}+(-6)=-1-6=-7$
(2) 根据新运算规则，先将$x☆2$展开得：
$x☆2=\frac{x}{2}+2$
结合题意可得方程：$\frac{x}{2}+2=\frac{3x+1}{2}$
去分母，两边同时乘2得：$x+4=3x+1$
移项得：$x-3x=1-4$
合并同类项得：$-2x=-3$
系数化为1得：$x=\frac{3}{2}$
【答案】
(1)$-7$；(2)$\frac{3}{2}$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对新定义规则的理解应用能力和一元一次方程的计算能力，解题关键是准确对应新运算中两个数的位置，解方程时注意符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
解决这类新定义运算题目，首先要准确理解新运算的规则：本题中“☆”的运算规则为，运算结果等于第一个数除以2再加上第二个数。(1)问直接将对应x=-2、y=-6代入运算规则计算即可；(2)问先根据运算规则将x☆2转化为常规代数式，得到关于x的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤逐步求解即可。
【解析】
(1) 根据新运算规则$x☆y=\frac{x}{2}+y$，将x=-2，y=-6代入得：
$(-2)☆(-6)=\frac{-2}{2}+(-6)=-1-6=-7$
(2) 根据新运算规则，先将$x☆2$展开得：
$x☆2=\frac{x}{2}+2$
结合题意可得方程：$\frac{x}{2}+2=\frac{3x+1}{2}$
去分母，两边同时乘2得：$x+4=3x+1$
移项得：$x-3x=1-4$
合并同类项得：$-2x=-3$
系数化为1得：$x=\frac{3}{2}$
【答案】
(1)$-7$；(2)$\frac{3}{2}$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对新定义规则的理解应用能力和一元一次方程的计算能力，解题关键是准确对应新运算中两个数的位置，解方程时注意符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
8.解下列方程：
(1)$-3x+\frac{1}{2}=x-\frac{1}{2}$.
(2)$2(x-2)=3-2(2x-1)$.
(3)$\frac{y-1}{2}=1-\frac{3y-4}{3}$.
(4)$\frac{2x-1}{0.2}=3-\frac{3x-4}{0.5}$.
(1)$-3x+\frac{1}{2}=x-\frac{1}{2}$.
(2)$2(x-2)=3-2(2x-1)$.
(3)$\frac{y-1}{2}=1-\frac{3y-4}{3}$.
(4)$\frac{2x-1}{0.2}=3-\frac{3x-4}{0.5}$.
答案
(1)移项,得$-3x-x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$,
合并同类项,得$-4x=-1$,
系数化为 1,得 $x=\frac{1}{4}$.
(2)去括号,得$2x-4=3-4x+2$,
移项,得$2x+4x=3+2+4$,
合并同类项,得$6x=9$,
系数化为 1,得 $x=\frac{3}{2}$.
(3)去分母,得$3(y-1)=6-2(3y-4)$,
去括号,得$3y-3=6-6y+8$,
移项,得$3y+6y=6+8+3$,
合并同类项,得$9y=17$,
系数化为 1,得 $y=\frac{17}{9}$.
(4)去分母,得$5(2x-1)=3-2(3x-4)$,
去括号,得$10x-5=3-6x+8$,
移项,得$10x+6x=3+8+5$,
合并同类项,得$16x=16$,
系数化为 1,得 $x=1$.
合并同类项,得$-4x=-1$,
系数化为 1,得 $x=\frac{1}{4}$.
(2)去括号,得$2x-4=3-4x+2$,
移项,得$2x+4x=3+2+4$,
合并同类项,得$6x=9$,
系数化为 1,得 $x=\frac{3}{2}$.
(3)去分母,得$3(y-1)=6-2(3y-4)$,
去括号,得$3y-3=6-6y+8$,
移项,得$3y+6y=6+8+3$,
合并同类项,得$9y=17$,
系数化为 1,得 $y=\frac{17}{9}$.
(4)去分母,得$5(2x-1)=3-2(3x-4)$,
去括号,得$10x-5=3-6x+8$,
移项,得$10x+6x=3+8+5$,
合并同类项,得$16x=16$,
系数化为 1,得 $x=1$.
解析
【分析】
解一元一次方程的核心是利用等式的基本性质，将方程逐步转化为未知数等于常数的形式，常规步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，不同形式的方程可按需选择步骤：
（1）不含括号、分母，直接移项即可，注意移项要变号；
（2）含括号，先去括号，去括号时系数要乘括号内每一项，同时注意符号变化；
（3）含分数分母，先找分母的最小公倍数去分母，注意常数项也要乘公分母，避免漏乘；
（4）含小数分母，可直接找小数分母的公倍数去分母，同样注意不要漏乘常数项。
【解析】
(1)移项,得$-3x-x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$,
合并同类项,得$-4x=-1$,
系数化为 1,得 $x=\frac{1}{4}$.
(2)去括号,得$2x-4=3-4x+2$,
移项,得$2x+4x=3+2+4$,
合并同类项,得$6x=9$,
系数化为 1,得 $x=\frac{3}{2}$.
(3)去分母,得$3(y-1)=6-2(3y-4)$,
去括号,得$3y-3=6-6y+8$,
移项,得$3y+6y=6+8+3$,
合并同类项,得$9y=17$,
系数化为 1,得 $y=\frac{17}{9}$.
(4)去分母,得$5(2x-1)=3-2(3x-4)$,
去括号,得$10x-5=3-6x+8$,
移项,得$10x+6x=3+8+5$,
合并同类项,得$16x=16$,
系数化为 1,得 $x=1$.
【答案】
(1)$x=\frac{1}{4}$；(2)$x=\frac{3}{2}$；(3)$y=\frac{17}{9}$；(4)$x=1$
【知识点】
一元一次方程解法，等式的基本性质，去括号法则
【点评】
这组题目覆盖了不同类型的一元一次方程求解，是一元一次方程解法的基础训练题，解题时要注意移项需变号，去括号时不要漏乘括号内的项、注意符号变化，去分母时常数项也要乘公分母，避免因细节失误失分。
【难度系数】
0.7
解一元一次方程的核心是利用等式的基本性质，将方程逐步转化为未知数等于常数的形式，常规步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，不同形式的方程可按需选择步骤：
（1）不含括号、分母，直接移项即可，注意移项要变号；
（2）含括号，先去括号，去括号时系数要乘括号内每一项，同时注意符号变化；
（3）含分数分母，先找分母的最小公倍数去分母，注意常数项也要乘公分母，避免漏乘；
（4）含小数分母，可直接找小数分母的公倍数去分母，同样注意不要漏乘常数项。
【解析】
(1)移项,得$-3x-x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$,
合并同类项,得$-4x=-1$,
系数化为 1,得 $x=\frac{1}{4}$.
(2)去括号,得$2x-4=3-4x+2$,
移项,得$2x+4x=3+2+4$,
合并同类项,得$6x=9$,
系数化为 1,得 $x=\frac{3}{2}$.
(3)去分母,得$3(y-1)=6-2(3y-4)$,
去括号,得$3y-3=6-6y+8$,
移项,得$3y+6y=6+8+3$,
合并同类项,得$9y=17$,
系数化为 1,得 $y=\frac{17}{9}$.
(4)去分母,得$5(2x-1)=3-2(3x-4)$,
去括号,得$10x-5=3-6x+8$,
移项,得$10x+6x=3+8+5$,
合并同类项,得$16x=16$,
系数化为 1,得 $x=1$.
【答案】
(1)$x=\frac{1}{4}$；(2)$x=\frac{3}{2}$；(3)$y=\frac{17}{9}$；(4)$x=1$
【知识点】
一元一次方程解法，等式的基本性质，去括号法则
【点评】
这组题目覆盖了不同类型的一元一次方程求解，是一元一次方程解法的基础训练题，解题时要注意移项需变号，去括号时不要漏乘括号内的项、注意符号变化，去分母时常数项也要乘公分母，避免因细节失误失分。
【难度系数】
0.7
9.「2025河北邯郸期末」已知关于$x$的一元一次方程$\frac{3x - 1}{2} + m = 5$.
(1)当$m=3$时,求方程的解.
(2)若该方程与方程$3x - 1 = -2(x - 7)$的解相同,求$m$的值.
(1)当$m=3$时,求方程的解.
(2)若该方程与方程$3x - 1 = -2(x - 7)$的解相同,求$m$的值.
答案
(1)当 $m=3$ 时,方程化为$\frac{3x-1}{2}+3=5$,
解得 $x=\frac{5}{3}$.
(2)解方程 $3x-1=-2(x-7)$,得 $x=3$,因为两个方程的解相同,所以方程$\frac{3x-1}{2}+m=5$的解为 $x=3$,将 $x=3$ 代入$\frac{3x-1}{2}+m=5$得$\frac{3×3-1}{2}+m=5$,解得 $m=1$.
解得 $x=\frac{5}{3}$.
(2)解方程 $3x-1=-2(x-7)$,得 $x=3$,因为两个方程的解相同,所以方程$\frac{3x-1}{2}+m=5$的解为 $x=3$,将 $x=3$ 代入$\frac{3x-1}{2}+m=5$得$\frac{3×3-1}{2}+m=5$,解得 $m=1$.
解析
【分析】
(1) 求$m=3$时方程的解，先将$m=3$代入原方程，得到只含$x$的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤（去分母、移项、合并同类项、系数化为1）计算即可。
(2) 两个方程解相同意味着两个方程中$x$的取值相等，先求解不含参数的方程$3x - 1 = -2(x - 7)$得到$x$的值，再将$x$的值代入含$m$的方程，即可求出$m$的取值。
【解析】
(1) 当$m=3$时，将$m=3$代入方程$\frac{3x - 1}{2} + m = 5$，得：
$\frac{3x-1}{2}+3=5$
移项得：$\frac{3x-1}{2}=2$
两边同时乘2得：$3x-1=4$
移项、合并同类项得：$3x=5$
系数化为1得：$x=\frac{5}{3}$
(2) 解方程$3x - 1 = -2(x - 7)$：
去括号得：$3x-1=-2x+14$
移项得：$3x+2x=14+1$
合并同类项得：$5x=15$
系数化为1得：$x=3$
因为两个方程的解相同，将$x=3$代入$\frac{3x - 1}{2} + m = 5$，得：
$\frac{3×3-1}{2}+m=5$
计算得：$4+m=5$
解得：$m=1$
【答案】
(1) $x=\frac{5}{3}$
(2) $m=1$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 同解方程的性质
3. 代入求值
【点评】
本题属于一元一次方程的基础常规题型，重点考查解一元一次方程的步骤以及同解方程的含义，掌握基础运算规则即可顺利求解，是巩固一元一次方程解法的典型习题。
【难度系数】
0.8
(1) 求$m=3$时方程的解，先将$m=3$代入原方程，得到只含$x$的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤（去分母、移项、合并同类项、系数化为1）计算即可。
(2) 两个方程解相同意味着两个方程中$x$的取值相等，先求解不含参数的方程$3x - 1 = -2(x - 7)$得到$x$的值，再将$x$的值代入含$m$的方程，即可求出$m$的取值。
【解析】
(1) 当$m=3$时，将$m=3$代入方程$\frac{3x - 1}{2} + m = 5$，得：
$\frac{3x-1}{2}+3=5$
移项得：$\frac{3x-1}{2}=2$
两边同时乘2得：$3x-1=4$
移项、合并同类项得：$3x=5$
系数化为1得：$x=\frac{5}{3}$
(2) 解方程$3x - 1 = -2(x - 7)$：
去括号得：$3x-1=-2x+14$
移项得：$3x+2x=14+1$
合并同类项得：$5x=15$
系数化为1得：$x=3$
因为两个方程的解相同，将$x=3$代入$\frac{3x - 1}{2} + m = 5$，得：
$\frac{3×3-1}{2}+m=5$
计算得：$4+m=5$
解得：$m=1$
【答案】
(1) $x=\frac{5}{3}$
(2) $m=1$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 同解方程的性质
3. 代入求值
【点评】
本题属于一元一次方程的基础常规题型，重点考查解一元一次方程的步骤以及同解方程的含义，掌握基础运算规则即可顺利求解，是巩固一元一次方程解法的典型习题。
【难度系数】
0.8
10.「2026云南昆明期末改编」云南省昆明市的滇池绿道风光宜人,吸引了众多骑行爱好者.小官和小渡周末在滇池绿道骑行,小官骑行3小时和小渡骑行5小时的总路程为102千米.已知小官的骑行速度比小渡的骑行速度每小时快2千米,求小官、小渡的骑行速度.设小渡的骑行速度为x千米/小时,根据题意,可列方程为
$3(x+2)+5x=102$
.答案
答案 $3(x+2)+5x=102$
解析 根据题意可知小官的骑行速度为$(x+2)$千米/小时,所以小官骑行3小时的路程为$3(x+2)$千米,因为小渡骑行5小时的路程为$5x$千米,两人的总路程是102千米,所以可列方程为 $3(x+2)+5x=102$.
解析 根据题意可知小官的骑行速度为$(x+2)$千米/小时,所以小官骑行3小时的路程为$3(x+2)$千米,因为小渡骑行5小时的路程为$5x$千米,两人的总路程是102千米,所以可列方程为 $3(x+2)+5x=102$.
解析
【分析】
列方程解应用题的核心是先找到等量关系，本题的等量关系为：小官3小时骑行的路程 + 小渡5小时骑行的路程 = 总路程102千米。解题时先根据题目给出的设元，先用含x的式子表示小官的骑行速度，再结合“路程=速度×时间”的公式分别表示两人的骑行路程，最后根据总路程的等量关系拼接成方程即可。
【解析】
已知设小渡的骑行速度为x千米/小时，
∵小官的骑行速度比小渡每小时快2千米，
∴小官的骑行速度为(x+2)千米/小时。
根据路程=速度×时间：
小官骑行3小时的路程为$3(x+2)$千米，
小渡骑行5小时的路程为$5x$千米。
又
∵两人的总路程为102千米，
∴可列方程为$3(x+2)+5x=102$。
【答案】
$3(x+2)+5x=102$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 行程问题基本公式
【点评】
本题是列一元一次方程的基础常考题，解题关键是找准速度、时间、路程的对应关系，抓住总路程的等量关系列式，熟练掌握行程基本公式就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
列方程解应用题的核心是先找到等量关系，本题的等量关系为：小官3小时骑行的路程 + 小渡5小时骑行的路程 = 总路程102千米。解题时先根据题目给出的设元，先用含x的式子表示小官的骑行速度，再结合“路程=速度×时间”的公式分别表示两人的骑行路程，最后根据总路程的等量关系拼接成方程即可。
【解析】
已知设小渡的骑行速度为x千米/小时，
∵小官的骑行速度比小渡每小时快2千米，
∴小官的骑行速度为(x+2)千米/小时。
根据路程=速度×时间：
小官骑行3小时的路程为$3(x+2)$千米，
小渡骑行5小时的路程为$5x$千米。
又
∵两人的总路程为102千米，
∴可列方程为$3(x+2)+5x=102$。
【答案】
$3(x+2)+5x=102$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 行程问题基本公式
【点评】
本题是列一元一次方程的基础常考题，解题关键是找准速度、时间、路程的对应关系，抓住总路程的等量关系列式，熟练掌握行程基本公式就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
